Бағыт бойынша туынды. Градиент

Жоспар

 

Кіріспе.......................................................................................................................2

1.1. Жоғарғы ретті туындылар мен диференциалдар..........................................3

1.2 Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және   дербес    туындылары.............................................................................................................3

 

Негізгі бөлім

2.1. Бағыт бойынша туынды. Градиент...............................................................12

2.2 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері....................................................................................................................3

2.3 Тейлор  формуласы.........................................................................................17

 

Қорытынды

 

Пайдаланылған әдебиеттер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бағыт бойынша туынды

Скалярлық өріс  үзіліссіз

u=u(x,y,z)  

функциясымен берілсін, мұның үзіліссіз дербес туындылары бар.

 бар делік.  Oxyz декарт координаталар жүйесіндегі P(x,y,z) және  l сәулесін қарастырамыз.

 

                         z                                         l

                                                  P₁

                                  P    g

                                     a    b

                      

                    

                           0                                          y

               x                                       

 

  x,y,z айнымалылары Dх;Dy;Dz өсімшелерін алсын, онда l сәулесінің Р   нүктесі Р₁ нүктесіне көшеді:

,

сәуленің бағыты бірлік

 

орт-вектормен анықталады, мұндағы a, b, g-   мен x; y; z координаталар осьтері арасындағы бұрыштар.

  ,

Онда

.  

Бұл өрнек u функциясының  l сәулесі бағытындағы өсімшесі деп аталады.

Анықтама. Егер Dl®0-ғы 

 

ақырлы шегі бар болса, онда ол шек скалярлық өрістің   l бағыты бойынша туындысы деп аталады.

Толық өсімше  

 

формуласымен табылады, мұндағы w -   Dl-ге қарағанда жоғарғы ретті ақырсыз аз шама, яғни

    және         .

Егер u-дың   l  бағыты бойынша өсімшесін қарастырсақ, онда

 

        .

Толық өсімшенің теңдеуінен:

.

Туындының анықтамасы бойынша:

 

.

Сонымен, скалярлық өрістің  бағыты бойынша туындысы  

                   (1)

формуласымен анықталады.

Мысал.   функциясынан Р₁(1;2;-1) нүктесінен Р₂(2;4;-3) нүктесі бағытындағы туындысын табалық.

;  ; - орт-вектор,

;   ;    ;

,

.

 

Градиент (лат. gradientis — адымдаушы) — қандай да бір кеңістік сипаттамасы шамасының ұзындық бірлігінде өзгеруінің көрсеткіші. Градиент ұғымы мұхиттануда, метеорологияда және т.б. кеңінен пайдаланылады. Мысалы, тұздылық градиенті, теңіз суының тығыздық градиенті, қысым градиенті, температуралық градиент, ылғалдылық градиент, жел жылдамдығының градиенті және т.б. кеңістіктің әрбір нүктесінде мәні өзгеріп отыратын шаманың ең шапшаң өзгеру бағытын көрсететін вектор. Егер шама  функциясымен өрнектелсе, оның градиентінің координаталары:

болады да, градиенттің өзі gradu таңбасымен белгіленеді.

Берілген беттің кез келген нүктесіндегі градиенті сол нүктедегі нормаль  бойынша бағытталады, ал градиенттің  ұзындығы:

 түрінде өрнектелген формула  бойынша анықталады.

Физика, метеорология, мұхиттану, гидрология салаларында кеңістіктегі кейбір шаманың ұзындық бірлігіне орын ауыстырғанда өзгеруін көрсету үшін градиент ұғымы кеңінен қолданылады; қысым градиенті, температура градиенті, ылғалдық градиенті, жел жылдамдығының градиенті, тұздылық градиенті, теңіз суы тығыздығының градиенті және т.б.

 

Вирусологияда градиент деп ерітіндінің  концентрациясы мен иондық күшінің  өзгеруін айтады. Мысалы, сахарозаның, цезийдің, глицериннің тығыздық градиентінде вирустар мен олардың бөлшектерін  тазартады, акриламид концентрациясының  градиентінде электрофорезбен вирус белоктарын ажыратады, ион күшінің градиентінде белоктарды хроматографиялайды.

Градиенттің қасиеттері. Скалярлық өрістің градиенті скалярлық функцияның дербес туындыларымен сипаттала-тындықтан туындының барлық қасиеттері градиент үшінде орындалады.

1. Екі функцияның қосындысының (айырмасының) градиенті ол функциялардың градиенттерінің қосындысына (айырмасына) тең:

.

Дәлелдеу. Анықтама бойынша

.

2. Тұрақты көбейткішті градиент таңбасының алдына шығаруға болады:

.

3. Екі функцияның көбейтіндісінің градиенті мына формуламен табылады.

.

4. Екі функцияның қатынасының градиенті мына формуламен табылады:

 

.

 

Дербес туынды - көп  айнымалды u=f(x1,x2,...,xn) функциясының дербес туындысы деп осы функцияны x1,x2,...,xn айнымалыларының біреуі, мысалы xi бойынша  алынған туындыны айтады, бұл жағдайда басқа айнымалылар тұрақты деп  есептеледі (белгіленуі ∂u/∂xi или f'xi). Бұл туынды бірінші ретті дербес туынды деп аталады. Дербес туынды дербес туындысы екінші ретті дербес туынды делінеді т.с.с

 

Жоғарғы ретті  туындылар мен диференциалдар.

Анықтама. y=f(x) функциясының II ретті туындысы деп оның туындысынан алынған туындыны айтамыз: y′ = f ′(x).

III, IV, V және т.б. ретті  туындылар тура осылай анықталады.

Екінші ретті туындының  физикалық мағынасы: егер x = f(t) –  нүктенің түзу сызықты қозғалысының заңы болса, онда х″ = f″ (t) – осы  қозғалыстың үдеуі.

Мысалы: Мыны функцияның екінші ретті туындысын табыңдар: y = sin2x

y′ = 2•cos2x => y″ = -4•sin2x

Анықтама. f(x) функциясының II ретті дифереециалы деп I ретті  диференциалдың диференциалын айтамыз:

d2 f(x) = d[df(x)]

III, IV, V ... ретті диференциалдар тура осылай анықталады.

Теорема. Берілген функцияның II ретті диференциалы II ретті туынды мен тәуелсіз диференциалының квадратына көбейтіндісіне тең болады:

d2 f(x) = f″(x) dx2 , где dx2 = (dx)2

 

Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және   дербес    туындылары.

z=ƒ(M)функциясы М(х; у)нүктесінің  қандай да бір аймағында анықталсын. М нүктесінің х айнымалысына қалауымызша алынған Δх өсімше беріп, ал у айнымалысын өзгертусіз қалдырамыз, яғни жазықтықтың М (х; у)нүктесінен М1(х+ Δх; у)нүктесіне көшеміз. Сонымен қоса Δх, М нүктесі М1нүктесінің көрсетілген аймағында жататындай етіліп алынады. Онда функцияның сәйкес өсімшесі

                                    Δxz=f(x+ Δx; y)-f(x; у)

 Функцияның х айнымалысы  бойынша М (х; у)нүктесіндегі  дербес өсімшесі деп аталады. Осыған ұқсас функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі де келесідей анықталады       

                              Δуz=f(x; y+ Δy)-f(x; у).                      

Анықтама 1. Егер шегі

                                           Δxz          Δуz

                                    lim ——  (lim—— )

                                                          Δх→0   Δх      Δу→0    

бар болса, онда ол z=ƒ(M)функциясының М  нүктесіндегі х айнымалысы ( у айнымалысы) бойынша дербес туындысы деп аталады және келесі символмен белгіленеді:

                    z΄x,ƒ΄x,д²z  ,дƒ  ( z΄у,ƒ΄у,д²z  ,дƒ).

                               дх    дх(            дх    дх )

Анықтама 2. z=ƒ(M)функциясының М(х; у)нүктесіндегі, х және у айнымалыларының сәйкес Δх және Δу өсімшелеріне қатысты толық өсімшесі деп Δz=ƒ(x+Δx; y+Δy)-ƒ(x;y)функциясын айтады.

Анықтама3. z=ƒ(M)функциясы М нүктесінде дифференциалданады деп аталады, егер оның бұл нүктедегі толық өсімшесі келесі түрде өрнектелетін болса:

               Δz = АΔх + ВΔy+ α(Δx; Δy) Δx + β(Δx; Δy)Δy,

мұндағы А және В - сандары, Δх және Δy мәндеріне тәуелсіз, ал α(Δх; Δy)және В(Δх; Δy)- Δх→0, Δу→0болғандағы шексіз аз функциялар.

Теорема 1. Егер z=ƒ(M)функциясы М  нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол бұл нүктеде үздіксіз.

Теорема2. Егер z=ƒ(M)функциясы М(х; у)нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оныңбұл  нүктедеf΄x(x;у)және f΄y(x;y)дербес туындылары болады, сонымен қоса

                          f΄x(x;y)= A,f΄y(x;y)= B.

Теорема3.(функция дифференциалдануының жеткілікті шарты). Егер z=ƒ(M)функциясының М нүктесінің қандай да бір δ- маңайында дербес туындылары болып және М нүктесініңөзінде бұл туындылар үздіксіз болса, онда функция М дифференциалданады

 Жоғары ретгі дербес туынды  ұғымдарын да қарастыруға болады. Олар келесі түрде анықталады:

     д²z  =  д (дz),  д²z  =  д (дz),  д²z  =д (дz),д²z  =д (дz).

     дх²      дх   дх  дхдy   дy  дх   дхдy   дх  дy  дy²     дy  дy

д²z  ,  д²z   түріндегі дербес туындылар М аралас туындылар

дхдy  дyдx

 деп   аталады.

Теорема 4. Егер    д²z  ,  д²z     туындылары М нүктесінің

                            дхду  дудх

қандай да бір δ-маңайында бар болып және М нүктесінің өзінде бұл туындылар үздіксіз болса, онда олар бұл нүктеде өзара тең және келесі теңдік орындалады

д2z  ,(x;y)=д2z ,(x;y).

 

дхду           дудх

Жоғарғы ретті дифференциалдар.

Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:

.

Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші ретті дифференциал деп аталады:

.

Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:

,

сонымен,

        (5)

Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (5) өрнегіндегі соңғы төрт мүше нөлге айналады, өйткені dx пен  dy –тен алынған туындылар мен дифференциалдар нөлге тең.

Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х, у-тер басқа тәуелсіз айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (5) формуласы қолданылады.

Біз келешекте  екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х, у-тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде беріледі:

.

Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;

.

Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:

.

Жақшаны ашқандағы дәреже туындының  ретін көрсетеді, ал әртүрлі дәрежелердің көбейтіндісі функцияның реті әртүрлі аралас туындыларды көрсетеді деп алу керек. Екі тәуелсіз айнымалылы функцияның жоғарғы ретті дифференциалы биномды еске түсіреді. Сонымен, алдыңғы айтқанымыздай:

                                                                    (6)

Мысал үшін, n=4 болғанда Ньютон биномы бойынша ашып, төртінші ретті дифференциалды аламыз:

  .

 

Мысал. Екінші ретті дифференциалды табу керек. 

z=e^xy ,  z¢_x=ye^xy,   z¢¢_xx=y²e^xy , z¢¢_xy=(xу+1)e^xy,

z¢_y=xe^xy,  z¢¢_yy=x²e^xy, z¢¢_yx=(yх+1)e^xy,

.

 

Жоғарғы ретті дифференциалдық  теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері.  I-класс. Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.

түріндегі теңдеуді қарастырамыз.  

Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:

тағы да интегралдаймыз:

.

Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда

.    

I-кластағы  n-ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.

Мысал. теңдеуін шешелік.

;

;

.

II-класс. у функциясы және оның  (k-1)-і ретіне дейінгі туындылары жоқ теңдеулер.

түріндегі ДТ қарастырамыз.

Жаңа айнымалы енгіземіз:

,                                   (10)

сонда

.

  u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге қоямыз:

.

Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң шешімі 

функциясы болсын делік. Мұны (20) теңдеуге қоямыз:

-   k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-циалдау арқылы шешіледі (1-класс).

Мысалдар. 1. үшінші ретті ДТ шешелік.

 ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:

;

.

Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.

2. ;

;   ;    ;   ;

; ; ;

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау  арқылы шешу керек (1-класс)

III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.

түріндегі теңдеуін қарастырамыз.

Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті  аламыз және ауыстыру орындаймыз:

.

Екінші, үшінші және т.б. туындыларын  алу үшін осы жаңа функциядан күрделі  функция есебінде туынды табамыз:

;

және т.б.

Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:

.

Шешімі мына түрде табылды делік:

Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ аламыз:

.

Мысал.  ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ.   ауыстыруын орындаймыз. ; - бұл біртекті теңдеу.  - ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: .у-і қысқартамыз: .

;

;      ;

               

- біртекті теңдеудің шешімі 

 немесе  ,

ал бұл айнымалысы ажыратылған  ДТ.

IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.

теңдеуін қарастырамыз және

болсын делік. Жаңа дифференциалдық  теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз, сонда  .

ДТ реті бірге төмендеді.

Мысалдар. 1. .Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп көрелік. , екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз: ;

- теңдеудің х-і жоқ.

; ;      ;   ;

;      ;        ;

;    

• бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы бар.

2. ;

;   ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.

3. .

;    ; ;

;  - бұл ДТ жалпы интегралы.

Тейлор  формуласы.

Айталық функциясы  бір аралықта анықталған болып,  осы аралықтан алынған х=а  нүктесінде n+1-ші  ретке дейін туындылары бар болсын. Мұндай  шарттар орындалғанда функцияның ролін көпшілік жағдайда n-ші дәрежелі көпмүшелік атқарады Осы көпмүшелікті мына түрінде алайық. Бұл көмүшелік пен функцияның арасында келесі шарттар орындалатын болсын

Сонғы (5.26) теңдіктер орындалса, онда (5.25) көпмүшелік х=а нүктесінің аймағында функцияны көпмүшелікпен алмастыруға болады.

Көпмүшеліктің С₀  , C₁ , C₂ …, C_n   коэффициенттерін, (5.26)  теңдіктерін пайдаланып, анықтайық. Ол үшін (5.25) көпмүшеліктің туындыларын табайық: 

Егер (5.26) теңдіктерін  пайдалансақ 

Осы  теңдіктерден  аталған коэффициенттерді табамыз:

Осы коэффициенттерді (5.28) формулаға қойсақ формула анықталады.

 арқылы  функция мен көпмүшеліктін айырмасын

белгілесек

белгілесек, мұнда

онда 

 

Осы формуланы  Тейлор формуласы дейді. Мұнда қалдық мүшені түрінде жазылады. Егер Тейлор формуласында а=0 деп алсақ, онда     (5.30)

Бұл формуланы Маклорен формуласы деп айталады.

Тейлор формуласын қолдану  мысалдар.

 

1) функциясы берілсін.

Бұл функцияның == онда

Енді Маклорен формуласын пайдалансақ 

 

Маклорен формуласы  арқылы

мұнда

3) онда  Маклорен  формуласын пайдланып анықтаймыз

Мұнда        

 

Екі айнымалылы функция  үшін Тейлор формуласы.

D облысында үзіліссіз және кез келген үзіліссіз аралас туындылары бар екі айнымалылы функциясы берілсін. D  облысының  берілсін. функциясын және -ң дәрежелері бойынша жіктеу керек.

Шешуі. функциясын, х-ті тұрақты деп есептеп, бір у айнымалысының функциясы деп аламызда оны Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

   (*)

 

Әрі қарай  , функцияларын аргумент  -тің функциялары деп Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

 

(**)

 

  (**) қатысты (*) өрнегіне қоямыз:

.

Функцияны -дің дәрежелерінің өсуіне қарай орналастырамыз:

Соңғы тік жақшаның ішіндегі өрнек Тейлор формуласының қалдық мүшесі деп аталады. -дерді сәйкес және деп белгілейік. Сонда екі айнымалының функциясы үшін болғандағы Тейлор формуласының түрі былай болады:

 

.

Бұл өрнекте бірінші және екінші ретті толық дифференциал беріліп  тұрғанын көреміз (мұнда dx-тің орнына  Dх, ал dу-тің орнына   Dу алынған). Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласын кез келген үшін жазуға болады.

(11)

 мұндағы  .

Теорема 5 (Тейлор). Айталықz=f(x; у)функциясы (п+1)-шіретке дейінгі дербес туындыларымен қоса М нүктесінің қандай да бір δ- маңайында үздіксіз болсын. М1(х+Δх; у+Δу)нүктесі осы аймақта жатсын. Онда бұл функцияныңМ нүктесіндегі Δf=ƒ(M1)-ƒ(M)өсімшесін келесі түрде көрсетуге болады

 

Δƒ=dƒ(х;у)d2f(x;y) +...dnf(x;y)+dn+1ƒ(х + θΔх;у + θΔу),0<θ<1

                    2!              п!                    (п+1)!