Дифференциальные уравнения фильтрации

СОДЕРЖАНИЕ

1 Дифференциальные уравнения  фильтрации

2 Закон Дарси

2.1 Верхняя граница применимости  закона Дарси

2.2 Отклонения от закона  Дарси при малых скоростях  фильтрации

3 Нарушение закона Дарси. Нелинейные законы фильтрации

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Подземная гидромеханика - теоретическая основа разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Подземная гидромеханика – наука о движении жидкостей, газов, их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Движение жидкостей и газов происходит по извилистым и очень малым по размерам порам, поэтому оно имеет свои особенности и называется фильтрацией.

Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером А. Дарси, который в 1856 году при строительстве водопровода в городе Дижоне заинтересовался очисткой воды при фильтрации её через песок и опубликовал обнаруженный им экспериментальный закон. В последнее время интенсивно развиваются: теория многофазной многокомпонентной фильтрации; подземная гидромеханика неньютоновских жидкостей, теории и методы расчета теплового воздействия на пласт, другие разделы подземной гидромеханики. Это требует знания громоздкого математического аппарата, численных методов решения задач математической физики.

В данной курсовой работе мы стремится рассказать об основах подземной гидродинамики, привести примеры расчета простейших задач, которые наиболее часто встречаются при разработки месторождений.

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

 Подземная гидромеханика является основой современной технологии нефтедобычи и добычи газа и имеет обширные области приложения в гидрогеологии, гидротехнике, инженерной геологии.

История развития подземной гидромеханики можно разделить на два периода. В течение первого периода, начавшегося в середине прошлого века и окончившегося в 1917-1920 гг., подземная гидромеханика развивалась почти исключительно под влиянием запросов техники водоснабжения, ирригации и гидротехнического строительства. Поэтому в течение первого периода решались общие задачи теории фильтрации, движения естественных подземных водных потоков, притока воды к грунтовым колодцам, артезианским скважинам, водосборным галереям, дренажным каналам и т. д.

Проблемы вытеснения нефти водой и газом из пласта в скважины, проблема движения газированной нефти в пористой среде, специфические задачи размещения нефтяных и газовых скважин - эти и им подобные задачи собственно нефтяной подземной гидромеханики не ставились в течение первого упомянутого периода.

Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и газа и способные отдавать их при разработке, называются коллекторами. В зависимости от геометрии пустот коллекторы различают пористые или трещиноватые.

Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды их смеси) находятся, в основном, в пустотах (порах и трещинах) коллекторов. Их движение происходит либо вследствие естественных процессов (миграция углеводородов), либо в результате деятельности человека, связанной с извлечением полезных ископаемых, строительством и эксплуатацией гидротехнических сооружений.

Находящиеся в пустотном пространстве пласта природные жидкости называют флюид, подразумевая под ним любую из них. Флюид, находящийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или двигаться.

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов, их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями: происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей; силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.

Фильтрация может быть обусловлена воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, температуры, капиллярными, электромолекулярными и др. силами. В подземной гидромеханике рассматривают течения, вызываемые действием градиента давления и силы тяжести.

Движение флюидов в малопроницаемых толщах осадочных горных породах имеет особенности, существенно отличающие нефтегазовую подземную гидромеханику не только от обычной гидродинамики (движение жидкостей в открытом пространстве), но и от процессов фильтрации в химической технологии или гидромелиорации.

Для того чтобы описать этот процесс количественно, вводят некоторую схематизацию пористой среды.

Рис. 1.1. Шлиф нефтяного песчаника. (можно нарисовать наоборот – зерна черные, пустоты белые).

Поровое пространство осадочных горных пород - сложная нерегулярная система сообщающихся межзернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1). Размеры пор в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм).

Движение флюидов в пласте происходит с очень маленькими скоростями, порядка микрометров в секунду. Поэтому процесс фильтрации с высокой степенью точности считают изотермическим.

При фильтрации возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллектора соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. В 1 м3 пористой породы площадь поверхности пустотного пространства достигает 10 000 м2. Жидкости приходится, таким образом, преодолевать огромную силу трения, а трение между жидкостью и твердым телом обусловлено вязкостью (основное свойство флюида).

Основным свойством жидкости, которое влияет на ее фильтрацию, является вязкость.

Под пористой средой подразумевается множество твердых частиц, весьма тесно прилегающих друг к другу. Пустое пространство между ними может быть заполнено жидкостью или газом.

Если в пористой среде, содержащей жидкость или газ, будет создан градиент напора, то начнется движение жидкости в направлении от большого напора к меньшему - фильтрация.

Кроме вязкости, поверхностно-активные свойства также влияют на процесс фильтрации.

Пористая среда представляет собой совокупность твердых частиц разнообразной формы и различных размеров, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью или газом.

Поровое пространство природного пласта, ввиду сложности и нерегулярности его структуры, можно рассматривать как систему с большим числом однородных элементов, слабо связанных между собой.

Макроскопическое фильтрационное течение пластовых флюидов проявляется как совокупность множества отдельных микродвижений в неупорядоченной системе поровых «каналов». С возрастанием числа таких микродвижений начинают проявляться статистические закономерности, характерные для движения в целом, но не для одного порового канала или нескольких каналов. При определении физических характеристик вводятся эффективные (фиктивные) величины, которые размазываются по всему объему. Такое эффективное описание физических процессов называется макроскопическим.

Это позволяет в качестве исходного допущения теории фильтрации принять, что пористая среда и насыщающие ее флюиды образуют сплошную среду, т.е. заполняют любой выделенный элементарный объем порового пространства непрерывно. Под «элементарным объемом» в теории фильтрации понимают такой физически бесконечно малый объем, в котором заключено большое число пор и зерен, так что он достаточно велик по сравнению с размерами пор и зерен породы. Для такого элементарного объема вводятся локальные усредненные характеристики системы флюид - пористая среда. В применении к меньшим объемам выводы теории фильтрации становятся несправедливыми.

В случае если объем пор при изменении давления жидкости в них не изменяется, то такая пористая среда считается недеформируемой.

Если же изменением объема порового пространства пренебречь нельзя, то такую пористую среду следует рассматривать как деформируемую.

В некоторых случаях естественные пласты сложены так плотно, что фильтрация, как таковая, крайне незначительна и не имеет практического значения. Тем не менее, скважины, которые пробурены в такой породе, иногда дают нефть, воду или газ. Это может быть обусловлено трещиноватостью. Песчаники или известняки, пронизанные трещинами различного размера, образуют трещиновато-пористую среду. Таким образом, помимо фильтрации, возможно движение жидкости в трещинах. Движение в трещинах приближается к движению в трубах. Жидкость движется, как поток, текущий в трубе прихотливой формы.

Рис. 1.2. Модель пористой среды – пласта. f – площадь. Далее по тексту площадь обознач. S.

Представим себе трубку, являющуюся моделью газового или нефтяного пласта (рис. 1.2). Пусть трубка заполнена пористой средой и до предела насыщена жидкостью. Предположим, что в двух сечениях трубы созданы разные давления р1 и р2, причем давление р1 больше, чем давление р2. Под действием разности давлений жидкость начинает двигаться.

Важнейшей из характеристик пористой среды является коэффициент пористости. Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор вобразце Vпор к объему образца V:

m =Vпор/V

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

В ряде случаев твердые зерна породы обволакиваются тонкой пленкой, остающейся неподвижной при обычных градиентах давления. В этом случае подвижная жидкость будет занимать объем, несколько меньший объему пустот. Кроме того, в реальной пористой среде бывают тупиковые поры, в которых движение жидкости задерживается ввиду образования застойных областей. Таким образом, наряду с геометрической пористостью, определенной выше, часто пользуются понятием динамической пористости, подразумевая под ней отношение объема, занятого подвижной жидкостью, ко всему объему пласта. В дальнейшем под пористостью будем подразумевать динамическую пористость. Для реальных пластов - коллекторов нефти, воды или газа - значения m обычно лежат в пределах 0,15 - 0,22, причем, конечно, возможны значительные отклонения в ту и другую сторону.

Равенство определяет среднюю пористость рассматриваемого элемента. Обычно различают полную и эффективную пористости. При определении последней учитываются лишь соединенные между собой поры, которые могут быть заполнены жидкостью извне. При изучении процессов фильтрации важна именно эффективная пористость. Поэтому в дальнейшем под пористостью будем понимать активную или эффективную пористость.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов ωпр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения ω:

n =ωпр/ω

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях ω пр(х).

Поперечным сечением ω называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.

Значение просветности и пористости может изменяться в пределах от 0 до 1.

При определенных допущениях можно доказать, что в данной точке пласта просветность не зависит от выбора направления сечения и равна пористости: n=m. Еще одна важная характеристика пористой среды – удельная поверхность пор, приходящаяся на единицу объема пористой среды. Под удельной поверхностью пор Σ (сигма прописная), рассчитанной на единицу объема пористой среды, понимают отношение площади поверхности пустотного пространства пористой среды SП ко всему объему пористой среды V:

Удельная поверхность пор, в отличие от пористости и просветности, которые безразмерны, имеет размерность м - 1.

Коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для описания пористой среды необходимо ввести также некоторый характерный размер порового пространства. Существуют различные способы определения этого размера. Естественно, например, за характерный размер принять некоторый средний размер порового канала d или отдельного зерна пористого скелета.

Первые теоретические исследования порового пространства проводили при помощи идеализированных моделей грунта, называемых идеальным или фиктивным грунтом. Это связано с тем, что поровые каналы имеют неправильную форму и самые разнообразные размеры, поэтому невозможно исследовать движение частиц жидкости или газа по всему множеству каналов; невозможно точно знать формы и размеры каждого из этого множества каналов, прорезающих толщу реальной пористой породы.

Фиктивным грунтом (корпускулярным) называется модель пористой среды, состоящей из шариков одинакового диаметра.

Под идеальным грунтом (капиллярным) понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями.

В конце прошлого столетия американский гидрогеолог Чарльз Слихтер развил упрощенную теорию фильтрации, позволяющую сравнивать движение жидкости по поровым каналам с течением жидкости по цилиндрическим трубкам. Основываясь на модели фиктивного грунта, он рассмотрел также геометрическую задачу, позволяющую связать пористость с углами, образованными радиусами соприкасающихся шаров, моделирующих пористую среду, при их различной упаковке.

По идее Слихтера, все шарообразные частицы, образующие данную пористую среду, уложены во всем ее объеме одинаковым образом по элементам из восьми шаров.

Более поздние исследования Дарапского показали, что пространственные соотношения значительно более сложны, чем принимал Слихтер. Недостаточно рассмотреть элемент из восьми шаров и предположить симметричную картину для всех остальных шаров.

Параметр, характеризующий размер порового пространства – эффективный диаметр dэф, который определяется в результате механического анализа грунта. Эффективным диаметром частиц, слагающих реальную пористую среду, называется такой диаметр шаров, образующих фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково.

Объемным расходом Q называется объем жидкости, прошедший через поперечное сечение за единицу времени:

Q =V/t

Массовым расходом Qm называется масса жидкости, прошедшая через поперечное сечение за единицу времени:

Qm =m/t

Массовый расход равен произведению плотности ρ на объемный расход:

Qm =ρQ

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения:

u =Q/ω

Скорость фильтрации - это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).

В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам, поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:

v =Q/ωпр= ωQ/ωпрω=u/n=u/m

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В любом поперечном сечения плоскопараллельного потока давление, скорость и её направление одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях:                                                                              1. В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе диаметром D, заполненной пористой средой. Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:

ω=πD2/4

2. На некоторых участках  продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда, верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань - непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление pк, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление pг. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи.

Площадь поперечного сечения галереи равна: ω =B h

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжения векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке. На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой – либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:

ω =2 π r h

В любом поперечном сечении этого потока давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

При радиально-сферическом потоке продолжения векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке. Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:

ω =4 π r2

В любом поперечном сечении этого потока давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

На практике радиально–сферический поток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания. В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени:

p = p(x, y, z, t);

u = u(x, y, z, t).

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).

2 ЗАКОН ДАРСИ

2.1 Верхняя граница применимости закона Дарси

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением   числа Рейнольдса

где d- некоторый характерный линейный размер пористой среды;

v-кинематический коэффициент  вязкости флюида 

Многочисленные экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н.М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления l от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты Ч. Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру dэф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса

Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н.Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах

Достаточно узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные образцы пористых сред.

Для удобства обработки результатов многочисленных экспериментов различных авторов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством

Отсюда видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления. Сравнивая равенство и закон Дарси (для случая горизонтального пласта, когда р* = р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то

Таким образом, равенство должно выполняться при 

Введение параметра   упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс откладывать   а по оси ординат   то поскольку   при   графиком зависимости   от   будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока  .

Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям  ). Значение   при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим значением. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.5 на логарифмической сетке приведены зависимости   от  , представляющие результат обработки опытов по формулам В. Н. Щелкачева. Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации   для различных образцов пористых сред.

Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения   в подземной гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса   соответствующих верхней границе применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления приведены в табл. 1.1. В первых двух строках таблицы даны соответственно формулы для   и коэффициента гидравлического сопротивления l, полученные разными авторами. В четвертой и пятой строках приведены соответственно критические значения   полученные самими авторами, и их уточненные значения.

Наличие третьей строки табл. 1.1, в которой дано произведение   объясняется следующим. В области линейного закона фильтрации   справедливо равенство. Поэтому если произведение   зависит только от параметра  , то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если   И только в этом случае можно получить «универсальный» прямолинейный график в координатах  соответствующий фильтрации различных флюидов через различные по свойствам пористые среды. Результаты обработки опытов подтверждают этот вывод.

На основе анализа данных, приведенных в табл. 1.1, можно сделать следующие выводы.

1. Несмотря на отмеченные  недостатки результатов Н. Н. Павловского, есть основания для их сопоставления  с соответствующими результатами  трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа  Рейнольдса, подсчитанные по формуле, намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения  ) не следует связывать с турбулизацией течения. Отсутствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, изложенными Г. Шнебели.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра   в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений   , мало обоснованы.

2. Во все другие формулы табл. 1.1 в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные   (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения   для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения   не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений   можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

Итак, при значениях числа Рейнольдса   линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших   основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный закон.

Таблица 1.2

Интервалы критических значений   для образцов пористых сред фильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее. В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения без учета силы тяжести) в следующем виде:

где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.

Первое слагаемое в правой части учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов. Из следует, что при малых скоростях фильтрации квадратом скорости w2 можно пренебречь, и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого, т.е. движение будет безынерционным, соответствующим закону Дарси. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся существенными и будут сопоставимы или даже преобладать над силами вязкости.

Хорошая согласованность соотношения с данными промысловых и экспериментальных наблюдений была установлена в много численных работах советских и зарубежных исследователей. Это свидетельствует о том, что данное соотношение представляет нечто большее, чем простую эмпирическую формулу, поскольку оно хорошо выполняется даже для весьма больших значений скорости фильтрации. Физический смысл этого заключается в том, что при больших скоростях быстропеременное движение в порах вследствие «извилистости» поровых каналов сопряжено с появлением значительных инерционных составляющих гидравлического сопротивления. С увеличением числа Рейнольдса квадратичный член в выражении оказывается преобладающим, силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с силамиинерции, и сводится тогда к квадратичному закону фильтрации, предложенному А. А. Раснопольским. Он справедлив в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.