Дифференциальные уравнения в экономических моделях

Министерство образования  и науки РФ

 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

 

 

Кафедра математической экономики

 

 

 

 

Дифференциальные  уравнения в экономических моделях

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

студента 2 курса механико-математического факультета

 

Семеновой Екатерины Вячеславовны

 

 

 

 

Научный руководитель

     Старший преподаватель                            _______________  С.Н. Купцов

                                                                                                                                           

 

Зав. кафедрой

       Профессор,     д.ф.-м.н                                ________________   С. И. Дудов

                                                                                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

Саратов

2012 год

 

Содержание

 

 Введение……………………………………………………………………………….3

 

1.    Экономические модели и методы их решения.

1.1. Модель Эванса....................……………………………………………………....5

1.2. Модель Солоу ….…………………………………………………...…………....7

          1.2.1. Параметры модели Солоу………………………………………………7

          1.2.2. Стационарные траектории в модели Солоу…………………………..9

2.    Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях.

2.1.  Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений.....12

2.2. Теорема существования и единственности решения………………………...13

2.3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения………14

2.4. Понятие о дифференциальных  уравнениях высших порядков и системах дифференциальных уравнений……………………………………………………..15

 

Заключение.......................................................………………...................................18

Список использованной литературы...............…...................…………..................19

Приложения.......................................................................................…......................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

   В последние столетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Недооценка применения математических методов в гуманитарных науках была характерной, по-видимому, для большей части XX в. Так, например, выдающийся английский экономист А. Маршалл не видел особых преимуществ в использовании математики в экономических исследованиях. Рассуждая о значении математики для экономической науки, он в своём фундаментальном труде, написанном около ста лет тому назад, отмечал, что «подготовка в области математики полезна тем, что она позволяет овладеть максимально сжатым и точным языком для ясного выражения некоторых общих отношений и некоторых коротких процессов экономических рассуждений, которые действительно могут быть выражены обычным языком, но без равноценной чёткости схемы». Несмотря на эти слова, А. Маршалл в своих работах широко использовал аппарат дифференциального исчисления, в то время как К. Маркс ограничивался в своих работах преимущественно арифметическими примерами.

   Экономика и управление – это прикладные науки, и их важная практическая задача заключается в использовании методов обоснования и выбора тех или иных решений. В общем случае для научного познания любого явления или процесса можно пользоваться в качестве инструментариев такими четырьмя методами: теоретическим анализом; наблюдением; научным экспериментом; моделированием. Если первые три подхода успешно используются, например, в технических науках, то на долю экономики и управления выпадает последнее (за исключением наблюдения, используемого в статистике).

   Объяснить это можно тем, что экономические процессы достаточно длительны. Для сбора необходимого для теоретического анализа статистического материала часто необходимы годы и десятилетия, из-за этого усложняется проявление действующих закономерностей и влияние многочисленных отдельных факторов. То же имеет отношение и к научному

эксперименту, чтобы результаты были достоверны и надёжны, экономический эксперимент должен быть длительным и многомасштабным. Таким образом, в распоряжении экономистов и менеджеров остаётся только одно – математическое моделирование экономических явлений и процессов.

  Таким образом,  тема, рассматриваемая в данной работе,  актуальна и является фундаментом для построения научных трудов и функционально используется в производстве, что не маловажно для современной экономики. Многие результаты анализа социально-экономических процессов не могут быть получены без использования математических моделей, несмотря на то, что после осмысления эти результаты выражаются и интерпретируются на обычном языке и зачастую становятся «очевидными» и «само собой разумеющимися».

  Применение метода математического моделирования в экономике – объективный этап её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов. Согласно современным представлениям, развитие всех наук происходит фактически по единой схеме, которая включает несколько периодов. А.А. Дородницын выделял следующие четыре: описательный период; период упорядочения и систематизации накопленной информации; период выявления и установления связей и соотношений; «точный» период, в котором широко используется метод математического моделирования для анализа различных объектов этой науки.

     Целью курсовой работы является рассмотрение экономических моделей, для решения которых используются дифференциальные уравнения, а так же методов их решения. Для реализации поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

-рассматриваются экономические модели;

-приводятся решения экономических моделей с помощью дифференциальных уравнений;

-приводятся общие  сведения о дифференциальных  уравнениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Экономические модели и методы их решения

 

   Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса – установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

 

 

1. Модель Эванса

  В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть  d(t), s(t), p(t) — соответственно спрос, предложение и цена этого товара в момент t. И спрос, и предложение считаются линейными функциями цены, т.е. d(p) = а - bр,  a, b > 0 — спрос с ростом цены падает, a s(p) = α+ βp, α, β> 0 — предложение с ростом цены растет. Естественно считать, что а > α , т.е. при нулевой цене спрос превышает предложение (по-другому говоря, товар желателен).

   Основное предположение состоит в том, что цена изменяется зависимости от соотношений между спросом и предложением: Δp= γ(d-s) Δt где γ> 0.

  Согласно этому предположению взаимодействие потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это взаимодействие цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: в случае превышения спроса над предложением – возрастает, в противоположном случае – убывает. Таким образом, увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Итак, получаем дифференциальное уравнение:

 

dp/dt= γ(d-s)

 

   Подставляя в это уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием:

dp/dt= -γ(b + β)p – a + α), p(0) = p₀                                                            (1)

    Это уравнение имеет стационарную точку     p* = (a– α)/(b+ β) >0

Получаем равновесную  цену – абсциссу точки пересечения прямых спроса и предложения, т.е. при такой цене спрос равен предложению.

   Видно, что dp/dt > 0 при р *>р и dp/dt < 0 при р *< р.

Отсюда следует, что   lim p(t)= p^*.

^t→∞

  При р₀ < р* цена стремится к р* возрастая, а при р₀ > р* — убывая. Сама цена р* есть равновесная цена — при ней равны спрос и предложение:

 

d(p) = s(p) => a-bp = α+ βp => р* = (a – α)/ (b+β)

 

  Равновесная цена может быть найдена также графически — как точка пересечения прямых спроса d(p) =  а - bр и предложения s(p) = α+ βp (рисунок 1).

_{Рисунок 1}

 

 

Решением данного дифференциального  уравнения является

 p(t) = p₀ e^{-γ (b+ β )t} + (a -α ) / (b+β) [1 – e^{- γ (b + β )t} ]                                  (2)

или

p(t) = p₀ e^{-γ( b+ β )t} + p*[1 – e^{- γ( b+ β )t} ]

 

   Рассмотрим дискретный аналог модели Эванса. В дискретной модели рынок функционирует следующим образом; утром на рынке обнаруживается некоторое предложение s и спрос d, В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти или убывать: если утром спрос был больше предложения, то возрастать; если предложение было больше спроса, то убывать. Предположим, что начальная цена была р₀ , при этом s(p₀) < d(p₀), Следовательно, цена начнет

возрастать. За день она  возрастет до некоторого значения p_1. На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене p₁ при этом опять будет s(p₁) < d(p₁ ) и цена будет возрастать и так далее.

 

 

 

2. Модель Солоу

1.2.1. Параметры  модели Солоу

   Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений), в ней производится единственный универсальный продукт, который может потребляться как в непроизводственной сфере, так и в производственной; потребление его в производственной сфере может рассматриваться как инвестирование. Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства. В модели Солоу используется производственная функция Кобба—Дугласа¹, где труд и капитал являются субститутами. Необходимым условием равновесного состояния экономической системы выступает равенство совокупного спроса и совокупного предложения.

   Состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными состояния: Y — конечный продукт, L — наличные трудовые ресурсы, К — производственные фонды, I — инвестиции, С – размер непроизводственного потребления. Все переменные взаимосвязано изменяются во времени, т.е. являются функциями времени t. Далее аргумент t будет опускаться (но будет подразумеваться по умолчанию).

   Время предполагается непрерывным. Для мгновенных показателей К, L можно считать, что K, L — соответственно фонды и трудовые ресурсы в момент t или, чтобы избежать сезонных изменений числа занятых и всплеска фондов при вводе новых мощностей, К и L можно считать средними значениями этих величин за год, серединой которого служит t. Значения величин Y , C, I в момент t можно себе представить, как их объемы, накопленные год, серединой которого служит момент t (но и в этом случае они остаются функциями времени и их лучше воспринимать как мощность производства и мгновенные скорости потребления и инвестирования).

  Считается, что ресурсы (производственные и трудовые) используются полностью. Годовой конечный продукт в каждый момент времени является функцией среднегодовых фондов и труда: Y = F(K,L). Таким образом, F(K, L) — производственная функция всего народного хозяйства. Конечный продукт используется на непроизводственное потребление и инвестиции: Y = С + I. 

     Назовем нормой накопления р долю конечного продукта, используемого на инвестиции, тогда

I = рУ ,  С = (1 - р)Y.

  В дальнейшем норма накопления будет считаться постоянной: р = const,

0 < р <1.

  Инвестиции используются на восстановление выбывших фондов и на их прирост (считается, что эти инвестиции расходуются только на эти цели). Если принять, что выбытие происходит с постоянным коэффициентом выбытия μ,

0< μ<1 (в расчете на год), то K = K(t+ Δt) – K(t) = ρYΔt – μKΔt, поэтому 

 

dK/dt = ρY – μK.

 

  Если считать, что прирост трудовых ресурсов пропорционален наличным трудовым ресурсам, т.е. ΔL = vL • Δt, то получаем дифференциальное уравнение dL/dt = vL, и, решая его, получаем L =L₀e^vt , где L(0) — трудовые ресурсы в начале наблюдения, при t = 0.

Таким образом, модель Солоу задается системой уравнений:

С = (1 - р)Y

Y = F(K,L)                                              (3)

L =L₀e^vt

dK/dt = ρY – μK,  K(0)=K_o

 

Функция F(K, L) удовлетворяет требованиям к производственным функциям ² и считается линейно-однородной, т.е. F(λK, λ L). Пользуясь ее однородностью и обозначив среднюю производительность труда у = Y/L и  среднюю фондовооруженность k = K/L, получаем

у = Y/L = F(K, L)/L = F ( K/L,1) = F(k, 1),

а если обозначим последнюю  функцию f(k), то получим y = f(k).

  

  Далее найдем производную от k по t:

 

dk/dt = d(K/L)dt = (K’L – KL’)/L² =  K’/L – K(L’/L²) = (ρY – μK)/L – Kv/L = ρy –

– (μ+ υ)k.

 Окончательно:

dk/dt = ρ f(k) - (μ + υ)k,    k(0) = k_o = K₀/L₀.                             (4)

 

   Поведение макропоказателей  модели (3) целиком определяется уравнением (4) и динамикой трудовых ресурсов L =L₀e^vt.

   Уравнение (4) —  это уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием, поэтому оно имеет единственное решение. Исследуем некоторые специальные решения этого уравнения.

   

 

1.2.2. Стационарные  траектории в модели Солоу

    Рассмотрим стационарную траекторию, т.е. такую, на которой фондовооруженность к постоянна и равна своему начальному значению: k(t)= const = k⁰ ( поскольку таким постоянным значением может быть не всякое начальное)

   Такое  значение фондовооруженности называется  стационарным и на стационарной траектории dк/dt = 0.

   Рассмотрим, как на стационарной траектории  ведут себя макропоказатели К, L, С, I, К.

   Согласно  уравнению (4), если  dк/dt = 0 , то ρ f(k) - (μ + υ)k = 0, то есть k⁰ есть решение уравнения

ρ f(k) - (μ + υ)k = 0                                                   (5)

   Докажем, что это уравнение имеет решение.  Так как  f(k) = F(k, 1), то f’(k ) > 0, но f’(k) → 0 при k → ∞ (это следует из требований к производственной функции), то  f(k) — возрастающая функция, но темп ее роста замедляется. В то же время (μ + υ)k возрастает с постоянным темпом. Значит, если  ρ f’(0) >(μ + υ), то уравнение (5) имеет единственное решение  k⁰ при k> 0.

   Каковы же К, L, С, I, на стационарной траектории? Поскольку L (t)=L₀e^vt , a

 k = K(t)/L(t) , то  K(t) = k⁰L(t) = k⁰ L₀e^vt .

  Аналогично Y(t) = f(k⁰) L (t) = f(k⁰) L₀e^vt. 

   Далее, С(t) = (1-p) f(k⁰) L₀e^vt, I(t) = ρ f(k⁰) L₀e^vt.

   Сведем все вместе:

L (t) = L₀e^vt

K(t) = k⁰ L₀e^vt

Y(t) = f(k⁰) L₀e^vt

С(t) = (1-p) f(k⁰) L₀e^vt

I(t) = ρ f(k⁰) L₀e^vt

 

 

   Получаем вывод: на стационарной траектории все основные макропоказатели растут экспоненциально, пропорционально трудовым ресурсам(рисунок 2).

 

^{Рисунок 2.}

 

 

  Конкретизируем описанный общий случай применительно к производственной функции Кобба-Дугласа

F(K, L) = AK^αL^l-α ,    0 <α< 1.

  Поскольку при этом f(k) =F(k, 1) = Ak ^α , то уравнение (4) принимает вид:

dk/dt = ρAK^α   – (μ+ υ)k,  k (0) = k₀. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение приведено в приложении. Сделав замену переменной,  ввели новую функцию u(t).

   Таким образом,  окончательно, u(t)= ( k₀^{1- α} + A/(μ+υ)[e ^{(1- α) ( μ+υ)t} - 1] )^{1/(1- α )} . Следовательно, k(t) = u(t) e ^{- ( μ+υ ) t}

Видно, что lim k(t) = [ρA/(μ+υ)] ^{1/(1- α )} .  Но в нашем случае уравнение (5), т.е 

                    ^t→∞

 ρ f(k) - (μ + υ)k = 0 имеет вид ρAk ^α = (μ+υ)k и стационарное значение фондовооруженности для функции Кобба-Дугласа равно k ⁰ = [ρA / (μ+υ)] ^{1 / (1- α )}.

   Следовательно, при любом начальном значении k₀ фондовооруженность k(t) сходится к стационарному значению k⁰.

   Поскольку y(t) = Ak ^α то и производительность труда сходится к стационарному значению y⁰ = A [ρA / (μ+υ)] ^{α / ( 1- α )}.

 

 

 

   Поэтому и удельное потребление (на одного работающего) также сходится к стационарному значению:

      lim С(t)/L(t)  = lim (1 - ρ)y(t) = (1 - ρ ) A[ρA / (μ+υ)] ^{α /( 1- α )}.                                                                                                            

^{t→∞ t→∞}

   При исследовании модели в качестве критерия успешности развития экономики принимается величина удельного потребления. Найдем, при каком значении нормы накопления ρ предельное удельное потребление, равное, как мы увидели, удельному потреблению в стационарном режиме, максимально. Для этого продифференцируем эту величину удельного потребления:

(1 – ρ) A[ρA/(μ+υ)] ^{α /(1- α)}  по ρ и приравняем производную нулю:

 

((1 – ρ) A [ ρA / (μ+υ)] ^{α /(1- α)} )’_p = 0 ,

((1 – ρ) ρ ^{α /( 1- α)})’ = 0 .

Получим р* = α.

    Итак, оптимальная норма накопления в стационарном режиме равна коэффициенту эластичности по фондам («Золотое правило» экономического роста). Но это справедливо для производственной функции Кобба-Дугласа. Для

других производственных функций это правило, может быть другим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях

2.1.  Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

  Класс дифференциальных уравнений, интегрирующихся в квадратурах, т.е. решения которых можно записать в виде интегралов, крайне узок, и, поэтому нужды теории и практики потребовали развитии методов нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений. Приведем некоторые основополагающие моменты этих методов.

  Надо отметить, что нахождение приближенного решения вручную весьма трудоемко, точность приближения получается недостаточной, и использование компьютера представляется неизбежным.

  Отметим также, что теперь, с развитием вычислительной техники, часто целесообразно применять приближенные методы даже в теx случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах. Более того, это целесообразно даже в тех редких случаях, когда решение выражается в элементарных функциях, так как использование таблиц значений этих функций (показательной, логарифмической, тригонометрических) оказывается более трудоемким, чем приближенное интегрирование уравнения на быстродействующем компьютере.

   Рассмотрим метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений. Это — один из самых старых и простых методов приближенного решения дифференциального уравнения dy/dx = f(x,y).

   Суть метода в том, что искомая интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку (х₀, у₀), заменяется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков и каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих точек (рисунок 3).

 

_{Рисунок 3}

 

   При применении этого метода для приближенного вычисления интегральной кривой на отрезке [a, b], а < b, этот отрезок разбивается на п равных частей точками а = х₀ < ... < х_п = b и h = - (b - а)/п является шагом вычисления. Будем обозначать приближенные значения искомого решения в точке х_i через у_i , а значение f(x_i , y_i) через у’_i .

   Для вычисления y_i заменим на отрезке [х₀, х₁] искомую интегральную кривую отрезком ее касательной в точке х₀ . Следовательно, y₁ = y₀ + y’₀h  , аналогично              y₂ = y₁ + y’₁h и так далее. Окончательно y_n = y_n-1 + y’_n-1h.

  Получается так называемая ломаная Эйлера. Естественно ожидать, что при

h → 0 ломаные Эйлера приближаются к графику искомой интегральной кривой и, следовательно, с уменьшением шага метод Эйлера дает все более точное значение решения на отрезке [a, b]. Это действительно так, если функция f(x,y) удовлетворяет некоторым, не очень ограничительным с практической точки зрения  условиям. Из-за своей простоты метод Эйлера довольно часто применяется на практике — ведь самым сложным в нем является вычисление значений у’_i= f(x_i , y_i). Однако при систематической нужде в нахождении приближенных решений приходится применять более точные методы.

 

 

2.2. Теорема существования и единственности решения

   Если в уравнении dy/dx = f(x, y) функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике

 

   D: {x₀ - а ≤ х ≤ x₀ + a, y₀ - b ≤у ≤y₀ + b} и удовлетворяет в прямоугольнике D условию Липшица³: | f(x, y₁) – f(x, y₂)| ≤ N • |y₁ – y₂|, где n — константа, то в некоторой окрестности точки х₀ существует единственное решение уравнения, проходящее через эту точку.

     Теорема гарантирует существование и единственность решения лишь в некоторой окрестности точки х₀. Однако если в граничной точке этой окрестности условия теоремы опять выполнены, то это решение может быть продолжено еще на некоторую окрестность уже этой граничной точки; в целом получится еще больший отрезок, чем первоначальный, и так далее.

    Что касается условия Липшица, то оно удовлетворяется, если, например, функция f(x, y) имеет в прямоугольнике D ограниченную частную производную по у.

  Доказательство этой теоремы основано в сущности на том, что в условиях теоремы ломаные Эйлера в пределе дадут интегральную кривую.

  В силу практической важности теория дифференциальных уравнений развита весьма хорошо. Примером теоремы о свойствах решений дифференциального уравнения является  теорема о дифференцируемости решений. Она говорит о том, что если некоторой окрестности точки f(x, y), т.е. в некотором прямоугольнике вокруг этой точки, функция у(х, у) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то решение у(х) уравнения dy/dx = f (х, у), удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀ (это решение существует по только что рассмотренной теореме), в некоторой окрестности точки x₀ имеет непрерывные производные до п-го порядка включительно.

 

2.3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения.

    Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать его, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные или даже качественные характеристики.

  Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = f (x, y) с начальным условием у(x₀)=у₀. Подобные начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью. Возникает вопрос о влиянии этих погрешностей на искомое решение.

   Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то такое решение обычно не имеет никакого прикладного значения и его нельзя применить для описания изучаемого явления. Если же малые изменения начальных данных лишь незначительно меняют само решение, то говорят, что имеет место непрерывная зависимость решений от начальных данных. Вопрос о непрерывной зависимости является практически важным.

В данном вопросе важное значение имеет теорема о непрерывной зависимости решения. При выполнении условий теоремы существования и единственности решения решение уравнения непрерывно зависит от начальных данных в некоторой окрестности точки (x_0, y₀).

  Обозначим через у (х, x₀ , y₀) единственное решение уравнения dy/dx = f(x, y), которое при х = x₀ принимает значение у₀; соответственно у(х, х , у ) обозначает решение, которое при х принимает значение у  ( ( х , у ) — точка, близкая к

(x_0, y₀).

   Из теоремы существования и единственности решения можно вывести, что найдется такая окрестность К точки (x_0, y₀), т.е. некоторый прямоугольник K, содержащий точку (x_0, y₀) внутри себя, и такая окрестность  I точки х₀ (т.е. отрезок I точки x₀ (т. е. отрезок I, содержащий точку x₀ внутри себя), что для любой точки ( х , у ) ∈ K), существует единственное решение у (х, х, у), проходящее через эту точку и определенное на окрестности I.

  Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных утверждает, что для любого  ε > 0 найдется такой прямоугольник Р ⊆ К, что как только ( х, у ) ∈ Р, то | y(x, x₀, y₀)-y (x, x, y)| < ε на всем отрезке I. То есть [если точка (х , у ) будет близка к точке (x_0, y₀), то соответствующие интегральные кривые тоже будут близки друг к другу на всем интервале I.

  Эта теорема о непрерывной зависимости решений от начальных условий  устанавливает такую зависимость на некотором интервале конечной длины вокруг начальной точки x₀. Если же исследуются подобные вопросы на бесконечном промежутке, то говорят об устойчивости решения. Понятие устойчивости является практически важным, неустойчивые решения в редких случаях представляют интерес на практике.

 

 

4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков и системах дифференциальных уравнений

  Дифференциальные уравнение n-го порядка имеют вид F(x, у, у’, .,. , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 или, если они решены относительно старшей производной:

   y ^{(n) =} f (x, у, у’, .,. , y ^(n-1) )                                                (6)