Двухслойный графен

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение 
высшего профессионального образования 
«Волгоградский государственный социально-педагогический университет» 
(ФГБОУ ВПО «ВГСПУ»)

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра общей физики

ДВУХСЛОЙНЫЙ ГРАФЕН

курсовая работа

по  дисциплине «Теоретическая физика»

по направлению 050200 Физико-математическое образование

профиль «Физика»

Волгоград – 2013

Содержание

Введение 2

Глава 1. Графен и его свойства 4

1.1 История открытия графена 4

1.2 Возможные применения 6

Глава 2.Двухслойный графен 8

2.1 Структура двухслойного графена 8

2.2 Квантовый эффект Холла в двухслойном графене. 12

2.3 Радиоэлекрический эффект в двухслойном графене 20

Глава . Свойства двухслойного графена. 25

3.1 Оптические свойства. 25

3.3 Настраиваемая ширина запрещенной зоны 27

3.2 Электронные транспортные свойства 29

Заключение 33

Используемая литература 34

Введение

Графен, самый тонкий упругий материал в  природе, представляет собой слой атомов углерода толщиной в один атом, упорядоченных  в гексагональную решетку. Благодаря  плоской сетчатой структуре, слои графена  хорошо поддаются совмещению друг с  другом.

Графен, открытый в 2004 году, по-прежнему привлекает исследователей..

Хотя  для получения двухслойного графена  нужно добавить всего лишь один слой графена поверх существующего, свойства получившейся системы не просто повторяют удвоенные свойства однослойного кристалла; это один из случаев, когда «один плюс один — больше, чем два». Двухслойный графен существенно отличается от однослойного, иногда показывая даже более богатые свойства, и полностью заслуживает того, чтобы его называли самостоятельным материалом.

В данной работе мы исследуем двухслойный  графен как самостоятельный материал, не обладающий свойствами обычного однослойного графена, так как при добавлении второго слоя, эти самые же свойства кардинально меняются совсем не в том направлении, в котором ожидается.

В настоящее время ведутся разработки по двухслойному графену. Исследователи полагают, что благодаря их достижениям в скором времени появится новый класс графеновой наноэлектроники с базовой толщиной транзисторов до 10 нм.

По  данным разработкам, двухслойный графен может найти применение в цифровой и инфракрасной технике. Результаты этих открытия могут найти применение в полупроводниковой и электронной промышленности.

Глава 1. Графен и его свойства

1.1 История открытия графена

Графен является двумерным кристаллом, состоящим из одиночного слоя атомов углерода, собранных в гексагональную решётку. Его теоретическое исследование началось задолго до получения реальных образцов материала, поскольку из графена можно собрать трёхмерный кристалл графита.

Графен является базой для построения теории этого кристалла. Графит является полуметаллом. Как было показано в 1947 году П. Воллесом, в зонной структуре графена также отсутствует запрещённая зона, причём в точках соприкосновения валентной зоны, и зоны проводимости энергетический спектр электронов и дырок линеен, как функция волнового вектора. Такого рода спектром, обладают безмассовые фотоны и ультрарелятивистские частицы, а также нейтрино. Поэтому говорят, что эффективная масса электронов и дырок в графене вблизи точки соприкосновения зон равна нулю. Но здесь стоит заметить, что, несмотря на сходство фотонов и безмассовых носителей, в графене существует несколько существенных различий, делающих носители в графене уникальными по своей физической природе, а именно: электроны и дырки являются фермионами, и они заряжены. В настоящее время аналогов для этих безмассовых заряженных фермионов среди известных элементарных частиц нет.

Несмотря на такие специфические  особенности, экспериментального подтверждения  эти выводы не получили до 2005 года, поскольку не удавалось создать графен. Кроме того, ещё раньше было доказано теоретически, что свободную идеальную двумерную плёнку получить невозможно из-за нестабильности относительно сворачивания или скручивания. Тепловые флуктуации приводят к плавлению двумерного кристалла при любой конечной температуре.

Интерес к графену появился снова после открытия углеродных нанотрубок, поскольку вся первоначальная теория строилась на простой модели нанотрубки как развёртки цилиндра. Поэтому теория для графена в приложении к нанотрубкам хорошо проработана.

Попытки получения графена, прикреплённого к другому материалу, начались с  экспериментов, использующих простой карандаш, и продолжились с использованием атомно-силового микроскопа для механического удаления слоёв графита, но не достигли успеха. Использование графита с внедрёнными (интеркалированный графит) в межплоскостное пространство чужеродными атомами (используется для увеличения расстояния между соседними слоями и их расщепления) также не привело к результату.

В 2004 году российскими и британскими  учёными была опубликована работа в  журнале Science , где сообщалось о получении графена на подложке окисленного кремния. Таким образом, стабилизация двумерной плёнки достигалась благодаря наличию связи с тонким слоем диэлектрика SiO2 по аналогии с тонкими плёнками, выращенными с помощью МПЭ. Впервые были измерены проводимость, эффект Шубникова— де Гааза, эффект Холла для образцов, состоящих из плёнок углерода с атомарной толщиной.

Метод отшелушивания является довольно простым  и гибким, поскольку позволяет  работать со всеми слоистыми кристаллами, то есть теми материалами, которые представляются как слабо (по сравнению с силами в плоскости) связанные слои двумерных  кристаллов. Его можно использовать для получения других двумерных кристаллов: BN, MoS2, NbSe2, Bi2Sr2CaCu2Ox.

1.2 Возможные применения

Считается, что на основе графена  можно сконструировать баллистический транзистор. В марте 2006 года группа исследователей из технологического института  штата Джорджии заявила, что ими  был получен полевой транзистор на графене, а также квантово-интерференционный прибор. Исследователи полагают, что благодаря их достижениям в скором времени появится новый класс графеновой наноэлектроники с базовой толщиной транзисторов до 10 нм. Данный транзистор обладает большим током утечки, то есть нельзя разделить два состояния с закрытым и открытым каналом.

Использовать напрямую графен при  создании полевого транзистора без токов утечки не представляется возможным благодаря отсутствию запрещённой зоны в этом материале, поскольку нельзя добиться существенной разности в сопротивлении при любых приложенных напряжениях к затвору, то есть, не получается задать два состояния пригодных для двоичной логики: проводящее и непроводящее. Сначала нужно создать каким-нибудь образом запрещённую зону достаточной ширины при рабочей температуре (чтобы термически возбуждённые носители давали малый вклад в проводимость). Предлагается создать тонкие полоски графена с такой шириной, чтобы благодаря квантово-размерному эффекту ширина запрещённой зоны была достаточной для перехода в диэлектрическое состояние (закрытое состояние) прибора при комнатной температуре (28 мэВ соответствует ширине полоски 20 нм). Благодаря высокой подвижности (имеется в виду, что подвижность выше чем в кремнии, используемом в микроэлектронике) 104 см²·В−1·с−1 быстродействие такого транзистора будет заметно выше. Несмотря на то, что это устройство уже способно работать как транзистор, затвор к нему ещё не создан.

Другая область применения предложена в статье и заключается в использовании графена в качестве очень чувствительного сенсора для обнаружения отдельных молекул химических веществ, присоединённых к поверхности плёнки. В этой работе исследовались такие вещества, как NH₃, CO, H₂O, NO₂. Сенсор размером 1 мкм × 1 мкм использовался для детектирования присоединения отдельных молекул NO₂ к графену. Принцип действия этого сенсора заключается в том, что разные молекулы могут выступать как доноры и акцепторы, что в свою очередь ведёт к изменению сопротивления графена. Теоретически исследуется влияние различных примесей (использованных в отмеченном выше эксперименте) на проводимость графена. Было показано, что NO₂ молекула является хорошим акцептором из-за своих парамагнитных свойств, а диамагнитная молекула N₂O₄ создаёт уровень близко к точке электронейтральности. В общем случае примеси, молекулы которых имеют магнитный момент (неспаренный электрон), обладают более сильными легирующими свойствами.

Ещё одна перспективная область  применения графена — его использование  для изготовления электродов в ионисторах (суперконденсаторах) для использования их в качестве перезаряжаемых источников тока. Опытные образцы ионисторов на графене имеют удельную энергоёмкость 32 Вт·ч/кг, сравнимую с таковой для свинцово-кислотных аккумуляторов (30−40 Вт·ч/кг)

Недавно был создан новый тип  светодиодов на основе графена (LEC). Процесс утилизации новых материалов экологичен при достаточно низкой цене.

Глава 2.Двухслойный графен

2.1 Структура двухслойного графена

Хотя  для получения двухслойного графена  нужно добавить всего лишь один слой графена поверх существующего, свойства получившейся системы не просто повторяют  удвоенные свойства однослойного кристалла; это один из случаев, когда «один плюс один — больше, чем два». Двухслойный графен существенно отличается от однослойного, иногда показывая даже более богатые свойства, и полностью заслуживает того, чтобы его называли самостоятельным материалом.

Два слоя графена, сложенные вместе, не стремятся  ложиться в точности один над другим так, чтобы каждый атом имел партнёра в соседнем слое (в отличие от нитрида бора, с которым именно это и происходит). Вместо этого  двухслойный графен в основном оказывается  в состоянии с так называемой А — В, или берналовской, укладкой (названной в честь известного английского учёного Джона Десмонда Бернала, одного из основателей рентгеновской кристаллографии, определившего структуру графита в 1924 г.). При таком размещении только половина атомов углерода имеет соседей в другом слое, а другая половина не имеет (и проецируется прямо в центры шестиугольников) (рис. 1). Квантовые перескоки электронов между взаимодействующими атомами разных слоёв (интегралы перескока, обычно составляют около 300 мэВ) формируют пару высокоэнергетических электронных подзон. Их отклонение от нулевой энергии (положения уровня Ферми в недопированном двухслойном графене) в точности равно 0, поэтому эти подзоны не дают вклада в электронный транспорт до тех пор, пока не достигаются очень высокие уровни допирования (хотя в оптических экспериментах эти подзоны легко наблюдаются (рис.2). 
 
 
 
Рис. 1. Кристаллическая структура двухслойного графена. 
 
 
 
Рис. 2. Зонная структура двухслойного графена в окрестности точки К.

Невзаимодействующие атомы разных слоёв дают начало низкоэнергетическим  зонам, всё ещё пересекающимся при  нулевой энергии (как и в однослойном графене), но имеющим параболическую форму (см. рис. 2). Симметрия между слоями является здесь аналогом симметрии подрешёток в однослойном графене и обеспечивает киральную симметрию между электронами и дырками. Таким образом, мы получаем квазичастицы нового типа в графене — массивные киральные фермионы — не имеющие аналогов в КЭД. Подобно случаю однослойного графена, киральность проявляется в квантовом эффекте Холла необычного вида. В магнитном поле последовательность уровней Ландау имеет вид E_N = ± t k Q_c\J_N(N — 1);   здесь с = еВ/т * — циклотронная частота, т* = y₁/2v² — циклотронная масса. Легко видеть, что при нулевой энергии существуют два уровня Ландау (с N = 0 и N = 1), которые снова приводят к необычной последовательности холловских плато и металлическому поведению в пределе нулевого фактора заполнения (как минимум, в пренебрежении многочастичными эффектами).

Как было сказано, киральная симметрия однослойного и двухслойного графена обеспечивается симметрией между подрешётками. В случае однослойного графена нарушить такую симметрию весьма трудно — для этого нужно аккуратно прикладывать какой-либо потенциал к атомам, принадлежащим только одной подрешётке, прикладывая в то же время к другой под-решётке другой потенциал, — но в двухслойном графене это сделать можно. Прикладывая затворное напряжение или химически допируя графен только с одной стороны, мы можем нарушить симметрию между слоями и, следовательно, между подрешётками (нарушив симметрию по отношению к пространственной инверсии). Это приводит к снятию киральной симметрии и открытию щели в спектре. Оба способа реализованы в экспериментах и дали замечательный результат: оказалось, что можно открыть щель до 0,5 эВ. Итак, двухслойный графен представляет собой редкий пример материала, в котором запрещённой зоной можно непосредственно управлять электрическим полем, приложенным поперёк слоёв (причем её ширина прямо пропорциональна величине поля).

По  мере улучшения качества образцов двухслойного графена  мы обнаружим в нём  ещё больше интересных явлений. В  частности, ожидаются такие эффекты, как топологические переходы при  низкой электронной плотности, экситонные эффекты и топологические одномерные состояния.

Теоретические расчеты особенностей транспорта заряда в сдвоенных слоях графена, проведенные  сразу двумя исследовательскими группами, показали, что подобная структурная  модификация углерода обеспечивает еще более удивительные электронные  свойства. В частности, возможен фазовый  переход в сегнетоэлектрическое состояние.

Много было сказано о примечательных и, порой, даже неожиданных свойствах  одноатомного слоя атомов углерода, образующих гексагональную двумерную кристаллическую  решетку, - графена. Основная особенность  «двумерного вещества» в том, что свободные электроны даже с низкой энергией могут путешествовать через него, практически не взаимодействуя с атомами кристаллической решетки, т.е. вести себя как релятивистские частицы с нулевой массой покоя. Это поведение совсем не типично  для других проводников и полупроводников.

Некоторые особенности поведения носителей  тока в графене идентичны эффектам, наблюдаемым для быстрых электронов в физике высоких энергий. Важно, что при этом уже нельзя пренебречь Кулоновскими взаимодействиями между  электронами, что делает макро-поведение  графена радикально отличным от того, что мы привыкли наблюдать у любых  других вариантов конденсированного  вещества.

Казалось  бы, нет вещества удивительнее графена. Однако, последние расчеты показали, что целый комплекс новых сюрпризов может преподнести науке сдвоенный слой атомов углерода. Технически двойной слой графена занимает промежуточную позицию между уже известным одноатомным слоем («классическим» графеном) и привычным трехмерным кристаллом графита. Двухслойная кристаллическая решетка обеспечивает хоть небольшую, но не нулевую дисперсию электронов. В этом случае носители заряда ведут себя как частицы с небольшой, но не нулевой массой покоя. Поведение электронов наилучшим образом согласуются с так называемой жидкостью Люттингера – теоретической моделью, описывающей взаимодействия любых фермионов (частиц и квазичастиц с полуцелым спином) в одномерном проводнике (например, углеродной нанотрубке).

Развивая  эту модель, параллельно сразу  две группы выполнили расчеты, чтобы  лучше понять особенности поведения  электронного газа в двухслойном графене. Результаты расчетов были опубликованы в журнале Physical Review B. Теоретические исследования показали, что наличие второго слоя графена обеспечивает возможность новых фазовых переходов в состояния нарушенной симметрии при низких температурах, в частности, в сегнетоэлектрическое состояние. Это означает, что при определенной температуре графен может не только проявлять диэлектрические свойства, но и иметь свой собственный дипольный момент, который можно переориентировать за счет внешнего электрического поля.

Безусловно, пока эти исследования находятся лишь на стадии теоретического расчета, и до перехода на практическую стадию ученым предстоит еще много  работы. Однако, надежду исследователям дает тот факт, что численные оценки показывают: эффект, вероятно, может наблюдаться с помощью существующих экспериментальных методик.

2.2 Квантовый эффект Холла в двухслойном графене.

Существует  два известных различных типа целочисленного квантового Эффекта  Холла. Одним из них является обычный  квантовый эффект Холла, характерный  для двумерных полупроводниковых  систем, а другой его релятивистский аналог наблюдаемый в графене, где  носители заряда, фермионы Дирака имитируют характеристики фазы Берри, в результате чего смещается позиция плато Холла. В данной работе представлен третий вид целочисленного квантового эффекта Холла.

Носители заряда в двухслойном графене имеют параболический энергетический спектр, несовмещающихся, показанные в 2π фазе Берри, влияющие на  их квантовую динамику. Квантования Ландау, это результат этих фермионов в плато в электропроводности Холла при стандартном положения целого числа, но последнее плато (нулевого уровня)  отсутствует. Непоследовательность нулевого уровня сопровождается металлической электропроводимостью в предельно низких концентрациях и сильных магнитных полях, в полном отличии от обычного, диэлектрического поведение в этом режиме. Выявленные несовмещающиеся фермионы   не имеют известных аналогов и представляют собой интригующие случаи для квантово-механических исследований.

На  рисунке 1 представлен схематический  обзор квантового эффекта Холла (КЭХ), режим наблюдается в двухслойном графене путем сравнения его с обычным целочисленным КЭХ. В стандартной теории, каждый заполненный одно — вырожденным уровнем Ландау способствует одной квантовой проводимости e²/h  по отношению к наблюдаемой электропроводностью Холла (где e – заряд электрона, h – постоянная Планка). Обычный КЭХ (показанный на рис 1а), где плато в электропроводности Холла равен σ_xy , составляет непрерывные ступени равноудаленных шагов. В двухслойном графене, плато КЭХ следует по той же ступени, но при нулевой σ_xy явно отсутствует (рис 1b). Вместо этого, электропроводность Холла подвергается дву – размерным  шагам по всей области. Кроме того, электропроводимость относящиеся к длине σ_xx в двухслойном графене остаётся e²/h  порядка даже при нулевом значении σ_xy. Возникновение необычного поведения КЭХ, заключается в том что, в связи между двумя слоями графена, который преобразует безмассовые фермионы Дирака, характерные для однослойного графена (рис  1c), это новый тип киральных квазичастиц. Такие квазичастицы имеют обычные параболические спектра (p)=p²/2m с эффективной массой m, но накапливаются в 2π фазе Берри, вдоль траекторий циклотрона (где ε – энергия квазичастиц, а p его импульс). В последнем показана связь необычного квантования, где два нижних уровня Ландау легли точно на ноль энергии ε, направляющий к отсутствию плато показанный на рис 1b.

Рис. 1 Три типа целочисленного квантового эффекта Холла.

Двухслойные плёнки, изученные  в данной работе были получены из микромеханических расщеплений кристаллов природного графита, за которым последовало выборка двухслойные ряды с использованием комбинации оптической микроскопии и атомно-силовой микроскопии. Многоцелевой разъем полевых устройств (см. вставку на рис 2а) были сделаны из выбранных рядов с использованием стандартных микро технологических методов. В качестве субстрата мы использовали окисленные сильно легированные кремниевые пластины, что позволило нам применить клапан на затворе V_g между графеном и подложкой. Изученные устройства показали амбиполярное влияние электрического поля так, что электроны и дырки могут быть вызваны в концентрации n вплоть до 10¹³cм⁻², (n=αV_g , где α≈7.3×10¹⁰cm⁻²V⁻¹ для 300 нм SiO₂ слоёв).

На  рисунке 2a показано типичное поведение КЭХ в двухслойном графене по фиксированному V_g (фиксированному n) помещённого в переменное магнитное поле B в 30T. Все плато хорошо видны на сопротивление Холла  ρ_xy при высоком B, и они сопровождаются нулевым удельным сопротивлением. Наблюдаемая последовательность плато КЭХ описывается ρ_xy = h/4Ne², которая является той же последовательностью как и ожидалось для двумерных (2D) свободных фермионовых систем с двойным спином и двукратным вырожденным желобом. Не смотря на это, очевидная разница между обычным и предполагаемым КЭХ возникает в режиме малых факторов заполнения <1 (см. на рис 2b,c и на 3). Такой режим удобно исследовать путем фиксации B, и различных концентраций электронов и дырок, проходящих через точку нейтрали | N | ≈ 0, где ρ_xy меняет знак при     = 0. Кроме того, из-за подвижности носителей μ в графитовых пленках, что слабо зависят от N, измерения в постоянной В более информативны. Им соответствует почти постоянный параметр μB, который определяет качество квантование Ландау, и это позволяет одновременно наблюдать несколько плато КЭХ в течение одной развертки напряжения в умеренном магнитном поле (рис. 2b). Поскольку периодичность квантовых осцилляций в ρ_xx , как функция n определяется плотностью состояний gB/₀ (где g вырождение и ₀ это квант потока) на каждом уровне Ландау (см. рис. 1). К примеру, на рисунке 2с показано что n≈1.2×10¹²cm⁻² при B = 12 T, что даёт g = 4 и это доказывает двойной спин с двукратным вырожденным желобом ожидаемых от расчета  зонной структуры для двухслойного графена.

Рис.2 Квантовый эффект Холла в  двухслойном графене.

На  рисунке 2 показано что, не смотря на плато  Холла в двухслойном графене, за ним следует целочисленная последовательность σ_xy = ± (4e² / h) N для N ≥ 1,где нет никакого нулевого знака,  плато N на σ_xy = 0, ожидаемых для 2D свободных систем фермионов (рис. 1а). В этом отношении их поведение напоминает КЭХ для безмассовых фермионов Дирака (рис. 1с), где также нет плато, где  только возникает один шаг при переходе σ_xy в нейтральную точку. Однако в двухслойном графене, этот шаг имеет двойную высоту и сопровождается центральным пиком в ρ_xx, который в два раза шире, чем другие пики (рис. 2с). Более широкий пик в двухслойном графене, от перехода между самой низкой дырки и электроном плато Холла, что требует вдвое больше количества носителей, необходимых для перехода между другими плато КЭХ. Это означает, что наинизший уровень Ландау имеет двойной вырожденый 2 × 4B/φ₀, который можно рассматривать в качестве двух уровней Ландау объединённых вместе в N ≈ 0 (см. диаграммы уровня Ландау на рис. 1). Непрерывные измерения посредством ν = 0, (как показано на рис. 2b,c) были невозможны для традиционных 2D систем, где для нулевого уровня плато в σ_xy = ρ_xy / (ρ²_xy + ρ²_xx) можно вывести из быстрого (часто экспоненциального) преувеличение ρ_xx>>h/e² и при быстром увеличении B и снижение температуры  Т для фактора заполнения ν <1, что указывает на изолирующее состояние. Для обеспечения прямого сравнения с обычными измерениями КЭХ, рис. 3 показывает ρ_xx в двухслойном графене как функцию В и Т около нулевого ν. Двухслойный графен показывает мало магнетосопротивления или температурную зависимость в нейтральности точке, в полном контрасте с обычным поведением КЭХ. Это означает, что σ_xy в двухслойном графене не обращается в нуль, так как на любом интервале ν и достигает нуля только в одной точке, где ρ_xy меняет знак. Обратите внимание, что ρ_xx неожиданно поддерживает пиковое значение около h/ge² в поле до 20 Тл и температуре до 1 К. Конечное значение ρ_xx ≈ h/4e² в пределе низкой концентрации носителей и при нулевом B был зарегистрирован в однослойном графене. Данное наблюдение было в качественном соответствии с теорией, которая объясняет конечную металлическую проводимость и отсутствие локализаций как релятивистский спектр однослойного графена. Двухслойный графен имеет обычный параболический спектр, и при наблюдении, при максимальном сопротивлении, равно приблизительно h/4e² и к тому же, ее слабая зависимость от B в этой система является наиболее неожиданной. Однако следует отметить, что квантование в нем является менее точным, чем в однослойном графене, а максимальное значение колеблется от 6 до 9 кΩ для различных устройств с применением двухслойного графена.

Рис. 3 Удельное сопротивление двухслойного графена, относительно малого магнитного поля, при низкой температуре.

Нетрадиционный  КЭХ в двухслойном графене происходит из за особых свойств его носителей зарядов, киральных фермионов с конечной массой, как описано ниже. Во-первых, мы рассчитали спектр квазичастиц в двухслойном графене с помощью стандартного приближения смежных слоёв. Для квазичастиц по углам зоны Бриллюэна известный как K-точки, мы нашли:

(,    (1)

где , a является периодичность решетки и находятся внутри слоя и прослойки константы связи, соответственно. Это дисперсионное соотношение (на рис. 2b) согласуются с перва принципом расчета зонной структуры и, при малых энергиях, становится параболической ε = ± p²/2m ,  с    m = γ₁/2 (знак ± означает электронные и дырочные состояния). Дальнейший анализ показывает, что квазичастицы в двухслойном графене можно описать с помощью эффективного гамильтониана: , когда

Ĥ действующий в пространстве двухкомпонентной функций Блоха (именуемый в дальнейшем псевдоспином), описывающий амплитуду электронных волн на слабо связанных ближайщими узлами A1 и B2 принадлежащих двум неэквивалентным углеродных подрешеток А и В и двух графеновых слоях отмечены как 1 и 2 .

Для данного направления импульса квазичастицы, р = (pcosφ, psinφ), H_J гамильтониана общего вида:

,

который можно записать в виде:

(2)

где  и вектор σ производится из матрицы Паули. Для двухслойного графена, J = 2, но обозначение J полезно, поскольку она также обозначает  уравнение (1), связано с случаем однослойного графена, где         J = 1. Собственным состояниям Ĥ_J соответствуют псевдо-спины,  поляризованных параллельно (электронов) или анти (дырок) на «квантование» оси N. Адиабатическое выведение таких псевдо-спиновых форм, которые сопровождают вращением импульса р на угол φ, которым также соответствует вращению оси n на угол J_φ. В результате этого, если квазичастицы опоясывает замкнутый контур в импульсном пространстве (то есть φ = 2π), тогда сдвиг фаз Φ = Jπ известная как фаза Берри достигается путем квазичастицей волновой функции. Фаза Берри можно рассматривать как, возникающее вследствие вращения псевдо-спин, когда квазичастицы повторно перемещается между различными углеродных подрешеток (А и В для однослойного графена, и A1 и B2 для двухслойного графена). Для фермионов завершающий циклотрон орбиты, фаза Берри способствует полуклассической квантования и влияет на фазы Шубникова – де Гааза колебаний (SdHOs). Для однослойного графена, это приводит к π-смещению в SdHOs и связанных ½ сдвига в последовательности плато КЭХ, по сравнению с обычными 2D – системами, где фаза Берри равна нулю. Для двухслойного графена, где Φ = 2π и что доказывает, что не может быть каких-либо изменений в квазиклассическом пределе (N>>1). Можно было бы также ожидать, что 2π фаза не может повлиять на КЭХ секвенирования. Однако точный анализ спектров уровня–Ландау, для гамильтоновых проявляющие Jπ фазу Берри показывают, что есть соответствующие         J-кратные вырождения нулевого энергетического уровня Ландау (то есть 2π  фаза Берри приводит к наблюдаемым следствиям в квантовом пределе N = 0). Для свободных фермионов  КЭХ (где нет никакой фазы Берри), дается энергия =ω_c (N + ½) и нижние состояние которого находится в конечной энергии ω_c/2, где циклотронная частота ω_c = eB/m. Для однослойного графена (J = 1, Φ = π), и есть состояние ε₀ при нулевой энергии. Для двухслойного графена (J = 2, Φ = 2π), , при двух нижних состояний лежащие при нулевой энергии.

Существование двойных вырожденных уровней  Ландау объясняет нетрадиционный КЭХ  найденный в двухслойном графене. Данный уровень Ландау находится на границе между электронным и дырочным газами, и с учетом четырехместным спином и желобом падения, он принимает 8B/φ₀ концентрации носителей. Относительно рис. 1, существование такого уровня Ландау подразумевает, что должен быть такой, что КЭХ проходящий через нейтральную точку, как и в случае с однослойным графеном. Благодаря двойному вырождению, он занимает двойное количества носителей, чтобы заполнить его (по сравнению со всеми остальными уровнями Ландау), так что переход между соответствующими плато КЭХ должны быть в два раза шире (то есть 8B/φ₀ в сравнении с 4B / φ₀). Кроме того, ступень между плато должны быть в два раза выше, то есть 8e²/h в сравнении с 4e²/h для других ступеней, при более высокой плотности носителей. Это именно то поведение, наблюдаемое экспериментально.

В заключении, двухслойный графен  добавляет новую часть в небольшом  семействе систем КЭХ, и его КЭХ  поведение свидетельствует о  наличии массивных фермионов  с хиральной 2π фазой Берри, которые отличаются от других известных квазичастиц. Наблюдение конечной металлической проводимости около e²/h,  для таких фермионов представляет серьезный вызов для теории.

2.3 Радиоэлекрический эффект в двухслойном графене

В последнее время ведется интенсивное теоретическое и экспериментальное исследование свойств графена, представляющего собой монослой атомов углерода. Связано это, во-первых, с тем, что графен обладает рядом необычных свойств, обусловленных особенностями его зонной структуры, а, во-вторых, с тем, что этот материал получен в лаборатории совсем недавно. Возможность проявления ряда нелинейных кинетических  эффектов в графене  связана с непараболичностью и неаддитивностью его энергетического спектра.

Возможность использования радиоэлектрического эффекта (РЭЭ) для диагностики кинетических свойств графена стимулирует теоретическое изучение этого явления в графене. В данной работе исследовано увлечение зарядов синусоидальной ЭМ волной, распространяющейся в плоскости двухслойного графена. Пусть графен расположен в плоскости xz. Зависимость энергии электрона от его квазиимпульса p имеет вид:

(3)

где ε_g – ширина запрещенной зоны двухслойного графена, управляемая внешним поперечным электрическим полем; ε_﬩ – скорость на поверхности Ферми. Будем считать, что ЭМ

волна распространяется в положительном направлении вдоль оси Oz так, что вектор напряженности электрического поля волны направлен вдоль оси Ox. Плотность тока увлечения рассчитывается  по следующей формуле:

,     (4)

где V_z=∂/∂p_z. Неравновесная функция распределения f(p,t) учитывает воздействие электрических и магнитных полей на электронную подсистему и  определяется уравнением Больцмана. В приближении постоянного времени релаксации τ: .                                        (5)

Решением  этого уравнения является функция:

,    (6)

где f₀(p) – равновесная функция распределения, – решение классического уравнения движения электрона с начальным условием

=: ,   (7)

где E(t) = E₀cosωt,  H(t) = H₀(t) = cosωt.

Электронный газ считается невырожденным так, что f₀(p) – функция распределения Больцмана. Введем следующие безразмерные переменные:

; ; ; где А = (А,0,0) – векторный потенциал ЭМ  поля  волны. В новых переменных электронный спектр графена (3) имеет вид:

(8)

Формула для плотности тока (2) преобразуется  к следующему выражению:

(9)

Уравнения движения (7) приводятся к форме:

(10)

(11)

где φ=φ(t), φ^’=φ^’(t), φ₁=φ₁(t₁). В первом порядке по малому параметру γ<<1 решением уравнений (10) и (11) являются функции:

,    (12)

.  (13)

После подстановки (12) и (13) в формулу (9), суммирования по импульсам и усреднения по периоду ЭМ волны получаем выражение для постоянной составляющей плотности тока увлечения:

.    (14)

где – поверхностная концентрация свободных электронов в графене; – безразмерная интенсивность ЭМ волны; θ = T/, T – температура электронного газа, выраженная в энергетических единицах.

, (15)

где Γ(x) – гамма-функция; F₁(a, b, c) , – гипергеометрическая функция.

На рис. 4–6 изображены зависимости плотности тока увлечения от интенсивности ЭМ волны, построенные по формуле (14) для различных значений запрещенной зоны. Из графиков видно, что с увеличением интенсивности плотность тока меняется немонотонно. Имеется интервал, на котором абсолютное значение плотности тока убывает с ростом интенсивности. Спад абсолютного значения плотности тока соответствует тому, что электроны, разогреваемые полем ЭМ волны, оказываются в той области энергетической зоны, в которой эффективная масса электрона отрицательна.

Рис. 4 Зависимость плотности тока увлечения от интенсивности ЭМ волны:            ωτ = 10;    T = 0,001 эВ;    ε_g = 0,15 эВ.

Кроме того, видно, что разность значений плотности тока в максимуме и минимуме уменьшается с уменьшением ширины запрещенной зоны. Это соответствует уменьшению области энергетической зоны, в которой эффективная масса электрона отрицательна.