Гауссовы пучки. 2

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………….....………..…4

1. Распространение лазерных пучков в среде с квадратичным профилем показателя преломления…………………….. ………………………………………..5

2. Гауссовы пучки в однородной  среде………………………………………….9

3. Фундаментальный гауссов пучок в линзоподобной среде; закон ABCD…14

3.1 Лучи в линзоподобной среде…………………………………………..…16

3.2  Преобразование гауссовых пучков; закон ABCD……………………...18

3.3  Фокусировка гауссова пучка………………………………………...…..22

4. Преобразование гауссова пучка произвольной оптической системой…....25

5. Согласование гауссова пучка с пассивным резонатором…………………..28

Заключение………………………………………………………….……............33

Список  использованной литературы…………………………………………...34

 

Введение

 

Лазер стал одним из самых значимых изобретений XX века. С самого момента разработки его называли устройством, которое само ищет решаемые задачи. Лазеры нашли применение в самых различных областях - от коррекции зрения до управления транспортными средствами, от космических полётов до термоядерного синтеза.

Когерентное излучение, генерируемое лазерами, представляет собой узкие пучки, поперечные размеры которых намного больше длины волны. Поэтому дифракционная расходимость таких пучков сравнительно невелика, и их амплитуда медленно изменяется с продольной координатой. 

Такие световые пучки хорошо описываются  гауссовыми пучками, в которых амплитуда  в поперечной плоскости изменяется по закону Гаусса — Эрмита, а фазовая  поверхность искривляется по мере распространения  пучка. Сейчас доказано и общепризнано, что гауссовы пучки наиболее просто и полно описывают свойства лазерных световых пучков и собственные типы колебаний (моды) открытых резонаторов. Правда, гауссовы пучки тоже являются приближением, но достаточно хорошим.

В данной курсовой работе будет рассмотрено  понятие гауссовы пучка и его  основные параметры, которые включают:

• свойства гауссовых (лазерных) пучков света в самых разных средах,
• закон ABCD,
• фокусировку гауссова пучка,
• преобразование гауссова пучка.

 

 

 

 

 

 

1 Распространение лазерных пучков  в среде с квадратичным профилем показателя преломления

 

Лазерный  пучок  представляет собой  когерентное электромагнитное излучение. Поэтому его распространение  должно определяться уравнениями Максвелла. Векторы поля E и H, которые описывают распространение лазерного пучка, удовлетворяют векторным волновым уравнениям (1) и (2).

 

,                     (1)

 

,                    (2)

 

где и - электрическая и магнитная напряженности,

 и  - магнитная и диэлектрическая проницаемости,

- оператор Лапласа.

Для пучков с малой угловой расходимостью  и сред, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, векторное волновое уравнение сводится к скалярному. Действительно, из (1) и (2) можно получить скалярное волновое уравнение, если предположить, что относительное изменение диэлектрической    и магнитной проницаемостей  мало в масштабе длины волны излучения. В этом случае волновое уравнение (1) или (2) принимает вид

 

,                                                   (3)

 

где  - любая декартова составляющая полей E и H

  - показатель преломления.

Лазерный  пучок  представляет собой  излучение с высокой степенью монохроматичности. Поэтому естественно предположить, что временная зависимость поля имеет вид . При этом скалярное волновое уравнение (3) запишется в виде

 

,                                                (4)

где  величина

 .                                             (5)   

Учитывает зависимость показателя преломления n от координаты r. Уравнение (4) называется волновым уравнением Гельмгольца.

Рисунок 1 - схематическое изображение типичного лазера и генерируемого им пучка излучения.

 

Большинство лазерных пучков, используемых в оптических исследованиях, имеют гауссово распределение интенсивности в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения. Среда, в которой распространяется лазерный пучок, во многих случаях имеет цилиндрическую симметрию относительно оси пучка. В частности, мы будем рассматривать линзоподобную среду, показатель преломления которой изменяется по закону

,                                     (6)

 

где  – некоторая постоянная, характеризующая среду

- показатель преломления на оси  симметрии

r – расстояние от оси

- волновое число.

 Поскольку фазовая задержка волны, прошедшей отрезок среды с показателем преломления n, равна , очевидно, что тонкий слой среды, описываемой выражением (6), будет действовать как тонкая линза и создавать фазовый сдвиг, пропорциональный  .

В случае среды с показателем  преломления n, определяемым выражением (6), член  (r) в скалярном волновом уравнении Гельмгольца (4) принимает вид

  .                                         (7)

 

Кроме того, поскольку нас интересует решение, зависящее только от поперечной координаты  , в уравнении (4) оператор можно заменить на

 .                               (8)

 

Иными словами, будем искать цилиндрически-симметричные решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца (4).

 Поскольку нас интересует распространение волн, которые незначительно отличаются от плоских и переносят энергию в основном вдоль одного направления (например, в направлении z), использование скалярного приближения для волнового уравнения правомерно.

Подставляя  в (4) выражение (7), выбирая E в виде

 

,                                           (9)

и предполагая, что амплитуда поля меняется достаточно медленно, т.е. величина мала по сравнению с или , после несложных преобразований получаем

 

,                                  (10)

 

где  .

Поскольку мы ищем амплитуду пучка с цилиндрической симметрией, удобно ввести две комплексные функции и таким образом, чтобы можно было записать в виде

 

.                               (11)

 

 Подставляя это выражение для  в (10) и используя (8), можно записать следующее волновое уравнение:

 

,             (12)

 

где  штрих указывает на дифференцирование  по z.

Если уравнение (12) справедливо для любого r, то коэффициент при различных степенях величины r должны обращаться в нуль. В результате имеем следующие соотношения:

 

                                      (13)

Таким образом, для пучка с цилиндрической симметрией в линзоподобной среде скалярное волновое уравнение (4) сводится к соотношениям (13)

 

2 Гауссовы пучки в однородной среде

 

Если пучок распространяется в  однородной среде, то в выражении (7) следует положить . При этом соотношения (13) принимают вид

,           ,                                       (14)

(штрихом  обозначено дифференцирование по  z). Вводя функцию с помощью соотношения

,                                                       (15)

 

из  уравнения (14) непосредственно имеем

=0.                                                           (16)

Следовательно,

,        ,                                   (17)

или в соответствии с (15)

 

,                                        (18)

где а и b — произвольные постоянные. Выражение (18) можно переписать в виде

,                                       (19)

 

где — постоянное комплексное число . Из уравнений (14) и (19) можно найти комплексную функцию :

 

.                              (20)

 

Интегрируя это выражение, получаем

;                                           (21)

 

здесь произвольная постоянная интегрирования выбрана равной нулю.

Подставляя (19) и (21) в (11), решение скалярного волнового уравнения с цилиндрической симметрией можно записать в виде

 

.                        (22)

 

Напомним, что — произвольная комплексная постоянная. Из выражения (22) очевидно, что физически реализуемые решения , которые обращаются в нуль при , определяются выбором мнимой части постоянной . Перепишем через новую постоянную :

 

,            ,                                      (23)

 

где  для однородной среды.

Подставляя (23) в выражение (22), рассмотрим по отдельности два входящих в него экспоненциальных множителя. Первый из них принимает вид

,     (24)

где мы использовали соотношение . Подставляя (23) во вторую экспоненту выражения (22) и разделяя ее на вещественную и мнимую части, получаем

.          (25)

Определяя параметры

,                (26)

.                        (27)

можно записать следующие соотношения:

 

                    (28)

и

,                         (29)

 

где .

Тогда подставляя (24) и (25) в (22), а также учитывая то, что , получаем

 

 

(30)

где, как обычно, . Это выражение представляет собой наш основной результат. Будем называть это решение фундаментальным  гауссовым пучком.

Из выражения (30) видно, что параметр , изменяющийся в соответствии с (26), определяет расстояние r, на котором амплитуда поля убывает в е раз по сравнению со своим значением на оси. Будем называть его радиусом пучка (размером пятна). Параметр равен минимальному радиусу пучка в плоскости перетяжки , a R представляет собой радиус кривизны практически сферических волновых фронтов в сечении . В справедливости этого утверждения можно убедиться, если вывести выражение для радиуса кривизны поверхностей постоянной фазы (волновых фронтов) или (более простым способом) путем анализа формы сферической волны, испускаемой точечным излучателем, расположенным в плоскости . Такая волна описывается выражением

 

 

                                              (31)

в котором квадратный корень в области   мы разложили в степенной ряд и положили равным радиусу кривизны сферической волны R. Из сравнения выражений (30) и (31) видно, что можно интерпретировать как радиус кривизны гауссова пучка. Знак величины обычно выбирается отрицательным, если центр кривизны расположен при , и положительным, если он расположен при .

Форма фундаментального гауссова пучка (30) определена однозначно, если заданы его минимальный радиус в перетяжке и координата относительно плоскости перетяжки. При этом радиус пучка и его радиус кривизны в любой плоскости определяются из выражений (26) и (27).

Рисунок 2 - распространение гауссова пучка.

 

На рисунке 2 иллюстрируются некоторые из этих характеристик пучка. Гиперболы, изображенные на этом рисунке, отвечают траекториям лучей и являются линиями пересечения плоскостей, проходящих через ось z, с поверхностями гиперболоидов

.                                         (32)

Эти гиперболы задают локальное  направление распространения энергии излучения. Радиусы кривизны изображенных на рисунке сферических поверхностей определяются выражением (27). На больших расстояниях гиперболоиды    асимптотически стремятся к коническим поверхностям

.                                         (33)

Половина вершинного угла такого конуса используется как мера

угловой расходимости пучка:

 

при                                                                                                   (34)

Последний результат является строгим  следствием волновой дифракции, согласно которой волна, ограниченная в поперечном направлении апертурой радиусом , будет расходиться (дифрагировать) в дальнем поле в соответствии с выражением (34).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Фундаментальный  гауссов пучок в линзоподобной среде;

закон ABCD

 

Гауссов пучок (30), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (4) для однородной среды (). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (6), причем . Например, показатель преломления градиентных волокон (см. ниже рисунок 3) приблизительно описывается распределением (6).

Рисунок 3 - градиентный профиль показателя преломления по толщине волокна из . Штриховой линией изображен квадратичный профиль.

 

Другим важным примером является распространение  гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описании произвольная волна представляется в виде линейной суперпозиции мод, каждая из которых характеризуется своей постоянной распространения и поперечным электромагнитным полем. При описании с помощью гауссовых пучков предполагается, что распространение волны в каждой точке подчиняется закону (11), причем параметры пучка и изменяются в соответствии (13).

Вернемся к рассмотрению общего случая линзоподобной среды, когда . В выражении (11) параметры Р и q в соответствии с (13) удовлетворяют следующим уравнениям:

,                      .                            (35)

 

Вводя новую функцию , определяемую следующим образом:

 

,                                                     (36)

из (35) имеем

 

,                                           (37)

 

откуда

,

                                                                                                (38)

 

,                         (39)

 

где а и b — произвольные постоянные, а штрих обозначает производную по z.

Используя (38) и (36) и выражая параметры а и b через входное значение , можно написать следующее выражение для комплексного радиуса пучка :

,                             (40)

где по определению . В геометрической теории построения оптических изображений соотношение (40) между параметром пучка на выходе и его значением на входе известно как условие коллинеарности.

Физический смысл q (r) в данном случае можно выяснить с помощью (11). Выделим часть амплитуды поля , которая содержит :

 

.                                                 (41)

Если  записать вещественную и мнимую части  величины в виде

,                                         (42)

 

то получим

                                      (43)

 

Следовательно, как и в случае однородной среды, когда мы имеем 

гауссов пучок, описываемый выражением (30), величина со (г) представляет собой радиус пучка, a R — радиус кривизны его волнового фронта. В частном случае однородной среды выражение (40) переходит в (19).

 

3.1 Лучи в линзоподобной среде

 

Распространение оптических пучков можно  адекватно описывать с

помощью уравнений Максвелла или (при  определенных условиях) в рамках скалярного волнового уравнения (3). Показатель преломления n в волновом уравнении (3) отражает свойства среды и в общем случае зависит от положения в пространстве. Если n=const, то уравнение (3) имеет решения в виде плоских волн. Если же n зависит от координат, то плоские волны уже не являются решениями. Однако в случае, когда и медленно меняется с расстоянием, решение можно искать в виде, близком к плоской волне настолько, насколько это возможно. Иными словами, мы ищем решение в виде

 

.                                           (44)

 

Здесь и — искомые вещественные функции координат. Следовательно, характеризует амплитуду волны. В случае когда n = const, функция   равна , и поэтому ее называют фазой волны; ее часто называют также эйконалом. Если подставить выражение (44) для в волновое уравнение (3) и предположить, что относительное изменение n на расстояниях порядка длины волны пренебрежимо мало, то скалярное волновое уравнение

принимает вид

 

.                                           (45)

В случае однородной среды интегрирование уравнения (45) дает , где . Уравнение (45) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины , определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам , и, следовательно, описываются также уравнением (45). Если r- радиус-вектор некоторой точки на траектории луча, а s — длина луча, измеряемая от некоторой фиксированной точки на нем, то представляет собой единичный вектор в на- правлении перпендикулярный волновым фронтам. Таким образом, извлекая квадратный корень из (45), получаем уравнение

 

,                                             (46)

которое определяет траекторию луча посредством  эйконала Ф(х). И наоборот, эйконал можно выразить через лучевой интеграл

 

,

в котором интегрирование ведется вдоль траектории луча. Из (45) и (46) можно получить дифференциальное уравнение, которое описывает распространение лучей непосредственно через показатель преломления n (r):

 

.                                           (47)

Для параксиальных лучей (т. е. для  лучей, составляющих очень малые  углы с осью z) можно заменить на . В случае линзоподобной среды, описываемой выражением (6), уравнение для лучей принимает вид

.                                          (48)

Следует заметить, что это уравнение  аналогично (37). Это означает, что в линзоподобной среде в параксиальном приближении пространственная эволюция комплексного параметра пучка q и параметра луча происходит одинаково. Иными словами, для преобразования комплексного параметра пучка q можно применять тот же закон, что и при преобразовании параметра луча. Если луч в любой плоскости z представить в виде вектора

 

,                ,                                           (50)

 

то  из уравнения (48) для линзоподобной среды можно получить лучевую матрицу, такую, что выполняется следующее преобразование:

 

,                             (51)

 

где , а индексы 1 и 2 относятся к плоскостям и соответственно. В таблице 1 приведены лучевые матрицы для некоторых оптических элементов и сред. Заметим, что уравнение (51) можно также записать в виде

 

.                                           (52)

 

 

3.2 Преобразование гауссовых пучков; закон ABCD

 

В предыдущем разделе мы получили законы преобразования гауссова пучка (40) и луча (52) при их распространении в линзоподобной среде, характеризуемой постоянной . Было также показано, что параметр пучка и параметр луча подчиняются одинаковым законам преобразования. Иными словами, преобразование комплексного параметра пучка можно записать в виде

.                                                   (53)

 

Таблица 1 - Матрицы преобразования лучей для некоторых

часто встречающихся оптических элементов  и сред

 

 

где A, В, С, D — элементы лучевой матрицы, связывающей луч в плоскости   с лучом в плоскости   [выражение (51)]. Поскольку оптические элементы в табл. 1 можно рассматривать как частные случаи линзоподобной среды, распространение излучения через эти элементы или отражение излучения от них также подчиняется закону (53). Для дальнейшего рассмотрения полезно заметить, что для тонкой линзы с фокусным расстоянием из соотношения (53) и табл. 1 (п. 2) получаем

 

                                        (54)

откуда для  пучка мы имеем 

,                                            (55)

 

                                         (56)

где   — радиусы пучка соответственно на входе и выходе линзы, а — соответствующие радиусы кривизны. Эти соотношения применимы также для описания отражения от зеркал с радиусом кривизны ,  если заменить в них на .

Рассмотрим теперь распространение  гауссова пучка через две линзоподобные среды, примыкающие друг к другу. Пусть первая среда описывается матрицей с элементами а вторая среда — матрицей с элементами Обозначая входной параметр пучка через,  а выходной через  из (53) получаем следующее выражение для параметра пучка на выходе из среды 1 (плоскость 1):

  ,                                       (57)

а на выходе из среды 2 (плоскость 3) имеем

 

              ,                                        (58)

Сравнение последних  двух выражений дает

 

                                (59)

где — элементы лучевой матрицы, связывающей выходную плоскость 3 с входной плоскостью 1. Таким образом, распространение лазерных пучков

 

                           (60)

 

По индукции нетрудно показать, что  выражение (59) можно применять для описания распространения гауссова пучка через произвольное число линзоподобных сред и элементов. При этом матрица из элементов является упорядоченным произведением матриц, характеризующих отдельные звенья такой цепочки.

Важное значение закона ABCD состоит в том, что он позволяет рассчитать изменение параметра гауссова пучка при его распространении через сложную последовательность линзоподобных элементов. Радиус пучка и его ширина   в любой плоскости могут быть восстановлены с помощью соотношения (42). Для того чтобы понять, как можно использовать этот метод, рассмотрим следующий пример.

 

3.3 Фокусировка гауссова пучка.

 

В качестве иллюстрации применения закона ABCD рассмотрим случай гауссова пучка, который в плоскости его перетяжки падает на тонкую линзу с фокусным расстоянием  (рисунок 4). Задача состоит в том, чтобы найти положение плоскости перетяжки и радиус выходного пучка в этой плоскости.

На входе в линзу (плоскость 1) мы имеем поэтому

 

(61)

 

Используя ( 54), можно написать следующие соотношения:

(62)

 

,                           (63)

 

                                                          (64)

Затем, учитывая (19), в плоскости 3 имеем

(65)

 

(66)

 

Рисунок 4 – фокусирование гауссова пучка.

 

Поскольку по условию задачи выходная плоскость 3 отвечает перетяжке выходного пучка, . Учитывая это, из последнего выражения для координаты новой перетяжки получаем

                  (67)

а отношение  радиусов выходного и входного пучков в плоскостях перетяжки дается выражением

 

                    (68)

 

Параметр конфокальности пучка

(69)

в соответствии с (26) равен расстоянию от перетяжки, на котором ширина входного пучка возрастает в раза, и является удобной характеристикой сходимости входного пучка. Чем меньше   , тем сильнее сходимость пучка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Преобразование гауссова пучка произвольной оптической системой

 

Рассмотрим изменение параметров гауссова пучка при его прохождении через произвольную  оптическую систему.

 

Рисунок 5 -  преобразование гауссова пучка произвольной оптической

системой

 

Отнесем наше рассмотрение к фиксированному меридиональному сечению пучка и оптической системы (рисунок 5). Пусть пучок, входящий в оптическую систему, характеризуется положением перетяжки относительно входной плоскости и конфокальным параметром . Это эквивалентно заданию комплексного лучевого параметра во входной плоскости системы. Пусть также рассматриваемое меридиональное сечение произвольной оптической системы задается своим лучевым матричным оператором

.                                               (70)

Задача заключается в определении  параметра  в выходной плоскости оптической системы или соответствующей пары величин: конфокального параметра и расстояния от выходной плоскости до перетяжки преобразованного пучка . Последовательно применяя соотношение

 

                                            (71)

для каждой тонкой линзы с фокусом и формулу

                                                (72)

 

Для каждого однородного промежутка длиной , можно вычислить параметры преобразованного пучка.

Из (4.1) видно, что для однородного пространства и для тонкой линзы выполняется соотношение

 

,                             (73)

где A, B, С, D — элементы лучевой матрицы однородного пространства или тонкой линзы.

Учитывая, что любую идеальную  оптическую систему можно представить в виде последовательно расположенных тонких линз и однородных пространств, можно записать закон преобразования комплексного параметра пучка сложной оптической системой:

 

.                                   (74)