Геометрические приложения чисел Фибоначчи

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

     Числа Фибоначчи обладают целым рядом  интересных и важных свойств, рассмотрению которых и посвящена данная курсовая работа.

     Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) – крупного итальянского математика, автора “Книги об абаке” (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметики и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Эта последовательность определяется условиями: u₁=1, u₂=1, u_n+1=u_n+u_n-1 (для каждого натурального n>1). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях – комбинаторных, числовых, геометрических.

     Актуальность. Трудно недооценить массовость применения чисел Фибоначчи в нашей жизни: данный ряд применяется в архитектуре, рекламе, киноиндустрии, живописи и т. д. В природе расстояния между листьями (ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. Черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота – у орешника, 2/5 – у дуба, 3/8 – у тополя и груши, 5/13 – у ивы. В интерьерном и ландшафтном дизайне ряд используется для вычисления гармоничных пропорций: соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами. Человек подсознательно ищет Божественную пpопоpцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте. Не преувеличивая, можно сказать, что последовательности Фибоначчи и числу Фибоначчи на планете подчиняется всё.

     Цель  работы. Определить ряд Фибоначчи и изучить наиболее важные ее свойства.

     Задачи  работы.

• Рассмотреть задачу о кроликах из “Книги об абаке”;
• Дать определение ряда Фибоначчи и вывести формулу для общего члена;
• Рассмотреть основные свойства чисел Фибоначчи;
• Рассмотреть геометрические приложения чисел Фибоначчи.

     Структура работы. Во введении дается обоснование актуальности темы курсовой работы, формулируются цель и задачи. В теоретической части рассматривается задача о кроликах, вводится определение последовательности Фибоначчи и изучаются основные свойства данной последовательности. В заключении подводятся итоги и выводы по работе.

 

1. Фибоначчи: "Книга  об абаке" (1202) и  задача о кроликах  

     Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.

     Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виеты, жившего, впрочем, уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

     Тем больший интерес представляет для  нас сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке»), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci – сокращенное filius Bonacci, т. е. сын Боначчи). Эта книга, написанная в 1202 г., дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

     «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.

     Сообщаемый  в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

     Рассмотрим  одну такую задачу, помещенную на стр. 123 – 124 рукописи 1228 г. 
 
 

     «Сколько  пар кроликов в один год от одной  пары рождается?»

     

     «Некто  поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2  пары кроликов, и число пар кроликов

в этом месяце достигнет 5, из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом  месяце

достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые,  сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в десятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар привела первая пара в данном месте к концу одного года.

     Действительно, на этих полях ты можешь увидеть, как мы это делаем; именно, мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».

     Из  выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел  особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующее же члены равны сумме двух предыдущих.

 

2. Определение последовательности  Фибоначчи и формула  общего

члена (формула Бине)

     Перейдем  от кроликов к числам рассмотрим следующую числовую последовательность:

u₁, u₂, …, u_n,                                              (1)

в которой  каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т.е. при всяком n>2

u_n = u_n-1+u_n-2                                                                      (2)

     Такие последовательности, в которых каждый член определяется, как некоторая функция предыдущих в математике называется рекуррентными или по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство (2) – возвратным (рекуррентным) уравнением.

     Заметим, прежде всего, что по одному этому  условию (2) члены последовательности (1) вычислять нельзя.

     Можно составить сколько угодно различных  числовых последовательностей, удовлетворяющих  этому условию; например,

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50,…,

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,…..,

-1, -5, -6, -11, -17,……,

и т.д.

     Значит для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы можно было вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

     Начнем  с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена (1) имеется два предшествующих; например. Перед первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один, значит вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

     Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u₁ =1 и u₂=1. Условие (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,

которые уже встречались в задаче о  кроликах.

     В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при u₁=u₂=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

     Мы  определили число Фибоначчи рекуррентно, т. е. индуктивно, по их номеру. Оказывается, однако, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера.

     Исследуем для этого различные последовательности удовлетворяющие соотношению (2).

     Все такие последовательности мы будем  называть решениями уравнения (2).

     Будем обозначать буквами  , и соответственно последовательности

     Сначала приведем две простые леммы.,

     Лемма 1. Если V есть решение уравнения (2), а с – произвольное число, то последовательность cV (т. е. последовательность ) есть также решение уравнения (2).

     Лемма 2. Если последовательности и являются решениями уравнения(2), то и их сумма (тг. е. последовательность ) также является решением уравнения (2).

     Пусть теперь и – два непропорциональных решения уравнения (2) (т.е. два таких решения уравнения (2), что при любом постоянном с найдется такой номер , для которого ). Покажем, что всякую последовательность V, являющуюся решением уравнения (2), можно представить в виде

      ,                                                    (3)

где и – некоторые постоянные. Поэтому принято говорить, что (3) является общим решением уравнения (2).

     Предварительно  докажем, что если решения и  и уравнения (2) непропорциональны, то

                                                        (4)

(т.е.  что эта непропорциональность  обнаруживается уже, в первых, двух членах, последовательностей  и )

     Доказательство  (4) ведется от противного. Пусть для непропорциональных решений и уравнения (2)

      .                                                      (5)

Написав производную пропорцию, мы получаем

,

или, принимая во внимание, что и являются решениями уравнения (2),

.

     Аналогично  убеждаемся (индукция!) в том, что 

.

     Таким образом, из (5) следует, что последовательности и пропорциональны, а это противоречит предположению. Значит, справедливо (4).

     Возьмем теперь некоторую последовательность V, являющуюся решением уравнения(2). Эта последовательность, как уже было выяснено выше, вполне определена, если заданы два ее первых члена, и .

     Найдем  такие и , чтобы имело место

                                                      (6)

     Тогда на основании лемм 1 и 2 даст нам последовательность V.

     Ввиду условия (4) система уравнений (6) разрешима относительно и , каковы бы ни были числа и :

,      .

(Условие (4) означает, что общий знаменатель этих дробей отличен от нуля.) Подставив вычисленные значения и в (3), мы и получим требуемое представление последовательности V.

     Значит, для описания всех решений уравнения (2) нам достаточно найти какие-нибудь два его непропорциональных решения.

     Будем искать эти решения среди геометрических прогрессий. В соответствии с леммой 1 достаточно ограничиться рассмотрением  только таких прогрессий, у которых  первый член равен единице. Итак, возьмем прогрессию

Чтобы она была решением уравнения (2), необходимо, чтобы при всяком n выполнялось

,

или, сокращая на ,

.                                                      (7)

     Корни этого квадратного уравнения, т. е. и , и будут искомыми знаменателями прогрессий. Мы будем их обозначать соответственно через и . Подчеркнем, что для чисел и , как для корней уравнения (7), должно иметь место , , .

     Мы  получили, таким образом, две геометрические прогрессии, являющиеся решениями уравнения (2).

     Поэтому все последовательности вида

      , , ,….                      (8)

являются  решениями уравнения (2). Так как найденные нами прогрессии имеют разные знаменатели и потому непропорциональны, формула (8) при различных и дает нам все решения уравнения (2).

     В частности, при некоторых  и формула (8) должна дать нам и ряд Фибоначчи. Для этого, как указывалось выше, нужно определить и из уравнений

,

,

т. е. из системы 

,

.

     Решив эту систему, мы получаем

, ,

Откуда

т. е.

                                          (9)

     Формула (9) называется формулой Бине (по имени математика, который ее вывел).

 

3. Основные теоретико-числовые  свойства последовательности  Фибоначчи 

     1) Вычислим сначала сумму первых  n чисел Фибоначчи. Именно, докажем. что

u₁+u₂+…+u_n=u_n+2-1.

В самом деле, мы имеем:

u₁=u₃-u₂,

u₂=u₄-u₃,

u₃=u₅-u₄,

…

u_n-1=u_n+1-u_n,

u_n=u_n+2-u_n+1.

     Cложив все равенства почленно, мы получим

u₁+u₂+….+u_n=u_n+2-u₂,

и нам  остается вспомнить, что u₂=1.

     2) Сумма чисел Фибоначчи с нечетными  номерами:

u₁+u₃+u₅+…+u_2n-1=u_2n.

     Для доказательства этого равенства  напишем

u₁=u₂,

u₃=u₄-u₂,

u₅=u₆-u₄,

…

u_2n-1=u_2n-u_2n-2.

Сложив  эти равенства почленно, мы получим  требуемое.

     3) Сумма чисел Фибоначчи с четными  номерами:

u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1-1

     4) Если n делится на m, то и u_n, делится u_m.

     5) Каково бы ни было целое число m т, среди первых m² -1 чисел Фибоначчи найдется хотя бы одно, делящееся на m.

     Заметим, что данное свойство не утверждает ничего о том, какое именно число  Фибоначчи разделится на m . Она говорит только, что первое число Фибоначчи, делящееся на m т, не должно быть особенно большим.

     6) (Большой интерес представляет вопрос об арифметической природе чисел Фибоначчи, об их делителях.)

     При n составном и отличном от 4, u_n есть составное число.

     7) Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

     8) Если простое число р имеет вид 5t ± 1, то u_p-i  делится на р. Если р имеет вид 5t ± 2, то u_p+i делится на р.

     9) Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры – с периодом 1500, последние четыре – с периодом 15000, последние пять – с периодом 150000 и т. д.

     10) Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N² + 4 или 5N² − 4 является квадратом. 

 

4. Числа Фибоначчи  и цепные дроби 

     Предположим, что у нас есть два взаимно простых натуральных числа p и q – два числа, не имеющих общих делителей. Тогда существуют целые числа r и s такие, что pr+qs=1. Эти числа обычно ищутся с помощью алгоритма Евклида. Берется большее из чисел p и q и с остатком делится на меньшее. Остаток является суммой двух изначальных чисел с целыми коэффициентами. Затем берется меньшее число и остаток и с ними проделывается то же самое. Так как изначальные два числа были взаимно простые, то на каждом шаге мы будем получать два взаимно простых числа и алгоритм можно продолжать. В конце концов, мы дойдем до единицы. Оказывается, этот алгоритм можно формализовать и сделать более наглядным с помощью так называемых цепных дробей.

     Рассмотрим  два взаимно простых числа, например, 100 и 31. Попытаемся найти целые числа r и s такие, что 100r+31s=0. Для этого рассмотрим дробь и будем ее преобразовывать следующим образом: как только возникает дробь, большая единицы, будем выделять из нее целую часть, а остаток обращать. Число, обратное к остатку, снова будет больше единицы, и мы с ним проделаем то же самое. Процесс закончится, когда мы получим целое число. Итак,

.

     Получившуюся  цепную дробь можно обрубить, откинув  последний член . Тогда мы получим дробь . Понятно, что мы нашу дробь изменили совсем немного, т.е. . Попытаемся оценить близость этих дробей. Для этого умножим 100 на 9, а 31 на 29. Получим: . Вот и решение! Положив r=9, s=-29, мы в точности получим 100r+31s=1.

     На  самом деле, если действовать так  и обрубать последнюю дробь, то изначальная  дробь будет либо немного уменьшаться, либо немного увеличиваться, в зависимости  от того, на каком “ярусе” мы ее обрубаем – на четном или на нечетном. Так, уменьшение числителя уменьшает дробь, а уменьшение знаменателя – увеличивает. Поэтому, действуя так, как указано выше, мы будем получать pr+qs=1 или pr+qs=-1. В последнем случае решением будет являться пара (-r,-s): -pr-qs=1.

     Как мы видим, любую дробь можно разложить в цепную дробь; при этом процесс завершится. Оказывается, точно так же можно разлагать в цепные дроби и иррациональные числа. В этом случае, очевидно, мы будем получать бесконечную цепную дробь.

     Рассмотрим, например, такую дробь:

     Она будет стремиться к некоторому числу (иррациональному). Если вычесть из этой дроби единицу, а затем обратить, то получим снова эту же дробь. Обозначим ее через x. Тогда для нахождения значения x нужно решить уравнение или . Ответом будет . Теперь уже видно, что если обрубить эту дробь в каком-нибудь конечном месте, мы получим дробь, выражающую отношение двух соседних чисел Фибоначчи.

 

5. Геометрические приложения чисел Фибоначчи 

     Разделим  отрезок АВ единичной длины (рис. 1) на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

Рис. 1

     Обозначим для этого искомую длину большей  части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

      ,                                                        (10)

откуда 

      .                                                          (11)

     Положительным корнем (2) является , так что отношения в пропорции (10) равны

каждое. Такое деление (точкой С₁) называется делением  в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

     Если  взять отрицательный корень этого  уравнения, то делящая точка С₂ окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением), как это видно на рис.1. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

     Фактическое построение точки, делящей отрезок  золотым сечение, осуществляется без  труда.