Геометрична модель комплексних чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

 

Вступ ………………………………………………………………………………… 2

Розділ І. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа ………..… 3

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел …………………….………….. 3

1.2 Огляд літератури зі шкільного курсу математики…………………….. 5

Розділ ІІ. Основні поняття в теорії комплексних чисел ……………...……… 6

2.1. Алгебраїчна та тригонометрична форма комплексних чисел ……...….. 6

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел ……………….……….. 9

Розділ ІІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії ..…………………. 13

3.1. Прямі на комплексній площині ………………………………………… 13

3.2. Коло на комплексній площині ………………………………………….. 15

3.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола …… 17

3.4. Уявні числа і многокутники …………………………………………..… 18

3.4.1. Побудова правильних многокутників …………………………... 18

3.4.2. Уявні числа і площа многокутників …………………………….. 23

3.5. Інтерпретація комплексних чисел на площині Лобачевского ……25 Висновки …………………………………………………………………………... 27

Література ………………………………………………………………………… 28

Додатки ……………………………………………………………………………. 29

 

 

 

 

Вступ

          Застосування комплексних чисел у геометрії ґрунтується на геометричному тлумаченні комплексних чисел та операцій над ними. Застосування цього незвичного курсу геометрії методу дозволяє розв’язувати певні питання більш цікаво та динамічно.  Особливу мою увагу привернула можливість розглянути площину Лобачевського за допомогою геометричної інтерпретації комплексного числа. Це завжди цікаве та корисне питання – розв’язання математичної задачі декількома способами. Також дуже важливо відстежити міжпредметний зв’язок нових і доволі абстрактних понять курсу алгебри та начал аналізу з практичними, а під час і з вже знайомими геометричними питаннями та задачами. Це дозволяє не тільки розвинути математичні уявлення про поле комплексних чисел та важливість його існування для розв’язку певних математичних та механічних питань, а і виховує свідоме ставлення до науки, вимагає використання певних логічних тверджень та міркувань. Застосування комплексних чисел при розв’язанні практичних задач – це важливий аспект у технічному навчанні, підготовка майбутніх інженерів до вивчання теорії функції комплексної змінної у вузі, її зв’язків з теорією диференціальних рівнянь; тому поглиблення знань з цього питання  відповідає меті даної роботи.

   МЕТА РОБОТИ. Розвинути навички з самостійної роботи з монографічною і періодичною літературою, з узагальнення та аналізу фактичного матеріалу за певною проблемою, удосконалити оволодіння геометричною інтерпретацією комплексних чисел як засобом розв’язування геометричних задач.

   ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ. Комплексні числа та їх геометрична інтерпретація. 
   МЕТОД  ДОСЛІДЖЕННЯ.  Узагальнення   і   аналіз    літератури   з   даної   теми,  використання апарату поля комплексних чисел до розв’язання геометричних задач, висновки на основі зробленої роботи.

ІІ. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа

2.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм  народженням цілком реальній задачі – задача розв’язання рівняння третього степеня ще у XVI столітті.

Корені рівняння :

 (1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають  формулою Кардано:

,

де D= ( .

Ця формула  не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три  різні (дійсні) корені. Наприклад, легко  перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1. Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою Кардано, то отримали б :

Яким чином  можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам  XVI-XVIIст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими  величинами Вважалося  що вони не мають  реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків  XVII-XVIIIст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

   (1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж  . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У XVIII столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

    (1.3)

де  - постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де - константа, - час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

    (1.4)

де  - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

 

2.2 Огляд літератури зі шкільного курсу математики

При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи постає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Пропедевтикою вивчення розділу комплексної множини в школі є введення поняття комплексного числа і, відповідно, вивчення його властивостей.

Проаналізуємо, в яких класах вводиться дане поняття різними авторами підручників. Поняття множини вводиться безпосередньо ще у підручниках «Алгебра. 8 клас» . У підручнику В.Кравчука «Алгебра. 10 клас» вводяться поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування. У підручнику М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С. Дубінчук «Алгебра і початки аналізу, 10-11клас» також вводить поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування.

Проте ні в одному з підручників не виділяють застосування комплексних  чисел до розв’язку  геометричних задач, тому це питання  пропонується винести на факультативні  заняття та додаткові уроки.

 

 

ІІІ. Основні поняття в теорії комплексних чисел

3.1. Алгебраїчна та тригонометрична форма комплексних чисел

Дійсні числа  відіграють надзвичайно важливу  роль у математиці і природознавстві, зокрема, при вимірюванні довжин, площ, об'ємів, при вивченні рухів матеріальних тіл.

Проте є задачі, для розв'язання яких дійсних чисел  не досить. Найпростішою серед таких  задач є задача розв'язання квадратного  рівняння  
. Оскільки в множині комплексних чисел рівняння

повинно мати розв'язок, вводиться нове число, яке вважається розв'язком цього рівняння. Будемо позначати це число буквою і, число і називаються уявною одиницею. Введену уявну одиницю ми маємо вміти множити на довільне дійсне число b, тобто потрібно ввести до розгляду числа вигляду bі, де b € R. Такі числа називають уявними.

Нарешті, суму дійсного числа  а та уявного числа bі будемо записувати у вигляді а+ bі. Числа виду а+ bі називають комплексними числами. У комплексному числі а+ bі число а називають дійсною частиною, вираз bі – уявною частиною. Комплексне число часто позначають буквою Z. Для позначення дійсної частини комплексного числа використовується вираз Re (від французького слова reel – дійсний), тобто Re(а+ bі)=а; уявну частину комплексного числа виразом Im (від французького слова imaginaire – уявний), тобто Im (а+ bі)= b.

Два комплексних  числа вважаються рівними тоді і  тільки тоді, коли їх дійсні частини  ти коефіцієнти при уявних частинах. Комплексне число а+0і ототожнюється з дійсним числом а. Числа вигляду Z= а+ bі та Z= а-bі називаються спряженими.

Алгебраїчний запис  комплексних чисел дозволяє робити операції над ними за звичайними правилами  алгебри.

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду .

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

 

.

1. Комутативний закон додавання:

.

2. Асоціативний (сполучний) закон додавання:

.

3. Комутативний закон множення:

.

4. Асоціативний закон множення:

.

5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення щодо додавання:

.

6. .

7. .

8. .

9. Будь-якому комплексному числу  відповідає протилежне комплексне число таке, що .

10. Усякому комплексному числу  відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .

Степеня уявної одиниці.

 

Якщо натуральний показник степеня m при діленні на 4 дає в остачі r, тобто якщо , де n – натуральне число, то ;

 при цьому

Модулем комплексного числа  називається дійсне число виду

.

8. Теорема про сполучений корінь.

Якщо число  є коренем рівняння

(1)

Добування квадратного  кореня з комплексного числа  . Нехай

, де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності у квадрат, одержуємо .

Що рівносильне системі

Вирішуючи цю систему, одержуємо:

; .

Таким чином, добування  кореня квадратного з комплексного числа здійснюється по формулі

.

У дужках перед мнимою одиницею береться знак плюс, якщо , і знак мінус, якщо .

 

Тригонометрична форма комплексного числа. Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z=a+bi (рис.3), модуль якого дорівнює r, а аргумент αі.

Рис.3

У прямокутному трикутнику АОС:а= rcosα, b=rsinαі. Підставляючи у запис комплексного числа замість а і b їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо: z= rcosα+ rsinαі=r(cosα+іsinα).

Вираз r(cosα+іsinα) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь-яке число a+bi, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі.

3.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Вивчаючи  комплексні числа, можна використовувати  геометричну термінологію і геометричні  міркування, яякщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bί поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (рис. 1).

 

Рис. 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0ί, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bί.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (рис. 2)

 

 

 

 

Рис. 2

 

Поставимо у відповідність  кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий  вектор називають радіус – вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометричним зображенням комплексного числа z = a + bί є радіус – вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами і точками і говорити, наприклад, про вектор a + bί або про точку a + bί.

На рисунку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z₁= 2+2ί; z ₂= -3+4ί; z ₃= -4-3ί; z ₄= 4-2ί.

Протилежним комплексним  числам відповідають протилежні вектори.

 

 

 

Рис.3

 

На рисунку 3 зображено дві пари протилежних векторів OA i OC, OB i OD, що відповідають парам протилежних чисел 3+4ί та –3-4ί; -2+3ί та 2-3ί.

Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних  чисел.

З геометричної інтерпретації комплексних чисел  у вигляді векторів випливає можливість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно знаходиться до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.

Нехай дано два комплексних числа z₁ = a₁ + b₁ί та z₂ = a₂ + b₂ί, яким відповідають радіус – вектори ОА і ОА (малюнок 4). Побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограм. Тоді зображенням суми комплексних чисел z₁ і z₂ буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА₁ має координати (a₁;b₁), а вектор ОА₂ (а₂;b₂), то їх сума – вектор ОВ –координати (а₁+а₂;b₁+b₂). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а₁+а₂) + (b₁+b₂), яке є сумою чисел z₁ і z₂.

 

Рис.4

 

IV. Застосування комплексних чисел в геометрії

4.1. Прямі  на комплексній площині

На комплексній  площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

   , де . (2.10)

Не важко  записати те ж рівняння прямої в  комплексній формі. Для цього  достатньо ввести комплексну змінну . Відомо, що , . Тоді (2.10) можна записати у вигляді:

.

Позначимо комплексне число  через . Тоді , і рівняння прямої буде мати вигляд:

   , (2.11)

де  - комплексне число, , а - дійсне. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки . Дійсно, при будь-якому виборі точки на прямій вектори і колінеарні, тому відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом, звідки:

   . (2.12)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через точки  і .

Напишемо рівняння прямої , яка проходить через дану точку і паралельно заданому вектору , який заданий своєю комплексною координатою (мал.2). Тоді при будь-якому виборі точки на прямій вектор колінеарний вектору , відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки прямої задовольняє умову . Це і буде шукане рівняння прямої. Число є уявне, і його можна записати у вигляді , де - дійсна константа. Отримаємо:

   .     (2.13)

Рівнянням вигляду (2.13) може бути задана будь-яка пряма. При цьому - кут нахилу прямої до дійсної осі. Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно вектору , де - нульова точка (мал.3). Нехай - точка цієї прямої. Тоді вектор колінеарний вектору з комплексною координатою . Тому - дійсне число і, відповідно, рівне спряженому до нього числу: , тобто . Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Щоб знайти комплексну координату точки перетину двох прямих і , потрібно розв’язати систему з двох рівнянь і знайти , або .

 

4.2. Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R – це множина усіх тих точок Z, для яких відстань CZ дорівнює R, тобто

                                                      (2.14)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.14) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

    (2.15)

де α –  комплексне число, γ – дійсне. Однак  рівняння вигляду (2.15) не при кожному  γ задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.15) записати так:

    (2.16)

а це рівняння задає  коло лише за умові, що . При рівнянню (2.15) задовольняє лише одна точка , а при – жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.16), тобто зовсім не існує точок, що задовольняють умові (2.15).

Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола Г, що проходить через три  дані точки Z₁, Z₂, Z₃. Виведемо це рівняння. Точки Z₁ іZ₂ (мал. 4) поділяють коло на дуги Г' і Г". Нехай Г' – та з них, що виникає при русі від Z₁ до Z₂ у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Будемо вважати, що Г' – дуга, що не містить точку Z₃, – а дуга Г" містить Z₃. Радіаyну міру дуги Г' позначимо через 2φ. Тоді , і вектор може бути отриманий з вектора поворотом на кут φ з наступним розтягом. Тому

     (2.17)

де t – дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка лежить на дузі Г", маємо аналогічна рівність:

     (2.18)

де t, – додатнє число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г', то кут Z₁ZZ₂ – містить π-φ радіан, причому проходиться в від’ємному напрямку (мал. 5). Тому

     (2.19)

де t₂ – додатне число.

З (2.17) і (2.18) – (2.19) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

     (2.20)

Це і є  рівняння кола, що проходить через три задані точки Z₁, Z₂, Z₃. У тому випадку, коли точки Z₁, Z₂, Z₃ лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.20) має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

 

4.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола.

Одиничним колом  в комплексному аналізі прийнято називати коло, у якого центром  є нульова точка (початок координат), а довжина радіуса рівна одиниці. На ньому, очевидно, розташовані ті і тільки ті точки площини, чиї комплексні координати z задовольняють умову . Цю умову можна переписати так: , тобто , або . Таким чином, для координати z точки одиничного кола (і тільки для координати такої точки) число спряжене співпадає з оберненим числом .

Якщо ми маємо  на площині будь-яке коло ω з центром у деякій точці О и радіуса R, то можна вибрати декартову систему координат так, щоб початком координат був центр О цього кола. Тоді координати z точок кола будуть задаватися умовою , або . Тому викладення, зв'язані з такими колами, теж прості. При необхідності можемо від такого кола перейти до одиничного за допомогою гомотетії з центром у точці О. Аналітично це означає заміну змінних: .

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння  дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв'язані з колом з центром  у нульовій точці.

4.4. Уявні числа і плоскі многокутники.

4.4.1. Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, шестикутників з допомогою циркуля  і лінійки було відомо грецьким геометрам  ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому це не вдалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу розв’язання цієї задачі. Проблему побудови правильних многокутників Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел.

Будемо вважати, що п – просте число. Зрозуміло, що побудова правильного п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти будь-яке коло ω, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці, розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну координату. Зокрема, точка Z₀ перетину кола з додатною віссю осі абсцис буде мати координату z₀=1. Правильний п-кутник, що має Z₀ однією зі своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Z_k, з комплексними координатами:

 

(k=1,2,...,п-1)

Усі ці числа  – відмінні від одиниці корені рівняння тобто корені рівняння

     (2.28)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними координатами z_k (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені рівняння (2.28). Тому рівняння (2.28) називають рівнянням поділу кола. Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного п-кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

Якщо п – просте число, то послідовно підносячи в натуральні степені будь-якій, не рівний одиниці, корінь рівняння , можна знайти всі корені п-го степеня з одиниці. Геометрично це означає, що якщо крім вершини Z₀ побудована на колі яка-небудь одна вершина Z_k, то, відкладаючи послідовно по колу п–2 рази дугу Z₀Z_k. одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при  простому п) питання про можливість побудови за допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній площині який-небудь корінь рівняння (2.28) поділу кола.

Розглянемо  три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

   (2.29)

З'ясуємо, чи можливо  побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння (2.29)

     (2.30)

Покладемо

       (2.31)

де під z розуміємо число (2.30). Тоді:

    (2.32)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.19), те воно задовольняє і рівнянню

    (2.33)

У силу (2.31) маємо  і рівняння (2.33) здобуває вид:

Із (2.32) видно, що нас цікавлять додатні корені цього рівняння . Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.30). Тим самим не тільки встановлена можливість побудови правильного п'ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

, або 

Нехай z– який-небудь його корінь. Покладемо тоді легко знайти, що , і ми приводимо рівняння до виду:

    (2.34)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.34) не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки.

3) Нехай п=17.

У цьому випадку  задача зводиться до побудови відрізка До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі співвідношення:

    (2.35)

Позначимо:

,

.

Зі співвідношення (2.26) ясно, що . З іншого боку, виходячи з того, що , неважко встановити, що .Отже γ₁ та γ₂ – корені квадратного рівняння γ²+γ-4=0, так що .Ці корені можна легко побудувати (по абсолютній величині). Щоб відрізнити один корінь від іншого, помітимо, що . Це число – від’ємне, так що

Маючи величини γ₁ і γ₂, можна побудувати величини: , , та . Дійсно, , , так що β₁ і β₂ – корені рівняння а, отже:

Тому що

то

,

Точно так само можна показати, що

,

Позначимо , . Тоді , , так що величини α₁ і α₂ є коренями рівняння:

тобто

Тому що

,

то  і відповідно

Вважаючи, що β₁ і β₂ уже побудовано, відмітимо, що циркуль і лінійка дозволяють тепер побудувати відрізок довжини .

Проводячи аналогічні міркування, К.Ф.Гаусс у 1796 р. довів  теорему: побудова правильного п-угольника за допомогою циркуля і лінійки можливо в тому, і тільки в тому випадку, коли число п може бути представлене у виді де попарно різні прості числа виду , а число m – ціле ненегативне.

Зокрема, якщо п – просте число, то для побудови правильного п-кутника за допомогою циркуля і лінійки необхідно і досить, щоб число п мало вид .

 

4.4.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні).