Геометрия и искусство

Содержание 

Введение                                                                                                                   3

I. История возникновения и развития геометрии                                                 5

1.1 Использование простейших геометрических форм в Древнем мире           5

1.2 Геометрия сквозь призму древних философских школ                                   II. Теория пропорций в архитектуре и живописи                                              11

2.1 Возникновение и развитие теории пропорций                                             11

2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре                 15

III. Применение замечательных кривых в искусстве                                         20

Заключение                                                                                                             26

Список использованной литературы                                                                   27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение 

    Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения  и формы тел. Из геометрии зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и  культовые.

    Геометрия - наука, давшая людям возможность  находить площади и объемы, правильно  чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление  деятельности человека - искусство.

    Важную  роль играли и эстетические потребности  людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.

    За  несколько столетий до нашей эры  в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще  систематизированы и передавались от поколения к поколению в  виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов  тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой  научной теории.

    Существует  неразрывная связь между геометрией и искусством. Для геометрии, также как и для искусства, характерны красота и гармония. С древних времен люди в своих творениях предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, пирамиду и т.д. Симметричные фигуры предпочтительнее, чем несимметричные. При создании произведений искусства пользовались различными пропорциями. Все вышесказанное подчеркивает актуальность нашей темы.

    Цель  нашей работы: проследить, как связанны между собой геометрия и  искусство.

    В связи с поставленной целью задачами исследования являются:

    - рассмотреть историю возникновения  и развития геометрии;

    - ознакомиться с сущностью геометрических законов, пропорций и их использования в архитектуре и живописи;

    - проанализировать применение замечательных кривых в искусстве.

    Объектом  исследования является геометрия в  искусстве.

    Предметом изучения являются способы геометрических построений в искусстве.

    Данная  исследовательская работа состоит  из введения, трех частей, заключения, списка используемой литературы и приложений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    I. История возникновения и развития геометрии 

    1.1 Использование простейших геометрических форм в Древнем мире 

    Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме  и цвету, они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами.

    Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены  орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились  шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый  орех» или «такой же, как соль»  и т.д.

    А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться  в том, какую форму следует  придавать стенам и крыше, какой  формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники  для копий или бумеранги сложной  формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

    Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись  катки. И заметили, что перекатка  проще, если взять кусок дерева с  почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились  с одним из важнейших тел –  цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

    Перевозить  грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью  перетаскивать грузы. Так появилось  первое колесо.

    Но  не только в процессе работы знакомились  люди с геометрическим фигурами.

    Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

    Для того чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

    Так практическая деятельность людей привела  к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и  площади, и объемы, и длины и  т.д.

    Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца  разгадать загадки огромных гробниц  Египетских царей – Фараонов.

    Пирамиды  – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики»  так подогнаны друг к другу, что  не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки. [20,стр.45]

    В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в  несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает  82 метра.[20,стр.51]

    Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все  же математические знания египтян и  вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

    Почти все великие ученые древности  и средних веков были выдающимися  геометрами. Девиз древней школы  был: "Не знающие геометрии не допускаются! " [12,стр.85] 
 

    1.2 Геометрия сквозь призму древних философских школ 

    Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.

    О зарождении геометрии в Древнем  Египте около 2000 лет до н. э. древнегреческий историк Геродот писал: " Сезострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим  образом налог с каждого участка. Случилось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, насколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию". [12,стр.76] 

    Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские школы, и приходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Всё больше значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать новые геометрические свойства, исходя из некоторых положений, принимаемых без доказательств и названных аксиомами. В переводе с греческого слово аксиома означает "принятие положения".

    Одной из первых школ была ионийская. Её основателем  считаются Фалес Милетский. Он мог находить высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Фалес измерил высоту пирамиды, " наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами".[8, стр136]. Он считал, что отношение высоты вертикально поставленной палки к длине её тени равно отношению высоты пирамиды к длине её тени.

    Таким образом, Фалесу приписывают теорему о том, что равноугольные треугольники имеют пропорциональные стороны.

    В 5 веке до н. э. центром дальнейшего  развития математики становится Южная  Италия.

    Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась пифагорейская, названная так в честь своего основателя- Пифагора.

    Объясняя  устройства мира, пифагорейцы опирались на математику. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников: атомам огня - форму тетраэда, земли - гекаэдра (куба). воздуха - октаэдра, воды икосаэдра. Всей Вселенной приписывалась форма додекаэдра.

    В названиях этих многогранников указывается число граней (от греческого эдра- "грань"): тетра - "четыре", гекса - "шесть", окта - "восемь", икоса - "двадцать", додека- "двенадцать"[8,стр.121 ].

    Другой знаменитый философской школой того времени была школа Платона (5-6 вв. до н. э.). Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науки, но в своих произведениях любил говорить о математике. В частности, в трактате "Тимей" он изложил ученья пифагорейцев о правильных многогранниках, которые благодаря этому в последствие получили название "платоновых тел".

    Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э. К сожалению, о жизни его мало что известно. В одном из своих сочинений математик Папп (3 век до н. э.) изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм.

    Насколько серьёзно и строго он относился к  изучению математики, можно ссудить  по следующий легенде: царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его "Начала"? Евклид ответил: "В геометрии нет царского пути"[15,стр.42].

    Слава Евклиду принесли его "Начала", в котором впервые было представлено стройное аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий  они остаются основой изучения систематического курса геометрии.

    Помимо Евклида выдающимся учёным эпохи эллинизма был Архимед (287 -212гг. до н. э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя  Герона. 

    Архимед - один из немногих учёных античности, которого мы знаем не только по имени: сохранились некоторые сведения о его жизни и личности. Он был уникальным учёным - механиком, физиком, математиком. Основной чертой  его творчества было единство теории и практики, что делает изучение его трудов интересным для ученых многих специальностей. Широко известен закон о силе, действующей на тело, погружённое в жидкость, которой приводится в трактате по гидростатике 

    « О плавающих телах»  в современных школьных учебниках по физике он назван законом Архимеда. Среди инженерных изобретений учёного известны катапульта, архимедов винт – устройство для поднятия воды и др. Мы знаем, что Архимед был убит во время взятия Сиракуз. При осаде города технические устройства Архимеда использовались для защиты от врага. 

    Наиболее  существенный вклад Архимед внёс в математику. Ему  принадлежат  теоремы о площадях плоских фигур, объёмах тел. В работе «Измерение круга» он приводит вычисления приближённого  значения длины окружности. В книге «О шаре и цилиндре» им даны вычисления объёма шара и площади его поверхности.

    Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением  правильных многогранников. Убедившись в том, что правильных многогранников только пять, Архимед стал строить  многогранники, у которых гранями  являются правильные, но не одноименные  многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и тоже число рёбер. В результате были получены так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда».

    Учёный, по выражению современников, был  околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле изобразить цилиндр с вписанным в него шаром и указать соотношение объёмов этих тел. Позже именно по этому изображению была найдена могила Архимеда.

    В последние столетия возникли  и  развивались новые направления  геометрии, среди которых геометрия  Лобачевского, топология, теория графов и др. Появились новые методы, в том числе координатный и  векторный, позволяющий переводить геометрические задачи на язык алгебры  и наоборот. Достижения геометрии  широко используют в других науках: физике, химии, географии и т. д. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    II. Теория пропорций в архитектуре и живописи 

    2.1 Возникновение и развитие теории пропорций 

    Еще в глубокой древности человеком  было обнаружено, что все явления  в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном  движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

    В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них  наиболее глубокий след в мировой  культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и  человека как единое целое, где все  взаимосвязано и находится в  гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка  — упорядочивания хаоса.

    Гармония  присуща природе и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет»[18,стр.32]. Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание).

    Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что  в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы.

    Пифагорейцы искали математическое обоснование  красоте. Они исследовали пропорции  человеческого тела и утвердили  математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон».

    Все классическое искусство Греции носит  печать пифагорейского учения о пропорциях. Его влияние испытали на себе ученые средневековья, наука и искусство  эпохи Возрождения, Нового времени  вплоть до наших дней.

    Вслед за пифагорейцами средневековый  ученый Августин назвал красоту «числовым  равенством». Философ схоласт Бонавентура  писал: «Красоты и наслаждения нет  без пропорциональности, пропорциональность же, прежде всего, существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению»[11,стр.28].

    Об  использовании пропорции в искусстве  Леонардо да Винчи писал в своем  трактате о живописи: «Живописец воплощает  в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые  в форме числового закона познает  ученый»[11,стр.34].

    Таким образом, пропорциональность, соразмерность  частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

    Слово «пропорция» ввел  в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя  на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал  «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение».  С тех пор вот уже 2000 лет  пропорций в математике называют равенство между отношениями  четырёх величин a,6,c,d.

    Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.

    В математической равенство двух отношений выражается формулой a : b = с : d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.

    В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: а : с = (а — в) : (в — с)

    В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий: а : в = в : с

    Разновидностью  геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».

    Особенностью  пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между  двумя предыдущими членами, т. е.: а : в = в : (а — в) [приложение 1]

    Отношение золотого сечения выражается числом 0,618[21,стр.198].

    Пропорциональность  в природе, искусстве, архитектуре  означает соблюдение определенных соотношений  между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного  и красивого изображения предмета.

    Золотым сечением и даже "божественной пропорцией" называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

    Окружающие  нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение  ширины и длины, близкое к числу 0,618.

    Одним из первых проявление золотого сечения  в природе подметил немецкий математик  и астроном Иоганн Кеплер (1570 – 1630). С XVII века наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. В 1850 году немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138^о.

    Если  внимательно рассмотреть веточку  с листьями, то можно заметить, что  основания черешков располагаются  по винтовой линии, каждый следующий  лист прикреплен выше и в сторону  от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии.

    Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над  другим. Часть спирали, заключенная  между двумя такими листьями, называется в ботанике "циклом".[приложение 2]

    Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в числителе которой число  оборотов одного цикла спирали, а  в знаменателе – число листьев  в этом цикле, так, дробь 3/8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает  стебель, и что в одном цикле  восемь листьев. Эта же самая дробь  выражает и угол расхождения двух соседних листьев.

    Каждый  вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который  характерен не только для листьев, но и для расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не произвольный, а подчиняется  определенному закону.

    Во  всем растительном мире наблюдается  небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями: 1/2:1/3; 2/5:3/8; 5/13:8/21[13,стр.108].

    Ученые  заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и неожиданной  особенностью, а именно, что каждая из дробей начиная с третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13; … и 2, 3, 5, 8, 13, 21.

    Семечки в корзинке подсолнуха выстраиваются  вдоль спиралей, которые закручиваются  как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую – 21.

    В более крупных соцветиях подсолнечника  число соответствующих спиралей – 21 и 34, или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек, или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов  можно различить такие же системы  спиральных рядов.

    Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры  – храм Парфенон – построено  в V веке до нашей эры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.[приложение 3] 
 

    2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре 

    "Золотое"  сечение – один из основополагающих  принципов природы.

    Золотая пропорция – отношение большей  части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный  рост побега до зрелости и замедленный  рост до момента цветения, когда  достигшее полной силы растение готовится  дать жизнь новому побегу[9,стр.73].

    "Золотая"  пропорция – понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства.

    Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношение частей человеческого  тела связывались с формулой "золотого" сечения. Пропорции "золотого" сечения  создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

    То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в  определенной пропорции, знает каждый: Недаром мы говорим о пропорционально  сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место  золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении  человеческого тела, являются античные статуи.

    Соотношение величин, составляющих основу художественного произведения, а также отдельных составляющих и всего произведения в целом. Существуют, к примеру, архитектурные пропорции, а также пропорции, применяющиеся для изображения лица и тела человека. Представления о пропорциях появились в ходе практики художников и архитекторов древности, которые применяли при создании произведений определенные геометрические построения и модули.

    Пропорциям  тела и лица свойственно меняться от человека к человеку. Тем не менее, высота классической фигуры Греции и  Ренессанса была равна восьми размерам головы человека. Художники-маньеристы рисовали вытянутую фигуру (высотой в 9 и более размеров головы).

    В действительности, средняя высота человеческой фигуры в природе составляет величину, равную семи с половиной размерам головы. Однако фигура высотой 8 голов  пока считается наилучшей: она полна  достоинства и удобна для проведения измерений.

    Классическая  мужская фигура имеет следующие  размеры: две высоты головы в плечах и полторы головы — на уровне бедер. Размеры женской фигуры противоположны мужским пропорциям. На поверхность  тела выступают очертания некоторых  костей — они становятся весьма полезным ориентиром при определении  пропорций. Эти кости расположены сразу под кожным покровом. Они хорошо видны, выступая на поверхности худой фигуры; на плотном теле похожи на впадины.

    Пропорции человеческого  лица не могут быть математически  и геометрически измерены, поскольку  многие параметры являются подвижными, но все, же основные неподвижные размеры  могут быть измерены.