Геометрия Лобачевского и её приложения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Кафедра прикладной математики и экономической кибернетики

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

на тему: Геометрия Лобачевского и её приложения

 

 

 

 

 

 

 

Студент

ФМ, 1-й курс, ДКК-1       Д. А. Шапель

 

 

 

Руководитель        Т.А. Бородина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНСК 2012

 

РЕФЕРАТ

 

Курсовая работа: 26 стр., 13 рис.,19 источников

 

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ.

 

Объект исследования: неевклидова геометрия.

Предмет исследования: геометрия Лобачевского, как разновидность неевклидовой геометрии.

Цель: рассмотрение основных понятий геометрии Лобачевского, её теорем, моделей, примеров и различных приложений.

Методы исследования: синтез, анализ, сравнение, выведение теорем геометрии Лобачевского.

Актуальность темы: неевклидова геометрия помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не всё просто, не всё ясно с первого взгляда, чтобы её понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Элементы научной новизны: теоретический материал представлен в форме, доступной для понимания, как учащихся школ, так и университетов, подобрана задача для применения в экономике.

Область возможного практического применения: использование работы, как дополнительной литературы, при изучении данной темы.

Автор работы подтверждает, что приведенный в ней расчётно-экономический материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции сопровождаются ссылками на их авторов.

__________________

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

Введение

 

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Открытие того, что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий естественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дарвина. Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует привычным для нас представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными. В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел. С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Целью данной работы является изучение вопросов, связанных с геометрией Лобачевского, а также применение этой геометрии на практике. В курсовой работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, её модели, приводятся примеры теорем и показываются различные её приложения. 
1 История возникновения неевклидовой геометрии

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

V постулат Евклида гласит: «и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых».

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике. Доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго-логическое доказательство теорем невозможно.

Но никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже в древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Сам Евклид и многие ученые пытались доказать постулат о параллельных. Одни старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату. Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением. [3]

Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели, в конце концов, к появлению новой геометрии, отличающейся тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой.

И одной из предпосылок геометрических открытий Н.И Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания.  Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии», являющимся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врожденным – не должно верить».

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1830гг.  Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию». Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил. [4]

Независимо от Лобачевского, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и замечательный венгерский математик Янош Бойяи, сын Фаркаша Бойяи. Названные три автора первоначально шли тем путем, который указан выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V постулата, но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из полученных ими результатов вывод о существовании геометрической системы, отличной от евклидовой. При этом они продолжали исследовать новую геометрию, получая дальнейшие относящиеся к ней теоремы.

Огромное впечатление, произведённое на умы математиков открытием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что ещё задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т.е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твёрдое убеждение всех учёных в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Римана, впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классической геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского. Риман целиком пересмотрел основы геометрии Евклида, вместо них предложил свои собственные принципы построения геометрии, исходя из весьма общих соображений.[19]

Таким образом, основным пунктом, откуда начинается разделение геометрии на обычную евклидову (употребительную) и неевклидову (воображаемую геометрию) является, как известно, постулат о параллельных линиях. Плоскость Лобачевского — это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем — расстояния, углы), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского. [5]

 

2 Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия геометрии  Лобачевского

Лобачевский определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и, заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, он заявляет: “Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов”.

Лобачевский указывает, что в “воображаемой геометрии” сумма углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Параллельные  прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости  проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис.1 условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведенные через точку А и пресекающие прямую , и прямые  и , расходящиеся с прямой )

 

Рисунок 1-Аксиома Лобачевского о параллельных прямых

 

 

Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой p, и перпендикуляром, опущенным из А на p, Лобачевский называет “углом параллельности” и показывает, что функция, выражающая зависимость этого угла от длины перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде:

 

,        (1)

 

где q – некоторая постоянная. При угол параллельности всегда острый, причем он стремится к при, постоянная же q может служить на плоскости  Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше , и если - “угловой дефект” треугольника, то есть разность между и суммой его углов, то площадь треугольника S равна:

 

,           (2)

 

где q –  та же постоянная, что и в формуле (1).

Далее рассмотрим тот факт, что в геометрии Лобачевского, круг при стремлении его радиуса к бесконечности, переходит не в прямую, а в особого рода кривую “предельного круга” - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал “предельной сферой”, а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название “воображаемая геометрия” подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, “употребительной”, по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, “воображаемые”.

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – “употребительная” или “воображаемая”, для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и, считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. “После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными”.

Это объясняет, что под “строгим доказательством теоремы о параллельных” в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться “употребительной геометрией”, не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его “Новых началах с полной теорией параллельных” (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу[13].

 

 

2.2 Непротиворечивость геометрии  Лобачевского

Выведя уже в своей первой работе “О началах геометрии” формулы тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что “эти уравнения переменяются в… (уравнения) сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков *, b, c ставим в *-1, b-1, c-1, но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни содержания (т.е. отношения) линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой”. Это означает, что если мы запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде:

 

,       (3)

 

,      (4)

 

,     (5)

 

то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны *, b, c треугольника произведениями *i, bi, ci; так как умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению на i  радиуса сферы, то, полагая r=qi  и воспользовавшись известными соотношениями:

 

cos(ix) = ch x, sin(ix) = ish x,       (6)

 

мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде:

 

,       (7)

,       (8)

 

,     (9)

 

Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh x, а комбинациями введенной им функции П(x) тригонометрическими функциями; постоянная q в этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).

Фактически Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и “абсолютной геометрии” - предложений, не зависящих от пятого постулата.  Лобачевский попытался провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.

 

 

2.3 Модели геометрии Лобачевского

Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов.

Ситуация изменилась только в 60-х годах XIX века. Несмотря на враждебное отношение отдельных влиятельных математиков старших поколений, к изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает все большее число выдающихся молодых ученых. Некоторую роль  в этом сыграло посмертное издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Меняется отношение к новой геометрии и в России. И наконец-то итальянский математик Э. Бельтрами нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского. Он заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера (рис.2).

 

Рисунок 2-Псевдосфера

 

Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга (рис. 3).

 

Рисунок 3 Модель Клейна

 

 «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку Р, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»).

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель (рис. 4).

 

Рисунок 4-Модель Пуанкаре

 

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.[6]

Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил, что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

 

2.4 Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 5). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN + В = d имеем: А + В < d, поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

 

Рисунок 5-Евклидов перпендикуляр и дуга евклидовой окружности

 

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства: А + В < d применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство: А + В < d, заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается в виде евклидова перпендикуляра P к прямой в точке М, другая — в виде евклидовой полуокружности q с центром на u, причем P и q не имеют общих точек (рис. 6). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

 

Рисунок 6-Общий перпендикуляр расходящихся прямых

 

Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и P и q под прямым углом. Следовательно, m изображает  искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме.

. Теорема 3. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида). Справедливость теоремы очевидна из рис. 7. где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

Рисунок 7-Прямоугольная проекция стороны острого угла

 

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 4. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВ С и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка С  не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 8 а); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых. Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВСС В равна 4d, что невозможно в силу теоремы.

 

 

б) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 8 б).