Геометрия на Востоке

Содержание

Введение

Геометрия возникла очень  давно, это одна из самых древних  наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно. уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины  окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

1. Геометрия на Востоке

Родиной геометрии  считают обыкновенно Вавилон  и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу.

Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в  Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны  с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Payee ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры. Это — руководство, содержащее различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из последних почти все связаны с измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес принимает площадь равнобедренного треугольника  равной  произведению  основания  на   половину боковой  стороны,  а площадь  круга — равной  площади  квадрата,  сторона  которого  меньше диаметра  на   1/3  его часть (это  дает  л=3,160...);   площадь  равнобочной   трапеции   он принимает равной произведению   полусуммы   параллельных сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких других задач Ахмеса,  египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного  треугольника   определяются   отношением   катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее просвещенные   жрецы — хранители    египетской   науки, — что их данные являются лишь приближенными, об этом  мы не имеем  никаких сведений.  Столь же мало  знаем  мы о том, что прибавило к этим познаниям  египтян  следующее тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они во всяком случае не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Несомненно лишь то, что геометрические сведения  вавилонян  были  столь же  отрывочны и столь же  скудны.  Им  принадлежит деление окружности  на  360^о; они имели сведения о параллельных линиях и точно воспроизводили  прямые углы;   всё  это  было  им   необходимо   при астрономических  наблюдениях,  которые,  по-видимому,  главным   образом   и   привели   к   их   геометрическим   знаниям. Вавилоняне  знали,  что  сторона  правильного   вписанного   в круг  шестиугольника   равна    радиусу. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического,   периода  геометрии  являются  две  стороны  дела: во-первых,   установление   наиболее  элементарного   геометрического материала, прямо необходимого в практической работе,   а  во-вторых,   заимствование этого   материала  из  природы   путем непосредственного   наблюдения   («чувственного восприятия»,   по   словам    Евдема    Родосского).    Наиболее характерное   выражение  этого   непосредственного   апеллирования  к  интуиции  как  единственному   удостоверению   правильности  высказанной  истины   мы   находим   у   индусского математика Ганеши.

2. Греческая геометрия

2.1 Фалес Милетский

Греческие авторы относят  появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. и связывают его с именем Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важнее, по-видимому, другое. Трудно допустить, чтобы наука, "хотя бы в зачаточном своем состоянии, была перенесена на треческую почву одним чел овеком. Важио то, что в Элладе в иных условиях экономических отношений и социальной жизни образовался класс, для того времени несомненно прогрессивный, не только усвоивший восточную культуру, но и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким образом, уже свою высокую эллинскую культуру. В условиях быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, не только очень   скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, — задач, узких при всей их важности, — и поставить ей неизмеримо более широкие задания. Этой тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играть видную роль и абстрактная логика.

2.2 Пифагор Самосский

Пифагор Самосский (род. 580 до Р. X.), ученик Фалеса, подобно ему, сперва отправился в Египет, а потом в Индию; возвратившись в Италию он основал здесь свою школу, которая сделалась гораздо знаменитее той, из которой он произошел сам. Этому философу, сделавшему из геометрии часть своей философии, и его ученикам преимущественно принадлежат первые открытия в геометрии; самые важные из них: теория несоизмеримости некоторых линий, напр. диагонали квадрата с его стороною, и теория правильных тел. Впрочем первые успехи науки о протяжении состояли только из нескольких простейших предложений о прямой линии и круге. Между ними наиболее замечательны: теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника (за открытие которой, по сказанию истории, или басни, Пифагор принес в жертву гекатомбу) и то свойство круга и шара, что они из всех фигур одинакового периметра или одинаковой поверхности суть наибольшие; эта последняя теорема содержит в себе первый зачаток учения об изопериметрах.

2.3 Платонова школа

Геометрия оставалась в таком  ограниченном виде до основания Платоновой школы, которое было эпохою более важных открытий.

Платон (430-347 до Р. X.). Чтобы изучить математику, Платон, подобно своим предшественникам, отправился сперва к египетским жрецам, а потом в Италию к пифагорейцам. Возвратившись в Афины, он стал во главе новой школы и ввел в геометрию аналитический метод, конические сечения и учение о геометрических местах. Эти замечательные открытия сделали из геометрии как бы новую науку в сравнении с существовавшей до этих пор элементарной геометрией, науку высшую, которая учениками Платона названа была трансцендентною геометрией.

С этого времени стали  прилагать с замечательным искусством учение о геометрических местах к  решению знаменитых задач об удвоении куба, о двух средних пропорциональных и о делении угла на три равные части.

Первая из этих задач, известная  по своей трудности и по своему баснословному происхождению, занимала геометров еще прежде этого времени.

Гиппократ Хиосский (около 450 до Р.Х.), достаточно известный квадратурой своих луночек, привел задачу о удвоении куба к нахождению двух средних пропорциональных между стороной данного куба и удвоенной стороной его; по всей вероятности, это и было поводом к общей задаче о двух средних пропорциональных. Эта последняя задача была решена весьма различными способами, которые все делают честь геометрам древнего мира. Первое решение принадлежит Платону, который для этого изобрел особый снаряд, состоявший из прямого угла, на одной стороне которого двигалась прямая, оставаясь параллельною другой стороне: бесспорно это был первый пример механического решения геометрической задачи.

Менехм, ученик Платона, пользовался для той же цели геометрическими местами: двумя параболами, оси которых взаимно перпендикулярны, а также параболою и гиперболой между асимптотами.

Евдокс, другой ученик и друг Платона, прилагал другие кривые, нарочно для этой цели изобретенные им; к сожалению, его решение не дошло до нас и мы даже не знаем, какие это были кривые.

Решение знаменитого пифагорейца Архитаса, чтения которого слушал Платон в Италии, было чисто умозрительное. Оно замечательно тем, что основывалось на употреблении кривой двоякой кривизны; это была первая кривая такого рода, рассмотренная геометрами; по крайней мере она самая древняя из известных нам

Четыре приведенные здесь  решения задачи о двух средних  пропорциональных, как мы видим, существенно различны между собою. Та же задача и после того в течение многих веков занимала геометров и потому число решений её значительно увеличилось. Евтоций, математик шестого столетия по Р. X., к своем комментарии ко второй книге о шаре и цилиндре Архимеда, приводит решения Эратосфена, Аполлония, Никомеда, Герона, Филона, Паппа, Диоклеса и Спора. О всех этих математиках мы упомянем далее в хронологическом порядке.

Превосходные методы, указанные  Платоном и учениками его, ревностно разрабатывались их последователями и были предметом многих замечательных сочинений, в которых развиты были главнейшие свойства конических сечений, этих знаменитых кривых линий, которым 2000 лет спустя пришлось играть такую важную роль в небесной механике, когда Кеплер узнал в них истинные пути, описываемые планетами и спутниками, и Ньютон в их фокусах открыл средоточие силы, приводящей в движение все тела вселенной.

Важнейшим из таких сочинений  было сочинение Аристея (около 450 до Р. X.), которое состояло из пяти книг о конических сечениях и о котором древние отзываются с необыкновенною похвалою. К сожалению оно не дошло до нас, также как пять книг «о телесных местах» того же геометра.

2.4. Квадратрикса Диностра.

 К тому же почти  времени относится открытие квадратриксы Динострата. Главное свойство этой кривой дает способ делить угол на несколько частей, пропорциональных данным линиям, и вероятно она была изобретена для решения возбужденной в Платоновой школе задачи о делении угла на три равные части. Если бы эта кривая могла быть построена геометрически, то ею решалась бы также задача о квадратуре круга; вследствие этого она и получила от древних свое название — квадратрикса. Папп предполагает, что это свойство кривой было открыто Диностратом, братом Менехма, отчего новые геометры и назвали ее квадратриксой Динострата. Но из двух мест Прокла можно кажется заключить, что кривую эту открыл и обнаружил её свойства Гиппий, геометр и философ, живший во время Платона.

2.5. Открытие Персея

К этой же первой эпохе развития геометрии должно отнести Персея, который приобрел известность открытием улиткообразных линий (lignes spiriques). Он получал эти кривые, пересекая различными плоскостями кольцеобразную поверхность (tоrus), образуемую вращением круга около неподвижной оси, лежащей в той же плоскости.

Об этом предмете осталось только одно указание Прокла в его комментарии к первой книге Евклида, где он ясно описывает образование этих кривых на кольцеобразной поверхности и открытие их приписывает Персею. Спустя несколько строк]он прибавляет, что Гемин также писал об улиткообразных, и это замечание очень важно: оно доказывает, что Персей жил раньше Гемина, о котором известно, что он существовал около времени Гиппарха в двух первых столетиях до Р. X. Очень жаль, что сочинения Персея и Гемина не дошли до нас; было бы интересно узнать их геометрическую теорию улиткообразных, потому что это кривые четвертого порядка, исследование которых в настоящее время требует употребления уравнений поверхностей и довольно трудных вычислений.

2.6 Евклид. Элементы Евклида

Евклид (285 г. до Р. X.). В лице Евклида, знаменитого творца элементов геометрии, соединяется Платонова школа, в которой он получил свое образование, с вновь возникшею Александрийскою школой.

Еще до Евклида многие греческие  геометры писали об элементах геометрии. Прокл, который оставил нам имена их, особенно отличает следующих: Гиппократа Хиосского; Леона, сочинение которого было полнее и полезнее предыдущего; Федия Магнезийского, замечательного по тому порядку, в котором он расположил свое сочпнение; Гермотима Колофонского, который усовершенствовал открытия Евдокса и Фетеса и присоединил к элементам многие собственные исследования. Вскоре после этого явился Евклид, который, по словам Прокла, «собрал элементы, привел в надлежащий порядок многое открытое Евдоксом, дополнил начатое Фетесом и доказал строго всё, что до него было доказано еще неудовлетворительно».

Евклид ввел в элементы геометрии метод, известный под  названием reductio ad absurdum и состоящий в доказательстве, что всякое предположение, несогласное с доказываемой теоремой, ведет к противоречию; этот метод особенно полезен в таких изысканиях, где входит понятие о бесконечности под видом несоизмеримых количеств. Архимед в большинстве своих сочинений употреблял этот способ доказательства; Аполлоний пользовался им с успехом в 4-й книге о конических сечениях; новейшие геометры извлекли из него также много пользы в тех случаях, где наука не в состоянии дать прямого доказательства, которое одно доводит истину до совершенной очевидности и вполне удовлетворяет требованиям нашего ума.

Элементы Евклида состоят из 13 книг, к которым обыкновенно присоединяют две книги о пяти правильных телах, приписываемые Гипсиклу Александрийскому, который жил на 150 лет позднее Евклида.

«Можно получить ясное  понятие о всем сочинении, представив себе его составленным из четырех частей. Первая часть состоит из 6 первых книг; она в свою очередь подразделяется на три отдела, именно: прямые выводы свойств данных фигур, заключающиеся в книгах 1, 2, 3 и 4; далее теория отношений между величинами вообще в 5 книге и наконец приложения этой теории к плоским фигурам. Вторую часть составляют книги 7, 8 и 9, которым присваивается название арифметических, потому что в них говорится об общих свойствах чисел. Третья часть состоит из одной 10 книги, в которой автор рассматривает в подробности величины несоизмеримые. Наконец в четвертой части, состоящей из 5 последних книг, изучаются поверхности и тела. Из этого обширного учебника в наше преподавание введены только 6 первых, 11-я и 12-я книги.»

Элементы сделали имя Евклида знаменитым, хотя это — не единственный труд его, заслуживающий удивления. Великий геометр расширил пределы науки многими другими сочинениями, которые доставили бы ему не меньшую славу, если бы дошли до нас. Для нас сохранилось только одно из них, и именно наименее важное, известное под названием δεδομένα (данные, data). Это есть продолжение элементов, назначавшееся для того, чтобы облегчить употребление и приложение их к решению всех вопросов, входящих в область геометрии. Евклид называет здесь данным всё то, что, на основании теорем, заключающихся в элементах, непосредственно следует из условий задачи. Например, «если проводим из данной точки прямую, касательную к данному кругу, то эта прямая есть данная по величине и положению» (Теорема 91 в Data Евклида).

Древние и средневековые  геометры во всех геометрических изысканиях ссылались на теоремы «данных», также как и на теоремы «элементов»; сам Ньютон пользовался в «Principia» этою книгою Евклида, также как и «коническими сечениями» Аполлония. Но с того времени подобные следы древности исчезли из сочинений геометров и теперь книга «данные» знакома разве только тем, кто занимается историею науки.

Из некоторых теорем книги  «данные» легко можно вывести  решение уравнений второй степени, которое у древних в первый раз встречается только у Диофанта, жившего 600 лет позднее Евклида. Примером этому может служит следующая теорема: «Если две прямые, наклоненные под данным углом, заключают данную площадь и если дана их сумма, то и каждая из них будет дана (известна)». В 13-й книге элементов, имеющей предметом вписывание правильных многоугольников и многогранников в круг и шар, находим после 5-й теоремы следующее объяснение анализа и синтеза.

«Что такое анализ и  что синтез?

В анализе принимаем требуемое за доказанное и таким путем достигаем до истины, которую желаем обнаружить.

В синтезе начинаем с того, что уже доказано, и переходим  к заключению, или к познанию того, что нужно доказать.»

Многие следующие за этим предложения исследованы и по аналитическому и по синтетическому методу.

Из недошедших до нас трудов Евклида должно особенно сожалеть об утрате: четырех книг о конических сечениях, теория которых была им значительно развита, потом четырех книг о местах на поверхности и наконец трех книг о поризмах. Из предисловия к 7-й книге «Математического Собрания» Паппа видно, что сочинение «Поризмы» отличалось глубиною и проницательностью и употреблялось, как пособие, для решения труднейших задач. (Collectio artificiosissima multarum rerum, quae spectant ad analysin difficiliorum et generalium problematum.) 38 лемм, предложенных этим ученым комментатором для пояснения «поризм», доказывают, что «поризмы» Евклида заключали в себе такие свойства прямой линии и круга, которые в новейшей геометрии доставляются теорией трансверсалей.

2.7 Папп и Прокл

 Папп и Прокл суть единственные геометры древности, упоминавшие о поризмах; но уже во времена первого из них значение слова πόρισμα изменилось и объяснения как Паппа, так и Прокла, об этом предмете так неясны, что для ученых нового времени было трудной задачей понять, в чем заключалось различие, которое древние установили между теоремой и проблемой с одной стороны и третьим видом предложений, называвшихсяпоризмами, с другой; и в особенности трудно было узнать, что такое были именно поризмы Евклида.

Папп приводит тридцать предложений, относящихся к поризмам, но они изложены так кратко и от ветхости рукописи и утраты чертежа сделались настолько неполными, что знаменитый Галлей, который бесспорно имел достаточно опытности в деле древней геометрии, признается, что в этих предложениях он ничего не понимает и что ни одно из них не было еще восстановлено до средины последнего столетия, хотя лучшие геометры посвящали свои исследования этому предмету.

2.8 Р. Симсон

Р. Симсону принадлежит честь разъяснения как многих из этих загадочных теорем, так и той особой формы, которая была свойственна только этому роду предложений. Объяснение поризм, предложенное этим геометром, следующее:

«Поризма есть предложение, в котором высказывается, что некоторые геометрические величины могут быть определены и действительно определяются, если даны их соотношения с величинами постоянными и известными, а также с такими величинами, которые могут быть изменяемы до бесконечности; эти последние величины связываются сверх того одним или несколькими условиями, определяющими закон их изменяемости».

Например, если даны две неподвижные  оси, на которые из каждой точки некоторой прямой опускаются перпендикуляры и , то всегда можно найти такую величину (длину) и такое отношение , чтобы между двумя перпендикулярами существовало постоянное соотношение . (По способу древних это предложение будет выражено так: первый перпендикуляр будет более второго на величину данную относительно содержания).

Здесь данные постоянные величины — две оси; изменяемые величины —  перпендикуляры и ; закон, которому подчиняются переменные величины — условие, что точка, из которой опускаются эти перпендикуляры, берется всегда на данной прямой; наконец искомые суть длина и содержание , с помощью которых между постоянными и изменяющимися величинами устанавливается предписанное соотношение.

Из этого примера видно, в чем заключается сущность поризм, как понял ее Р. Симсом, воззрение которого вообще признается справедливым. Впрочем следует заметить, что не все геометры считают это воззрение Симсона истинным выражением идеи Евклида. Хотя мы, лично, и разделяем мнение знаменитого глазговского профессора, однако должны сказать, что в его сочинении мы не нашли полного разрешения великой загадки поризм. Это задача в действительности весьма сложная и для всех частей её желательно иметь решения, которых мы напрасно искали бы в труде Симсона. Остается еще разрешить следующие вопросы.

1) Какова была форма  выражения поризм?

2) Каковы были предложения,  заключавшиеся вообще в этом  сочинении Евклида и в особенности те из них, относительно которых Папп оставил нам весьма неполные указания?

3) Какие намерения и  философские соображения заставили  Евклида изложить это сочинение  в такой необыкновенной форме?

4) Почему это сочинение  заслуживало того особенного  предпочтения, которое дает ему  Папп перед всеми другими трудами древних? В одном только способе выражения теоремы конечно не заключается еще ни заслуги, ни пользы.

5) Какие в наше время  методы и операции, хотя и в  иной форме, ближе всего подходят к поризмам Евклида и что заменило их в решении задач? Нельзя же предположить, чтобы такое прекрасное и плодотворное учение могло без следа исчезнуть в науке.

6) Наконец было бы необходимо  дать удовлетворительное разъяснение  отдельных мест у Паппа об этих поризмах, — например того места, где он говорит, что новые геометры изменили значение слова поризма, потому что сами собою не могли всего найти, или, так сказать, поризмировать. Если бы поризмы отличались]только способом выражения, как это, кажется, должно заключить из воззрения Р. Симсона, то во всякое время было бы легко поризмировать все предложения, способные к этому; и мы не видим, в чем могли заключаться трудности, принудившие новых геометров изменить значение слова.

Вскоре после Евклида  являются два человека, одаренные  необыкновенною умственною силою, — Архимед и Аполлоний; ими обозначается самая блистательная эпоха древней геометрии. Многочисленные открытия их во всех отделах математического знания положили основание многим из самых важных современных теорий.

2.9 Архимед

Архимед (287-212 до Р. Х.). Квадратура параболы, выведенная Архимедом двумя различными способами, была первым примером точного определения площади, заключающейся между прямою и кривою линией.

Всем хорошо известно, что  Архимеду принадлежат следующие  открытия: исследование спиралей, отношения их площади к площади круга, способ проводить к ним касательные; определение центра тяжести параболического сектора; выражение объема отрезков сфероида, параболического и гиперболического коноидов; соотношение между шаром и описанным цилиндром; отношение окружности к диаметру и многие другие. Эти открытия навсегда останутся удивительными по новизне и трудности, которые они представляли в свое время, и потому, что в них лежат зачатки большей части дальнейших открытий, преимущественно в тех отделах геометрии, которые касаются измерения]кривых линий и поверхностей и требуют рассмотрения бесконечных величин.

Изыскание отношения окружности к диаметру было первым примером решения  задачи по приближению; этот способ решения с успехом и пользою прилагается весьма часто как в алгебраических вычислениях, так и в геометрических построениях.

Способ, который Архимед  употреблял для доказательства всех этих новых и трудных истин, по сущности своей был способ истощения (méthode d'exhaustion). Он состоял в том, что искомая величина, напр. кривая линия, рассматривалась как предел, к которому приближаются вписанные и описанные многоугольники по мере постепенного удвоения сторон, так что разность становится менее всякой данной величины. При этом мы как бы истощаем разность, откуда взято и название способа истощения. Такое постепенное приближение многоугольника к кривой доставляет нам о ней всё более и более ясное представление и, при помощи закона непрерывности, мы открываем её искомое свойство. В заключение, прилагая метод reductio ad absurdum, мы доказываем строго справедливость найденного результата.

Часто говорят, что древние  рассматривали кривые линии, как  многоугольники с бесконечно большим числом сторон. Но такого положения мы нигде не встречаем в их сочинениях и оно было бы в совершенном противоречии с строгостью их доказательств: оно введено новейшими математиками и, благодаря ему, значительно упростились доказательства древних. Эта счастливая мысль составляет уже переход от метода истощения к исчислению бесконечных.

Утверждают также, что  методы Архимеда запутаны и мало понятны, основываясь в этом случае на показании Бульо (Boulliaud) довольно искусного геометра XVII столетия, который говорит, что он не мог хорошенько понять доказательств в книге Архимеда о спиралях. Но это мнение противоположно мнению самих древних, которые, благодаря удивительному порядку и ясности, введенным Евклидом в геометрию, должны были быть самыми верными судьями в этом деле; подобный приговор опровергается также и мнениями новых геометров: достаточно указать на суждения Галилея и Маклорена, которые достаточно изучали творения Архимеда.

«Действительно думают, говорит  Маклорен, что для доказательства главных предложений нужно бывает много приготовительных теорем, отчего метод его (Архимеда) кажется тяжелым. Но число переходных предложений не составляет еще важного недостатка: лишь бы мы были убеждены, что эти переходы необходимы для полного и связного доказательства».

Пеирар (F. Peyrard), который из всех ученых нашего времени изучил наиболее основательным образом и во всех подробностях творения четырех великих геометров древности: Евклида, Архимеда, Аполлония и Паппа, который перевел и объяснил их, говорит прямо:

«Архимед в действительности труден только для тех, кто не освоился с методами древних; для тех же, кто изучал эти методы, он напротив ясен и легко понимается».

2.10 Аполлоний

Аполлоний (около 247 до Р. X.). Аполлоний написал сочинение в 8 книгах о конических сечениях. В первых четырех книгах содержалось, местами в более развитой и обобщенной форме, всё то, что было прежде написано об этом предмете и что в то время называлось элементами конических сечений четыре последние книги заключали в себе собственные открытия этого великого геометра.

Аполлоний первый рассматривал конические сечения на косом конусе с круглым основанием: до него для этой цели употребляли всегда прямой конус вращения и притом всегда брали секущую плоскость перпендикулярную к образующей; вследствие этого было необходимо для получения трех родов конических сечений рассматривать три конуса с различными углами при вершине. Поэтому и самые кривые носили названия сечений остроугольного, тупоугольного и прямоугольного конуса; названия эллипс,]гирпебола и парабола даны им в первый раз в сочинении Аполлония.