Геометрия прямоугольного бильярда

    ОГЛАВЛЕНИЕ

    ВВЕДЕНИЕ  2 
ГЛАВА I. Бильярд в круге.

1. Шар в круглом бильярде без луз.  5
2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел. 13
3. Теорема Пуанкаре о возвращении.                              22

           
ГЛАВА II. Геометрия прямоугольного бильярда.

1. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луз 26
2. Бильярд в прямоугольнике и торе 36

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40

    СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

    Методы  исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к  традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной  математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической  механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют  получить далеко не элементарные выводы.

      Игра в бильярд на прямоугольном столе с лузами (рис. 1) появилась до нашей эры в Индии и Китае. Через много веков бильярд перекочевал в европейские страны — упоминание о нем имеется в английских  летописях  VI  века.

     Более поздние  сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку. Так, французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь играл в бильярд, когда раздался условный звон колоколов парижского собора Сен-Жермен Д'Акселеруа. В 1760 году английский король Георг II издал указ, запрещающий игру в бильярд в общественных местах под страхом штрафа в 10 фунтов. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две — в серединах более длинных сторон. Отличались эти игры лишь количеством шаров — иногда довольствовались тремя шарами (как, например, английский король Генрих VIII), а иногда — пятнадцатью или двадцатью.

    Подобно тому, как азартная игра в кости  вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила  предметом серьезных научных  исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном  столе с лузами посвящена   книга   известного    французского    физика   Г.Г.Кориолиса, написанная им в 1835 году за год до избрания его  академиком Парижской академии наук.

    Известны  различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами. Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда.

    Рассмотрим  горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов (рис. 2).

     Спрашивается, какой может быть траектория этого  шарика? Математическая проблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ на этот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q), — и называется математическим бильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки  q () и начальным вектором ее скорости v.

    Пренебрежение трением означает, что абсолютная величина скорости v при движении точки считается неизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени t = 0 вектор v можно считать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направление вектора v(t), т.е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки q(t)) о борт Г в точке P шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт Г в окрестности точки P криволинейный, то углы падения и отражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке P (рис. 2). Таким образом, траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.

    Борт Г бильярда может иметь и точки излома — типа точек А₁, А₂, ... (рис. 2). Касательная к кривой Г в такой точке не определена. Поэтому бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, будем считать оканчивающейся в ней. Такие «тупиковые» траектории в определенном смысле исключительны, и их, как правило, рассматривать не будем. Сформулированная выше проблема траекторий относится к поведению не особых, бесконечных во времени траекторий.

     Общая математическая проблема бильярда заключается в  том, чтобы описать возможные  типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания — разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные — непериодические. На рис. 3 изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге. Траектория с «начальным условием» будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период), точка возвращается в свое начальное положение q с первоначальной скоростью .                                                    

    Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» — таковыми представляются, например, движения планет около Солнца и качания маятника. 
 
 
 
 
 

Глава 1. Бильярд в круге.

1. Шар в круглом  бильярде без луз. 

    Рассмотрим  шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями являются вписанные в Г ломаные …, обладающие свойством равенства в точках ,... углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов ,... (рис. 4, а).

    Отметим, что из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равны между собой:

    === … =

    И, во-вторых, что равны опирающиеся на них центральные углы:

    = = =...

    Действительно, для любого k=1,2,3,... равны треугольники и , как равнобедренные с равными углами при основаниях (рис. 4, б), откуда и вытекают указанные равенства хорд и центральных углов.

    Нетрудно  видеть также, что середины всех звеньев траектории удалены от центра круга на одинаковые расстояния и, таким образом, расположены на окружности с тем же центром O. Следовательно, вся бильярдная траектория расположена в круговом кольце (рис. 4, в).

    Это позволяет очень просто строить  все звенья бильярдной траектории по какому-то одному из них — для этого достаточно провести концентрическую с исходной окружность γ радиуса ОК, где К — середина данного звена, затем из концов этого звена провести касательный к окружности γ до пересечения с внешней окружностью Г, затем из концов построенных хорд — опять касательные к окружности γ до пересечения с Г, и так далее - это и будут звенья искомой бильярдной траектории.

    Таким образом, было установлено важное свойство: любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются все ее звенья. Отсюда следует, что бильярд в круге не эргодичен, поскольку эргодичность означает, не только прохождение шара через любой маленький кружок внутри области Q в какой-то момент времени, но и, в частности, пребывание в ней за большой промежуток времени T доли времени, равной в пределе (когда T устремляется к бесконечности) отношению площади этого кружка к площади всей области Q. Для круга же не выполнено даже первое из этих условий, которое носит название всюду плотности бильярдной траектории. Поэтому бильярдная траектория в круге не всюду плотна в нем.

    Тем не мене можно выяснить не только указанные  факты отрицательного, гак сказать, свойства, но и полностью решить проблему бильярда в круге: дать критерий, позволяющий выделять периодические траектории и изучить характер поведения непериодических траекторий.

    Для этого обозначим через  α  радианную меру углов .. Ясно, что каждая вершина траектории ... получается из предыдущей вершины поворотом на угол α относительно центра O окружности Г, откуда следует, что вершина получается из начальной вершины поворотом на угол . Докажем, что вид бильярдной траектории в круге полностью определяется числом α. А именно:

    а) если число α соизмеримо с π, т. е. дробь является рациональным числом (равным некоторой дроби с целыми m и n (n ≠ 0)) то бильярдная траектория периодична.

    б) если α и несоизмеримы, т. е. число иррационально, то отвечающая углу α  траектория непериодична.

    Доказательство. а) Если  α  соизмеримо с  , то его можно представить в виде , где т и п - целые числа .Тогда пα = 2, и поэтому при повороте на угол пα каждая точка окружности Г переходит в себя. В частности, все вершины рассматриваемой бильярдной траектории … … обладают тем свойством, что  

    т. е. вершины, начиная с n-й, повторяются. Это и означает, что бильярдная траектория периодична, и утверждение пункта (а) доказано.

    Сколько же звеньев будет содержать рассматриваемая  траектория

? Если несократимая дробь, то отвечающая α периодическая траектория — это траектория , где п - знаменатель указанной дроби, и состоит она ровно из п звеньев. При m=1 это будет правильный n-угольник, вписанный в окружность Г (рис. 5, а), а при т ≥ 2 бильярдная траектория представляет собой правильную самопересекающуюся замкнутую (звездчатую) ломаную, вписанную в Г (рис. 5, б).

    Иными словами, бильярдный шар после  n отражений от борта Г оказывается в исходной точке , сделав m оборотов вокруг центра O (т.е. повернувшись вокруг центра на угол ).

        б) Предположим, что бильярдная траектория и в этом случае периодична. Докажем тогда, что α и π соизмеримы, что противоречит условию пункта (б) и тем самым доказывает его утверждение.

    Из  периодичности траектории вытекает, что, начиная с некоторого номера n, вершины траектории повторяются: , и т.д. Но это означает, что при повороте на радиан точка переходит сама в себя; следовательно, есть целое кратное полного угла: Отсюда - рациональное число. Искомое противоречие получено.

    Доказательство  пункта (а)  полностью  описывает  периодические траектории в круге. Доказательство же пункта (б) велось от противного и поэтому качественное поведение непериодических траекторий остается неизвестно. Однако интуитивно ясно, что непериодическая бильярдная траектория должна вести себя, в отличие от периодической, неким «нерегулярным» способом.

    Эту «нерегулярность» можно представить, например, так. Будем считать, что  бильярдный шар при движении оставляет  «чернильный след» ненулевой  «толщины». Если шар описывает периодическую  траекторию, то, хотя она может быть очень «звездчатой», и заполнять  кольцо K между внешней и внутренней окружностями Г и γ «очень плотно», но все-таки не «всюду плотно» — на кольце обязательно останутся такие участки (например, маленькие кружки), которые периодическая траектория никогда не пересечет (рис. 6).

    Иное  дело, когда шарик описывает непериодическую  траекторию. В этом случае он рано или  поздно побывает в любом кусочке  кольца К. Другими словами, каким бы тонким ни был чернильный след, оставляемый бильярдным шаром (но имеющим все-таки ненулевую толщину), он со временем обязательно закрасит все кольцо K целиком (рис. 7). Это и означает нерегулярность, а на математическом языке — «всюду плотность» бильярдной траектории в кольце K. (Ранее было доказано, что бильярдная траектория в круге Q не всюду плотна, т.е. чернильный след шара не может закрасить всего круга. Однако для кольца K такая возможность логически ничему не противоречит).

    После всего сказанного бильярд в круге  можно считать полностью исследованным. Резюмируем полученные результаты в  виде теоремы.

    Теорема 1. Траектория бильярда в круге является либо периодической, если число — рационально, либо всюду плотной в кольце К между бортом Г и концентрической с Г окружностью γ, если число — иррационально. 

    Задача.

    а) Докажите, что никакая непериодическая бильярдная траектория в 
круге не содержит двух параллельных звеньев.

    б) Может ли у периодической бильярдной траектории в круге, какие- 
то два звена которой параллельны друг другу, быть 1717 звеньев? 1718 
звеньев? А если она самопересекающаяся? Если может, укажите способ 
построения всех периодических траекторий таким числом звеньев и найдите 
максимальную длину траектории из этого класса (принимая радиус 
круга за 1).

    в) Обобщите вопрос пункта б) на произвольное число звеньев п. 
   Решение. а) Если какие-то два звена и траектории параллельны, то они центрально-симметричны относительно центра круга O. Поэтому и вся траектория центрально-симметрична относительно O (рис. 8). Значит, если шар перешел со звена на звено после отражений, то еще через отражений он вернется на звено , и вся траектория замкнется — траектория окажется периодической.

    Поэтому, если заранее выбрать радиус r внутренней окружности у кольца K (радиус внешней равен 1) и провести к две параллельные касательные то они заведомо не будут звеньями одной траектории, если только число несоизмеримо с π.

б), в). Если бильярдная траектория периодическая  и содержит два параллельных звена, то все звенья разбиваются на пары параллельных (рис. 9), так что число звеньев п в этом случае обязательно четно. Итак, 1717 звеньев быть не может. 1718 звеньев у траектории быть может — например, у правильного вписанного 1775-угольника P. Остальные бильярдные траектории с изломами в вершинах многоугольника P получатся, если соединять эти вершины через одну, через две, через три и т.д. Однако 1718 = (859 — простое число), поэтому, соединяя вершины через одну, получим два 859-угольника без общих вершин. Аналогична ситуация, когда соединяются вершины через 3 (на четвертую), через 5 (на 6-ю) и т. д.— получается несколько замкнутых ломаных. Если же соединять вершины через на -ю, где взаимно просто с 1718 (вершину l соединить с ()-й, 2-ю с ()-й и т. д.), то полученные замкнутые бильярдные ломаные будут содержать ровно 1718 звеньев, причем все звенья будут разбиты на 859 пар попарно параллельных (см. рис. 9, на котором изображена траектория из 14 = звеньев). Наибольшей длины звенья будут у траектории, соединяющей вершины l и 858, 2 и 859, 3 и 860 и т.д. Из треугольника на рис. 10 следует, что длина звена (l; 858) равна: 
 

    Поскольку угол, стоящий под знаком синуса, равен примерно , имеем , поэтому максимальная длина бильярдной траектории из 1718 звеньев равна: 

Шар при  ее обходе сделает 857 оборотов.

2. Теорема Якоби. Применение к  теории чисел.

    Теорема 2. Если и π несоизмеримы (т.е. число — иррационально),

то  любая траектория бильярда в круге, отвечающая углу α (т.е. каждое звено которой видно из центра круга под углом α; рис. 4,б), всюду плотно заполняет кольцо К.

    Доказательство  теоремы 2 опирается на следующую теорему, в дальнейшем применяемую в качестве основного рабочего инструмента при доказательстве утверждений.

    Теорема   Якоби   (3).  Пусть α — несоизмеримое с π число, {_,...,} = {_k} — бесконечная последовательность точек окружности

Г такая, что каждая следующая точка последовательности получается из предыдущей точки _k  поворотом около центра на α радиан. Тогда для любой дуги окружности Г хотя бы одна точка последовательности {} лежит на этой дуге.

    Прежде  чем доказывать теоремы Якоби, выведем  из нее теорему 2. Доказательство теоремы 2. Пусть α — несоизмеримое с λ число, γ — окружность, которой касаются все звенья каждой отвечающей углу α бильярдной траектории внутри окружности Г. Пусть K — кольцо между γ и Г, а  D — произвольный кружок внутри кольца К. Проведем через центр кружка D хорду MN окружности Г, касающуюся окружности γ (рис. 11). Если провести касательные к кружку D касающиеся окружности γ, то они высекут на окружности Г некоторую дугу , в которой расположена точка М. Очевидно, что для любой другой точки М’ дуги , касательная, проведенная из нее к окружности у по ту же сторону, что и хорда MN, пересечет кружок D.

    Рассмотрим  теперь любую бильярдную непериодическую  траекторию _,..., отвечающую углу α. Требуется доказать, что хотя бы одно из ее звеньев пересекает кружок D.

    Согласно  теореме Якоби, точки _,..., всюду плотно заполняют окружность Г. Следовательно, хотя бы одна из них, скажем , лежит на построенной выше дуге . В силу выбора этой дуги одно из двух звеньев траектории, выходящей из точки (а, тем самым, касательных к окружности γ), пересекает кружок D (в качестве точки М' на (рис. 11) следует взять точку _п). Тем самым теорема доказана.

    Доказательство  теоремы Якоби. Двигаясь от точки последовательными дуговыми шагами величиной α каждый (рис. 12) и попадая в точки ,... остановимся в точке _п, как только впервые перескочим точку (дуга меньше 2π, а дуга больше 2π).

    Обозначим точку буквой , а ближайшую к ней из точек (до перескока) и (после перескока) — буквой В. Тогда β — длина дуги АВ — не больше . 

    Начав двигаться от точки B прыжками величиной α, через некоторое число шагов попадем в точку, отстоящую от точки B на β, затем на 2β, потом на 3β и т.д. (рис. 12).

    Можно считать, что масштаб длины сжался и движение по окружности  Г идет дуговыми шагами уже величиной β, по крайней мере вдвое меньшими, чем величина шага α при начальном движении от точки А.

    После определенного числа шагов величиной  β каждый, впервые перескочим точку В и выберем после этого ближайшую к ней (из двух точек — до перескока и после него) точку С. Пусть длина дуги ВС равна φ, тогда φ. Как и выше, получим, что можно опять изменить масштаб длины и считать теперь величину прыжка равной φ.

    Повторяя  описанный процесс k раз, получим величину прыжка, не большую чем . Но при больших k величина стремится к нулю, т.е. становится меньшей произвольного числа ε > 0, так что попадем в любую, сколь угодно малую дугу , произвольно выбранную на окружности Г. Теорема Якоби доказана.

    Определение. Произвольная бесконечная последовательность точек на единичной окружности (или на отрезке [0, 1]) называется равномерно распределенной на (на [0, 1]), если для любой ее дуги (интервала) «доля» попавших на нее точек равна длине этой дуги (интервала) l().

    Иными словами, если ограничиться лишь конечным числом п точек _, то отношение числа k(п) точек, попавших в дугу , к общему числу точек п, т.е. их доля на окружности длины 1, будет мало отличаться от длины дуги l(). Это отличие будет тем меньше, чем большее число точек рассматривается, и в пределе при п величины и l() совпадут.

    Сказанное можно выразить формулой: 

     (1)

    Свойство  равномерной распределенности —  асимптотическое. Можно доказать следующее  утверждение.

    Теорема о равномерном  распределении точек  на окружности (4).

    Последовательность  точек ... на окружности , полученных каждая из предыдущей поворотом на иррациональный (несоизмеримый с ) угол α, равномерно распределена на .

    При доказательстве теоремы Якоби использовано то обстоятельство, что сначала производились  прыжки одинаковой величины α, затем (после изменения масштаба длины) — прыжки одной и той же величины β≤, затем все прыжки становились равными γ≤, и т.д. Итак, при каждой замене масштаба прыжки имеют одну и ту же величину, которая меньше величины прыжка при предыдущей замене масштаба в 2 или большее число раз.

1. Известно,  что  члены  геометрической  прогрессии со знаменателем , по модулю меньшим 1, образуют экспоненциально стремящуюся к 0 последовательность.
2. Равенство длин этих прыжков и их экспоненциальное убывание.
3. При каждой замене масштаба означает, что число точек, попавших в данный интервал , пропорционально его длине — это выполнено тем точнее, чем больше сделано замен масштабов длины. Но это и означает равномерность распределения.

    Теорема  Вейля  (5).

    Если  среди коэффициентов многочлена хотя бы один - число иррациональное, то последовательность , где равномерно распределена на полуинтервале [0, 1). 
 

    Теория  равномерного распределения была создана  Г.Вейлем в 1916 году. Она появилась  на стыке нескольких математических дисциплин (действительный и комплексный  анализ, теория чисел, теория вероятностей и др.) и долгое время ее приложения ограничивались различными вопросами  «чистой» математики и механики. Вычислительная математика заинтересовалась равномерно распределенными последовательностями в 50-х годах, после возникновения  методов Монте-Карло, когда оказалось, что точки таких последовательностей  могут в некоторых случаях  играть роль квазислучайных чисел.

    Метод Монте-Карло можно определить как  метод моделирования случайных  величин с целью вычисления характеристик  их распределений.

    Возникновение идеи использования случайных явлений  в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда  появилась работа Холла об определении  числа π с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число π, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.