Гомология и гомотопия

Введение

Гомотопическая топология, находившаяся в 40-60-е годы в фазе интенсивного развития, достигла к  настоящему времени положения относительного равновесия. При этом в ней достаточно ясно обозначились границы круга  понятий и фактов, представляющих общематематический интерес. В то же время область применений топологии, в том числе гомотопической, значительно  расширилась, охватив, наряду с геометрией и анализом, теоретическую физику и ряд прикладных дисциплин. Поэтому  молодому математику, какую бы специальность  он себе не избрал, стоит как можно  глубже изучить гомотопическую топологию.

В данной курсовой работе будут рассмотрены гомотопические топологии.

Объектом курсовой работы являются гомологии и гомотопии.

Предмет – определение гомотопии, гомотопии и гомотопические эквивалентности, фундаментальная группа, сингулярные гомологии, гомологии и гомотопии.

Цель курсовой работы – рассмотреть гомотопические топологии, а именно гомотопии и гомологии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определение гомотопии.
2. Рассмотреть вычисления фундаментальных групп.
3. Выявить связь между гомологическими и гомотопическими группами топологического пространства.

Для решения данных задач  применялись следующие методы исследования: обзор литературы, анализ наглядных пособий, метод аналогии.

Курсовая работа состоит  из введения, двух глав, заключения и  списка использованных источников.

1 Гомотопии

1.1 Гомотопии и гомотопические эквивалентности.

Определение гомотопии. Пусть X и Y — топологические пространства. Непрерывные отображения f: X → Y и g: X → Y называются гомотопными (f~g), если существует семейство отображений φ_t: X → У, t I, такое, что (1) φ₀ =f, φ₁=g и (2) отображение Ф: X×I → Y, Ф(х, t) =φ_t (х), непрерывно. (Условие (2) является формализацией требования "непрерывной зависимости" φ_t от t.) Отображение Ф (или иногда семейство φ_t) называют гомотопией, связывающей f с g.

Очевидная проверка показывает, что отношение гомотопности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Все отображения произвольного пространства X в отрезок I гомотопны между собой. Действительно, отображения x(1-t)f(x)+tg(x)составляют гомотопию, связывающую произвольные отображения f, g: X → I. (Это же рассуждение применимо к отображениям произвольного топологического пространства X в произвольное выпуклое подмножество пространства Rⁿ, в частности, пространства R^∞.)

Заметим еще, что  условие непрерывной зависимости  отображения φ_t от t можно выразить по-другому: гомотопия есть путь в пространстве С (Х, Y), соединяющий точку f C (X, Y) с точкой gC (X, Y). Впрочем, это определение равносильно нашему определению гомотопии лишь для достаточно хороших пространств.

Множества Множество классов, на которые отношение гомотопности разбивает множество С(Х,Y)(они называются гомотопическими классами),обозначается через

Примеры.1. Множество состоит (при любом X) из одного элемента.

2. Множество, где * — точка, есть множество компонент линейной связности пространства Y.

Очевидно, что  со сделанными выше оговорками множество можно трактовать как множество компонент линейной связности пространства С (Х_, У). Пусть X, Xʹ, У — пространства и h: Х → Х^ʹ — непрерывное отображение; определим отображение h*:следующим образом: в классе выберем любой представитель f и классу поставим в соответствие класс h^* (), содержащий отображение f С (Х, Y), т.е. композицию X→ Х ^ʹ→ Y.

Пусть теперь X, Y, Yʹ — пространства и h: Y → Y' — непрерывное отображение. Определим отображение h_*: (Х, Y') следующим образом: возьмем , выберем в любой представитель f и классу поставим в соответствие класс h_* () отображения С(Х, Y').

Гомотопическая эквивалентность. Мы приведем три определения этого понятия.

Определение 1. Пространства Х₁, Х₂ называются гомотопически эквивалентными (Х₁ ~ Х₂), если существуют непрерывные отображения f: X₁ → Х₂, g: X₂ → Х₁, такие, что композиции X₁ → Х₁, X₂ → Х₂ гомотопны тождественным отображениям X₁→ Х₁, X₂ → Х₂.

Кстати, f и g в этой ситуации называются гомотопически взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями.

Замечание. Если отображения и не просто гомотопны тождественным отображениям, но и являются таковыми, то f и g — взаимно обратные гомеоморфизмы. Таким образом, определение гомотопической эквивалентности аналогично определению гомеоморфизма.

Определение 2. Х₁ ~ Х₂, если существует способ определить для любого пространства Y взаимно однозначное соответствие φ_Y: (X₁,Y) →(X₂,Y) таким образом, что для любого отображения h: Y → Y' диаграмма

коммутативна, т.е. φ_Yh_* = h_* φ_Y.

 Определение 3. Х₁ ~ Х₂, если существует способ определить для любого пространства Y взаимно однозначное соответствие φ^Y:(Y, X₁) → (Y, X₂) таким образом, что для любого отображения h: Y → Y' диаграмма

 коммутативна, т.е. φ^Y h* = h* φ^Yʹ.

Теорема. Определения 1, 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 1 и 2. Пусть Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 2; тогда определено взаимно однозначное соответствие φ_Х2: (X₁,Х₂) →(X₂,Х₂). Положим = φ_Х2 ([id_X2]) (id_z есть тождественное отображение множества Z, квадратные скобки обозначают переход от отображения к его гомотопическому классу) и выберем f. В то же время определено взаимно однозначное соответствие: φ_Х1: (X₁,Х₁) → (X₂,Х₁). Положим β= φ_Х1 ([id_X1]) и выберем g β. Покажем, что ~ id_X2. Диаграмма коммутативна согласно определению. Отсюда φ_Х2 f_*=f_* φ_Х1 . Рассмотрим образ элемента [id_X1] относительно входящих в диаграмму отображений. Имеем: f_* ([id_X1])= id_X1]=[f] по определению f_*; далее, φ_Х2([f])= [id_X2] в силу выбора f. Следовательно, φ_Х2 f_* ([id_X1])= [id_X2]. С другой стороны, f_* φ_Х1([id_X1])=f_*([g]=g]. Из коммутативности диаграммы [fg] = [id_X2], т.е. g ~ id_X2.

Аналогичным образом доказывается, что g f ~ id_X1 . Таким образом, Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 1.

Теперь предположим, что Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 1, т.е. что имеются отображения f: X₁ → Х₂, g: X₂ → Х₁ такие, что f g ~ id, g id. Возьмем любое пространство Y, положим

φ_Y = g*:(X₁,Y) → (X₂,Y)

и покажем, что последнее  отображение обратно отображению

f^*: (X₂,Y) → (X₁,Y).

Действительно, пусть h C(X₁,Y). Тогда f* g*([h])=f*([h g]) (по определению g*) = [(hg) f] (по определению f^*) = [h(g f)]=[h] (так как g f id). Аналогично проверяется, что g* f*= id. Итак, отображение φ_Y обладает обратным и потому является взаимно однозначным соответствием. Проверим, что оно обладает и вторым свойством из определения 2. Пусть Y' и k: Y → Y' — любое пространство и любое непрерывное отображение. Покажем, что диаграмма коммутативна. Пусть h C(X₁,Y). Тогда, с одной стороны, k_* ([h]) =[k],g^*([k])=[(k)]и, с другой стороны, g*([h]) = [h],k_*([h])=[k].

Наше утверждение доказано. Эквивалентность определений 1 и 3 проверяется точно так же.

Класс гомотопически эквивалентных пространств называется гомотопическим типом.

Пример гомотопически  эквивалентных не гомеоморфных пространств: Х₁ – окружность, Х₂ — кольцо (см. рис. 1). Здесь можно взять за f: X₁ → Х₂ естественное вложение и положить g = f^-1 h: Х₂→X₁, где h – сжатие по радиусам.

Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение Х→Х гомотопно отображению X → X, переводящему все X в точку ("постоянному" отображению) .

Упражнения. Докажите, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно точке.

1. Докажите, что конус над любым пространством стягиваем.
2. Докажите, что пространство Е (Х_, х₀) стягиваемо для любого пространства X.
3.    Докажите, то цилиндр отображения Х → У гомотопически эквивалентен пространству Y.
4. Если Х₁ ~ Х₂,то ∑Х₁ ~ ∑Х₂.
5.    Предыдущее утверждение называют иногда гомотопической инвариантностью надстройки; сформулируйте и докажите аналогичные утверждения о гомотопической инвариантности для произведения, джойна, пространств отображений, путей и петель.

Ретракты. Подпространство А пространства X называется его ретрактом, если существует непрерывное отображение r: Х → Х (''ретракция"), такое, что r(Х)= =А и r (а) = а при а А. Например, любая точка любого пространства является его ретрактом, а объединение двух концов отрезка его ретрактом не является: мешает теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Не является ретрактом и граничная окружность в круге и вообще сфера S^n-1 в шаре Dⁿ, но мы пока не рас - полагаем средствами, чтобы это доказать.

Упражнения. Основания цилиндра являются его ретрактами.

Основание конуса СХ является его ретрактом в том и только в том случае, когда пространство X стягиваемо.

Если ретракцию можно сделать гомотопной тождественному отображению, то А называется деформационным ретрактом пространства X; если, сверх того, гомотопию, соединяющую ретракцию с id, можно выбрать неподвижной на А (т.е. такой, что (a, t) а при а А, t , то А называется строгим деформационным ретрактом пространства X.

Очевидно, деформационный ретракт  пространства X гомотопически эквивалентен А. Более того, А является деформационным ретрактом пространства X в том и только в том случае, если включение А → X является гомотопической эквивалентностью (ср. приведенный выше пример гомотопической эквивалентности: окружность — кольцо). Таким образом, понятие деформационной ретракции, в сущности, не ново для нас; о понятии строгой деформационной ретракции этого не скажешь, но, как мы увидим, его отличие от понятия деформационной ретракции проявляется лишь в патологических случаях.

Упражнения. Точка тогда и только тогда является деформационным ретрактом пространства X, когда X стягиваемо (это утверждение демонстрирует различие между ретракцией и деформационной ретракцией).

1.2 Фундаментальная группа

Определение. Фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой х₀ называется его одномерная гомотопическая группа ₁(X) = _b (S¹, X).

 Рассматриваются петли пространства X, т.е. такие отображения φ: I → X, что φ (0) = φ (1) = x₀. Петли φ и φ^ʹ называются гомотопными, если существует такая гомотопия φ_t: I → Х, что φ₀ = φ, φ₁ = φ^ʹ и φ_t (0) = φ_t (1) = x₀  (0 ≤ t ≤ 1). Произведение φψ петель φ и ψ - это петля χ, у которой χ (t) = φ (2t) при t ≤ 1/2 и χ (t) = ψ (2t - 1) при t ≥ 1/2. Другими словами, произведение двух петель – это петля, составленная из этих двух петель, которые проходятся последовательно. Как легко проверить, это умножение порождает умножение и в множестве гомотопических классов петель (проверять нужно, что если φ φʹ, ψ ψʹ, то φψ ψʹ ), при этом последнее относительно введенной операции является группой (в отличие от самого множества петель, умножение в котором удовлетворяет групповым операциям лишь "с точностью до гомотопии": φ (ψ χ) ~ (φψ)χ и т. д.). Это и есть фундаментальная группа ₁ (X, x₀). Ясно, что обратным к классу петли φ: I → X служит класс петли φʹ: I → X, определенной формулой φʹ (t) = φ (1 - t).

Отображение f: X → Y, такое, что f(x₀) = у₀, очевидным образом индуцирует групповой гомоморфизм f_*: ₁ (X,x₀) →₁(Y,y₀). Ясно, что если отображения f, g: X→Y гомотопны (с учетом отмеченных точек), то гомоморфизмы f_*, g_* совпадают.

Зависимость от отмеченной точки.

Теорема 1. Если пространство Х линейно связно, то ₁ (X, x₀) ≈₁(X, x₁) для любых точек x_0, x₁.

Доказательство. Поскольку X линейно связно, существует путь : I → Х_, у которого (0) = х₀, (1) = x₁. Мы построим отображение _#: ₁ (X,x₀) →₁(X,x₁). Пусть Ф ₁ (X, х₀) и φ Ф. Положим _#(φ) = ()^-1(конечно, можно перемножать не только петли, но и пути, лишь бы только второй путь начинался там, где кончался первый). Получаем петлю с началом (и концом) x₁. Очевидно, что при замене петли φ и пути гомотопными (гомотопность путей понимается в том же смысле, что и гомотопность петель: подразумеваются гомотопии с закрепленными концами) петля _# () также заменится гомотопной, а потому _# определяет зависящее только от гомотопического класса пути отображение ₁ (X,x₀) →₁(X,x₁),также обозначаемое символом _#. Обратное отображение строится совершенно аналогично: _#^-1 ([ψ]) = [( ^-1 ψ)].

Легко проверить, что _# есть гомоморфизм и, значит, изоморфизм.

Изоморфизм _# зависит, конечно, от _. При замене пути на негомотопный ему путь β мы получим, вообще говоря, другой изоморфизм. Точнее: если γ = β^-1, то для любого Ф₁ (X,x₀) имеет место равенство β_# (Ф) = [γ] _# (Ф) [γ]^-1 (очевидно, γ есть петля, так что определен элемент [γ] группы ₁(X, x₁)). В частности, верно, что если фундаментальная группа коммутативна (и только в этом случае) изоморфизм _# от вообще не зависит. В этом случае мы можем говорить о фундаментальной группе, не фиксируя отмеченной точки. В общем случае о фундаментальной группе линейно связного пространства без отмеченной точки можно говорить только как об абстрактной группе (т.е. можно сказать, что она, например, конечна или нильпотентна, но нельзя фиксировать в ней определенный элемент).

Вычисление фундаментальных групп. Существует два основных метода вычисления фундаментальной группы: "метод накрытий" и "клеточный метод". Продемонстрируем сущность метода накрытий на примере доказательства теоремы 2 (в котором, конечно, слово накрытие употребляться не будет). В основе клеточного метода лежит теорема 4; теорема 3 нужна для ее доказательства.

А. Случай окружности.

Теорема 2. Группа ₁ (S¹) изоморфна группе Z целых чисел.

Фактически при доказательстве теоремы 2 мы построим "универсальное  накрытие" над окружностью; это понятие будет введено в следующем параграфе, при чтении которого мы советуем читателю держать в уме это доказательство.

Каждой точке окружности S¹ мы обычным образом отнесем вещественное число, определенное с точностью до слагаемого вида 2k. Отмеченной точкой мы считаем 0. Петля φ: I → S¹ превращается в многозначную функцию на отрезке I, значение которой в каждой точке определено с точностью до слагаемого 2k и значением которой в точках 0 и 1 служит само множество чисел вида 2k. У этой многозначной функции существует непрерывная однозначная ветвь – непрерывная функция на отрезке I, значение которой в каждой точке принадлежит множеству значений в этой точке функции φ. Такая однозначная функция φ^# будет определена единственным образом, если мы наложим на нее дополнительное условие φ^# (0) = 0. (См. рис. 2.)

Приведем детали построения функции φ^#. Пусть n таково, что если |х" - х'| ≤ 1 /n, то точки φ (хʹ), φ (x") S¹ не диаметрально противоположны. Мы полагаем φ^# (0) = 0. Далее, при 0 ≤ х ≤ 1/n и мы берем в качестве φ^# то из значений функции φ в точке x, ко -

торое отличается от 0 меньше, чем на .  Далее, при 1/n ≤ х ≤ 2/n мы берем в качестве φ^# (х) то из значений функции φ, которое меньше, чем на , отличается от φ^# (1 /n). И т.д.

Выделим два важных свойства функции φ^#: ее значение в точке 1 кратно 2 и она непрерывно зависит от φ в том смысле, что если φ _t — гомотопия, то и φ^#_t — гомотопия. Заметим еще, что всякая непрерывная функция Ф на отрезке I, такая, что Ф(0) = 0 и Ф(1) кратно 2, служит функцией φ^# для некоторой петли φ.

Теперь для доказательства теоремы 2 осталось сделать четыре простых  замечания. Во-первых, число k = φ^# (1)/2 не меняется при гомотопии, поскольку область возможных значений φ ^#(1) дискретна; таким образом это число зависит только от элемента группы ₁(S¹). Во-вторых, всякое число k таким образом может получиться: достаточно взять φ = h_k с h^#_k (х) = 2k. В-третьих, если φ₁*(1) = φ₂*(1), то φ₁ ~ φ₂: функции φ₁* и φ ₂^#, очевидно, гомотопны в классе функций с заданными значениями в 0 и 1 (рис. 3). Наконец, в четвертых, h_kh_l ~ h_k+l, потому что (h_kh_l)^#(1) = = h^#_k+l (1).

Теорема доказана.

В. Случай букета окружностей.

Теорема 3. Пусть В_А =VA S¹ – букет окружностей S¹ = S^l. Тогда ₁(В_А) – свободная группа, образующие которой соответствуют элементам множества А.

Доказательство теоремы 3 мы разобьем части. Стандартное вложение i: S¹→В_А мы рассматриваем как петлю; пусть η_α1(В_А) — класс петли i (отмеченной в букете мы считаем общую точку окружностей S¹). Мы покажем, что: 1° всякий элемент группы ₁(В_А) представим в виде конечного произведения элементов вида η_α, η_α^-1; 2° с точностью до сокращений идущих подряд множителей η_α, η_α^-1 такое представление единственно. Это равносильно нашей теореме.

Утверждение 1° доказывается при помощи кусочно линейной аппроксимации. На каждой из окружностей S^1, входящих в букет, отметим два отрезка, I и J, не содержащих отмеченной точки и таких, что J Int J. Возьмем петлю φ: I→В_А и фиксируем такое n, что если образ некоторого отрезка J I длины 1/n пересекается с J_α, то он содержится в I _α. Обозначим через К объединение отрезков вида [к/n, (к+1)/n], образы которых пересекаются с _α J_α, и заменим отображение φ отображением φʹ: I → В_А, совпадающим с φ вне К и во всех точках вида к/n и линейным на каждом из отрезков указанного вида (линейное отображение отрезка в окружность – это отображение вида х (cos(λx + μ), sin(λx + μ))). Очевидно, φ' — петля, гомотопная φ. Выдедим теперь в каждом отрезке J _α маленький отрезочек К_α, не содержащий ни одной точки вида φʹ (к/n) (таких точек конечное число!). Заметим, что прообраз φ' ^-1 ( _α K_α) состоит из конечного числа отрезочков, каждый из которых отображается на свое К _α линейно.

Утверждение 1° доказано.

С. Случай произвольного клеточного пространства. Формулировке теоремы 4 мы предпошлем следующее замечание. Непрерывные отображения окружности в пространство Х_, переводящие отмеченную точку у₀ окружности в точку х₀, могут рассматриваться как петли пространства X с началом х₀ и определяют элементы группы ₁(X, x₀). Если же отображение φ: S¹ → Х окружности в линейно связное пространство переводит отмеченную точку у₀ неизвестно куда, то оно определяет элемент группы ₁(X, φ(y₀)), связанной с ₁(X,x₀) неканоническим изоморфизмом. Образы класса [φ] в ₁(X, x₀) при всевозможных изоморфизмах вида _# заполняют в ₁(X, x₀) целый класс сопряженных элементов (это равносильно сказанному после теоремы 1). Это позволяет нам сказать, что отображение окружности, не обязательно переводящее отмеченную точку в отмеченную, определяет элемент фундаментальной группы с точностью до сопряженности.

Вернемся к нашей проблеме вычисления фундаментальных групп. Пусть X — клеточное пространство с единственной вершиной е°, одномерными клетками e¹_i (e) и двумерными клетками e²_j (j). Характеристические отображения f_j: D²→X определяют отображения gj: S¹ → X¹, которые, в силу сказанного, определяют некоторые элементы β_{j 1} (X¹) с точностью до сопряженности. Добавим, что X¹ — это букет окружностей ē¹_i и группа ₁ (X¹, е°) есть, в силу теоремы 3, свободная группа с множеством образующих I.

Теорема 4. Группа ₁ (X¹, е°) есть группа с системой образующих I и с системой определяющих соотношений β_j=1, .

Доказательство. Если рассматривать окружность как одномерное клеточное пространство, у которого отмеченная точка является нульмерной клеткой, то отображение окружности в X, переводящее отмеченную точку у₀ S¹ в отмеченную точку е°X, есть отображение, клеточное на у₀. Поэтому из теоремы о клеточной аппроксимации вытекает, что всякая петля пространства X с началом е° гомотопна петле, проходящей по одномерному остову, т.е. что отображение ₁(X^l, е°) → ₁(X, е°), индуцируемое включением X¹ → X, является эпиморфизмом. Для завершения доказательства нам необходимо установить, что ядро этого эпиморфизма порождается как нормальная подгруппа группы ₁(X¹, е°) вышеуказанными элементами β_j — классами приклеивающих отображений.

"В одну  сторону" это утверждение почти очевидно: классы β_j действительно принадлежат нашему ядру. Действительно, отображение g_j: S¹ → X¹ продолжается до отображения f_j: D² → X и потому определяет тривиальный элемент в группе ₁(X^l,g_j(y₀)); но этот элемент соответствует элементу β_j при некотором изоморфизме ₁(X^l, g_j(y₀)) ≈₁(X¹,е°). "В другую сторону" утверждение доказывается опять-таки при помощи кусочно линейной аппроксимации. Чтобы изгнать из формул многочисленные f_j и f_j^-1 , мы будем считать, что клетки e²_j отождествлены с копиями открытого диска Int D² посредством этих отображений; таким образом, мы получаем возможность говорить о концентрических дисках, прямолинейных отрезках и т.п. в клетках e²_j. Построим в каждой клетке e²_j концентрические диски d_1j,…,d_4j радиусов 1/5,..., 4/5. Пусть γ[₁(X^l, е°) → ₁(X, е°)], и пусть φ: S¹ → X¹ – представитель класса γ. В силу выбора γ отображение φ продолжается до непрерывного отображения Ф: D² → X, причем теорема о клеточной аппроксимации позволяет считать, что Ф (D²) X². Триангулируем D² настолько мелко, что если ∆ — симплекс триангуляции и Ф (∆) при некотором j пересекается с d_4j, то Ф(∆) e²_j и diam Ф(∆) < 1/5. Пусть К — объединение симплексов нашей триангуляции, Ф-образы которых пересекаются с _j d_4j. Рассмотрим отображение Фʹ: К → X², совпадающее с Ф на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения Ф|_к и Ф' соединяются прямолинейной (в клетках e²_j) гомотопией Ф_t: К → Х₂, Ф₀ = Ф|_к, Ф₁=Фʹ.

Теорема доказана.

Следствие. ₁ (X) = ₁(X²) для любого клеточного пространства X.

Доказанная теорема позволяет  найти фундаментальные группы классических пространств, клеточные разбиения  которых были построены. Впрочем, многие из этих пространств вовсе не имеют одномерных клеток и потому односвязны, т.е. имеют тривиальные фундаментальные группы; таковы, например, сферы Sⁿ с n ≥ 2, пространства СРⁿ, CG(n,k) и некоторые другие. Но все же в некоторых случаях вычисление фундаментальных групп приводит к интересным результатам. Например:

Теорема 5. Фундаментальная группа сферы с g ручками порождена 2g образующими, а₁,..., a_g, b₁,..., b_g, связанными одним соотношением

a₁ b₁ a₁^-1 b₁^-1... a_gb_ga^l_g b^l_g=1.

В частности, фундаментальная  группа тора порождена двумя образующими, а и b_, связанными соотношением aba^-lb^-l = 1, т.е. попросту есть Z Z. Этот факт вытекает, впрочем, и из очевидной формулы

₁(XY) = ₁(Х)₁(Y)

Теорема 6. Фундаментальная группа проективной плоскости с g ручками или бутылки Клейна c g ручками порождена образующими c_1, ...с_h, где в случае проективной плоскости h = 2g + 1 и в случае бутылки Клейна h = 2g + 2, связанными одним соотношением

c²₁...c²_h = 1.

В частности, ₁ (RP²) = Z₂ (циклическая группа порядка 2).

Пусть G₁, G₂ — группы, A₁, А₂ — системы их образующих и R₁, R₂ — соответствующие определяющие системы соотношений. Группа с системой образующих А₁ А₂ и определяющей системой соотношений R₁ R₂ называется свободным произведением групп G₁ и G₂ и обозначается через G₁ * G₂. Из алгебры известно, что эта группа не зависит от выбора образующих и соотношений в G₁ и G₂. (По-другому группу G₁ * G₂ можно описать как группу "слов" g₁¹ g₂¹ g₁² g₂² …g₁^s g₂^s, где g_i^j G_i). Докажите, например, что свободное произведение Z₂ * Z₂ обладает нормальной подгруппой, изоморфной Z, и (Z₂ * Z₂)/Z = Z₂. Обобщение этого определения: пусть Н — еще одна группа и φ₁: H → G₁, φ₂: H → G₂ — гомоморфизмы. Выберем в Н систему образующих h _α и добавим к нашим соотношениям в G₁*G₂ соотношения φ₁(h_α) = φ₂ (h_α) (мы считаем G₁ и G₂ подгруппами группы G₁ * G₂). Получающаяся группа называется амальгамированным произведением групп G₁ и G₂ над Н и обозначается через G₁*_H G₂.

Попробуйте доказать, например, что группа SL₂(Z) целочисленных 2 2-матриц с определителем 1 изоморфна Z₄ *_Z2 Z₆.

В заключении, фундаментальная группа часто бывает некоммутативной. В этом ее отличие от подавляющего числа групп, гомотопически инвариантным образом сопоставляемых с топологическими пространствами. Поэтому изучение фундаментальной группы требует привлечения специфических и не всегда стандартных алгебраических средств. Чтобы этого избежать, топологи любят (к месту и не к месту) накладывать на рассматриваемые пространства требование односвязности или хотя бы какие-нибудь требования, влекущие за собой коммутативность фундаментальной группы.

2 Гомологии

Наряду с гомотопическими  группами _k(Х) топологическому пространству X ставят в соответствие другие серии групп — гомологические группы Н_k(Х) и когомологические группы Н^k(Х). По сравнению с гомотопическими группами они обладают важным недостатком — их аккуратное определение связано со значительными формальными трудностями – и важными достоинствами – они легче вычисляются (мы более или менее сразу найдем их для большинства известных нам пространств) и геометрически более наглядны (трудно объяснимых феноменов типа ₃(S²) = Z для них не бывает). Информация о топологическом пространстве X, которую несут его гомологии, в односвязном случае примерно равноценна информации, содержащейся в гомотопических группах.

Геометрическая идея гомологий  такова. Сфероиды заменяются циклами; k-мерный цикл — это замкнутая k-мерная поверхность (может быть, сфера, а может быть и нет, скажем, тор). Отношение гомотопности сфероидов заменяется отношением гомологичности циклов — цикл гомологичен 0, если он ограничивает кусок поверхности на 1 большей размерности.

Как аккуратно определить, что такое циклы (и т. е. "куски поверхностей", которые они ограничивают, — так называемые цепи)? Можно было бы попытаться определить их как отображения стандартных объектов – сфер и чего-нибудь еще, но это приводит к трудностям, особенно в размерностях > 2. Проще определить циклы (и цепи) как объединения стандартных элементов ("кирпичей"). Эту роль принимают на себя сингулярные симплексы.

Заметим, что для построения гомологических и когомологических групп пространства X не требуется, чтобы в X была отмечена точка, – в этом одно из их важных отличий от гомотопических групп.

2.1 Сингулярные гомологии

Сингулярные симплексы, цепи и гомологии. Пусть А₀, A_1,..., A_q — точки пространства Rⁿ, где n ≥ q, не лежащие в одной (q - 1)-мерной плоскости. Выпуклая оболочка множества этих точек называется евклидовым симплексом с вершинами А₀, A_l,..., A_q. Выпуклые оболочки подмножеств этого множества — грани указанного симплекса. Евклидовы симплексы одной размерности все одинаковы, и это побуждает нас выбрать стандартный евклидов симплекс. В качестве такового обычно рассматривают евклидов симплекс Т^q в R^q+l, вершинами которого являются концы координатных ортов: