Оглавление

     Введение 3

     Теоретический раздел 4

     Графический метод решения задач линейного программирования. 4

     Этапы решения графического метода задач линейного программирования 8

     Рассмотрение средств, имеющихся в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом 13

     Практический раздел 14

     Решение задачи линейного программирования графическим методом 14

     Экономическая интерпретация 18

     Заключение 19

     Список литературы 20

     Введение

     Линейное  программирование - это наука о  методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

     Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных  методов. В данной курсовой работе будет  рассмотрен геометрический метод решения  задач линейного программирования. Геометрический метод применяется  в основном при решении задач  двумерного пространства и только некоторых  задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить  многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.

     Таким образом, целью данной курсовой работы является: освоить навыки использования  геометрического метода для решения  задач линейного программирования, а так же решение задачи этим методом в программе «Excel». Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Определить задачу оптимизации стоящую на предприятии
2. Изучить теоретические сведения, необходимые для решения данной задачи графическим методом
3. Решить задачу, используя рассмотренный метод решения задач линейного программирования
4. Привести экономическую интерпретацию решения

     Теоретический раздел

     Графический метод решения  задач линейного  программирования.

     Наиболее  простым и  наглядным методом  линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется  для решения задач ЛП с двумя  переменными.

     Рассмотрим  задачу ЛП в стандартной форме  записи:

     Положим n=2, т.е. рассмотрим эту задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).

     Каждое  неравенство этой системы геометрически  определяет полуплоскость с граничной прямой  a_i1 x₁ + a_i2 x₂  =  b_i   , i=1,2,…m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости, соответственно, с граничными прямыми x1=0,x2 =0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.

     Таким образом, геометрически задача линейного  программирования (ЗЛП) представляет собой  отыскание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника  решений.

                Линейное уравнение описывает  множество точек, лежащих на  одной прямой. Линейное неравенство  описывает некоторую область  на плоскости. Определим, какую  часть плоскости описывает неравенство  2х₁+3х₂£ 12.  Во-первых, построим прямую 2х₁+3х₂=12.  Эта прямая проходит через точки (6, 0) и (0, 4).  Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Удобной для использования при подстановке в неравенство является начало координат. Подставим х₁=х₂=0 в неравенство 2х₁+3х₂£12. Получим 2´0+3´0£12.  Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х₁+3х₂£12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0.0). Это отражено на графике, изображенном на рис.1.

     Рисунок 1 - Неравенству 2х₁+3х₂£12 соответствует нижняя полуплоскость.

     Аналогично  можно изобразить графически каждое ограничение задачи линейного программирования.

     Решением  каждого неравенства системы  ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная  по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей,  каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (x_j ³0, j=1,…,n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения являются допустимым решением задачи.

     Для нахождения экстремального значения целевой  функции при графическом решении задач ЛП используют вектор–градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. 

      .

     Этот  вектор показывает направление наискорейшего  изменения целевой функции. Прямая , перпендикулярная вектору–градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине “a”. Меняя значение “a”,  получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня.

       Важное свойство линии уровня  линейной функции состоит в  том, что при параллельном смещении  линии в одну сторону уровень  только возрастает, а при смещении  в другую сторону – убывает.

     С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор  точек из допустимого множества  решений, на котором достигается  самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных  в направлении наискорейшего  роста.

     Графический метод решения ЗЛП состоит  из следующих этапов.

     Строится  многоугольная область допустимых решений ЗЛП – ОДР,

     Строится  вектор-градиент ЦФ в  какой-нибудь точке Х₀  принадлежащей ОДР

                     .

     3.  Линия уровня C₁x₁+C₂x₂ = а (а–постоянная величина) - прямая, перпендикулярная  вектору –градиенту – передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации f(x_1,x₂)   до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума f(x_1,x₂).

      4.  Для нахождения ее координат  достаточно решить два уравнения  прямых, получаемых  из соответствующих  ограничений и дающих в пересечении  точку максимума.  Значение f(x_1,x₂), найденное в получаемой точке, является максимальным.

     При минимизации f(x_1,x₂) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум f(x_1,x₂)  не существует.

     Если  линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет  достигаться в любой точке  этого ограничения, лежащей между  двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек  является оптимальным решением ЗЛП.

     Этапы решения графического метода задач линейного  программирования

     Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного  программирования и применяется  в основном при решении задач  двумерного пространства и только некоторых  задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить  многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

     Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

     Если  в ЗЛП ограничения заданы в  виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

     Этап 1.

     Сначала на координатной плоскости x₁Ox₂ строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:

     Не  приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут  получится.

     Основной  случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 2а).

     Неосновной  случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 2б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х₁ + х ₂ ≤ 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.  

     Рисунок 2 - Выпуклые многоугольники 
 

     Наконец, возможен случай, когда неравенства  противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

     Рассмотрим  теорию на конкретном примере:

     Найти допустимую область задачи линейного  программирования, определяемую ограничениями

      1.32) 

     Рисунок 3 - Графики 

     Решение:

     Рассмотрим  прямую –x₁+x₂ = 1. При x₁ = 0, x₂ = 0, а при x₂= 0, x₁= -1. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря x₁ = x₂ = 0, получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 3.а.

     Рассмотрим  прямую . При , а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как (3.б).

     Наконец, рассмотри м прямую . Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 3.в.

     Сводя все вместе и добавляя условия  х₁ ≥ 0,х₂ ≥ 0 получим рисунок 4, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратим внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.

     Рисунок 4 - График иллюстрирующий решение задачи 

     Этап 2.

     Вернёмся  теперь к исходной задаче линейного  программирования. В ней, кроме системы  неравенств, есть еще целевая функция с₁х₁+с₂х₂ =>max. 

     Рисунок 5 

     Рассмотрим  прямую с₁х₁+с₂х₂ = L. Будем увеличивать L. Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с₁,с₂), так как это вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции

     f(х₁,х₂) = с₁х₁+с₂х₂ .

     А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу

     Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый  многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами.

     Этап 3

     Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться. В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

     Рассмотрение  средств, имеющихся  в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом

     Мастер  диаграмм

     Excel поддерживает различные типы диаграмм, что позволяет представлять данные наиболее понятным для той или иной аудитории способом. При создании новой или изменении существующей диаграммы можно выбрать один из разнообразных типов (например, гистограмму или круговую диаграмму) и подтипов (например, гистограмму с накоплением или объемную круговую диаграмму). Совместив в одной диаграмме разные типы, можно создать смешанную диаграмму.

     Для создания диаграммы необходимо воспользоваться инструментами панели "Диаграммы" ленты "Вставка".

     Если  не устраивает ни один из предложенных вариантов диаграмм, то необходимо воспользоваться кнопкой вызова окна панели "Диаграммы".

     После этого надо указать диапазон данных для построения диаграммы. Если данные берутся из всей таблицы, то достаточно указать любую ячейку таблицы. Если надо выбрать лишь определенные данные из таблицы, то надо выделить этот диапазон. Во время выделения можно пользоваться кнопками Shift, Ctrl.

     Для взаимной замены данных на осях надо воспользоваться  кнопкой "Строка/Столбец".

     После вставки диаграммы в окне Excel 2007 появляется контекстный инструмент "Работа с диаграммами", содержащий три ленты "Конструктор", "Макет", "Формат".  
 

     Практический  раздел

     Решение задачи линейного  программирования графическим  методом

     Условие задачи:

      Предприятие «Полимер-П» производит полимерпесчаные изделия. Для производства любого типа изделия требуется всего 3 компонента:

1. Отходы полиэтилена
2. Песок
3. Краситель

     Необходимо  составить план производства для двух типов выпускаемой продукции, а именно: черепица и тротуарная плитка.

     Исходя  из данных анализа рынка, было принято решение, выпускать плитки не менее чем черепицы. Другие условия задачи приведены в таблице 1.

     Таблица 1

     Решение:

     Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х₁ +4 х₂) единиц ресурса I, (4х₁ +4х₂) единиц ресурса II, (3х₁ +12х₂) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств: 

      12х₁ +4х₂ ≤ 300;             3х₁ + х₂ ≤ 75;

      4х₁ +4х₂ ≤ 120;                  х₁ + х₂ ≤ 30;

     3х₁ +12х₂ ≤ 252.                 х₁ +4х₂ ≤ 84.  

     По  смыслу задачи переменные х₁ ≥ 0, х₂ ≥0. (1,1)

     Конечную  цель решаемой задачи – получение  максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию  двух переменных х₁ и х₂.

     Суммарная прибыль А составит 30х₁ от реализации продукции А и 40х ₂ от реализации продукции В, то есть : F = 30х₁ +40х _2.  (1,2)

     Изобразим многоугольник решений данной задачи.

     В ограничениях задачи поменяем знаки  неравенства на знаки равенства.

     Проведем  оси: на горизонтальной будут указываться  значения переменной х₁, а на вертикальной — х₂ .Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: x₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е выше оси x₁ и правее оси х₂).

     Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще  всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получится система уравнений прямых:  

      3х₁ + х₂ = 75;

     х₁ + х₂ = 30;

     х₁ +4х₂ = 84.  

     а затем на плоскости провести эти  прямые.

     Например, неравенство 3х₁ + х₂ ≤ 75 заменяется уравнением прямой 3х₁ + х₂ = 75. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой Можно положить х₁ = 0, тогда х₂ = 75/1 = 75.. Аналогично для х₂ = 0 находим x₁ = 75/3 = 25. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 75) и (25;0). Аналогично найдём остальные точки и запишем их в таблицу 2.

     Таблица 2

     Согласно данной таблицы, построим график в программе Excel.

     Рисунок 6 График решения задачи

     Заштрихованная  область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции  F. Т.к. целевая функция F стремиться к максимуму, то идя по направлению градиента, получим точку B с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

      3х₁ + х₂ ≤ 75,           х₁ = 19,64,

     х₁ + 4х₂ ≤ 84,               х₂ = 16,09. , т. е. B(16,09; 19,64)  

     максимальное  значение линейной функции равно :

     F_max = 30*16,09 + 40*19,64 = 1232,80.

     Экономическая интерпретация

       Перед предприятием стояла задача максимизировать прибыль в ближайшие сроки, для чего необходимо было разработать план производства, удовлетворяющий возможностям предприятия, а также рыночным требованиям на данный момент времени.

     При ближайшем рассмотрении стало ясно, что составление плана является типичной задачей линейного программирования с двумя неизвестными. Для решения поставленной задачи был выбран графический метод, так как он является наиболее наглядным и простым.

     Для того, чтобы произвести решение была выбрана программа MS Excel из пакета MS Office, благодаря удобному мастеру диаграмм, пакету построения графиков, встроенному в данную программу.

     В результате решения систем уравнений  и построения графика получилось, что при нынешних складских запасах  сырья, наиболее оптимальным будет  производить 16090 штук черепицы и 19640 штук тротуарной плитки в день. При данном плане производства будет достигнута прибыль в 1232800 рублей.

     Данный  план не идет в противоречие с возможностями  техники, которая может выпускать  до двух тысяч плиток и черепиц  в день.

     Но  в случае следования данному плану  в конце технологического цикла  на складах будет оставаться избыток  полиэтилена, что грозит дополнительными  издержками на хранение материала, а  так же на скапливание его на складах. Следовательно, должно быть принято решение о снижении закупок данного сырья на 28,36 тонны. Это даст возможность закупать на 850,8 тонн полиэтилена меньше каждый месяц.

     Данное  снижение закупок позволит снизить  не только затраты на приобретение сырья, но и избежать издержек на его  хранение.

     После внедрения данного плана в  производства, на складах все еще  остается небольшой избыток полиэтилена, который можно реализовать, либо пустить в производство на следующие  дни, что позволит закупить в следующем  месяце на 879,16 тонн полиэтилена меньше. 

     Заключение

     В заключение к данной курсовой работе хотелось бы сказать, что использование  методов линейного программирования позволяет решать различные задачи оптимизации от минимизации издержек и максимизации прибыли до транспортных задач и задачах о размещении производства.

     В данной курсовой работе был рассмотрен графический метод решения задач  линейного программирования и его теоретические основы. Данный метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.

     Так же было рассмотрено решение задачи графическим методом в среде MS Excel 2007. Для этого был использован довольно мощный инструмент – мастер диаграмм.

     Была  поставлена задача максимизации прибыли  при некоторых условиях производства. В итоге на  предприятии был разработан план, следуя которому для того чтобы получить максимальную прибыль в 1232800 рубля необходимо произвести 16090 единиц черепицы и 19640 тротуарных плиток.