Графическое решение систем уравнений

 

Содержание 

Введение………………………………………………….…………………...….4 

Решение нелинейных уравнений……………………………………………......6 

Решение системы  нелинейных уравнений…………………………….………..9 

Решение системы  линейных алгебраических уравнений…………………….12 

Интерполирование. Аппроксимация…………………………………………...17 

Решение дифференциальных уравнений………………………………………24 

Математическое  моделирование установившихся процессов в эл. цепях.….27 

Математическое  моделирование переходных процессов  в эл. цепях………..30 

Заключение……………………………………………………………………….34 

Список литературы…………………………………………………………...….35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Mathcad —это популярная система компьютерной  математики, предназначенная для  автоматизации решения массовых  математических задач в самых  различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов — MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design — системы автоматического проектирования, или САПР).

    Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

   В данной курсовой работе проводилось изучение и реализация основных возможностей Mathcad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1.

Решение нелинейных уравнений 

Уравнение является нелинейным, если переменная входит в  уравнение в степени, неравной 1, или под знаком трансцендентной  функции. Рассмотрим решение нелинейного уравнения различными способами. 

1. Решить нелинейное уравнение графически.

   2. Решить нелинейное уравнение с помощью Solve, root или polyroots.

   3. Провести анализ полученных результатов.

 
 

1. Решить нелинейное уравнение графически.

Решение: 

Сначала зададим функцию и построим ее график (рис. 1)

 

                               
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1 
 

Решением уравнения  являются точки пересечения графика  функции с осью ox. Для определения абсциссы этой точки используем трассировку (вызовем контекстное меню в области построения графика). При наведении указателя мыши на любую точку графика в окне трассировки отражаются ее координаты (рис. 2). Для нахождения корня уравнения необходимо, чтобы координата y была как можно ближе к нулю. 
 

 
                                                         

                                                          
 

 

Рис. 2 

Таким образом, найдено два решения: x1=11.88, x2=-8.76 
 

2. Решить нелинейное уравнение с помощью Solve, root или polyroots.

Решение: 

1.2.1 Решаю данное уравнение с использованием встроенных функций. Использую для символьного решения функцию Solve. На панели «математика» в символьных операциях выбираю функцию Solve. 

 
 

1.2.2  Решаю  с использованием функции Root, которая позволяет указать интервал, на котором находится корень.

 
 
 

1.3 Функция имеет  два пересечение, следовательно,  и решения тоже два. 

3. Анализ результатов: 

Графический метод  не точен, поэтому решение уравнения  мы производили тремя способами. Решив уравнение с помощью  Solve и Root мы получили более точные значения корней уравнения. 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2.

  Решение систем  нелинейных уравнений 

Система, содержащая хотя бы одно нелинейное уравнение, называется системой нелинейных уравнений 

1. Решить  систему нелинейных уравнений графически.
2. Решить систему нелинейных уравнений с помощью Given и find, Given и miner.
3. Провести анализ полученных результатов.

 

 

1.  Решить систему нелинейных уравнений графически.

Решение: 

Для того чтобы  построить график функций (рис. 3), в  исходных уравнениях необходимо выразить одну переменную через другую.

   

   

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Рис. 3. графическое решение системы  нелинейных уравнений

   Решением  системы является точка пересечения  графиков, координаты которой можно  найти при помощи трассировки. 

 

 
 

 
 
 
 
 
 

2. Решить систему  нелинейных уравнений  с помощью Given и find, Given и miner.

     а) Символьное решение

При решении  систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый  служебным словом Given. Вместо оператора присваивания используется знак символического (логического) равенства (находится на панели «Булево»). Для поиска корней уравнения применяем функцию Find.  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Для данной системы  нелинейных уравнений числового решения с помощью Given и find не возможно.

     б) Решение системы с использованием функции Minerr (x,y,…)

Когда для решения  систем нелинейных уравнений используем функцию Minerr (x,y,…), перед служебным словом Given зададим начальные значения переменных, которые мы получили из графического решения с помощью трассировки

 

 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Для данной системы  нелинейных уравнений числового решения с помощью Given и miner не возможно. 
 
 

3. Анализ результатов:

Мы произвели  графическое решение системы  уравнений, но для большей точности результатов, произвели решение с помощью  Given и find, Given и miner. Числового решения с помощью Given и find, Given и miner найдено не было. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 3.

     Решение системы  линейных алгебраических  уравнений 

Матрицы очень часто используются для решения различных математических задач. Рассмотрим их применение  для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

 Решить СЛАУ несколькими способами:

1. С помощью given   find.
2. С помощью функции lsolve.
3. С помощью обратной матрицы.
4. По формулам Крамера.
5. Методом Гаусса.
6. Проанализировать результаты.

 
 

1. Решить СЛАУ с помощью given   find.

При решении  систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый  служебным словом Given. Вместо оператора присваивания используется знак символического (логического) равенства. Для поиска корней уравнения применяем функцию Find.  
 

Решение:

 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решить СЛАУ с помощью функции lsolve.

Функция lsolve (A,B) возвращает вектор x для системы линейных уравнений AX=B при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов B. 
 

Решение: 

 
 
 
 
 

 

 

•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
• 3. Решить СЛАУ с помощью обратной матрицы.

Вектор решения  можно получить из выражения   

Решение: 

 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

4. Решить СЛАУ по формулам Крамера. 

Решение: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вычислим главный  определитель:

 

 
 
 
 
 
 

Так как главный  определитель не равен нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Для решения  СЛАУ в соответствующий столбец матрицы подставим столбец матрицы B. С помощью функции augment в скобках записываем последовательность столбцов: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Далее находим  определители матриц A1, A2, A3 и  A4.

 

 
 

Найдем теперь корни СЛАУ:  

 
 
 

 

 
 

 

 

•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
• 5. Решить СЛАУ методом Гаусса

 

Решение: 

Зададим матрицы  A и B: 

 
 
 
 

  
 

Используем функцию  augment для создания расширенной матрицы, которая объединяет матрицы A и B, при этом в первых столбцах помещаем столбцы матрицы A, а в остальных столбцы матрицы B. 

 

 
 
 
 
 
 
 

Применим функцию  Rref, которая преобразует расширенную матрицу так, что в основной части получается единичная матрица, а в расширенной части находятся значения переменных.

 
 

 
 
 
 
 
 

Присвоим вектору  X функцию submatrix (в скобках указывается через запятую имя матрицы, номер начальной строки, номер конечной строки, номер начального столбца, номер конечного столбца), которая из матрицы Ar вырезает матрицу, состоящую из заданных строк и столбцов (нумерация строк и столбцов начинается с нуля).

 
 
 

 
 
 
 
 

7. Анализ результатов:

Сделав проверку в предыдущем примере, и получив  нулевую матрицу, мы подтвердили  правильность своего решения. 
 

Задание 4

Интерполирование. Аппроксимация. 

Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента

1. С помощью линейной интерполяции.
2. С помощью кубического сплайна.
3. С помощью линейной аппроксимации.
4. Методом наименьших квадратов при m=2, m=3, где m – порядок полинома. Вычислить среднеквадратичное отклонение.
5. С помощью полиномиальной регрессии для m=4
6. Проанализировать результаты
7. Построить графики таблично заданной функции, интерполяционного полинома и аппроксимирующей функции в одних осях координат.

 
 
 

1. Линейная интерполяция.

Функция linterp(x,y,xd) – значение в точке xd.

Решение: 

     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

2. Кубический сплайн

Сплайн –  гибкий металлический стержень, концы  которого закреплены на концах наблюдаемого интервала. В программе Mathcad возможны виды сплайновой интерполяции: линейная, параболическая, кубическая. Рассмотрим кубический сплайн. Для этого вычислим вектор коэффициентов сплайна для интервалов: kcs = cspline(x,y). Далее для интерполяции применяется функция linterp(ks, vx, vy, x).

Решение:

 

 

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Линейная аппроксимация

Для m=1 аппроксимирующий полином имеет вид . Для вычисления коэффициентов полинома применяются функции:

Intercept(x,y) – функция возвращает значение y.

Slope(x,y) – угловой коэффициент линейной функции.

Решение:

 
 

 
 
 
 

ORIGIN=0 (переменная, которая хранит начальный номер элементов в матрице), n – количество узловых точек. 

Определим коэффициенты сглаживающего полинома: 
 

 
 

 

 
 

Сглаживающая  формула: 

 
 

Среднее квадратическое отклонение: 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Строим графики  исходной и полученной зависимостей в одних осях координат (рис.5): 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                        Рис. 5. График исходной зависимости и

              аппроксимирующего полинома 1-го  порядка 

4.     а) Полином 2-го порядка

Для m = 2 полином имеет вид:

Решение:

Зададим начальные  условия: 
 
 

 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Создадим матрицы  коэффициентов при неизвестных  C и свободных членов D для СЛАУ: 

 
 
 
 

Решим СЛАУ методом обратной матрицы: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задаем полином 2-го порядка: 

 

Далее находим  среднее квадратическое отклонение и строим графики: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

б) Полином 3-го порядка

При матрица коэффициентов становится громоздкой. В этом случае векторы формируем по формулам.

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 

 
 
 
 

Далее решение  производится как в предыдущем примере:

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Полиномиальная регрессия для k=4

Полиномиальная  регрессия осуществляется комбинацией  встроенной функции regress и interp.

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Length(z) – длина вектора z, kf – коэффициенты полинома. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Для построения графика полиномиальной регрессии  используем функцию interp (рис.6). 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.6. Полиномиальная регрессия 4-го порядка 

6. Анализ результатов

Поиск приближенного  значения функции в точке xd различными методами не даёт абсолютно одинакового результата по причине того, что аппроксимация не может быть сведена к одной аппроксимирующей формуле, что затрудняет аппроксимацию и дает довольно низкую точность. Наибольшая погрешность существует при линейной аппроксимации, более точное решение получается при помощи сплайна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 5.

Решение дифференциальных уравнений 

Решить дифференциальное уравнение двумя методами.

 

Рассмотрим решение  с помощью функций rkfixed и odesolve. 

1. Решение дифференциального  уравнения с помощью  функции rkfixed.

Rkfixed ( ) – возвращает матрицу решений дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от до при фиксированном числе шагов n. 

Решение: