Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Интегральное определение логарифма и его исторические корни

КУРСОВАЯ РАБОТА

Содержание

Введение.........................................................................................................3

Глава1. Исторические аналоги некоторых современных

определений логарифма.

§1 Характеристика Европейской математики 17 века……………………4

§2 Логарифмы как средство вычислений…………………………………5

п.1 Определение логарифма Иоста Бюрги……………………………….6

п.2 Определение логарифма Джона Непера……………………………..7

§3 Интегральные методы 17 века……………………………….. ………..9

§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади

под гиперболой. …………………………………………………………..11

§5 Метод Николая Меркатора нахождения площади

под гиперболой............................................................................................13

Глава2. Некоторые современные определения логарифмов.

§1 Об историко - генетическом методе………………………………….14

§2 Логарифм как показатель степени …………………….......................18

§3 Введение логарифма в школьном курсе математики как

площадь под гиперболой………………………………………................21

§4 Интегральное определение логарифма…………………….... ……...24

Заключение………………………………………………………...............26

Список литературы………………………………………………………..27

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено интегральное определение логарифма и его исторические корни.

Логарифм – число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление – вычитанием, возведение в степень – умножением и извлечение корней – делением. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.

В период математики переменных величин в связи с появлением функциональных представлений и развитием интегрального и дифференциального исчисления появилась возможность по другому подойти к определению логарифма.

Объект исследования – история логарифмов.

Предмет – история интегрального определения логарифма.

Цель курсовой работы: найти исторические аналоги интегрального определения и сравнить с современными.

Задачи:

изучить литературу по данной теме;
рассмотреть определения логарифма у Джона Непера и Иоста Бюрги;
найти исторические аналоги интегрального определения логарифма;
привести определения логарифма как показателя степени; интегральное определение логарифма, вывести свойства и сравнить их;
сравнить исторические и современные определения логарифмов;
изучить возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площади под гиперболой;
познакомиться с историко-генетическим методом;
рассмотреть возможность введения логарифма историко-генетическим методом в школьном курсе математики;
структурировать материал по главам и параграфам.

Гипотеза: возможно вводить логарифмы в школьном курсе математики как площадь под гиперболой, опираясь на исторические корни этого определения.

Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе прослеживается исторические аналоги некоторых современных определений логарифма. Вторая глава описывает некоторые современные определения логарифма и возможность применения историко-генетического метода при введении этого понятия.

Глава1.Исторические аналоги некоторых современных определений логарифма.

§1Характеристика Европейской математики 16-17 века.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Трудности возникли и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа.

Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых или значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления.

Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

§2Логарифмы как средство вычислений

Первые идеи логарифмического вычисления в их грубейшей форме возникли из сопоставления членов геометрической прогрессии с арифметической прогрессией их порядковых номеров или же чисел, им пропорциональных.

Следы такого сопоставления восходят к древности и довольно ясно выражены в одном месте Архимедова «Псаммита». Это небольшой арифметический трактат. Почти сто лет назад «Псаммит» был переведен на русский язык Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Но эта книга представляет библиографическую редкость, а язык перевода, в общем довольно точного, слишком тяжел и архаичен.

И в своем «Псаммите» Архимед выражается так: „Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции (т. е., по нашей терминологии, находящихся в геометрической прогрессии), начиная от единицы, и если два члена его перемножить, то произведение будет членом того - же ряда, настолько удаленным от большего множителя, на - сколько меньший удален от единицы; он же будет удален от единицы одним членом меньше против того, насколько удалены от нас оба множителя вместе".

При современных обозначениях смысл этого места можно передать так: если с геометрической прогрессией

1, α, α² ,αᵌ,. . .

сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов

1, 2, 3, 4,...,

то произведение двух членов первой аᵐ и аⁿ будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1.

Это, хотя и простое, но важное замечание Архимеда не осталось незамеченным и повторяется почти во всех значительных сочинениях XV и XVI столетий с тем лишь улучшением более позднего происхождения, что за порядковые номера членов геометрической прогрессии принимаются числа 0, 1, 2, 3,... или им пропорциональные. Так, у французского математика Chuquet в его сочинении 1484 года LeTripаrty сnlascicncecles Nombres" мы находим, в виде примеров, сопоставление прогрессий

0, 1, 2, 3,... или 0, 1, 2, 3,….

1, 2, 4, 8,… 1, 3, 9, 27,…

с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов

геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.

Похожие замечания, которые были у Архимеда встречаются и у других авторов.

п.1 Определение логарифма Бюрги.

Швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) был высококвалифицированным механиком и часовых дел мастером, математику он изучил самостоятельно. Он состоял придворным часовщиком, а также мастером астрономических инструментов сначала в Касселе, затем с 1603 г. в Праге, где сблизился с Кеплером. Мы не знаем, когда в точности Бюрги приступил к созданию своих таблиц, но, вероятно, они были готовы около 1610 г. Бюрги долго медлил с их изданием, и они вышли в свет уже после двух трудов Непера; за эту задержку Кеплер впоследствии порицал своего друга. Книга Бюрги озаглавлена «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях»

Бюрги — об этом он писал сам — исходил из соображений о соответствии между умножением в геометрической прогрессии и сложением в арифметической, которые он почерпнул, правда, не у Штифеля (так как не знал латыни), а у других авторов, писавших по-немецки. Задача состояла в выборе прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице с тем чтобы ее члены следовали друг за другом с интервалами, достаточно малыми для практических вычислений. Бюрги взял знаменатель 1,0001 и сопоставил числа 0, 10, 20, ..., 10n, ... арифметической прогрессии с членами геометрической 10000000, 100010000, 100020001, ..., 108·1,0001ⁿ, ... Первые числа, напечатанные красной краской, называются красными, вторые напечатаны черной краской и называются черными. Красные числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при основании . Множитель 108 введен для того, чтобы по возможности долго избегать дробей. Так как таблицы расположены по красным числам, то они представляют собой таблицы антилогарифмов (термин, введенный в этом смысле Валлисом, 1693). Поэтому для умножения и деления черных чисел чаще всего нужна интерполяция. Вычислены черные числа с девятью верными цифрами.

Красные числа следуют с интервалом в десять, за одним исключением. Таблица черных чисел начинается с 108, и Бюрги заканчивает ее черным числом 108 , для которого с помощью интерполяции вычисляет «полное красное число» 230270,022. Это число применяется при делении a/b, когда а<b, подобно тому как в десятичных логарифмах добавляется целая характеристика, чтобы избежать отрицательной мантиссы. Именно, вместо a/b Бюрги в этом случае находит он складывает красные числа соответствующие а и 108, вычитает из суммы красное число, соответствующее b, и по результату находит черное число с девятью десятичными знаками, дающее дробь a/b. Если а>b, Бюрги вычитает из красного числа для a красное число для b и находит черное число, соответствующее результату; полученное число дает восемь десятичных знаков дроби a/b.

Таблицы Бюрги не получили значительного распространения. Они не могли конкурировать с таблицами Непера, более удобными и к тому же к 1620 г. уже широко известными.

п.2 Определение логарифма Непера

К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 г., но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614, содержавшее определение неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90° с интервалом в 1', а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов», 1619г. В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.

В отличие от Бюрги, сопоставившего две дискретные прогрессии, Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин — синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV в. Исходные определения из «Описания»:

«Опp. 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.

Опр.2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются

Опр.3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются числами с наибольшим приближением, когда они определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.

Опр.4. Синхронными движениями называются те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.

Опр.5 и постулат. Так как существуют движения как более медленные, так и более быстрые, чем всякое данное движение, то отсюда необходимо следует, что существует движение равно быстрое всякому данному (которое определяется как движение ни более медленное, ни более быстрое, чем данное).

Опр.6.Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры».

Здесь в геометрическом выражении высказаны многие замечательные идеи. Отметим только своеобразную формулировку идеи о непрерывности в третьем определении и обратимся к основному, шестому определению логарифма.

Если изобразить полный синус, т. е. радиус круга, у Непера равный 107, отрезком АВ, а линию синуса — отрезком YB= у , то логарифмом у (обозначим его Lу) будет отрезок ОХ = х, проходимый точкой X, начинающей движение из О с постоянной скоростью v0 , за то самое время, в какое точка Y, одновременно выходящая из А с той же начальной скоростью v0, проходит отрезок AY со скоростью, пропорциональной расстоянию, остающемуся до другого конца В, т. е. пропорциональной YB. На языке дифференциального исчисления

Как видно, неперов логарифм числа у не есть, как иногда пишут в учебниках анализа, натуральный логарифм этого числа: Ly выражается через ln у линейно. Многие свойства логарифмов Непера поэтому несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем смысле слова. Главное, конечно, у них общее: если четыре числа образуют геометрическую пропорцию

y1 :y2=y3:y4 то их логарифмы составляют арифметическую пропорцию

Ly1 Ly2 = Ly3 Ly4, т.е. геометрической прогрессии чисел соответствует арифметическая прогрессия логарифмов. Однако, поскольку

L1 = 107 ln 107, т. е. L1 не равен нулю, правила действий усложняются: так, например,

L(ab) = La + LbL1, L =La Lb + L1

и т. п. В примерах Непера, правда, L1 выпадает, но лишь потому, что в них вычисляются четвертая и средняя пропорциональные, например:

= L (ab) — Lc + L1=La + Lb — Lc.

Нулю равен неперов логарифм числа 107, т. е. полного синуса или радиуса. Этого и добивался Непер, имевший в виду прежде всего тригонометрические вычисления. Поскольку тригонометрические величины рассматривались еще не в отношении к радиусу, а как отрезки, выраженные в тех же единицах, что полный синус, последний входил в формулы и на него часто приходилось умножать и делить. Равенство нулю логарифма полного синуса представляло в таких условиях определенные преимущества. По мере уменьшения натуральных значений синуса неперов логарифм возрастает, а при синусе, равном нулю, обращается в бесконечность. В таблице Непера в строке, в которой в графе синуса обозначен 0, в графе логарифма синуса стоит слово Infinitum— «бесконечность».

Разумеется, Непер не записывал и не интегрировал приведенное выше дифференциальное уравнение, которое выражает кинематическое определение логарифма. Но фактически его прием составления таблиц равносилен приближенному численному решению дифференциального уравнения. Сначала находится весьма малый отрезок, проходимый точкой X, когда точка Y перемещается из начального положения А на расстояние 1, т. е. вычисляется L9999999. Опираясь на представление о мгновенной скорости и сравнивая скорости точек X иY , Непер выводит, что

107-y<Ly<107/y (107- y )

и для y = 9999999 принимает в качестве логарифма среднее арифметическое

чисел 1 и 107/9999999 = 1,00000010000001..., так что L9999999= 1,00000005 (с точностью до четырнадцатого знака). Здесь, как и всюду, Непер пользуется десятичными дробями. Далее для арифметической прогрессии логарифмов

хn = 1,00000005n он находит соответствующую геометрическую прогрессию чисел

уп = 107(1-1/107)n, где п = 1, 2, 3,… ,100.

Это нетрудно, так как здесь нужны только вычитания; уk=уk-1- 0,0000001yk-1

Так получается, при подходящих округлениях, L9999900.

Отношение числа 9999900 к 107 есть 1-1/105 , и Непер переходит к вычислению логарифмов уп = 107(1-1/105)n, до n=50, причём логарифму у1 известен. Аналогично применяются прогрессии 107(1-1/2·103)ⁿ и в особенно большом объёме 107(1-1/102)ⁿ.Числа уп округляются, и с помощью оценки разности логарифмов близких чисел, основанной на приведенном выше неравенстве, вычисляются их логарифмы. Так Непер доходит до L5000000.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Ненеру, он возник из сочетания греческих слов — отношение и число, которое означало «число отношения» что напоминает о двойных, тройных, полуторных и иных целых или дробных отношениях древней и средневековой математики. Первоначально Непер пользовался другим термином: numeriartificiales— «искусственные числа» — в противоположность numerinaturales— «числам естественным».

§3 Интегральные методы 17 века.

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения.

Элементы интегрального исчисления можно найти в трудах Архимеда (287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.): в сочинении «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах некоторых тел. Для решения этих задач Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н. э. — ок. 355 г. до н. э.).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.

Систематическое развитие эти методы получают в XVII веке в работах Б. Кавальери Б (1598—1647),Э. Торричелли (1608—1647), П. Ферма (1601—1665), Б. Паскаля (1623—1662) и других учёных. Но их изыскания в основном имели разрозненный и утилитарный характер — решались конкретные самостоятельные задачи. В 1659 году И. Барроу (1630—1677) установил взаимосвязь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной.

Основы классического интегрального исчисления были заложены в работах И. Ньютона (1643—1727) и Г. Лейбница (1646—1716), которые в

70-х годах XVII века отвлеклись от упомянутых частных прикладных задач и установили связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Это позволило Ньютону, Лейбницу и их ученикам развить технику интегрирования. Своего нынешнего состоянию методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера (1707—1783). Развитие методов завершили труды М. В. Остроградского (1801—1861) и П. Л. Чебышёва (1821—1894).

Исторически под интегралом понимали площадь криволинейной трапеции, образованной заданной кривой f(x) и осью координат. Для нахождения этой площади отрезок ab разбивали на n необязательно равных частей и строили ступенчатую фигуру (на рисунке 1.1 она заштрихована). Её площадь равна

(1.1)

где yi — значение функции f(x) в i-той точке ( ), а

dxi = xi + 1 − xi.

Г. Лейбниц в конце XVII века обозначил предел этой суммы как

( 1.2)

Так как на тот момент времени понятие предела ещё не сформировалось, поэтому Лейбниц ввёл новый символ для суммы бесконечного числа слагаемых — видоизменённую курсивную латинскую «S» — первую букву лат. summa (сумма).

Слово «интеграл» происходит от лат. integralis — целостный. Это название было предложено учеником Лейбница Иоганном Бернулли (1667—1748), чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

В дальнейшем обозначение Лейбница усовершенствовал Ж. Фурье (1768—1830). Он явно стал указывать начальное и конечное значение x:

(1.3)

введя тем самым современное обозначение определённого интеграла.

В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность).

§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади под гиперболой.

Грегуа́р де Сен-Венса́н (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 22 марта 1584, Брюгге — 5 июня 1667, Гент) — бельгийский математик, иезуит.

Закончил университет в Дуэ (1600 год). В 1605 году в Риме стал иезуитом, изучал там труды Галилея и Клавиуса. После смерти Клавиуса (1612) вернулся в родную Фландрию. Был профессором в Антверпене (1617-1620) и Лёвене (1621-1625).

Главное сочинение де Сен-Венсана: «Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений» (лат. Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni, закончен в 1629 году, опубликован в 1647 году). Среди его значительных открытий:

Вычисление площади под гиперболой.

Рассмотрим равнобочную гиперболу Возьмём на гиперболе четыре точки A,B,A',B', так чтобы a,b,a',b' получили пропорцию a:b=a':b'. Тогда криволинейные трапеции AabB и A'a'b'B' будут равновеликими:

А'

В'

а b aʹ bʹ x

Рассмотрим на гиперболе несколько точек, абсциссы которых

x0=1, x1=q, x=q2…, составляют прогрессии xk=qk,... (1)

Получим ряд криволинейных трапеций, площадь каждой из которых равна какому-то числу S, т.е.

Обозначим площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке

( x₀, xk) или (1,x) через Sk, соответственно S(x), т.е. S(x) =, тогда получим Sk = kS или S(x)=xS. (3)

Это говорит о том, что если абсцисса x точки, скользящей по гиперболе, образуют геометрическую прогрессию, то площади S(x), соответствующих криволинейных трапеций образуют арифметическую прогрессию

0, S, 2S, 3S, ...,xS, ...

Если обозначим через e такое число, для которого S(e)=1 и принять q=e1/n, где n – натуральное число, то получаем геометрическую и арифметическую прогрессии:

1,e1/n, e2/n,… eх/n,…,e,…,

0, S, 2S, 3S, ...,xS,…,1,…

согласно (3) получим: S(qn)=nS(q), т.е. 1= nS(e1/n) или S(e1/n)=1/n

Обобщая полученный результат имеем:

S(x)= или S(x)=

Это означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.

§5 Метод Николая Меркатора вычисления логарифмов.

Около 1686 г. математику Николаю Меркатору из Голштинии случайно удалось, путём несложного преобразования, найти естественное решение задачи о площади «под» гиперболой. И до Меркатора было известно несколько решений задачи о площади «пол гиперболой», но все они были сложны и искусственны.

Гипербола, которая является графиком функции y

Теперь, оставляя ось Ох прежней, перенесём ось Оу на единицу вправо в положение О1у1. Если точка N, взятая на гиперболе, имела раньше абсциссу ОР = х, то новая абсцисса будет О1Р- обозначим её через z. Тогда z = x ̶ 1 или же х = 1 + z. Уравнение нашей линии (гиперболы) y принимает вид: .

Если, например, ОР = 1,8 ед. и искомый логарифм обозначен как , то теперь мы должны его обозначить как ,

так как новая абсцисса z изменяется, от значения 0 до значения 0,8. И вот Меркатор (в этом решающий шаг!) привлекает формулу суммы убывающей геометрической прогрессии. А именно,

1-z+z²-z³-z⁴-z⁵+… =

Казалось бы эта формула нужна для того, чтобы сложное выражение бесконечной суммы преобразовать в простое, стоящее справа. Меркатор же наоборот, заменяет простую дробь 1/1+z бесконечным знакопеременным рядом, расположенным по степеням буквы z. Он получает: пл «под» гиперболой (логарифм),

Стоящий знак интеграла, означает площадь, а уравнения

у = 1, у = —z, у = z2, у = —z3, ...

означают параболы последовательных степеней. Итак, «ключ» Меркатора, который он применил для открытия незнакомой замкнутой шкатулки — это замена площади гиперболы рядом площадей последовательных парабол.

Во времена Меркатора формула площади для параболы

была уже хорошо известна. Что же касается того, что ряд парабол тянется неограниченно далеко (до бесконечности), то Меркатор об этом мало беспокоился. Примерно через 150 лет после него математикам стоило многих трудов доказательство того, что при этом переходе сразу к несметному множеству площадей парабол мы не совершаем ошибки, одним словом, логически-строгое доказательство далось нелегко. Но в ту эпоху, когда жил Меркатор, можно было не входить в эти тонкости и беззаботно попеременно прибавлять и вычитать площади последовательных парабол:

=0,8 кв. ед

Интегральное определение логарифма и его исторические корни 📙 Курсовая → 🆔 90780