Интегральные характеристики векторных полей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по теме:

«Интегральные характеристики векторных полей»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент IV курса группы МиИ

очного отделения 

специальность «математика и информатика»

 

 

Проверил:

доцент

 

 

 

 

 

Чебоксары 2012

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Основные понятия интегральных характеристик……………………………5

2. Разложение векторного поля..............................................................................6

2.1. Разложение векторного поля на сумму потенциального и солено-

идального полей…………………………………………………………...............6

2.2. Векторное поле и его циркуляция..................................................................7

3. Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля.  Формула

Остроградского–Гаусса в векторной форме. Вихревой вектор поля. Формула

Стокса в векторной  форме…………………………………………...………….10

3.1. Поток векторного поля...…….……………………………………………..10

3.2. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса  в векторной форме....................................................................................................11

3.3. Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме....................13

4. Специальные векторные поля……………………………………..…………15

5. Оператор Гамильтона…….…………………………….……………………..17

6. Примеры решения задач……..……………………………………...………..19

Заключение……………………………………………………………….……...22Библиографический список ……………………………..………………….….23 
Введение

 

Для описания физической реальности математикам стало не доставать  основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные. Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор – абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.

Сам термин «вектор» (от лат. vector – несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».

После введения понятия вектора  были более детально разработаны  правила операций над векторами, что привело к появлению сначала  векторной алгебры. Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Следует отметить, что в  ясно очерченном виде векторная алгебра  появилась примерно на 30 лет позже  первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной  алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим  энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.

Понятие вектора может  быть введено аксиоматически, тогда  вектор будет пониматься как элемент  векторного пространства. Развитием  понятия «вектор» можно считать  понятие «тензор».

Тензорное исчисление – раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж. Риччи и Т. Леви-Чивитой, его часто называли «исчислением Риччи».

Термин «тензор» еще с  середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.

Следовательно, мы можем  выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций – градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем – формулы Грина,  теоремы Стокса,  формулы Остроградского-Гаусса.

 

 

1. Основные понятия  интегральных характеристик

 

Теория поля – крупный  раздел, физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению векторных  полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено, задано скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле – это скалярная функция U(M) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Вектор можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y и z: или Вектор можно представить в виде

 

где P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) – проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна 0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским.

Векторное поле называется однородным, если – постоянный вектор (P, Q, R – постоянные величины).

 

 

 

 

 

 

2. Разложение векторного поля

2.1. Разложение векторного поля  на сумму потенциального и  соленоидального полей 

 

Произвольное непрерывное дифференцируемое векторное поле может быть изображено в виде

                                                                                    (2)

где – потенциальное поле, – соленоидальное поле. 
         Действительно, по определению потенциальное векторное поле является градиентом некоторого скалярного поля u(M): . Поэтому для вектора из равенства (2) имеем 
                                          .                                  (3) 
        Чтобы векторное поле было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию div , отсюда, учитывая равенство (3), находим  
            div. 
        Таким образом, для скалярного потенциала поля получаем уравнение

                                                     =,                                                         (4)

где – известная функция данного поля.  
          Итак, если функция является решением уравнения (4), то, положив ,, получим изображение поля в виде (2), где – потенциальное поле, – соленоидальное  поле. 
Уравнение (2) – неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое называется уравнением Пуассона:

 

 

2.2. Векторное поле и его циркуляция

 

Одной из характеристик стационарного  векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

 

тогда вектор

 

коллинеарен вектору поля   т. е.

 

Следовательно, уравнение  векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

 

Найдем работу, которая  совершается при перемещении  материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля  . 

Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками

А = М₀, М₁, ..., М_i-1, М_i, ..., М_n = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности  можно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке N_i.

При этих предположениях элементарная работа ΔA_i, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги М_{i - 1} М_i, приближённо равна скалярному произведению

  где

 

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой

 

 
Обозначим через λ длину наибольшей из хорд Тогда

 

 

Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который  в координатной форме имеет вид:

 

и который называют линейным интегралом вектора _{(x; y; z)} вдоль линии L.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают:

 

Рассмотрим различные  формы записи циркуляции. Т.к.

 

где – проекция вектора на касательную τ, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:

 

Или

 

Это выражение имеет простой  физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Вдоль замкнутых векторных  линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной  линии скалярное произведение сохраняет знак: «+» – если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «–» – в противном случае.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Поток  векторного поля. Дивергенция векторного поля.  Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме. Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

3.1. Поток векторного поля

Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере  потока жидкости, движущейся через  некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени  через поверхность, расположенную  в движущейся жидкости, назовем потоком  жидкости через эту поверхность.

Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен

 

где – единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором  , а величина  

Независимо от физического  смысла вектора  интеграл (1) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.

Пусть и , тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме

 

Пусть задано векторное поле

 

Дивергенцией  или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

 

На этот раз векторное  поле  порождает скалярное поле .

С учетом понятий дивергенции  и потока векторного поля формулу Остроградского–Гаусса можно представить в форме:

 

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (1) можно записать:

 

 и, переходя к пределу,  стягивая V в точку М (величина V → 0), имеем:

 

То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток

 

 

то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П<0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки  можно использовать .

Если , то данная точка есть источник,

если  – то сток.

Заметим, что  можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

 

в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

 

Вихревым вектором (вихрем), или ротором векторного поля

 

называется вектор, имеющий  координаты:

 

Тем самым векторное поле порождает векторное поле вихря  .

Через символический вектор Гамильтона

 

вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора  на вектор поля , т. е.

 

Как легко видеть, выражение

 

стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.

Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:

 

Левая и правая части формулы  этой представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через поверхность S, натянутую на этот контур.

Можно определить проекцию вектора  на любое направление следующим образом:

 

т.е. есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки τ, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.

Или другими словами: есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.

Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и  градиент, так и дивергенция) не зависит  от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Специальные векторные поля

 

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:  

Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции φ(M), т. е. В этом случае функция φ(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Теорема

Если векторное поле   

 

непрерывно дифференцируемо  в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

•  –  потенциальное поле;
•  –  безвихревое поле;
• циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;
• криволинейный интеграл       

 

не зависит от формы  пути интегрирования.

Если φ(М) – потенциал поля, то потенциалом этого поля, как легко видеть, будет и любая другая функция вида ψ(М) = φ(М) + const.

Любой потенциал φ(М) поля очевидно, можно представить в виде:

 

Отметим важное свойство указанных  выше специальных векторных полей.

Теорема

Произвольное векторное  поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Оператор Гамильтона

 

Векторный символ

 

называется оператором Гамильтона, знак читается "набла". Так как для скалярной функции U = U (x, y, z)

 

то градиент можно представить  в виде

 

Полный дифференциал скалярной  функции можно представить в  виде

dU = U·dr.

Используя формулу скалярного произведения в координатной форме, получим 

 

Используя формулу векторного произведения в координатной форме, получим 

Действительно,

 

Векторное поле

F = P·i + Q·j + R·k

называется потенциальным, если вектор F есть градиент некоторой скалярной функции.

F = grad U.

В этом случае проекции вектора F есть частные производные этой скалярной функции U.

 

Из этих равенств следует 

 

или

 

Следовательно, признаком  потенциальности векторного поля является

rot F = 0.

Таким образом 

                                                  rot (grad U) = 0.                                       (2)

Применяя оператор, равенство (2) на основании (1) можно записать так

 

Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, соотношение (3) можно записать в виде

(×)U = 0.

Оператор обладает свойствами обыкновенного вектора: векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. 

 

 

 

6. Примеры решения задач

Пример 1. Найти циркуляцию векторного поля

 

 вдоль контура 

Г

 

в направлении, соответствующем  возрастанию параметра t. 
Решение. 
   Вычислим циркуляцию векторного поля

 

 

 

Вычислим теперь циркуляцию по формуле Стокса. Вектор нормали  имеет координаты

 

Вихрь поля равен 

Скалярное произведение равно 

 

 

Пример 2. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора

 

Решение. Ищем соответствующие частные производные от каждой координаты вектора

 

 

 

В каждой точке поля имеется источник плотности, равный 3 ед.

Пример 3. Найти производную поля u(M) = х² – у² в точке по

направлению

Решение. Вычислим направляющие косинусы вектора :

 

Найдём частные производные  в указанной точке

 

По формуле 

 

вычислим производную по направлению

 

Здесь отрицательный знак производной  поля указывает на то, что в данной точке в направлении данного  вектора поле убывает.

Пример 4. Найти векторные линии в векторном поле a.

 

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий поля a:

 

 

 

 

Пример  5. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 Заключение

 

Интегральные характеристики – раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии.

Для получения основных соотношений, используемых в интегральных характеристиках, оказывается практически важным рассмотрение криволинейных и поверхностных интегралов, и их геометрических приложений. Так, например, теорема Стокса в векторной форме приобретает совершенно новый физический смысл.

Практически полезным является и введение оператора Гамильтона, с его помощью удобно записывать векторные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор), а также векторными функциями. Для введения дифференциальных операций второго порядка используется оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики.

К рассмотрению векторных  полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей  способствует изучению и других. Математическим ядром теории поля являются рассмотренные  нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа  функций многих переменных.

 

Библиографический список

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н. С. Пискунов – М. : Наука, 1972. – Т. 2. – 656 с.
2. Кузнецов, Д.С. Специальные функции / Д.С. Кузнецов – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.
3. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
4. Фихтенгольц,  Г.М. Основы математического анализа / Г.М.Фихтенгольц–М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.
5. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц – М.: Наука, 1969. – Т. 2. – 800 с.