Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Военная финансово-экономическая академия (г.Ярославль)

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

Тема: Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Исполнитель:

Научный руководитель:

Ярославль-2007г.

План курсовой работы

1.Введение……………………………..……………………………………..…..3

2. Интегралы от иррациональных функций……………………… ………..….4

3. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций…….10

4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок………………………………………….....14

5. Заключение…………………………………………………………………...17

6.Список используемой литературы……………………………………….….18

Введение

Цель данной курсовой работы – ознакомиться с интегрированием иррациональных выражений, рассмотреть интегрирование некоторых классов тригонометрических функций и получить практические навыки в интегрировании иррациональных выражений. Данная курсовая работа может быть использована при углубленном изучении дифференциального исчисления и определенного интеграла. В данной курсовой работе автор приводит часть доказательств и сформулированных предложений. В основном рассматриваются те доказательства, которые помогают лучше усвоить исследуемый материал или же дают алгоритм решения задачи.

Интегралы от иррациональных функций

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

I. Рассмотрим интеграл R(x, x^m/n ,..,, x^r'^s)dx, где R—рациональная функция своих аргументов.

Пусть k—общий знаменатель дробей m/п.,..., r/s. Сделаем подстановку:

Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

Решение: Общий знаменатель дробей 1/2,3/4 есть 4; поэтому делаем подстановку x=t⁴, dx = 4t³dt; тогда

II. Рассмотрим теперь интеграл вида

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где k — общий знаменатель дробей т/п, ... , r/s. Пример 2. Требуется вычислить интеграл

Решение. Делаем подстановку x+4 = t², x = t² — 4, dx = 2t dt; тогда

Интегралы вида

Рассмотрим интеграл

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлер; 1. Первая подстановка Эйлера. Если а > 0, то полагаем:

Перед корнем √ а возьмем для определенности знак плюс. Тогда

откуда х определяется как рациональная функция от t

(значит, dx тоже будет выражаться рационально через t), следовательно,

оказывается рациональной функцией от t.

Так как , х и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл (1) преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

Решение. Так как а=1 > 0, то полагаем √(х²+с) = -х+t, тогда

Откуда

Следовательно

Возвращаясь к исходному интегралу, получаем:

2. Вторая подстановка Эйлера. Если с > 0, то полагаем

тогда (перед √ с для определенности берем знак плюс)

Отсюда х определяется как рациональная функция от t:

Так как dx и тоже выражаются рационально через t, то, подставляя значения х, и dx в интеграл R (х,

dx, мы сведем его к интегралу от рациональной функции от t.

Пример 2. Требуется вычислить интеграл

Решение. Полагаем √(х2+х+1)=хt+1 тогда

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

3. . Третья подстановка Эйлера. Пусть α и β — действительные корни трехчлена ах²+bх+с. Полагаем:

Отсюда находим х как рациональную функцию от t:

Так как dx и тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при а<0, но и при а>0—лишь бы многочлен ах²+bх-+с имел два действительных корня

Пример 3. Требуется вычислить интеграл

Решение. Так как x²+3х—4 = (x+4)(x— 1), то полагаем:

Возвращаясь к исходному интегралу, получаем:

Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен ах² + bx + с. Если b²—4ас>0, то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если b²— 4ас≤0, то в этом случае

следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком а. Чтобы корень был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть а>0. В этом случае применима первая подстановка.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных). В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических, в первую очередь тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида

Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки

всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sinх и cosx через tgx/2, а следовательно, и через t:

Таким образом, sin x, cosx и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции

Пример 1. Рассмотрим интеграл

На основании написанных выше формул имеем:

Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида R (cos х, sin х). Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1) Если интеграл имеет вид R (sin х) cos x dx, то подстановка

sinx = t, cos xdx = dt приводит этот интеграл к виду R(t)dt.

2) Если интеграл имеет вид R (cos х) sin х dx, то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой cosx = t, sinxdx = - dt.

3) Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то

замена tg x = t, x = arctgt, dx = dt/(1+t²) приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:

4) Если подынтегральная функция имеет вид R(sinx;, cos x), но sin х и cos х входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка:

так как sin² xи cos² x выражаются рационально через tgx:

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

5) Рассмотрим теперь еще один интеграл вида R (sin x, cos х) dх — именно интеграл, под знаком которого стоит произведение sin^mxcosⁿxdx (где m и n—целые числа). Здесь рассмотрим три случая.

a) Интеграл от sin^mxcosⁿxd, где m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что п нечетное. Положим n = 2p + 1 и преобразуем интеграл:

Сделаем замену переменного

Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим:

а это есть интеграл от рациональной функции от t.

Пример 4.

Обозначая six = t, cos xdx = dt, получим:

б) Интеграл от sin^m xcosⁿ xdx, где m и п—числа неотрицательные и четные, Положим т = 2р, n = 2q. Напишем формулы, известные из тригонометрии

Подставляя в интеграл, получим

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos2x в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида coskxdx, которые легко интегрируются.

Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Вернемся к интегралу

где а≠0, c-b²/4a ≠0 (в случае а = 0 интеграл имеет вид ,при c-b²/4a =0 выражение

и мы имеем дело с рациональной функцией, если а > 0, при а < 0 функция

не определена ни при каком значении х). Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида

который рассмотрен в предыдущем параграфе.

Произведем преобразование трехчлена, стоящего под корнем

Сделаем замену переменного, положив

Тогда

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Пусть Введем обозначения а = т²,

В этом случае будем иметь:

Пусть

Тогда Следовательно,

Пусть

Тогда Следователыю,

4. Пусть

В этом случае

есть комплексное число при любом значении х.

Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов интегралов:

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем замену x = asinz, тогда

Заключение

Целью данной курсовой работы ставилось ознакомление с интегрированием иррациональных выражений, рассмотрение интегрирования некоторых классов тригонометрических функций и получение практических навыков в интегрировании иррациональных выражений. Данная курсовая работа может быть использована при углубленном изучении дифференциального исчисления и определенного интеграла. В данной курсовой работе автор привел часть доказательств и сформулированных предложений. В основном рассматривались те доказательства, которые помогают лучше усвоить исследуемый материал , дают алгоритм решения задачи. С помощью данной работы я научился практически применять полученные знания в интегрировании иррациональных выражений. Считаю, что цель курсовой работы достигнута полностью.

Список используемой литературы

Высшая математика для экономистов. Н. Ш. Кремер, Москва 2003 год.

Интегрирование некоторых иррациональных выражений 📙 Курсовая → 🆔 90871