Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Интегрирование рациональных функций

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Ростовский филиал.

Кафедра информационных таможенных технологий и информатики.

Курсовая работа

по дисциплине «Математический анализ»

на тему «Интегрирование рациональных функций».

Выполнила: Вебер А.В., студентка 1-го

курса очной формы обучения экономического

факультета, группа 1БЭ.

Подпись:

Научный руководитель: Цвиль М.М.,

канд. физико-математических наук, доцент

Подпись:

Ростов-на-Дону

2011г.

Содержание

Введение

Вопрос интегрирования рациональных дробей много раз изучен и рассмотрен. Казалось бы, что может быть проще для современного математика, чем разложить рациональную дробь на простейшие, а потом проинтегрировать полученное выражение. Однако, применение этого метода существенно облегчает жизнь – не будь метода – некоторые задачи было бы очень проблематично решить, а некоторые вообще не решались.

Поэтому, выбрав для изучения тему «Интегрирование рациональных дробей», я поставила следующие задачи:

- научиться разлагать дроби на элементарные, при этом отыскивая корни многочленов, находящихся в числителе или знаменателе дроби;

- систематизировать свои знания по нахождению первообразной или интеграла;

- усовершенствовать свои умения в применении интегрального исчисления для функций.

Развитие функциональных знаний помогают получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, научиться строить их графики, обобщить сведения об основных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности.

Работа над изучением темы «Интегрирование рациональных дробей» повысит уровень моей математической подготовки, позволит научиться применять этот материал при решении дифференциальных уравнений и других задач математического анализа.

Без интегрирования рациональных дробей нельзя обходиться, тем более на современном этапе развития математической мысли. Об этом и пойдет речь в моей работе.

ГЛАВА I. Рациональные функции и их разложение на множители

Функция называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов и :

Пусть степень многочлена равна , а степень равна , то есть

где и . Разделив числитель и знаменатель на число , мы получим, что коэффициент при старшей степени в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты и - вещественные числа.

Если , то дробь называется правильной, а если , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель можно поделить на знаменатель , получив при этом частное и остаток , степень которого меньше . Это означает, что

или что

где - некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби . Если остаток Т(х) тождественно равен 0, то многочлен Р(х) делится на Q(х) без остатка, и функция R(х) является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью S(х).

С интегрированием целой части дроби R(х), то есть многочлена S(х), не возникает никаких проблем, так что в дальнейшем мы можем заняться выяснением способов интегрирования лишь правильных рациональных дробей. Для нахождения частного S(х) и остатка Т(х) можно применять алгоритм деления многочленов «столбиком». Приведём пример.

Пример 1. Разделим с остатком - многочлен третьей степени - на бином - многочлен первой степени:

Таким образом, мы представили неправильную рациональную дробь в виде

здесь мы получили частное и остаток - многочлен нулевой степени, то есть постоянную.

Знаменатель раскладывается в произведение вещественных линейных и квадратичных множителей, то есть имеет вид:

Линейный множитель повторяется в разложении раз, это означает, что вещественное число - корень многочлена Q(х) кратности . Относительно квадратичных множителей мы будем предполагать, что они не имеют вещественных корней, то есть что их дискриминанты отрицательны:

и корни составляют пару комплексно сопряжённых чисел:

(Здесь и далее - мнимая единица, так что .) Квадратичный множитель повторяется в разложении раз; это соответствует тому, что каждое из комплексно сопряжённых чисел и служит -кратным корнем многочлена .

Указанное разложение многочлена можно выписать, если каким-либо способом отыскать все его корни, как вещественные, так и комплексные, и найти их кратности. Заметим также, что сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:

Если найден какой-либо корень , то это означает, что делится на бином без остатка:

где степень частного равна . Точно так же, если найден какой-либо комплексный корень (тогда и сопряжённое число тоже является корнем ), то делится без остатка на произведение , то есть

где степень частного равна .

Если - многочлен с целочисленными коэффициентами , то, согласно теореме Виета, все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей (как положительных, так и отрицательных) свободного члена . Проверив все эти делители, мы можем натолкнуться на некоторые из корней; если же ни один из делителей не является корнем , то это означает, что не имеет ни одного целого корня.

Пример 2. Разложим на множители многочлен третьей степени . Проверим, нет ли у него целых корней. Если есть, то этот корень должен быть одним из делителей свободного члена, то есть числа 6. Эти делители равны . Подставляем эти числа в по порядку:

Натолкнулись на корень многочлена, который оказался равным . Значит, делится без остатка на бином . Выполним это деление «столбиком»:

Значит,

Корни частного, то есть квадратного трёхчлена , найдём обычным способом:

Эти два корня оказались комплексными, так что искомое разложение многочлена на вещественные линейные и квадратичные множители уже получено: это . Кратности как корня , так и пары корней , оказались равными 1.

Итак, предположим, что нам дана правильная рациональная дробь

Её знаменатель после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов: (если кратность корня равна 1); , где (эти множители соответствуют вещественным корням кратности больше 1); (если кратность комплексных корней равна 1) и, наконец, (если кратность комплексных корней больше 1).

Каждому из указанных типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

- простейшая дробь первого типа;

, где , - простейшая дробь второго типа;

- простейшая дробь третьего типа;

, где , - простейшая дробь четвёртого типа.
Здесь и - некоторые постоянные.

Любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе дроби имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа , где - некоторое число.

Если имеется множитель , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где , - это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители .)

Если в знаменателе имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, , где и - некоторые числа.

Наконец, если имеется множитель , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где ; - это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

где - некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение в соответствии с видом разложения на множители знаменателя дроби .

Для отыскания неизвестных постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей по формуле, привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные , а числитель левой части - нет.

Далее можно действовать одним из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в тот и в другой некоторые «удобные» значения и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Приведём пример.

Пример 3. Разложим рациональную дробь

в сумму простейших дробей и вычислим .

Заметим, что в знаменателе этой дроби стоит многочлен , для которого в предыдущем примере мы нашли разложение на множители: Поэтому сумма будет состоять из двух слагаемых: простейшей дроби первого типа, соответствующей линейному множителю , и простейшей дроби третьего типа, соответствующей квадратичному множителю . Итак, вид разложения таков:

серия, соответствующая , состоит из 1 слагаемого; серия, соответствующая , также содержит только 1 слагаемое. Через А, В и обозначены неизвестные пока постоянные.

Для нахождения этих постоянных приведём правую часть к общему знаменателю:

Поскольку дроби в левой и в правой частях этого равенства тождественно равны и имеют одинаковые знаменатели, то тождественно равны и их числители³:

Это равенство верно при всех значениях , в том числе и при х=-1. Подставим х=-1в левую и правую часть равенства и получим:

Последняя скобка равна 0, так что получаем: 2=А×11 откуда

Других «удобных» значений , то есть таких, чтобы какая-либо скобка в правой части обращалась в 0, больше нет, ведь квадратный трёхчлен , как мы проверяли ранее, не имеет вещественных корней. Так что далее мы можем либо подставлять «не вполне удобные» значения , вроде , либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Пойдём комбинированным путём: сначала подставим (заметим, что это - то же самое, что приравнять друг к другу свободные члены левой и правой частей):

Это даёт нам равенство

Поскольку уже известно , получаем:

Наконец, приравняем коэффициенты при : в левой части коэффициент равен 5, а в правой, после раскрытия скобок, он оказывается равным А+В, так что А+В=5, откуда

Итак, все три неизвестных коэффициента найдены, и получено разложение

Замечание. Если исходная правильная дробь является чётной функцией от , то есть содержит в числителе и знаменателе одни лишь чётные степени , то и в правой части разложения достаточно оставить одни лишь чётные относительно слагаемые. Действительно, если дробь имеет вид , где и - многочлены от переменного , то мы можем разложить на сумму простейших дробей правильную дробь , а потом подставить в каждом из слагаемых разложения вместо . Очевидно, что тогда все эти слагаемые, зависящие только от , будут чётными функциями. Например, разложение правильной дроби

следует отыскивать в виде

а не в виде

поскольку слагаемые и - нечётные функции от . Тем самым нам надо будет отыскать всего два неизвестных коэффициента и вместо четырёх: А, А¢, В¢и .

Точно так же, в случае когда R(x) - нечётная функция от х, в искомом разложении можно оставить одни лишь нечётные слагаемые: например, разложение дроби

следует искать в виде

вместо

сэкономив на поиске чётных слагаемых и , коэффициенты которых и всё равно окажутся равны 0.

Разобранный пример 3 показывает, что после разложения правильной дроби в сумму простейших дробей интегрирование сводится к интегрированию полученных простейших дробей. Разберём интегрирование всех четырёх типов простейших дробей по порядку.

Глава II. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Интегрирование простейшей дроби первого типа сводится к применению табличной формулы:

Интегрирование простейшей дроби второго типа сводится к табличной формуле после замены вида :

Интегрирование простейшей дроби третьего типа выполняется с помощью выделения в знаменателе полного квадрата и разбиения интеграла на два слагаемых, которые вычисляются как было показано выше в примере:

где и . Осталось подставить :

Интегрирование простейшей дроби четвёртого типа также начинается с выделения в знаменателе полного квадрата и замены , после чего интеграл приводится к виду , где . Разбиваем этот интеграл на два слагаемых:

Первый из интегралов легко вычисляется заменой :

Для второго интеграла,

мы можем получить формулу понижения степени, если преобразуем его следующим образом:

Последний интеграл преобразуем, применив формулу интегрирования по частям:

Подставив это выражение, получаем:

Это и есть формула понижения степени, сводящая вычисление интеграла к вычислению интеграла . Если , то интеграл - табличный; если же , то для вычисления нужно снова применить формулу понижения степени, и так до тех пор, пока не получится тот же табличный интеграл .

Пример 4. Вычислим интеграл

Сделав замену , получаем:

В первом из двух слагаемых сделаем замену и получим:

Во втором слагаемом применим описанный выше метод понижения степени:

Для вычисления ещё раз применим тот же самый приём:

Поскольку

имеем

Рассмотрим теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:

Пример 5. Вычислим интеграл

Под знаком интеграла - правильная дробь, поскольку степень числителя, равная 4, меньше степени знаменателя, равной 5. Разложим на множители знаменатель дроби. Это можно сделать, например, группировкой слагаемых:

если учесть, что

Значит, в разложении дроби

в сумму простейших дробей будут получаться следующие серии слагаемых: множителю знаменателя будет соответствовать серия из двух слагаемых, второго и первого типа:

множителю - одно слагаемое первого типа:

множителю - одно слагаемое третьего типа:

Итак, ищем методом неопределённых коэффициентов разложение подынтегральной дроби в виде

Приводим правую часть к общему знаменателю. Этот общий знаменатель равен , так что

Поскольку должны быть тождественно равны эти две дроби с одинаковыми знаменателями, приравниваем числители:

Из этого соотношения мы должны найти неизвестные коэффициенты Для этого сначала используем подстановку «удобных» значений , то есть и , которые обращают в 0 скобки и соответственно. При получаем: откуда

При получаем: откуда

Больше «удобных» значений нет. Подставим , то есть приравняем свободные члены левой и правой частей: С учётом того, что и , получаем уравнение

Теперь начнём приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Приравниваем коэффициенты при : С учётом получаем второе уравнение:

Теперь приравняем коэффициенты при : или

Получили систему из трёх линейных уравнений для трёх неизвестных :

Решая эту систему, получаем

Подставляя найденные коэффициенты, получаем конкретный вид разложения дроби в сумму простейших:

Значит,

Заметим, что ввиду того, что подынтегральная функция имеет разрывы при и , слагаемое означает в данной формуле кусочно постоянную функцию, принимающую постоянные (но, может быть, различные) значения на интервалах , и .

Таким образом, в этой главе были рассмотрены основные приемы интегрирования рациональных дробей с использованием их разложения на элементарные дроби и таблицы интегралов.

Глава III. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Некоторые типы неопределённых интегралов сводятся путём соответствующей замены к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три таких случая.

Определение: Будем говорить, что функция рациональным образом зависит от выражения , если можно представить в виде

где - рациональная функция от переменного .

Например, функция

рациональным образом зависит от , а функция

рациональным образом зависит от .

Одночленом от двух переменных и назовём выражение вида , где , а показатели степени и - целые неотрицательные числа. Многочленом от двух переменных и назовём сумму конечного числа одночленом от этих двух переменных. (Считаем, что сумма может состоять и из одного слагаемого, так что каждый одночлен - это частный случай многочлена.)

Например, , , - многочлены от переменных и .

Рациональной функцией от двух переменных и назовём отношение двух многочленов от и :

где и - многочлены от и .

Например, функции

рациональные функции от и .

Определение . Будем говорить, что функция рациональным образом зависит от выражений и , если можно представить в виде

где - рациональная функция от переменных и .

Например, функция

рациональным образом зависит от и , а функция

рациональным образом зависит от и : нужно взять

Теперь рассмотрим наиболее часто встречающиеся классы интегралов.

3.1. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты.

Рассмотрим интегралы вида

где - рациональная функция. Сделаем естественную замену . Тогда и . Получаем:

где . Заметим, что - это тоже рациональная функция, так как - тоже многочлен. Таким образом, мы свели дело к вычислению интеграла от рациональной функции , после нахождения которого нужно сделать замену и получить ответ.

Пример 6. Найдём интеграл

Выполняя естественную замену , получаем:

Подынтегральную дробь разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

При «удобном» значении получаем , откуда

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях : при получаем:

а при -

или

Решая получившуюся систему уравнений

находим , . Значит, искомое разложение имеет вид

3.2. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Рассмотрим интегралы вида

где - рациональная функция от двух переменных и , а выражения и таковы: , , и .

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций одного переменного, если сделать естественную замену . Действительно, тогда и , а интеграл приводится к виду

где

Нетрудно заметить, что функция рационально зависит от единственного своего аргумента .

Заметим, что точно та же замена годится и в случае, когда подынтегральная функция зависит рациональным образом только от .

Пример 7. Вычислим интеграл

Подынтегральная функция рациональным образом зависит от , поскольку её можно записать в виде

Сделаем замену :

Получили интеграл от рациональной дроби которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель «столбиком»:

Получили частное и остаток 2, значит, неправильная дробь представляется в виде

Теперь можно вычислить интеграл:

3. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Интегралы вида

где - функция, рациональным образом зависящая от и , можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного , если сделать так называемую «универсальную» замену

При этом

и , откуда

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к виду

где

Нетрудно заметить, что - рациональная функция одного переменного .

Если имеет место частный случай рациональной зависимости от и , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

то применять универсальную замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком сложным интегралам; в этих случаях гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

В этом случае

и , откуда

Пример 8. Вычислим интеграл

Выполняя замену , получаем:

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

Получили интеграл от рациональной функции переменного . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители⁵. Так что первая замена оказалась много лучше второй.

Замечание . Замена годится также в случае интеграла , в котором функция рациональным образом зависит от и и обладает следующим свойством:

Тогда при замене нужно использовать формулы

Если же подынтегральная функция зависит от своих аргументов несимметричным образом, то ничего не остаётся делать, как применять не всегда приятную универсальную замену .

Интегрирование рациональных функций 📙 Курсовая → 🆔 90872