ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

 
 
 
 
 
 

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«ТОМСКИЙ  ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

«ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

         Выполнила:

         студентка гр. 8Б60

         Чурина Ю.С.

                                                  

         Проверил:

         доцент кафедры ПМ

         Козловских А.В. 
 
 
 
 
 

Томск 2008 г.

 

Содержание. 

1. Введение…………………………………………………………………….3
2. Постановка задачи………………………………………………………… 4
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР…………………….5
4. Построение фундаментальной матрицы решений

методом Эйлера…………………………………………………………….7

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда ………13
6. Построение общего решения матричным методом ……………………18
7. Решение задача Коши…………………………………………………….23
8. Исследование зависимости жордановой

формы матрицы А от свойств матрицы системы……………………….26

9. Решение неоднородной системы………………………………………...27
10. Заключение………………………………………………………………..30
11. Приложение……………………………………………………………….31
12. Список литературы……………………………………………………….34

 

 

1. Введение. 

    Рассмотрим  систему линейных уравнений первого  порядка, записанную в нормальной форме: 

    

                      (1)

     

    где коэффициенты а_ij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

      y_i=y_i(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

      Если все b_i(t) ( i=1,2,…,n) положить равным нулю (b_i(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).  

      Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме

    

    (1а)

    Если  , то получаем соответствующую систему однородных уравнений

    

.      (2) 

    Всякая  совокупность n функций

    

     

    определенных  и непрерывно дифференцируемых в  интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

    

 

    справедливые  при всех значениях x из интервала (a,b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы  и частного решения неоднородной. 
 
 
 
 
 

    2. Постановка задачи. 

    Цель  работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей: 

     ;  ; 

Задание

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость  Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.
5. Решить задачу Коши.
6. Решить неоднородную систему.

 

Вектор правых частей [2; 3; 7; ]

Начальные условия:

Вектор начальных  условий: [1, 2, 3,3]

х = 0

 

3. Нахождение собственных  чисел и построение  ФСР.

 

    Однородной  линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида: 

     

          (3)

      Если  в матрице системы  все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

    Фундаментальной системой решений  однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

    Для построения фундаментальной системы  решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического  полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

    Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) не был равен нулю:

                    (4)                        

    Из  этого уравнения степени  n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

    Запишем характеристический полином:

      

    

      

    Определим кратность полученных корней, для  этого воспользуемся функцией FACTOR, которая представит найденный характеристический полином в виде, следующих функций: 

               

    

    Таким образом, получено четыре корня. Корни действительные разные: один корень равен 2, а второй корень равен -2 и имеет кратность равную 3.

    Тогда, вектора, образующие ФСР будут строиться  отдельно для случая действительных разных и действительных кратных корней  кратности 3.

    Рассмотрим  получение ФСР для однородного  уравнения, вида   

    a_nx⁽ⁿ⁾ + a_n-1 x^(n-1)+. . . . . +a_оx=0,

      где a_n, a_n-1, ……, a₀- действительные числа. 

      Общее решение данного уравнения  представляет собой линейную  комбинацию частных решений, входящих  в фундаментальную систему решений,  то есть комбинацию любых n линейно- независимых частных решений уравнения. Вид этих решений и метод их нахождения определяет следующий частный случай данного уравнения: x’+ax=0.Это линейное уравнение первого порядка имеет решение x(t)=e^-at. Предположим, что решение уравнений высших порядков имеют такую же форму, т.е. будем искать частное решение данного уравнения в виде x(t)=e^-lt, где l- некоторое подлежащее определению число.

    Запишем функции, образующие фундаментальную  систему решений:

      EXP(2х)

      EXP(-2х) 

      хEXP(-2х)

      EXP(-2х) 

    Этот  метод решения был впервые  применен Эйлером.

 

     4.Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера.

 

    Метод Эйлера заключается в следующем.

    Решение системы (1) находится в виде:

  (5) 

      Функция (5) является решением системы (1), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения ₁, ₂, … , _n матрицы А попарно различны и a₁, a₂, …, a_n соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой : 

 

где С₁, С₂, … , С_n – произвольные числа.

    Для случая кратных корней решение системы  принимает вид

          (6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих  в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

   Если  для кратного собственного значения матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы:

   

   Если  для собственного значения кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:

   

   Чтобы найти векторы  , надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов .

   Для данного задания были найдены следующие собственные значения: λ = 2, λ = -2.      

   Запишем собственный вектор для λ = 2, используя функцию EXACT_EIGENVECTOR:

   

   Тогда собственный вектор имеет следующий  вид:

   

   Тоже  самое сделаем для λ = -2.

   

     

   Запишем решения, соответствующие трехкратному корню, где степень полинома (k-1):

     

Подставим полученное решение для λ = -2 в исходное уравнение:

1. умножим наше «как бы» решение на матрицу
2. получим выражение
3. найдем первую производную от нашего решения
4. подставим все в исходное уравнение и используя функцию EXPAND, найдем коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях

 

 
 
 
 

Приравняем коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях и решаем систему с помощью функции SOLVE: 

 
 

Запишем коэффициенты  через две произвольные постоянные

 

Подставим найденные  коэффициенты, и получим множество решений, соответствующих λ = -2:

Получим следующее  множество решений для λ = -2:

 

   

Таким образом, запишем фундаментальную  матрицу решений, которая состоит из собственных векторов, записанных в форме матрицы и умноженных на вектор произвольных коэффициентов v_i: 
 
 

Сделаем проверку найденного решения. Для этого подставим наше найденное решение в исходное уравнение следующим образом: 
 

                               

После нажатия  SIMPLIFY  получаем нулевую матрицу-столбец: 

                                                                         

что показывает, что общее решение найдено  верно.

 

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда.

    Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.

    Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , , . Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:

    

, 

    если    при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме ,  если к f сходится последовательность частичных сумм S_k, где

    .

    Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом:

    

(k раз).

    Рассмотрим  ряд, называемый степенным:

    

, , ,

    где по определению положим A₀ = E_n.

    Экспоненциальная  функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:

    

.

    Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда

    

    Равен бесконечности, то ряд сходится при  всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через е^А, если  ехр{А}.

    Приближенно вектор решений можно найти как  произведение матричного ряда:

    

    

      и  вектора начальных условий  y₀=[y₁,y₂, …..y_k].

    Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

    Экспонентой матрицы А называется сумма ряда

    

    где Е – единичная матрица.

          Матрица является решением матричной задачи Коши:

      т.е. является фундаментальной матрицей системы.

      Найдем  разложение матричного ряда шести первым членам. Введем следующее выражение: 

E+sum(A^n*t^n/n!, n, 1, 6)

для получения  разложения по 6 первым членам. Результатом будет являться матрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий [1,2,3,3] и получаем приближенное решение в виде матричного ряда.

      Построив  графики решений (Рис.1.) и график решения задачи Коши (Рис.2.), мы видим, что при увеличении n первых членов, график приближается к графику решения задачи Коши.

     Найдем  вектор приближенных решений для  шести членов ряда.

    Получим  вектор,  элементами которого будут  приближенные значения исходных функций: 

      

    Для шести членов ряда:

    Первый  столбец:

    

    Второй  столбец:

    

    Третий  столбец:

    

    Четвертый столбец:

      
 

    При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений.. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (Рис.1. и Рис.2.)

    Умножим на соответствующий вектор начальных  условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для n=6.

[1;2;3;3]

Рис.1.  Приближенное решение в виде матричного ряда 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.Построение  общего решения  матричным методом. 

    Задача  нахождения решений системы дифференциальных уравнений эквивалентна задаче отыскания матрицы по матрице А.

    Для того, чтобы найти фундаментальную  систему решений уравнения, нужно  записать в явном виде вектор-столбцы  e^tA или какой-либо другой фундаментальной матрицы.

    Пусть А= SJS^-1, где J- жорданова форма матрицы А. 

    e^tA= T e^tJ T^-1, или e^tAT= T e^tJ

    e^tAT-фундаментальная матрица. Следовательно достаточно записать в явном виде столбцы матрицы Ф(t)=T e^tJ .

    e^tJ= diag { e^tJ1_, e^tJ2 ,…….,e^tJ },

    где e^tJ1=diag{ e^tl ,………,e^tl }

    

 

    Обозначим вектор-столбцы матриц Ф(t) и T через j¹(t),……., jⁿ(t) и t¹,…..,tⁿ соответственно. Умножая e^tJ на T слева, получим 

    j^j(t)=s^je^lj^t, j=1,…..,p 

    j^{p+r1+…….+r(k-1)+t}(t)=s^{p+r1+…..+r(k-1)}e^l(p+k) 

    j^{p+r1+…..+r(k-1)+t}(t)=t(s^{p+r1+……+r(k-1)+2})e^l(p+k)

    …………………………………………….. 

    j^{p+r1+…..+r(k)}(t)=t((t^r(k)-1 / (r(k)-1)t)s^{0+r1+……+r(k-1)+1} + …..+ s^{0+r1+……+r(k)} )e^l(p+k) 

    Данное  семейство решений, соответствующее  каждому k=1,……, q будем называть группой решений. Каждому кратному корню матрицы коэффициентов соответствует столько групп решений, сколько различных клеток Жордана соответствует ему в жордановой форме.

    Если  все собственные числа А простые, то фундаментальная система решений  имеет вид  j^j(t)=s^je^lj^t, j=1,…..,p. В этом случае коэффициенты при экспонентах оказываются постоянными векторами. Они  постоянны и в том случае, когда имеются кратные собственные числа, но все элементарные делители простые, т.е. когда жорданова форма J диагональная.

    Векторные коэффициенты t¹…….tⁿ  в формулах можно найти из условия

    SA=BS.

    При этом векторы t¹…….tⁿ должны образовывать неособую матрицу T.

    Общее решение уравнения имеет вид

    X=C1j ¹(t)+……..+Cnjⁿ (t), C1……..Cn€C

    Где j ¹……..jⁿ определяются формулами, приведенными выше. 

    Запишем матрицу Жордана для двух действительных разных и двух действительных кратных  корней:

    

          

    Из  уравнения SA = BS, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, из которой находим элементы матрицы S. Полученная матрица S будет выглядеть следующим образом:

    

    

      

    Найдем  матрицу перехода S c использованием функции SOLVE:

      
 
 

подставим значения S31 и S44, в результате получим следующие значения:

    В результате получаем следующую матрицу: 

 

        

    Вектор  решений у=Sx, где

    Таким образом, вектор переменных в собственном базисе будет представлен в виде: 

    

      

    Тогда общее решение имеет вид: 

    

      

              

    Сделаем проверку решения, полученного матричным  методом: 

                                               

    

          

    После нажатия  SIMPLIFY получаем нулевую матрицу-столбец: 

    

 
 

    что показывает, что общее решение  найдено верно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    7. Решение задачи Коши

    Формулировка  задачи Коши: из всех решений системы уравнения найти такое решение , в котором принимает заданное числовое значение при заданном числовом значении . Для решения задачи Коши подставляем вектор начальных условий в вектор решений системы дифференциальных уравнений, приравниваем независимую переменную t к нулю. Построим решение в форме Коши:

    х := 0 

    [1,2,3,3]

    Запишем общее решение однородного уравнения:

    

    Приравняем  вектору свободных членов, составим систему и найдем коэффициенты vi:

    

    

      

 

    Подставим найденные значения коэффициентов  в общее решение системы уравнений и получим решение задачи Коши:

     

    Построим  график решения задачи Коши:

      

 Рис.2. Решение задачи Коши для заданных начальных условий 
8. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы

      Пусть J – жорданова клетка матрицы А. Для случая действительных разных корней жорданова клетка будет выглядеть следующим образом:

      

Пусть среди  действительных собственных чисел  матрицы А есть кратные. Жорданова  клетка будет находиться по следующей формуле:

Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:

Если кратность  k=3, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:

Если же среди трех собственных чисел являются корнями кратности 2, то жорданова форма будет выглядеть следующим образом: