Исследование методов резервирования систем

Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана

 

 

 

Принял:

 

"         "                                  2011 г.

 

____________________________

                                                                                                  (Кузовлев В.И.) 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

"Исследование методов резервирования  систем"

по разделу

"Модели и методы оценки  надежности автоматизированных  систем"

курса

"Надёжность и достоверность"

 

 

Вариант 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

 

"         "                                  2010 г.

 

                                                                                                  Меснянкин К.Л.

_________________________

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2010

ЗАДАНИЕ

 

Для заданных расчетно-логических схем систем:

1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P(t), среднего времени безотказной работы m_t, коэффициента готовности К_г, наработки на отказ , среднего времени восстановления , вероятности успешного использования системы R(t) = К_г*P(t).
2. Рассчитать для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии надежности систем.
3. Исследовать влияние на надежность систем:
1. интенсивности отказов - P( ), m_t( ), К_г( ), , R( );
2. интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы - P( ), m_t( ), Кг( ), , R( );
3. интенсивности восстановления - P( ), m_t( ), К_г( ), R( );
4. числа резервных блоков для различных типов резерва - P_г,т,х(s), m_{t г,т,х} (s), Кг_г,т,х (s), m_tBг,т,х, R_г,т,х (s).
4. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы, коэффициенту готовности
1. резервированной и нерезервированной систем  - P_р,нр, m_{t р,нр}, Кг_р,нр, _р,нр;
2. различных типов резерва - P_г,т,х, m_{t г,т,х}, Кг_г,т,х, _г,т,х;
3. восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем - P_в,нв, m_{t в,нв}, Кг_в,нв, _в,нв.

 

Типы систем:

 

1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:
1. с нагруженным резервом;
2. с ненагруженным резервом;
3. с частично нагруженным резервом.
2. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте:

1. с нагруженным резервом;

2. с ненагруженным резервом.

 

 

Исходные данные (для схем  2 а,б,в, 8 а,б,в):

 

t [ч]	[1/ч]	[1/ч]	[1/ч]	W	S
1800	5*10-2	10	4*10-3	4	3

 

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ   КРАТНОСТЬЮ

1.1. Система с нагруженным резервом

 

1.1.1. Расчетно-логическая схема системы

 

 

 

 

  Считается, что для работы  системы достаточно наличие хотя  бы одного работающего элемента.

 

1.1.2. Граф состояний системы

 

В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет  вид:

 

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.1.3. Расчет основных характеристик системы

 

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний  системы, имеет вид:

 

 

Нормировочное условие:       

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

 

Из этой системы получим Р_i(t):

 

 

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

 

 

Вероятность безотказной  работы системы

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

 

Для заданных значений   t = 1800 ч    и   = 5*10^-2 1/ч .

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы от времени работы представлена на графике:

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы от интенсивности отказов λ предоставлена на графике:

 

 

Среднее время безотказной работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения  λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.292ч.

Зависимость среднего времени безотказной  работы от интенсивности отказов приведена на графике:

 

1.1.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении интенсивности отказов λ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов λ время безотказной работы уменьшается.
4. Для заданных значений интенсивности отказов = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .
5. Для заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь 0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система с частично нагруженным  резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы

 

 

 

 

 

Считается, что для работы системы  необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

 

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний  системы, имеет вид:

 

 

Нормировочное условие:          

 

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

 

Из этой системы получим Р_i(t):

 

 

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

 

 

Вероятность безотказной работы системы

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)

 

Для заданных значений   t = 4 ч,  = 0.8 1/ч и ₀ = 0.4 1/ч P_сист = 0.184.

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графике:

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графике:

 

 

 

Среднее время безотказной  работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.708ч.

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы P(t) от интенсивности отказов резервных элементов λ₀ приведена на графике:

 

 

 

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов нагруженных элементов λ приведена на графике:

 

 

1.2.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
4. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов l₀ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
5. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l среднее время безотказной работы уменьшается.
6. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов l₀ среднее время безотказной работы уменьшается.
7. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.184.
8. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч и λ₀ = 0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.708 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью  0.184 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система с ненагруженным резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема  системы

 

 

 

 

 

Считается, что для работы системы  необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

 

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

 

 

Нормировочное условие:          

 

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

 

Из этой системы получим Р_i(t):

 

 

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

 

 

Вероятность безотказной  работы системы

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)

 

Для заданных значений   t = 4 ч и = 0.8 1/ч P_сист = 0.380.

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графике:

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от интенсивности отказа элементов λ представлена на графике:

 

 

 

 

 

Среднее время безотказной  работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 3.750ч.

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности отказов элементов λ приведена на графике:

 

 

1.3.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов элементов l вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
4. Для заданных значений интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.380.
5. Для заданного значения интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 3.750 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.380 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

 

 

 

 

 

1.4. Сравнение характеристик невосстанавливаемых  резервированных систем с целой  кратностью

 

Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительных графиков.

 

Зависимость вероятностей безотказной  работы от времени работы для разных типов систем представлена на графике:

 

 

 

 

Зависимость вероятностей безотказной  работы от интенсивности отказа элементов λ для разных типов систем представлена на графике:

 

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для разных типов систем приведена на графике:

 

 

 

Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч, λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч приведены в таблице:

 

	Невосстанавливаемая резервированная  система с целой кратностью
	с нагруженным резервом	с частично нагруженным  резервом	с ненагруженным резервом.
Вероятность безотказной  работы системы P(t)	0.117	0.184	0.380
Среднее время безотказной  работы системы mt, ч	2.292	2.708	3.750

 

 

Выводы

 

Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Также необходимо отметить, что при интенсивности отказов резервных элементов λ меньше интенсивности отказов резервных элементов λ₀ = 0.4 1/ч система с нагруженным резервом превосходит систему с частично нагруженным резервом по показателям надежности.

 

 

 

 

 

 

2. Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью при ограниченном ремонте

2.1. Система с нагруженным резервом

2.1.1. Расчетно-логическая схема

 

 

 

Считается, что для работы системы необходимо пять работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы  и при наличии элемента, находящегося в горячем резерве, этот элемент  переводится в рабочее состояние.

2.1.2. Граф состояний системы

 

В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.1.3. Расчет основных характеристик системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

Система дифференциальных уравнений в матричном  виде будет иметь вид:

 

Отсюда имеем:

 

Таким образом:

 

 

Вероятность безотказной  работы системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы необходимо применить к системе  обратное преобразование Лапласа и  подставить заданные значения для интенсивности отказов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

 

После обратного преобразования Лапласа  система примет вид:

 

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)

 

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 8.46065·10^-6.

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:

 

 

 

Из полученного графика видно, что с увеличением времени  работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии  падает.

 

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графиках:

 

λ = 0.6

 

 

 

λ = 0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

λ = 1.0

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

 

 

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:

 

μ = 0.0005

 

 

 

 

μ = 0.05

 

 

 

μ = 5

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

 

 

 

 

 

 

Среднее время безотказной  работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 0,799ч.

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице:

 

λ	mt
0.6	1.068
0.8	0.799
1.0	0.638

 

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице:

 

μ	mt
0.0005	0.793
0.05	0.799
5	1.939

 

 

Коэффициент готовности

 

Нахождение коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

 

Нахождение Кг методом  дифференциальных уравнений

 

Для графа состояний рассматриваемой  системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

 

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

Если предположить, что потоки стационарны, то есть  и , = const, то можно получить следующую систему:

 

 

Тогда, исключая, например, четвертую  строку как линейно зависимую  от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

 

 

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

 

Отсюда имеем:

 

 

 

 

 

Решением системы будет:

 

 

 

Для заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05  1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение:

 

К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247

 

 

Нахождение Кг методом Половко

 

 

К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247

 

Значения Кг, полученный методом  Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

 

 

 

 

 

 

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов l приведена на графике:

 

 

 

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления m приведена на графике:

 

 

 

 

 

 

 

Средняя наработка на отказ

 

 

Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01247 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

 

 

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость времени наработки  на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

 

 

Среднее время восстановления системы

 

Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

 

Вероятность успешного  использования системы

 

R(t)=К_г*P_сист

 

Для заданных значений Кг = 0.01247 и Р_сист = 8.46065·10^-6 R(t) = 0.10550·10^-6.

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от времени  представлена на графике:

 

 

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от интенсивности  отказов λ при m = 0.05 приведена на графиках:

 

l = 0.6

 

l = 0.8

 

 

 

l = 1.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от интенсивности  восстановления m при l = 0.8 приведена на графиках:

 

m = 0.0005

 

 

 

 

m = 0.05

 

 

 

 

 

 

 

m = 5

 

 

 

2.1.4. Выводы

 

6. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
7. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
8. Вероятность безотказной работы системы P_сист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
9. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 8.46065·10^-6.
10. Среднее время безотказной работы системы m_t увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
11. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы m_t составляет 0.799 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 8.46065·10^-6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
12. Коэффициент готовности системы К_г увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
13. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы К_г =  0.01247.
14. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
15. Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01247 среднее время наработки на отказ .
16. Среднее время восстановления   системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
17. Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05 среднее время восстановления   системы .
18. Вероятность успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
19. Для заданных значений К_г = 0.01247 и Р_сист = 8.46065·10^-6 вероятность успешного использования системы R(t) = 0.10550·10^-6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Система с частично нагруженным резервом

2.2.1. Расчетно-логическая схема

 

2.2.2. Граф состояний системы

 

В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы системы составим систему  дифференциальных уравнений, соответствующую  графу состояний, запретив переход  из отказового состояния 4 предотказовое  состояние 3.

 

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений  в матричном виде будет иметь  вид:

 

Отсюда имеем:

 

Таким образом:

 

 

 

Вероятность безотказной работы системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы необходимо применить к системе  обратное преобразование Лапласа и  подставить заданные значения для интенсивности  отказов нагруженных элементов λ, интенсивности отказов резервных элементов λ₀, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

 

После обратного преобразования Лапласа  система примет вид:

 

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)

 

Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 0.26429·10^-6.

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:

 

 

 

Из полученного графика видно, что с увеличением времени  работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии  падает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках: