Исследование переходных процессов

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ……………………………3

 

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА………………………………………………………4

2.1 Определение классическим методом переходного значения падения напряжения на резисторе R1 при срабатывании коммутатора K ………..4

2.2 Определение классическим методом переходного значения падения напряжения на резисторе R1 при срабатывании коммутатора K ………..8

2.3. Определение операторным методом переходного значения падения напряжения на резисторе R1 при срабатывании коммутатора K ………11

 

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА……………………………………………..14

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………...18

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….19

 

1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

 

1.1. Используя данные таблицы 1.1, необходимо:

1.1.1. Определить классическим методом  переходное значение падения напряжения uR1(t) на этапах последовательного срабатывания коммутаторов K1 и K2;

1.1.2. Определить операторным методом переходное значение падения напряжения uR1(t) на первом интервале (сработал только коммутатор K1);

1.1.3. Сравнить результаты расчетов  по пунктам 1.1.1 и 1.1.2 и оценить погрешность расчетов;

1.1.4. Построить график зависимости  найденного падения напряжения uR1(t) в функции от времени;

1.2. Используя исходные данные (табл.1.2) определить, в какой момент времени ток через обмотку электромагнита с параметрами L и R, включаемую на синусоидальное напряжение Umsin(314t+Y), достигает максимального значения. Найти при  этом его амплитуду и построить кривую этого переходного падения напряжения.

 

Таблица 1.1

Параметры  расчетной  схемы  к  1  части  курсовой  работы

Расчетный параметр	Ik,A	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L, мГн	C, мкФ
uR1	7	1	0.2	2	50	800

 

Таблица 1.2

Параметры расчетной схемы к 2 части курсовой работы

Um , B	j, градус	L , мГн	R , Ом
380	185	154	11

 

 

 

 

Рис. 1. Расчетная схема постоянного тока

2. Исследование  переходного процесса в цепи 

постоянного тока

 

2.1. Определение классическим методом переходного значения падения напряжения на резисторе R1 при срабатывании коммутатора K

Считая, что в цепи изображенной на рис. 1 сработал только коммутатор K , рассчитаем переходное значение падения напряжения на резисторе R1. Для дальнейших расчетов необходимо определить закон изменения тока на катушке индуктивности iL(t). При расчете классическим методом функции напряжения и тока записываются в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

 

uR1(t) = uR1р(t)+uR1св(t),                                                                          (2.1)

iL(t)=iLпр(t)+iLсв(t),

 

где iLпр(t), uR1пр(t) – принужденные составляющие тока и напряжения, соответствующие установившемуся режиму работы схемы после коммутации;

iLсв(t), uR1св(t) – свободные составляющие тока и напряжения, обусловленные наличием в схеме реактивных элементов.

 

Для нахождения принужденной составляющей составим схему замещения для времени t=¥ (рис. 2).

 

uR1пр(t)=0;

iLпр(t)= Ik=9, A.

где Ik, - ток источника тока (см. табл.1.1.).

 

Найдем показатели затухания свободной составляющей. Для этого необходимо записать характеристическое сопротивление цепи после коммутации и приравнять его к нулю.

 

Рис.2. Расчетная схема для установившегося режима (t=∞) на первом этапе

 

 

Рис.3. Схема для расчета характеристического сопротивления

 

Схема замещения для определения характеристического сопротивления представлена на рис.3.

;

;

800×50×10-9p2+3.2×800·10-6p+1=0.

 

Решая  данное  уравнение относительно р,  находим  корни:

р1= -32 – 154.84j;  р2= -32 + 154.84j.

 

Так как показатели затухания имеют комплексное значение, то свободные составляющие тока и напряжения будут изменяться по синусоидальному закону:

 

uR1св (t) = A×e-32t×Sin (154.84t+j), В;

iLсв (t) = B×e-32t×Sin (154.84t+g), А,

 

где А, B, φ, g – постоянные интегрирования.

Подставляем найденные значения принужденной и свободной составляющих в (2.1) получим:

uR1(t)=Ae-32t×Sin (154.84t+j), В;                                                    (2.2)

iL(t)=7+Be-32t×Sin (154.84t+g), А.

 

 

При  t=0 система (2.2) примет вид:

uR1 (0) =A×Sin (j), В;

iL (0)=7+B×Sin (g), А.

Найдем постоянные интегрирования А и j, для этого найдем и при t=0:

 

-32×A×e-32t×Sin (154.84t+j) +154.84×A×e-32t×Cos (154.84t+j);

 

-32×A×Sin(j)+154.84×A×Cos (j);

 

Значение падения напряжения в момент коммутации определим из схемы, представленной на рис.4 и предшествующей срабатыванию ключа К1 (t = 0-).

 

Согласно данной схеме, с учетом  первого и второго законов коммутации:

iL(0)= iL(0-)=0; 

 

uC(0)=uC(0-)=uC(0+)=0 получаем:

 

Начальные значения падения напряжения на R1 будем определять из схемы непосредственно после коммутации (t = 0+). Эта схема представлена на рис. 5. Согласно схеме:

 

uR1(0)= Ik·R1=7, B;

 

 

С учетом найденных начальных условий получаем следующую систему:

 

A×Sin(j)=7

 

           -32×A×Sin(j)+154.84×A×Cos(j)=0;

 

Разрешая данную систему, получаем:    A=7.15,   j=1,367

Рис.4. Расчетная схема до коммутации (t=0-) на первом этапе

 

 

 

Найдем коэффициенты В и g. Продифференцируем iL(t) по t при t=0:

 

=-32×B×Sin(g)+154.84×B×Cos(g);                                          (2.3)

 

iL(0)=7+B×Sin(g).

Из схемы замещения в момент времени t(0+) определим

 

 

С учетом этих значений (2.3) примет вид:

0= 7+B×Sin(g),

168=-32×B×Sin(g)+154.84×B×Cos(g);

Решая полученную систему получим:  В=-7.01,  g=1.52

 

Подставим найденные значения А, B, φ, g в систему (2.2): 

 

uR1(t)=7.15e-32t×Sin(154.84t+1.367), В;                                                   (2.4)

 

iL(t)= 7-7.01e-32t×Sin(154.84t+1.52), А.

 

Получили искомое переходное значение падения напряжения на резисторе R1 и тока iL(t) после срабатывания ключа К1.

 

2.2. Определение классическим методом переходного значения падения напряжения на резисторе R1 при срабатывании коммутатора K

 

Рассчитаем время, через которое срабатывает коммутатор K

 

t1=1.5: =0.046875,c.

где α=-32 – показатель затухания на первом интервале.

 

Закон падения напряжения в общем случае после срабатывания ключа К2 записывается в виде (2.1). При этом время t отсчитывается от момента срабатывания ключа К2.

Принужденную составляющую падения напряжения определим из схемы замещения для установившегося режима (t = ∞), представленной на рис.6.

Согласно схеме принужденная составляющая имеет вид:

 

uR1пр=Ik×R3/(R1+R3)=7×2/(1+2)=4.67, B.

 

Определим показатель затухания свободной составляющей для цепи.

 

Схема для определения характеристического сопротивления представлена на рис.7. Согласно схеме:

 

Z(p)=R1+R3+Lp =0,

1+2+0.05p=0

p=-60

 

Свободная составляющая принимает вид:

 

uR1св(t)=D e-60t, В.

где D – постоянная интегрирования.

 

Подставляем найденные значения принужденной и свободной составляющих в (2.1) получим:

 

uR1(t)=4.67+D e-60t, В, 

uR1(0)=4.67+D                                                                              (2.5)

 

 

Рис.6. Расчетная схема для установившегося режима (t=∞) на втором интервале

 

 

Рис.7. Схема для расчета характеристического сопротивления на втором этапе

 

 

Рис8. Расчетная схема для  режима (t=0+) на втором интервале

Падение напряжения на R1 найдем из схемы замещения t=0 , (рис.8). Ток через катушку индуктивности найдем, подставив в iL(t), найденное на первом этапе, время t1.  iL(t1)=6.058, A.   По закону Ома выразим uR1 (0):

 

uR1 (0) = (Ik-iL(t1))·R1=(7-6.058)·1=0.942, B.

 

Подставим uR1 (0) в (2.5), получим:

 

0.942=6.058+D,

D= -3.728

Закон изменения падения напряжения на резисторе R1 после срабатывания ключа К2 имеет вид:

 

uR1 (t) =4.67-3.728e-60t, В.

 

Полное выражение для искомого напряжения на этапах последовательного срабатывания коммутаторов К1 и К2 записывается следующим образом

uR1(t)=1(t)[7.15×e-32tSin(154.84×t+1.367]+1(t-0.046875)×[4.67-3.728×e-60(t-0,046875)], В,

где 1(t) – единичная функция Хевисайда.

 

График зависимости представлен на рис.9.

Рис.9. График переходного процесса падения напряжения на R1 при последовательном срабатывании ключей К1 и К2

2.3. Определение операторным методом  переходного значения падения напряжения через резистор R1 при срабатывании коммутатора K

 

Из вышеприведенных расчетов уже известны значения напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность в начальный момент времени (t=0):

uC(0-) = uC(0) = uC(0+) = 0 , B

 

         iL(0-) = iL(0) = iL(0+) =0, A.

 

Составим для исходной цепи (рис.1) операторную схему замещения (рис.10). Изображение падения напряжения UR1(p) выразим в виде:

 

UR1(p) =

 

 

 

Переход от изображения к оригиналу:

UR1(p)=

 

Найдем корни знаменателя M(p)=0

p=-32±154.84

 

Переход осуществим по формуле:

 

uR1(t)=

 

uR1 (t) =7×e-32t Sin (154.84×t+1,367), B.

 

Сделаем проверку по предельным соотношениям:

;

 

Рис.10. Схема замещения для операторного метода

 

 

;

 

 

 

Погрешность расчетов классическим и операторным методами будем искать по соотношению

,

где Fкл, Fоп – коэффициенты и константы, входящие в выражения для падения напряжения и определяемые при расчетах классическим и операторным методами.

 

 

 

 

Таблица 2.1

Переходное значение падения напряжения uR1(t) рассчитанное классическим и операторным методами

	Классический метод	Операторный метод	Погрешность
Амплитуда	7,15	7	2,1%
Принужденная составляющая	0	0	0
Показатель затухания	-32	-32	0
Собственная частота	154,84	154,84	0
uR1(t)	uR1(t)=7.15e-32t´ ´Sin(154.84t+1,367), B	uR1(t) =7×e-32t´ ´Sin(154.84×t+1,367), В

 

Т.к. погрешности произведенных расчетов не превышают 5%, следовательно, расчет выполнен верно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА  В ЦЕПИ 

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

 

Запишем выражение для тока, после подачи напряжения на выходы схемы, используя классический метод

i(t)=iпр(t)+ iсв(t),                                                                             (3.1)

 

где iпр(t) –принужденная составляющая тока, определяется из схемы для установившегося режима (t = ∞);

iсв(t) – свободная составляющая тока.

 

Принужденную составляющую, в соответствии с рис.12., можем найти следующим образом

 

 

 

 А

 

где Um, R, L, j– соответственно исходные значения напряжения, активного сопротивления, индуктивности, начальной фазы (см. табл. 1.2).

 

Характеристическое сопротивление цепи определяем из схемы рис. 13

Z(p) = Lp + R = 0.

 

Решая данное уравнение относительно p получим

p = –R/L =-11/0,154= –71,43.

 

Свободную составляющую запишем в виде:

iсв(t) = Ае–71.43t, А,

где А– постоянная интегрирования.

Рис.11. Расчетная схема для цепи синусоидального тока

Подставляя значения принужденной и свободной составляющей в выражение (3.1), получим:

 

i(t) = 7,66×sin(314×t + 107,82o) + А·е–71,43t, А; (3.2)

 

В момент времени t=0 выражение (3.2) примет вид

i(0) = 7,66×sin(107,82o) + A.

 

Поскольку ток через индуктивность, согласно первому закону коммутации, скачком изменяться не может, т.е. i(0) = i(0-) = i(0+), а до коммутации ток в цепи не протекал, то i(0)=0.

Тогда неизвестный коэффициент А найдем следующим образом

0 =7,6×sin(107,82o) + A;

А = −7,66×sin(107,82o) =−7,29.

 

Полное значение переходного тока через обмотку электромагнита с учетом найденных коэффициентов имеет вид:

i(t) = 7,66×sin(314×t + 107,82o) –7,29×е–71.43t, А.

Ток через электромагнит достигает максимального значения тогда, когда:

 

Sin (314×t + 107,82o) =-1,

 

314×t + 107,82o=270° или 314×t+1,9=4,71,

 

следовательно, t=0,0089 с;  Imax=i (0,0089) = -11,5386, А.

 

Определим постоянную времени электрической цепи электромагнита:

, с.

 

Определим шаг приращения времени:

 

, с

t=3×t3=0,42, c.

 

Переходный процесс тока представлен на рис.14.

Рис.14. График переходного процесса тока через обмотку электромагнита 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Данная курсовая работа помогает закрепить знания о переходных процессах в электрических цепях и наглядно увидеть физическую природу явления.

В результате проделанной работы было проведено исследование переходных процессов в электрических цепях постоянного тока и в цепях переменного синусоидального тока. Определены законы изменения падения напряжения на резисторе в заданной схеме классическим и операторным методами, а также закон изменения тока через электромагнит.

Установлено, что в цепи постоянного тока после срабатывания первого ключа переходный процесс носит колебательный характер. На втором этапе, после срабатывания ключа К2 наблюдается апериодический процесс.

Уравнения получены одинаковые, погрешности в вычислениях не превышали 5%, следовательно, расчеты проведены верно. Построенные графики показывают зависимости напряжений и токов в функции от времени.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. А, значит, проделанная работа имеет не только теоретическую ценность, но и не малое значение при расчете той или иной конкретной практической задачи.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи. Теоретические основы электротехники: в 3-х частях/ ч.1-М.: Энергия, 1978.- 592 с.

 

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высш. Школа, 1973.- 654 с.

 

3. Бойчевский В. И. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе №2 по теоретическим основам электротехники/В.И. Бойчевский , А.Н. Шпиганович. Липецк:1997.-16.

 

4. Зевеке Г.В. Основы теории цепей/Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В. Нетушил и др. М.: Энергия, 1975.- 528с.

 

5. Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники/Л.Р.Нейман, К.С. Демирчян  ч.1 Л.: Энергоиздат, 1981.- 536 с.

 

6. Шпиганович А.Н. Методические указания к оформлению учебно-технической документации/А.Н.Шпиганович, В.И.Бойчевский Липецк: 1997.- 32с.