Исследование проблемы гетероскедостичности и её коррекция в эконометрических моделях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Курсовая работа 
на тему: Исследование проблемы гетероскедостичности и её коррекция в эконометрических моделях 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент III курса

Направление: Экономика управления производством

Учебной группы: ЭК 1102

Смирнова М.Р.

Проверила: Коновалова А.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тверь, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Аналитическая часть.... ... .. . .... .. ... ... .. . ..... . .. .... ..... .. .. . ..... .... . .. .. .. .3

1.1 Основы исследования  проблемы гетероскедастичности  в экономической    модели... .. .. .. . .... ... ... . ...... ... .. .. ..... .... ... .. ..... .... .. . .. .. .. ..... .... . ..... ... .. .. ..3

1.2 Методы обнаружения  гетероскедастичности случайных  отклонений в экономических моделях... .... .... ... . .... .. . ..... ... . ... .. ... . .... .. .. . . ....  ..... .... .. . .9

1.3 Методы коррекции гетероскедостичности  случайных  отклонений в экономической  модели10

Проектная часть... ... ... .. .. .. ... .... ..... .. . .... .. .. . ... . ...... ..... .... .. .... ..... .. . 13

2.1 Экономическая сущность задачи  исследования модели зависимости  между доходом и расходом.. ... .. .. ..... .. ... . .. ... .. ... . ...... ..... ... . ..... .... ....... .... ........ . .13

2.2 Эконометрические аспекты задачи  исследования гетероскедостичности  случайных отклонений в экономической модели.. ... ... ... ... .... ... .. ... ... .... ... ...17

2.3 Пример эконометрического  исследования гетероскедастичности

случайных отклонений в эконометрической модели в зависимости 

между доходом и расходом.. ... .. ... ... ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. .. .. ... .. .. ... ... .. ..19

Заключение .. ... ... .... ... .. ... . .. .. ... .. ... ... .. ... ... ... .. .... ... .. ... ... ... . .... ... ... ... 29

Список использованных источников... ...  .... .... ... ..  ... .. .. .. ... ... ... .. ... .. ... .30

 

1. Аналитическая  часть

1.1 Основы исследования  проблемы гетероскедастичности  в эконометрических моделях случайных  отклонений.

При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии  случайных отклонений может вызвать  определенное недоумение в силу того, что при каждом i-м наблюдении имеется единственное значение ε_i. При рассмотрении выборочных данных имеется дело с конкретными реализациями зависимой переменной Y_i и соответственно с определенными случайными отклонениями.  Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую – при других.

Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные  распределения случайных отклонений  при различных наблюдениях будут  различными. Это не означает, что  случайные отклонения обязательно  будут большими при определенных наблюдениях и малыми – при  других, но это означает, что априорная  вероятность этого велика. Поэтому  важно понимать суть этого явления  и его последствия.

Гетероскедастичность возникает  чаще всего тогда, когда выборка  берется в пространственном разрезе, когда имеют место большие  различия между наименьшими и  наибольшими значениями наблюдений, т.е когда дисперсия значений наблюдений достаточно высока. Другой причиной гетероскедастичности является существенное изменение качества исходных данных внутри выборки.

 

Причины гетероскедастичности:

• большие различия между наименьшими и наибольшими значениями наблюдений выборки взятой в пространственном разрезе (высокая дисперсия значений наблюдений);
• существенное различие в качестве исходных данных внутри выборки

 

Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям, таким  как:

• снижение эффективности оценок, полученных по МНК
• смещение дисперсий
• ненадежность интервальных оценок, получаемых на основе соответствующих t- и F-статистик.

Статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и  приводить к неверным заключения по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов  будут занижены, а следовательно  можно признать статистически значимыми  коэффициенты, которые таковыми не являются. Причиной гетероскедастичности могут быть выбросы                     (резко выделяющиеся наблюдения), ошибки спецификации модели, ошибки в преобразовании данных, ассиметрия распределения какой-либо из объясняющих переменных. Чаще всего, появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако обычно приходиться решать эту проблему уже после построения уравнения регрессии.

 

1.2 Методы обнаружения  гетероскедастичности в эконометрических  моделях случайных отклонений

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, т.к. для  знания дисперсий отклонений σ₂ (ε_i) необходимо знать распределение CB Y, соответствующее выбранному значению Х_i CB X. На практике зачастую для каждого конкретного значения x_i определяется единственное значение y_{i ,} что не позволяет оценить дисперсию CB Y для данного x_i.

Естественно, не существует какого-либо однозначного метода определения  гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для такой проверки разработано  довольно большое число тестов и  критериев для них. Рассмотри  наиболее популярные и наглядные:

• графический анализ остатков;
• тест ранговой корреляции Спирмена;
• тест Глейзера
• тест Парка
• тест Голдфелда-Квандта

Теперь каждый тест рассмотрим подробно.

Графический анализ остатков.

Использование графического представления отклонений позволяет  определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются  значения объясняющей переменной X ( либо линейная комбинация объясняющих  переменных Y=b₀+b₁X₁+…+b_mX_m), а по оси ординат либо отклонения ε_i, либо квадраты отклонений ε_i². Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости, скорее всего, будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

Отметим, что графический  анализ отклонений является удобным  и достаточно надежным в случае парной регрессии. При множественной регрессии  графический анализ возможен для  каждой и объясняющих переменных X_j, j=1,2,..,m отдельно.

Тест ранговой корреляции Спирмена.

При использовании данного  теста предполагается, что дисперсия  отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением  значений Х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений e_i и значения Х_i, будут коррелированы. Значения Х_i и ε_i ранжируются, т. е. упорядочиваются по величине. Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где,

d — разность между  рангами Х_i и ε_i;

n — число наблюдений.

 

Доказано, что если коэффициент  ранговой корреляции (ρ) для генеральной  совокупности равен нулю, то t-статистика

имеет распределение Стьюдента  с числом степеней свободы ν = n – 2.

Следовательно, если  t набл. > t табл. определяемое по таблице критических  точек распределения Стьюдента, то необходимо отклонить гипотезу о  равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции для генеральной совокупности, а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности. В противном  случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. Если в модели регрессии  более, чем одна объясняющая переменная, то проверка гипотезы может осуществляться с помощью t-статистики для каждой из них отдельно.

Тест Парка.

Р. Парк предложил критерий определения гетероскедастичности, дополняющий графический метод  некоторыми формальными зависимостями. Предполагается, что дисперсия σ_i² = σ² (e_i ) является функцией i-го значения х_i объясняющей переменной. Парк предложил следующую функциональную зависимость

Y_i²=y²x_i^bε^vi

Прологарифмировав зависимость, получим:

Lnу²_i = lnу² + вlnx_i + v_i

Так как дисперсии у_i² обычно неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений ε_i² .

Критерий Парка включает следующие этапы:

1. Строится уравнение регрессии y_i = b₀ + b₁x_i + ε_i.
2. Для каждого наблюдения определяются lne_i² = ln(y_i - _i )²
3. Строится регрессия                   

lnε_i²= α + β lnx_i + v_i ,

где,

α = lnσ².

В случае множественной регрессии  зависимость строится для каждой объясняющей переменной.

4. Проверяется статистическая значимость коэффициента β уравнения t-статистики . Если коэффициент β статистически значим, то это означает наличие связи между lnε_i² и lnx_i, т. е. гетероскедастичности в статистических данных.

Отметим, что использование  в критерии Парка конкретной функциональной зависимости может привести к  необоснованным выводам (например, коэффициент  β статистически незначим, а гетероскедастичность имеет место). Возможна еще одна проблема. Для случайного отклонения v_i в свою очередь может иметь место гетероскедастичность. Поэтому критерий Парка дополняется другими тестами.

Тест Глейзера.

Тест Глейзера по своей  сути аналогичен тесту Парка и  дополняет его анализом других (возможно, более подходящих) зависимостей между  дисперсиями отклонений σ_i и значениями переменной X_i. По данному методу оценивается регрессионная зависимость модулей отклонений |ε_i| (тесно связанных с σi²) от X_i. При этом рассматриваемая зависимость моделируется следующим уравнением регрессии:

|ε_i|=α+β X_i^k + v_i

Изменяя значения k, можно построить различные регрессии. Обычно     к =...,-1;-0,5;0,5;1,... Статистическая значимость коэффициента β в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности. Если для нескольких регрессий коэффициент β оказывается статистически значимым, то при определении характера зависимости обычно ориентируются на лучшую из них.

Отметим, что так же, как  и в тесте Парка, в тесте  Глейзера для отклонений v_i может нарушаться условие гомоскедастичности. Однако во многих случаях предложенные модели являются достаточно хорошими для определения гетероскедастичности.

Тест Голдфелда-Квандта.

В данном случае также предполагается, что стандартное отклонение    σ_i = σ(e_i) пропорционально значению х_i переменной Х в этом наблюдении,    т. е. у_i² = у²x_i² . Предполагается, что e_i имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Тест Голдфелда-Квандта  состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине Х.
2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (n - 2k), k соответственно.
3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям Х верно, то дисперсия регрессии (сумма квадратов отклонений  ² ) по первой подвыборке будет существенно меньше дисперсии регрессии (суммы квадратов отклонений  ²) по третьей подвыборке.
4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая

F =

Здесь (k - m - 1) - число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m - количество объясняющих  переменных в уравнении регрессии).

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение  Фишера с числами степеней свободы  v₁ = v₂ = k - m - 1.

5. Если F набл. =  >  Fкр.= F_{б; н1;н2} , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (здесь α выбранный уровень значимости).

Естественным является вопрос, какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений. Для парной регрессии Голфелд-Квандт предлагают следующие пропорции: n = 30, k = 11; n = 60,     k = 22.

Для множественной регрессии  данный тест обычно проводится для  той объясняющей переменной, которая  в наибольшей степени связана  с σ_i. При этом k должно быть больше, чем (m + 1). Если нет уверенности относительно выбора переменной X_j, то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.

  Этот же тест может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между σ_i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F =

1.3 Метод коррекции  гетероскедастичности случайных  отклонений в эконометрических  моделях

Гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок, несмотря на их несмещенность. Это может привести к необоснованным выводам по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности возникает необходимость  преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того известны или нет  дисперсии σ² отклонений ε_i.

Рассмотрим методы коррекции  гетероскедастичности случайных отклонений в эконометрических моделях

• МВНК (метод взвешенных наименьших квадратов);
• преобразование переменных;
• введение новых переменных;
• изменение формы модели.

Теперь каждый метод рассмотрим подробно.

МВНК (метод взвешенных наименьших квадратов).

Данный метод применяется  при известных для каждого  наблюдения значениях σ_i². В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии. В этом суть метода взвешенных наименьших квадратов. Для простоты изложения опишем ВНК на примере парной регрессии:

Y_i=β₀+β₁X₁+ε_i

Метод взвешенных наименьших квадратов включает следующие этапы:

1. Каждую из пар наблюдений (х_i , у_i) делят на известную величину σ_i . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие «веса», а с максимальными дисперсиями − наименьшие  «веса». Действительно, наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми при оценке коэффициентов регрессии, чем наблюдения с большими дисперсиями. Учет этого факта увеличивает вероятность получения более точных оценок. 

 

2. По МНК для преобразованных значений  строиться уравнение регрессии без свободного члена с гарантированными качествами оценок.

Введение новых  переменных

Для применения МВНК необходимо знать фактические значения дисперсий  отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. Следовательно, чтобы применить МВНК, необходимо сделать реалистические предположения  о значениях y_i².

Например, может оказаться  целесообразным предположить, что дисперсии  у_i² отклонений ε_i пропорциональны значениям х_i или значениям х_i².

1. Дисперсии σ_i² пропорциональны х_i (σ² – коэффициент пропорциональности)

Тогда уравнение преобразуется  делением его левой и правой частей на :

Несложно показать, что  для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимости предпосылки   σ²(ε_i) = σ²*x_i имеем:

Таким образом, оценив для  по МНК коэффициенты β₀ и β_1, затем возвращаются к исходному уравнению регрессии Y_i=β₀+β₁X₁+ε_i.

Если в уравнении регрессии  присутствует несколькообъясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной Х_j используется исходного уравнения множественной линейной регрессии =b₀+b₁X₁+…+b_mX_m, т.е фактически линейная комбинация объясняющих переменных. В этом случае получают следующую регрессию:

Иногда из всех объясняющих  переменных выбирается наиболее подходящее, исходя из графического представления.

2. Дисперсия σ_i² пропорциональна х_i²

В случае, если зависимость σ_i² от х_i целесообразнее выразить не линейной функцией, а квадратичной, то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии Y_i=β₀+β₁X₁+ε_i на х_i

где,

По аналогии с вышеизложенным несложно показать, что для отклонений будет выполняться условие гомоскедастичности. После определения по МНК оценок коэффициентов β₀ и β₁ для уравнения (которое находиться выше) возвращаются к исходному уравнению Y_i=β₀+β₁X₁+ε_i.

Отметим, что для применения описанных выше преобразований существенную роль играют знания об истинных значениях  дисперсий отклонений σ_i², либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. Во многих случаях дисперсии отклонений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную на логлинейную, мультипликативную на аддитивную и т. п.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Проектная  часть

1. Экономическая сущность задачи исследования модели зависимости между доходом и расходом

Под домашним хозяйством понимается хозяйство, которое ведется одним  или несколькими лицами, проживающими совместно и имеющими общий бюджет.

Денежные доходы домашнего хозяйства  представляют собой объем денежных средств, которыми располагает домохозяйство (семья) для обеспечения своих  расходов. Классифицируют денежные доходы в соответствии с различными признаками:

1. В зависимости от источника дохода:

• заработная плата и дополнительная оплата трудовой деятельности;

• доходы от предпринимательской деятельности;
• доходы от ценных бумаг;
• арендная плата за переданное во временное пользование имущество;
• страховое возмещение;
• доходы от реализации имущества;
• выплаты из государственных денежных фондов;
• прочие доходы.

2. В зависимости от равномерности поступления:

• регулярные (оплата труда, арендная плата и др.);
• периодические (авторские гонорары, доходы по ценным бумагам, др.);
• случайные или разовые (подарки, доходы от реализации имущества).

3. В зависимости от надежности поступления:

• гарантированные (государственные пенсии, доходы по госзаймам);
• условно-гарантированные (оплата труда);
• негарантированные (гонорары, комиссионное вознаграждение).

Заработная плата на сегодня является главным источником доходов для членов многих домохозяйств (семей). Согласно ст.129 Трудового кодекса РФ, заработная плата – это вознаграждение за труд в зависимости от квалификации работника, сложности, количества, качества и условий выполняемой работы, а также выплаты компенсационного и стимулирующего характера.

Большинство работников (более 60%) трудится в негосударственном секторе  экономики, где размер заработной платы (а также величина премий, доплат, надбавок и т.д.) целиком определяется руководством предприятия исходя из величины создаваемого фонда оплаты труда на предприятии, качества, значимости и интенсивности трудовой деятельности конкретных работников. Государство  регламентирует для них только одно – заработная плата работников предприятий  независимо от форм собственности не может быть установлена ниже определенной государством минимальной оплаты труда (МРОТ).

Падение реальной зарплаты в большинстве  отраслей заставляет рядовых работников более активно использовать традиционные способы увеличения своей оплаты труда. Основными, среди которых  являются:

1. для сдельщиков – увеличение объемов выработки за счет роста производительности труда или сверхурочного времени;
2. для лиц находящихся на повременной оплате – работа по совместительству в той же организации, расширение зон обслуживания и т.д.;
3. работа по совместительству в других организациях в свободное от основной работы время.

Второе место по значимости занимают – доходы от предпринимательской деятельности, которые включают в себя доходы членов домохозяйства (семьи) от коммерческой деятельности, которая осуществляется без образования юридического лица. К такой деятельности относится три группы занятий:

1. частная неорганизованная торговля;
2. надомное и кустарное производство;
3. оказание частных услуг.

Одним из источников доходов домохозяйства  являются операции с имуществом – это сделки с недвижимостью (квартирами, дачами, земельными участками и т.д.). Но здесь существует огромная степень риска и ее нужно учитывать, потому что порой вместо ожидаемых доходов можно получить неожиданные расходы. Так, например, купив квартиру за 3 млн. руб. сегодня, и продав за 2,8 млн. руб. через неделю можно оказаться в значительном убытке. 

В ходе реформирования страны все  большее значение приобретает капитализация  денежных накоплений населения, как  средство извлечения дополнительных доходов  и защиты от инфляции временно свободных  средств. Денежные накопления достигают 20% величины всех доходов домохозяйств (семей) [6, стр 112-119]. К настоящему времени в Российской Федерации  сложились четыре основные формы их использования:

1. это вложения в личное имущество;
2. банковские вклады;
3. покупка ценных бумаг;
4. покупка иностранной валюты.

Значительную долю в доходах  домохозяйств (семьи) составляют пенсии и различные пособия. Основную часть пенсий и пособий, получаемых населением, выплачивает государство. Поэтому каждый получатель пенсий и пособий должен хорошо знать социальное законодательство, чтобы контролировать правильность начисления причитающихся ему выплат и в полной мере пользоваться предоставленными ему правами и льготами.

Кроме государственных, члены домохозяйства (семьи) могут получать пособия и  другие выплаты социального характера  из фондов экономического стимулирования со своего места работы. Вид пособия, его размер и условия предоставления полностью определяет само предприятие, исходя из своих возможностей, социальной защищенности работников и других соображений.

В общей сумме доходов домохозяйства  незначительную часть занимают доходы от аренды и реализации имущества, авторские  гонорары, подарки, и т.д.

Денежные расходы домохозяйства (семьи) – это фактические затраты на приобретение материальных и духовных ценностей, необходимые для продолжения жизни человека, которые включают потребительские расходы и расходы, не связанные непосредственно с потреблением.

Расходы домохозяйства можно классифицировать по разным признакам [4]:

1. По степени регулярности:

• постоянные расходы (на питание, коммунальные услуги и др.);
• регулярные расходы (на одежду, транспорт и др.);
• разовые расходы (на лечение, товары длительного пользования).

2. По степени необходимости:

• первоочередные (необходимые) расходы - на питание, одежду, медицину;
• второочередные (желательные) расходы - образование, страховые взносы;
• прочие расходы (остальные).

3. По целям использования: