Колесные носители как объекты управления

Содержание

 

Оглавление

Оглавление 1

Введение: 2

1. Динамика и управление  колесным приводом 7

2.Динамика мобильного  робота 14

3. О динамике трехколесного  робота с деформируемыми колесами 17

Заключение 22

Список литературы 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение:

В современном мире колесные аппараты являются важной составляющей в технике. Во все времена их существования  происходили непрерывные усовершенствования. С появлением машин способных  передвигаться самостоятельно возникли задачи управления ими, исследовались  вопросы автоматического управления. Эта тематика перешла в наши дни  в новую стадию - роботизация управления. Теперь автономные системы должны выполнять  сложные расчеты, ориентируясь на внешние  факторы, и брать на себя множество  функций по обработке информации. Такая система, способная самостоятельно получать и обрабатывать информацию, принимать решение о необходимых (адекватных) действиях и выполнять  их, контролируя ошибки - это робот. Первые роботы появились давно и сначала они представляли собой механические аппараты, способные выполнять несколько действий. С развитием механики появлялись новые аппараты, способные ходить и ездить. Серьезный шаг в управлении механическими системами и создании новых роботов произошел в прошлом веке с появлением достаточно сложных электронных компонент. Выход электроники на промышленный уровень и создание первых вычислительных машин привело к активному продвижению робототехники во всем мире. С развитием вычислительных блоков стало возможным решать в автоматическом режиме сложные задачи по управлению. Этому также способствовало развитие языков программирования. В настоящее время мобильные роботы распространены по всему миру. Они используются в лабораториях научных институтов и университетов, включаются в образовательные программы и участвуют соревнования, разрабатываются и модернизируются на предприятиях для решения специальных задач (информационной разведки, переноса груза, работы в сложных условиях), входят в повседневную жизнь человека в виде бытовых и игровых устройств. Но, несмотря на фундаментальные и прикладные исследования, задачи по управлению ими до конца не решены. Это связано с различиями кинематических схем аппаратов, различными условиями движения, а также с необходимостью учета реальных факторов движения- при построении строгих математических моделей. Многие общепринятые способы управления колесными системами основываются только на кинематике робота, полученные при этом решения порождают динамические разрывы, например, угловых скоростей колес системы. Новые методы, приведенные в работе, призваны помочь в решении этих проблем, представлен способ исключения указанных разрывов и построения соответствующей схемы управления роботом. Хорошо известно, что многие реальные аппараты имеют упругие колеса. Это могут быть аппараты на колесах с малой и значительной упругостью в колесах (низкого давления). К подобным системам относятся как планетоходы (вездеходы), так и мобильные роботы, предназначенные для движения по твердой поверхности. В ряде стран получили распространение колесные аппараты повышенной проходимости для перемещения и выполнению работ в лесу. На рубеже выхода в космос частных аппаратов и создания планетных баз, все более острыми становятся вопросы разработки новых, более эффективных, видов планетоходов для исследования планет. Для разработки схем управления такими аппаратами необходим учет упругости колес. В рамках исследования этого вопроса настоящей работе представлена численная параметризованная модель упругого колеса и систем на таких колесах. Предметом диссертационной работы являются задачи управления колесными роботами в нестационарной внешней среде, представленной движущимися внешними объектами различной геометрической формы. Геометрия и динамические свойства внешних объектов определяют желаемую траекторию движения робота. Поэтому указанные задачи относятся к специальному классу задач траекторного управления.

Колесные роботы предназначены  для инспектирования помещений  или перемещения различных предметов  от одного пункта к другому пункту в неструктурированном, не всегда безопасном для человека рабочем пространстве. Основными областями применения колесных 
роботов являются: строительство, горное дело, атомная энергетика, космическая техника, сельское хозяйство, погрузочно-разгрузочные работы, медицина. Первые попытки создания промышленных колесных роботов были связаны с построением гибких производственных систем. Колесный робот должен был перевозить детали от одного пункта к другому пункту, которые находились в одном цехе. Движение осуществлялось по магнитной полосе, помещенной в цехе на глубине нескольких десятков сантиметров от пола, или светоотражающей полосе, нарисованной на полу цеха, либо траектория движения вносилась в па- 
мять робота. В первых двух случаях строилась система управления, основанная на слежении за проложенной траекторией движения колесного робота. Такие системы решали задачи контурного управления. В последнем случае планирование движения колейного робота производилось в виде набора точек позиционирования, скоростей и траекторий. Причем решались два типа задач: задача позиционирования и задача трассослежения. Первый тип задач решался, как задача стабилизации колесного робота относительно положения равновесия (заданного пункта). Второй тип задач решался, как задача -слежения за заранее параметризованной временем траекторией движения. Следующие попытки создания промышленных колесных роботов были связаны с увеличением спектра решаемых задач при движении робота в значительно неструктурированном пространстве, например, при создании сельскохозяйственных, строительных колесных 
роботов. В другом случае ограничение рабочего пространства в виде внешних стационарных объектов приводило к усложнению конструкции и систем управления роботами. Эти системы потребовали нового типа измерительного оборудования, предназначенного для обнаружения внешнего объекта, определения его местоположения. Причем колесные роботы становились полноприводными, что позволяло им быть более маневренными и решать более сложные задачи. Примером может служить колесный робот-погрузчик, который должен был осуществлять погрузочно-разгрузочные работы, в порту и отвозить контейнеры в назначенный пункт. Перемещение такого робота осуществлялось по заданной траектории движения. При появлении внешнего стационарного препятствия колесный робот осуществлял обход этого препятствия и возвращался на первоначальный маршрут.

При решении задачи движения колесного робота вдоль заданной траектории можно выделить два основных подхода в управлении роботом: программный и траекторный. Первый подход основан на классических принципах построении следящих систем, а второй подход предполагает использование методов частичной стабилизации. Метод программного управления колесным роботом предусматривает построение специального задающего устройства, которое осуществляет генерацию параметризованной временем траектории и использование следящей системы, обеспечивающей отработку заданной программы. Наличие задающего устройства и необходимость перестройки программы эталонного движения при изменении характера движения колесного робота и определяют основные недостатки этого метода.

Метод траекторного (контурного) управления колесным роботом ориентирован на использование текущих значений отклонений (вычисляемых или измеряемых) от заранее заданной траектории (трассы) и исключает необходимость привлечения генераторов эталонной программы. Текущие значения отклонений служат основной информацией для решения задачи стабилизации положения колесного 
робота на заданной траектории, т.е. задача сводится к частичной стабилизации рассматриваемой системы.

Применение обоих подходов приводит к использованию нелинейных алгоритмов управления, которые основаны на использовании методик попятного  синтеза (т.н. бэкстеппинга), функций  Ляпунова, точной линеаризации. Эти  методики включают'нелинейное преобразо- 
вание исходной модели колесного робота, позволяющее решить задачу синтеза алгоритмов управления вдоль заданной траектории движения. Бэкстеппинг применяется для решения задачи позиционирования. В этом подходе осуществляется преобразование исходной модели колесного робота к цепочному виду, а затем производится синтез алгоритмов управления, обеспечивающих решение задачи стабилизации относительно заданного положения робота. Метод контролируемых функций Ляпунова применяется для решения задачи стабилизации нелинейной системы общего вида, и предполагается, что можно предложить закон управления как функцию от координат вектора состояния. Метод точной линеаризации подразумевает нелинейное преобразование исходной модели колесного робота к эквивалентной модели. Синтезировав алгоритмы управления для эквивалентной модели,решающие задачу слежения или стабилизации колесного робота относительно заранее заданной траектории движения, осуществляется обратное преобразование к исходному базису замкнутой системы. В большинстве практических случаев от колесного робота требуется, чтобы он функционировал в среде с подвижными внешними объектами. Такие задачи возникают при организации совместного движения роботов, например, сельскохозяйственных колесных роботов, 
участвующих в уборке урожая. Такие требования к системам управления приводят к синтезу новых, более совершенных алгоритмов управления. Целью управления колесным роботом в динамически изменяющейся внешней среде является его движение по траектории, обеспечивающей обход внешнего объекта или скоординированное с объектом перемещение. Таким образом, траектория или ее отдельные участки 
определяются текущим положением и формой подвижных внешних 
объектов, т.е. являются нестационарными. Большинство работ, посвященных движению колесных роботов в динамической среде, представляют собой развитие методов программного управлений и предусматривают перепланирование участка эталонной траектории в процессе изменения внешней среды. Полученные решения требуют высокого быстродействия алгоритмов планирования движений и не допускают эффективного использования текущей информации о состоянии объектов ближнего окружения колесного робота. Первоначальные результаты исследований управляемого движения колесных роботов относительно подвижных внешних объектов, представленные в работе , показывают перспективность систем траекторного управления, в которых управляющие воздействия формируются на основании текущей информации об относительном переме-щении робота, т.е. его перемещении в системе координат движущегося внешнего объекта. Подход не получил достаточного распространения ввиду недостаточной методической и алгоритмической проработки. Таким образом, отсутствие общих методик управления движением колесных роботов в динамически изменяющейся внешней среде и недостатки известных алгоритмов программного и траекторного управления определяют необходимость развития методов нелинейного 
управления и систем управления движением колесных роботов.

 

 

 

 

1. Динамика и управление колесным приводом

 

Рассмотрим робот с  двумя независимыми активными колесами, оси которых лежат на одной прямой.

Модель.

Пусть система представляет собой два абсолютно твердых диска, находящихся на осях, лежащих на одной прямой, в местах крепления колес к осям находятся точечные цилиндрические шарниры, колеса управляются идеальными электродвигателями. К осям жестко прикреплен корпус, абсолютно твердое тело, которое может двигаться плоскопараллельно. Эта "тележка" движется по абсолютно шероховатой плоскости, колеса в точках касания с плоскостью не проскальзывают. Модель рассматриваемого 
робота приведена на рис.1. При условии плоскопараллельного движения корпуса 
положение системы описывается пятью координатами углы представляют собой углы поворота ведущих колес робота относительно осей. Центр масс 
корпуса объекта расположен в точке С (рис.2). Положение центра масс корпуса С в связанной системе координат задается вектором b=(b1,b2). Середина расстояния между колесами обозначена D(x,y). Влияние пассивных колес на движение системы считаем незначительным.

Рис 1. Модель робота

Постановка задачи.

Пусть начальное состояние  системы задано набором конечное положение определяется набором . Примем, что во время движения робота координаты вместе с угловыми скоростями вращения колес непрерывны, и 
\ф\<mах. Рассматривается задача перехода робота из заданного начального состояния  заданное конечное состояние, робот должен перейти в заданную конечную точку с заданной ориентацией продольной оси и заданной скоростью вдоль этой продольной оси в конечной точке. Примеры ситуации, описываемой этой задачей, - выход робота- футболиста на мяч и удар но нему корпусом в заданном направлении с заданной 
скоростью, движение робота по трассе вида последовательности предварительно заданных точек.

Уравнения движения.

Исходные уравнения связей, наложенных на систему, и уравнения движения рассматривались в [1], дополняющее исследование проведено в [2-6].

Из условия непроскальзывания  колес на плоскости выводятся  уравнения связей:

 

(1)

 

 

Уравнения движения.

Исходные уравнения связей, наложенных на систему, и уравнения движения рассматривались в [1], дополняющее исследование проведено в [2-6].

Из условия непроскальзывания  колес на плоскости выводятся  уравнения связей:

 

где m - масса корпуса робота, m1 - масса колеса робота, m- полная масса робота, J-приведенный момент инерции робота, зависящий от моментов инерции корпуса и колес робота и остальных динамических параметров робота.

В правой части (2) введены  обобщенные силы (3), описывающие действие 
моментов, создаваемых двигателями постоянного тока, на активные колеса. В (3) 
коэффициенты - коэффициенты линейных моделей электродвигателей робота.

Исследование и решение  уравнений.

Пусть базовыми траекториями робота являются дуги окружностей и отрезки прямых. Рассмотрение непрерывных но скоростям ф_г ф₂ склеек окружностей, прямых при помощи спиральной кривой первоначально введено в [3]. Основой для введения дополнительной кривой является факт, что при отсутствии такой «склейки» двух траекторий движения в точке их соединения происходит разрыв по скоростям ф_ХУ ф₂. Это означает неопределенность в управляющих напряжениях, как следует из (2), и возможность динамических ударов в системе. В общем случае разрыв скоростей 
возникает на переходе с кривой на кривую, на котором возникает скачок функции 
ориентированной кривизны траектории:

Для того, чтобы исключить  разрыв по , вводится дополнительный режим 
движения системы на интервале "склейки" , при котором угловые скорости колес меняются линейно. Соответствующая схема приведена на рис.1.

Соответствующая интервалу [T1, T2] кривая в координатах (х,у) получается 
подстановкой линейного закона изменения ф₁ ф₂ в первое и второе уравнения связей (1):

 

 

В [2-3] подробно приведены  примеры синтеза траекторий движения робота, состоящих из двух окружностей, соединенных спиральной кривой (рис.2). Эти случаи были также исследованы на предмет минимизации времени движения от точки к точке.

Исследование спиральных траекторий.

Для удовлетворения конечных условий при движении по спиральной кривой подставим в уравнения системы (4) соотношение t=T. Для последнего уравнения:

 

Соотношения (8) описывают  множество конечных точек для  спиралей с 
одинаковыми начальными угловыми скоростями колес и заданной конечной ориентацией корпуса. Получившиеся кривые ограничивают область, в которую попадет 
рассматриваемая система при заданных ограничениях на угловые скорости и промежутки времени движения - область достижимости (рис.3). Полученная процедура позволяет с учетом заданных ограничений найти такие значения параметров, при которых система попадает из заданного начального положения в заданную конечную точку с заданной ориентацией корпуса.

Аналогичные построения можно  провести и для уравнений с  интегралами Френеля, 
которые получаются, если начальные угловые скорости не равны. Это первые два 
уравнения (4)с коэффициентами (7). В этом нелинейном случае (рис.4) разрешаемая система состоит из двух алгебраических уравнений, по одной из переменных имеется линейная зависимость, конечная точка (х, у) выбирается из области достижимости, в которой существует решение этой системы, при этом известны границы области изменения параметров, в которой численно ищется решение.

 

Полученные способы движения в заданную точку с заданной ориентацией корпуса позволяют строить переходы с одной кривой на другую. А это, в свою очередь, позволяет далее строить составные траектории движения системы.

Автономный колёсный робот является сложной управляемой электромеханической системой, состоящей из ходовой части и многоуровневой системы управления движениям. В нём одновременно протекают механические процессы движение робота — и информационные процессы — обработка сигналов измерительных устройств и формирование управляющих сигналов. Моделью механической части робота является система абсолютно твёрдых тел, соединённых 
цилиндрическими шарнирами.

Одно из тел системы, к  которому прикреплено п колёс, назовём платформой. Соответствующий ориентированный граф системы твёрдых тел имеет структуру дерева. Здесь ситуация оказывается обратной знаменитой 
задаче п тел: одноколёсные роботы (моноциклы) и двухколёсные 
(велосипеды), п < 3, в силу статической неустойчивости оказываются более сложными объектами исследования, чем трёхколёсные и четырёхколёсные системы, п > 3.) Колесо удерживается в вертикальном положении с помощью вилки, и его положение относительно платформы определяется двумя обобщёнными координатами: углом поворота вокруг вертикальной (поворотной) оси, фиксированной в платформе, и углом поворота вокруг горизонтальной (маршевой) оси. Горизонтальные оси колёс могут жёстко фиксироваться относительно платформы, в этом случае положение колеса относительно платформы определяется одним углом поворота вокруг горизонтальной оси. Если пренебречь проскальзыванием колёс в точке соприкосновения колёс с поверхностью. то возникают неголономные связи, определяющие набор псевдоскоростей 
системы.

 

 

 

 

2.Динамика мобильного робота

 

Задача о движении колесного  робота относится к довольно сложному разделу теоретической механики, посвященному исследованию движения систем абсолютно твердых тел с неголономными  связями . Даже в случае одного тела, катящегося по абсолютно твердой  поверхности, возникают нетривиальные  динамические эффекты. Их разгадка была найдена только в последнее время [2].

 

Особенностью неголономных систем является, в частности, особая методика составления дифференциальных уравнений движения, разработанная П. Аппе- лем, П.В. Воронцом и С.А. Чаплыгиным.

Для определенности далее  рассмотрим мобильный робот, который  имеет два независимо управляемых  моторизованных колеса. Пусть движение робота происходит в горизонтальной плоскости, третье колесо робота считается безынерционным, лишенным трения и закрепленным на шасси робота на вертикальной саморазворачивающейся вилке. На рис. 3 приведен общий вид шасси мобильного робота. При принятых допущениях его движение полностью определяется координатами {x, y} точки А — центра отрезка, соединяющего ведущие колеса шасси, и углом поворота ср, отсчитываемым от оси X.

Движение всех колес происходит без проскальзывания. Ведущие колеса 1 и 2 имеют радиус r и приводятся во вращение одинаковыми двигателями 4 и 5 соответственно, на которые подаются управляющие напряжения: U_L — для левого колеса 1 и U_R — для правого колеса 2. Поворот робота осуществляется с помощью разности указанных управляющих напряжений.

Движение робота рассматривается  относительно неподвижной системы  координат OXY. Подвижная система координат Axy с началом в точке А жестко связана с шасси робота. Ось x перпендикулярна отрезку, соединяющему центры ведущих колес, и является осью симметрии шасси. Положительное направление оси x совпадает с направлением движения робота. Центр масс робота находится в точке С; абсциссу точки C в подвижной системе обозначим через а. При положительных значениях а центр масс и третье колесо находятся впереди ведущих колес.

 

 

 

При равенстве напряжений, подаваемых на двигатели ведущих колес, дифференциальные уравнения движения мобильного робота имеют вид [3]

 

(1) 

Здесь V — скорость точки А, Q — угловая скорость робота, ц — параметр, пропорциональный коэффициенту сил вязкого трения, р — радиус инерции робота относительно оси, проходящей через центр масс, 21 — расстояние между центрами ведущих колес робота, p — положительный параметр, пропорциональный сумме напряжений, подаваемых на ведущие колеса робота.

 

В случае постоянства параметра p уравнения (1) описывают неуправляемое движение робота. При положительных значениях параметра а уравнения (1) имеют единственную особую точку

                                                                                                                   (2)

 

Частное решение (2) отвечает прямолинейному поступательному движению робота с постоянной скоростью V Это движение асимптотически устойчиво «в большом», то есть все решения уравнений (1) через некоторый промежуток времени будут сколь угодно мало отличаться от решения (2). Фазовый портрет системы (1) в этом случае показан на рис. 4, причем частное решение (2) представляет собой устойчивую особую точку типа «узел» [3, 4]

Ситуация меняется, когда  параметр а отрицателен, то есть центр масс и третье колесо находятся позади ведущих колес робота. При увеличении напряжения, подаваемого на двигатели, и росте его скорости

 

 

На плоскости , происходит бифуркация рождения, двух новых особых точек системы(1)

                (3)

 

 

Особые точки (3) являются устойчивыми узлами или фокусами. Механический смысл решений (3) состоит в таком вращательном движении робота с постоянной угловой скоростью, при котором точка A описывает окружность радиуса R = V*/Q *. При этом особая точка

становится неустойчивой и превращается в седло.

Соответствующий фазовый  портрет для системы дифференциальных уравнений (1) построен на рис. 5.

Обсуждаемые математические результаты означают, что в случае, когда ведущие колеса находятся впереди центра масс, мобильный робот может совершать устойчивое прямолинейное движение только со скоростью, не превосходящей некоторого предельного значения. С ростом напряжения, подаваемого на двигатели, скорость робота увеличивается. После достижения указанного предельного значения прямолинейное движение становится неустойчивым; робот «закручивает», и он стремится к одному из вращательных движений.

Будет ли финальное движение «правым» или «левым», заранее предсказать невозможно. Это определяется малыми возмущениями, существующими при движении реального робота.) В случае, когда третье колесо находится впереди ведущих колес, робот может устойчиво двигаться по прямой с любой скоростью¹. Разумеется, специальная система управления может стабилизировать движение робота и в случае, когда ведущие колеса находятся впереди, однако алгоритм этой системы управления должен учитывать природу неустойчивости, определяемую дифференциальными уравнениями (1).

 

 

3. О динамике трехколесного робота с деформируемыми колесами

Рассмотрим робот класса монотип . Данный робот представляет собой систему из четырех тел: платформы и трех колес. Центр масс платформы находится между осью, соединяющей два ведущих колеса, и передним опорным колесом.

 

Рис 6.

Движение робота происходит подачей напряжения на независимые двигатели, расположенные по одному около задних колес. Электромеханическая часть монотипа рассмотрена не будет. Изучим две модели робота. В первой будем полагать колеса твердыми, а во второй деформируемыми. Для модели с деформируемыми колесами будем предполагать массу деформируемой части пневматика пренебрежимо малой, будем учитывать продольную, поперечную и радиальную деформации. В настоящей работе предполагается исследовать динамику моделей монотипа с жесткими и деформируемыми колесами, изучить возможность стабилизации их стационарных движений. В случае возможности стабилизации стационарных движений предполагается сравнить результаты модельных экспериментов для переменных, не связанных с деформациями колеса.

Основные известные результаты по стабилизации движений неголономных систем относятся к случаям, когда число корней характеристического уравнения на мнимой оси после стабилизации наименьшее из возможных. При этом размерность стабилизирующего управления может оказаться больше минимально необходимой. Стабилизирующее управление предполагается отыскивать таким образом, чтобы число корней характеристического уравнения, расположенных слева от мнимой оси, стало возможно минимальным приложением управления как можно меньшей размерности. Коэффициенты стабилизирующего управления предполагается находить методом Н.Н.Красовского, который восходит к методу функций A.M. Ляпунова и методу 
динамического программирования Беллмана. При нахождении управляющих 
воздействий необходимо учитывать, что управление, приложенное по циклическим скоростям, в общем случае является естественным, а значит, не нужны дополнительные исполнительные механизмы, поэтому оно предпочтительно.

Получение уравнений движения

Для монотипа с твердыми колесами составим уравнения Воронца в переменных Лагранжа. Неголономными связями, выражающими отсутствие проскальзывания при качении колес, являются следующие уравнения

                  (9) 

 

Уравнения Воронца вместе с неголономными связями представляют собой 
замкнутую систему.

Для монотипа с деформируемыми колесами составим уравнения Лагранжа второго рода

(10)

 

 

где R - реакции связей. Здесь Mt - параметры деформации. В выражения для 
реакций связи входят силы и моменты, выражения для которых определены в используемой авторами феноменологической теории качения . Замкнем систему (10) 
уравнениями деформаций:

 

Уравнения движения не приводятся в статье из-за своей громоздкости.

Исследование устойчивости и стабилизации

Решение задачи стабилизации при конкретных числовых значения параметров осуществляется проверкой достаточного условия наблюдаемости и управляемости , определением коэффициентов оптимального стабилизирующего управления методом Н.Н. Красовского и численным интегрирование системы при конкретных числовых 
параметрах системы и начальных возмущениях. В рассматриваемых примерах 
рассматривались стационарные движения монотипа вдоль прямой. Очевидно, что учет деформаций колес приводит к увеличению размерности 
рассматриваемой системы, а следовательно, к увеличению сложности исследования задачи. Так, в нашем примере размерность системы равна 23. Данная проблема решается применением компьютерных методов. Использованное программное обеспечение Maple позволило численно моделировать и визуализировать рассмотренные примеры. Помимо большой размерности системы при рассмотрении моделей с 
деформируемыми колесами возникает проблема нахождения значений различных 
параметров, входящих в выражения для деформаций и реакций. Как указывалось выше, авторами используется феноменологическая теория. Данная теория носит эмпирический характер, многие параметры находятся экспериментальным путем для отдельно взятой шины. Причем даже небольшая погрешность при нахождении параметров деформации 
может серьезно повлиять на результат исследования динамики. Однако учет деформаций шины является необходимым условием более точного исследования системы, в частности, нахождения корректного стабилизирующего управления, которое должно адекватно 
реагировать на изменение поведения робота и зависит от параметров деформации колес.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Задачи исследования динамики движения 
мобильного робота и расчета управления им актуальны в связи с 
возрастающими требованиями к точности работы таких систем, 
необходимостью составления схем управления, обеспечивающих гладкие 
динамические движения, необходимостью учета влияния податливости колес на движение роботов.

В настоящее время мобильные  роботы распространены весьма широко. 
Они используются в лабораториях научных институтов и университетов, 
разрабатываются и модернизируются на различных предприятиях для решения 
специальных задач (переноса груза, работы в сложных условиях, 
информационной разведки), включаются в образовательные программы и 
участвуют соревнования, входят в повседневную жизнь человека в виде 
бытовых и игровых устройств. Но, несмотря на фундаментальные и 
прикладные исследования, задачи по управлению ими до конца не решены. 
Это связано с различиями кинематических схем аппаратов, различными 
условиями движения, а также с необходимостью учета реальных факторов 
движения при построении строгих математических моделей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

1. Мартыненко Ю.Л. Управление движением мобильных колесных роботов // 
   Фундаментальная и прикладная математика. 2005.
2. Сергеев К.А. Управление траекторным движением колесных роботов относительно подвижных объектов. (научн. рук. И.В. Мирошник). 2004 г.
3. Павловский В.Е, Евграфов В.В.,  Павловский В.В. , Петровская Н.В.  Динамика, моделирование, управление мобильными роботами.