Компьютерная модель пружинного маятника (наименование темы)

Министерство образования  и науки

Северный (Арктический) федеральный  университет имени М.В. Ломоносова

Институт естественных наук и биомедицины

 

 

Кафедра Информатики, ВТ и МПИ

 

____________    Минина Галина Евгеньевна______________

(фамилия, имя, отчество студента)

 

4  курс _49   группа

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

По дисциплине Моделирование  систем

 

На  тему  Компьютерная модель пружинного маятника

(наименование темы)

 

 

 

 

Работа допущена к защите  __________________________________________ 

(подпись руководителя)(дата)

 

 

 

Признать, что работа выполнена  и защищена с оценкой _____   ____________

 

Руководитель доцент ____________________. А.К. Титов   ________________

(должность) (подпись)  (и.,о., фамилия) (дата)

 

 

 

Архангельск

2013

 

Содержание

1. Введение                                                                                                         3
2. Маятники                                                                                                        4
3. Виды маятников                                                                                           5
4. Математическая модель                                                                              17
5. Основные этапы математического моделирования                                 17
6. Классификация моделей                                                                            18
7. Интерфейс программы                                                                         23
8. Заключение                                                                                           24
9. Список литературы                                                                             25
10. Приложение                                                                                         26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Введение

Математическая модель — это математическое представление реальности.

Математическое  моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем, изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

 В своей работе я хочу представить программу, которая создана в целях обучения. Эту программу можно использовать для демонстрации по предмету физики.

При изучении раздела в физике «механические колебания» учащимся крайне необходимо такое моделирование, оно значительно облегчает им восприятие истинной картины, учащиеся визуально могут увидеть картину изменения скорости, координаты и ускорения.

Целью данной работы является создание модели колебаний пружинного маятника (построение графика изменения его физических величин).

Для выполнения цели поставлены следующие задачи:

• определение специфики задания
• сбор и обработка данных
• разработка графической и математической моделей
• разработка дружелюбного интерфейса
• программирование и тестирование работоспособности программы.

 

 

 

2. Маятники

 

Твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси. Обычно под маятником понимают тело, совершающее колебания под действием силы тяжести; при этом ось маятника не должна проходить через центр тяжести тела. Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное  тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно  совершает колебания около этого  положения.Такое тело называют пружинным  маятником. Колебания возникают  под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные  действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное  пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему  оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется  так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

3. Виды маятников

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Маятники: а —  круговой математический; б — физический.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Маятники: а —  сферический; б — конический.

Оборотный маятник

 

        Прибор для экспериментального определения ускорения силы тяжести g. Представляет собой тело, например массивную пластину (рис.), с двумя трёхгранными ножами, из которых один неподвижен, а другой может перемещаться вдоль прорези на пластине. Оборотный маятник позволяет определить величину g со значительно более высокой степенью точности, чем математический маятник.

 

 

 

Рис. Оборотный маятник.

  Фрудамаятник        

Фрикционный маятник, одна из простейших автоколебательных механических систем. Состоит (рис.) из физического маятника 1, жестко скрепленного с муфтой 2, насаженной на вращающийся вал 3. Угловая скорость вала такова, что она в любой момент времени превосходит угловую скорость маятника, поэтому действующий на маятник момент сил трения (в отличие от случая обычного подвеса) имеет постоянное направление и будет на одном полупериоде, когда маятник и вал движутся в разные стороны (относительная скорость муфты 2 больше), тормозить движение, а на другом, когда маятник и вал движутся в одну сторону, — ускорять. Если сила трения такова, что она на каком-нибудь интервале скоростей с увеличением скорости убывает, то ускоряющий момент будет в среднем больше тормозящего, что приведёт к нарастанию (самовозбуждению) колебаний; в результате, при соответствующих условиях, в системе могут установиться Автоколебания. Название по имени англ. учёного У. Фруда                 

Фруда маятник.

Фуко маятник

 

        Маятник, используемый для демонстраций, подтверждающих факт суточного вращения Земли. Фуко маятник представляет собой массивный груз, подвешенный на проволоке или нити, верхний конец которой укреплен (например, с помощью карданного шарнира) так, что позволяет маятнику качаться в любой вертикальной плоскости. Если Фуко маятник отклонить от вертикали и отпустить без начальной скорости, то, поскольку действующие на груз маятника силы тяжести и натяжения нити лежат всё время в плоскости качаний маятника и не могут вызвать её вращения, эта плоскость будет сохранять неизменное положение по отношению к звёздам (к инерциальной системе отсчёта. Наблюдатель же, находящийся на Земле и вращающийся вместе с нею, будет видеть, что плоскость качаний Фуко маятник медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Этим и подтверждается факт суточного вращения Земли.     

Маятник Фуко на северном полюсе. Ось вращения Земли лежит  в плоскости колебаний маятника      

 

Циклоидальный маятник

 

        Математический маятник, который, совершая под действием силы тяжести колебания, описывает дугу циклоиды с вертикальной осью и выпуклостью, обращенной вниз. Циклоидальный маятник можно осуществить, подвесив грузик В на нити длиной 4а и заставив нить огибать при колебаниях циклоидальные шаблоны (на рис. заштрихованы), у которых радиус производящего круга равен а. Тогда груз В будет описывать такую же циклоиду, т. е. будет Циклоидальный маятник.

 

Рис. Циклоидальный маятник.

 

Пружинный маятник

 

 

 

Пружинный маятник состоит из тела массы m и легкой пружины с коэффициентом жесткости k (рис.1, а). В общем случае движение пружинного маятника в поле силы тяжести довольно сложно и описывается большим числом степеней свободы. Практический интерес, однако, представляют колебания с одной степенью свободы, когда движение маятника происходит вдоль вертикальной оси. Для того, чтобы маятник совершал только вертикальные колебания достаточно оттянуть тело строго вниз на небольшую величину (рис.1, б,в ). Для полного описания колебаний в этом случае необходимо знать поведение только одной переменной, например, вертикальной координаты центра масс тела маятника. На тело, подвешенное на пружине в поле силы тяжести, действуют две силы (без учета сил трения) сила тяготения и упругая сила. Начало координат выберем таким образом, чтобы при х=О масса m находилась в равновесии. При этом сила тяжести mg будет скомпенсирована некоторым начальным растяжением пружины и в дальнейшем рассмотрении участвовать не будет.       При отклонении тела от точки равновесия будет возникать возвращающая сила F(х). Рассмотрим малые колебания пружинного маятника. Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смешению и направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника условия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвращающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид

Рис.1 Вертикальные колебания  пружинного маятника

 

        

 

Чтобы в реальной колебательной системе получить не затухающие

колебания, надо компенсировать потери энергии, возникающие  за счет

сопротивления среды. Такая компенсация может  быть обеспечена вве-

дением какого-либо периодически действующего фактора. В  случае ме-

ханических  колебаний роль периодически действующего фактора игра-

ет внешняя  вынуждающая сила F(t). Рассмотрим, как  изменится дви-

жение пружинного маятника массой m и коэффициентом  жесткости

пружины k (под  действием силы упругости Fупр) в  среде с коэффициен-

том сопротивления b  (сила сопротивления среды Fср пропорциональна

скорости)  под воздействием внешней вынуждающей  силы,  изменяющейся по гармоническому закону с частотой Ω и амплитудой F0. Согласно второму закону Ньютона уравнение движения пружинного маятника примет вид

                                     ma=F_ср+F_упр+F(t).

Тогда                           ma=-bv-kx+F(t)

Или                              m*d²x/dt²=-b*dx/dt-kx+F₀cos Ωt

 

 

. 

Полученное уравнение легко  свести к неоднородному дифференциальному  уравнению вида

                                    D²x/dt²+2 β*dx/dt+ ω₀²x=F₀/m* cos Ωt

 

 Из математического анализа известно, что решение уравнений та-

кого вида представляет собой сумму  общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное

уравнение D²x/dt²+2 β*dx/dt+ ω₀²x=0 в зависимости от начальных условий имеет общее решение вида

                                    x=A₀e^(- βt)*cos(ωt+ ϕ₀) или x= A₀e^(- βt)*sin(ωt+ ϕ₀)

 

 

1.Ненагруженная пружина имеет длину l₀. Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести k(l₂-l₁)=mg. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника. Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

 

F_рез=mg-k((l₂-l₁)+x)=-kx=F_упр

 

Знак минус означает, что направление  силы Fупр. и направление смещения х противоположны. Fупр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости  от того, в какую сторону от положения  равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы ( чем больше смещение, тем больше Fупр.).

 

Рисунок 1.1 – Положения  пружинного маятника за время одного периода колебаний.

 

 

Если система  совершает колебания под действием  сил, развивающихся в самой колебательной  системе без внешних воздействий  и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими  собственными колебаниями.

 

Отсутствие  затухания колебаний характерно для идеальной колебательной  системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

 

2. Дифференциальное уравнение,  соответствующее колебаниям пружинного  маятника, можно получить из закона  его движения, которым является 2-й  закон Ньютона ma = F.

 

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени

 

 

а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых  смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как  F=-kx, получим

 

 

Или

 

 

 

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка для  незатухающих колебаний. Основной его  отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная  от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х  входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения  характерны для незатухающих колебаний  в любой идеальной колебательной  системе.

 

Перенесем все  члены уравнения в левую часть  и приведем дифференциальное уравнение  к виду:

Величина    , обозначим ее  , получим

 

 

3. Решением дифференциального уравнения  такого вида являются уравнения:

 

 или 

 

Эти решения называются уравнениями  колебаний, они позволяют вычислить  смещение х пружинного маятника в  любой момент времени.

 

Колебания, при которых характеризующие  их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

 

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. .

В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения  в виде .

 

4. В уравнении  колебаний:

 

А – амплитуда  смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

 

 – фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

 

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный  момент времени (t = 0).

 

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который  система возвращается в исходное положение. За период колебаний система  совершает одно полное колебание.

 

Частотой  периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

 

Циклической или круговой частотой периодических  колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за  единиц времени.

 

Для пружинного маятника частота и период собственных  колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

,

 

5. Зная уравнение  смещения пружинного маятника, получим  подобные уравнения для других  физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний,  если уравнение смещения пружинного  маятника задано в виде  .

 

Скорость  колебаний маятника есть первая производная  по времени от смещения:

 

Величина  Аω₀² называется амплитудой скорости. Амплитуда – величина положительная (по определению).

 

Ускорение маятника:

 

Величина  Аω₀² – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

 

6. Так как  собственные колебания в идеальной  системе происходят без внешних  воздействий, то колебательная  система является замкнутой и  для нее выполняется закон  сохранения механической энергии.

 

Полная механическая энергия пружинного маятника равна:

 

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой  силы, равна:

 

Кинетическая энергия пружинного маятника равна

 

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна

 

Частота изменений  кинетической и потенциальной энергии  в 2 раза больше частоты изменения  смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии .

Графики физических величин в зависимости от времени  представлены на Рисунке 1.2 в пределах двух периодов колебаний (начальная  фаза взята равной нулю α = 0).

 

 

Рисунок 1.2 – Графики смещения (х), скорости (v), ускорения (а) в зависимости  от времени t

 

 

 

Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний  от начальных условий.

Решения дифференциального  уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для  данной конкретной колебательной системы  можно сделать, если задать ее поведение  в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения  равновесия равно х0, а начальная  скорость v0. Гармоническое колебание  описывается уравнением  .

При t = 0 имеем  два уравнения:

,  .

Возведя в  квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:

.

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение  для начальной фазы:

.

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных  условий колебательной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         4. Математическая модель

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование  и связанный с ним компьютерный эксперимент не заменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

5. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели.

На этом этапе задается некоторый  «не математический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

 

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. 

На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и  численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат  может быть найден с необходимой  точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели.

Следствия, выведенные из модели на языке  математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. 

На этом этапе выясняется, согласуются  ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. 

На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение  ради достижения практически приемлемого  решения.

6. Классификация моделей

Классифицировать модели можно  по разным критериям. Например, по характеру  решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и  результатов предсказания модели могут  быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

В данной работе примером математической модели является движение колебаний пружинного маятника.

 

Для того чтобы  рассмотреть математическую модель нам необходимо составить функцию  Лагранжа. 

Для частицы  массы  , совершающей колебания напружине жесткостью  , функция Лагранжа имеет вид

  где  - смещение частицы из положения равновесия. Подставив данную функцию в (12), получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

 Сферический маятник длины l. Декартовые координаты выражаются через сферические координаты  (которые могут выступать в качестве обобщенных координат) следующим образом

 Уравнение связи имеет вид:

В декартовых координатах- 

В сферических  координатах -  . Данная система имеет две степени свободыдвижения. 
Виртуальные перемещения определяются следующими соотношениями:

(1)

Выразим виртуальную  работу активных сил через обобщенные координаты частиц:

  (2)

Здесь

 

(3)

 

- обобщенные силы.

Уравнения Лагранжа 2-го рода.

 

Получим уравнения Лагранжа 2-го рода из принципа Даламбера-Лагранжа.  В  результате получим

(4)

 Введем обозначения:

(5)

С учетом определения (3) и обозначений (5) формулу (4) перепишем  в виде:

(6)

Для выполнения равенства (6), в силу независимости  вариаций обобщенных координат, должно быть

(7)

Преобразуем равенство (5), используя тождества

и равенство

В результате преобразований получаем:

(8)

Здесь

(9)

кинетическая  энергия системы частиц. Подставив формулу (8) в уравнение (7), получим искомые уравнения Лагранжа 2-го рода:

(10)

Рассмотрим  случай потенциальных сил:  . В этом случае для обобщенных сил (3) получаем:

(11)

И .Подставив (11) в уравнения Лагранжа (10), получим:

(12)

Здесь функция

 

(13)

представляет  собой разность кинетической и потенциальной  энергии системы частиц и выражается через обобщенные координаты, скорости частиц системы и время. Функция (13) называется функцией Лагранжа.

Функция Лагранжа задается неоднозначно. В частности, из уравнений (12) следует, что прибавление  к ней любой величины, которая  не зависит явно от обобщенных координат  и скоростей частиц, не меняет уравнений (12). Следует заметить, что вид  уравнений Лагранжа не зависти от выбора системы отсчета и системы  координат, т.е. данные уравнения инвариантны  по отношению к выбору системы  отсчета и системы координат.