Курсовая работа по "Теории вероятностей и математике"

 

Математика- 2 Курсовая работа

 

Математика- 2 Курсовая работа

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. В аналитическом отделе фирмы 7 менеджеров и 13 финансистов. Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:

а) ровно два;

б) не менее одного.

 

Решение:

А) Количество комбинаций при которых можно отобрать 3 человека из 20 равно число сочетаний

Тогда вероятность, что  будет ровно 2 менеджера равна:

Б)

- событие, что будет ни одного  менеджера

 

2. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0.17. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0.22. Для третьего клиента – 0.12. Найти вероятность того, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

 

Решение:

Найдем вероятность  того, что не обратится ни один клиент. Эта вероятность будет находится  по формуле:

События, не обратился  ни один клиент и в страховую компанию обратится хотя бы один клиент образуют полную группу, т.е. сумма вероятностей этих событий равна 1, т.е.

 

 

3. В консультационной фирме 23% сотрудников получает высокую заработную плату. Известно также, что женщины составляют 42%  сотрудников фирмы, при этом 6.6% сотрудников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в консультационной фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Ответ объяснить, сформулировав решение задачи в терминах теории вероятностей.

 

Решение

Сформулируем условие  этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: « Чему  равняется вероятность того,что случайно выбранный  работник будет женщиной,имеющей высокую заработную плату?»и сравнить ее с вероятностью того,что наудачу выбранный  работник любого пола имеет высокую зарплату. Обозначим события:А— «Случайно выбранный  работник имеет высокую зарплату»; В—«Случайно выбранный  работник—женщина».События  А и  В— зависимые.По условию

Нас интересует вероятность  того,что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии,что это женщина, т.е. — условная вероятность события  А. Тогда,используя теорему умножения вероятностей,получим 

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)=0,066/0,42=0,1571

Поскольку

Р(А/В)=0,1571 меньше,чем Р(А) = 0,23, то мы можем заключить,что женщины,имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

 

 

4. В брокерской компании, в которой 32% составляют сотрудники первого отдела, 27% - второго, остальные третьего, результаты работы оцениваются по отдаче с каждого инвестированного сотрудником рубля (высокая или низкая). Анализ последнего месяца работы показал, что низкую отдачу имеют 2,2% сотрудников первого отдела, 1,2% - второго и 1,7% - третьего отдела. Какова вероятность того, что случайно выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую отдачу? Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее всего, он работает?

 

Решение:

Обозначим события:

 — сотрудник из первого, второго или третьего отдела.

 — сотрудник показал высокую отдачу.

 — низкая отдача сотрудника, при условии, что он из соответствующего отдела

Используем формулу  полной вероятности.

Вероятность обратного  события, т.е. высокой отдачи сотрудника:

Ответим на второй вопрос задачи:

Используем формулу Байеса и найдем вероятности того, что сотрудник работает в соответсвующем отделе, при условии, что он показал низкую отдачу.

Вывод: сотрудник, вероятнее всего, работает в первом отделе.

 

 

 

6. В рамках маркетингового исследования нового товара компания-производитель проверяет спрос на него по результатам отзывов случайно выбранных потенциальных покупателей. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0.77, если товар действительно удачный, и 0.17, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

 

Решение:

Задача решается по формуле Байеса. Обозначим события.

 — товар удачен.

 — товар не удачен.

 — товар успешен на рынке при условии, что сам он удачен.

 — товар успешен на рынке при условии, что сам он неудачен.

A — товар успешен на рынке. .

Составим формулу  полной вероятности, учитывая, что гипотезы и представляют собой полную группу событий.

Известно, что  событие А состоялось, т.е. товар получил успех на рынке.

Составим формулу  Байеса

 

 

7. Отдел менеджмента одного из предприятий разрабатывает новую стратегию выпуска продукции. Известно, что при определенном технологическом процессе 77% всей продукции предприятия - высшего  сорта, а всего производится 220 изделий. Стратегия, разработанная отделом менеджмента, основана на том, что предприятие будет рентабельным, если выпуск продукции высшего сорта будет составлять  не менее 170 изделий. Оценить критически новую стратегию выпуска продукции (определив наивероятнейшее число изделий высшего сорта из 220 изделий и вероятность этого события).

 

Решение

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства: 
np – q ≤ k₀ ≤ np + p

а) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀.

б) если число np – q – целое  дробное, то существуют два наивероятнейших  числа, а именно k₀ и k₀ + 1.

в) если число np – целое, то наивероятнейшее число k₀ = np.

По условию, n = 220, p = 0.77, q = 0.23.

Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:

220*0.77 – 0.23 ≤ k₀ ≤ 220*0.77 + 0.77

или 
169.17 ≤ k₀ ≤ 170.17

Поскольку число np – q –  дробное, то существует одно наивероятнейшее  число k₀ = 170

Определим вероятность  того, что количество изделий первого  сорта будет не менее 170 изделий, используя интегральную теорему Лапласа:

В нашем случае:

Где - интегральная функция Лапласа

Т.о. можно  сделать вывод, что новая стретегия  примерно  в половине случаев  будет успешной

 

8. Торговый агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0.32. Составить закон распределения ежедневного числа продаж для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?

 

Решение

Случайная величина X –  количество успешных продаж - имеет  область значений (0,1,2,...,n). Вероятности  этих значений можно найти по формуле  Бернулли:

P_n(m) = C^m_np^mq^n-m

где C^m_n - число сочетаний из n по m.

 

Найдем ряд распределения X.

P₄(0) = (1-p)ⁿ = (1-0.32)⁴ = 0.2138

P₄(1) = np(1-p)^n-1 = 4*0.32*(1-0.32)^4-1 = 0.4025

 

 

P₄(4) = pⁿ = 0.32⁴ = 0.01049

Ряд распределения получается:

 

x	0	1	2	3	4
p	0.2138	0.4025	0.2841	0.08913	0.01049

 

Математическое ожидание M[X].

M[x] =∑x_ip_i. = 0*0.2138 + 1*0.4025 + 2*0.2841 + 3*0.08913 + 4*0.01049  = 1.28

Дисперсия D[X].

D[X] = ∑x²_ip_i - M[x]²=0*0.2138 + 1*0.4025 + 2*0.2841 + 3*0.08913 + 4*0.01049  = 1.28

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

 

События у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня (событие А) и и у агента будет 0 и 1 продажа (событие ) образуют полную группу, т.е. сумма вероятностей этих событий равна 1

Т.е.:

 

 

 

9. Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х)=6+0,1*1-0,3*3=5,5 задана рядом распределения

 

xi	-9	0	8	20
pi	p1	0,4	p2	0,2

 

          а) Найти р₁ и р₃;

б) построить многоугольник  распределения;

в) построить интегральную функцию распределения F(x) и ее график;

      г) вычислить  дисперсию D(X); пояснить, как можно интерпретировать ее значение.

Решение

1) Для нахождения неизвестных  составим систему уравнений:

 

 

Ряд распределения

xi	-9	0	8	20
pi	0,1	0,4	0,3	0,2

 

2) Многоугольник распределения

 

 

3) Функция распределения:

F(x<-9) = 0

F(-9≤x <0) = 0.1

F(0≤ x <8) = 0.4 + 0.1 = 0.5

F(8≤ x <20) = 0.3 + 0.5 = 0.8

F(20≤x) = 1

График функции распределения:

 

 

4) Дисперсия D[X].

D[X] =∑x²_ip_i - M[x]²= 9²*0.1 + 0²*0.4 + 8²*0.3 + 20²*0.2  - 5.5² = 77.05

Дисперсия показывает, что  квадрат отклонений индивидуальных признаков от среднего значения в среднем равен 77,05

 

 

10. В нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X меньше 13 и 47% значений случайной величины X больше 19. Найти параметры этой совокупности.

 

Решение

Известно, что

 и 

Составим систему уравнения:

 

 

Вычтем из второго  уравнения первое и получим:

Т.е. среднее значение нормальной совокупности равно 18,5613, а его стандартное отклонение равно 5,8284

 

 

11. Прибыль от реализации инноваций в течение месяца описывается следующей функцией плотности распределения вероятностей

Найти:

а) параметр k;

б) среднюю ожидаемую  прибыль;

в) интегральную функцию  распределения F(x) и ее график;

г) вероятность того, что  прибыль от реализации инноваций  составит больше, чем 10.

 

Решение:

1) Найдем параметр k из условия:

 

 

 

или

72*A-1 = 0

Откуда,

A = ¹/₇₂

 

2) Математическое ожидание.

 

 

Т.е. средняя ожидаемая прибыль составит 8

 

3) При x<0 функция распределения будет равна 0

При 0<x≤12

При x>13 функция распределения равна 1:

График функции распределения:

 

 

 

 

12. Случайная величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием  M(X)= и дисперсией  D(X)= . Найти Р(X ³ 2).

 

Решение:

Известно, что для биномиального  закона верно:

Получаем систему уравнений:

Тогда

Тогда:

 

 

 

13. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 4·10⁶ руб., а вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает 3·10⁴ руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?

 

Решение:

Пусть n — число вкладчиков, а (неотрицательная) случайная величина X

описывает размер случайно выбранного вклада. Тогда средний  размер вклада

и по неравенству Маркова

откуда 

По условию 

Откуда

значит, n = 667 человек

 

 

14. В среднем за час автомойку посещает 7 клиентов. Найти вероятность того, что за два часа автомойку посетят не менее 10 клиентов, и вероятность того, что в течение как минимум 12 минут на автомойке не будет ни одного клиента. Число посетителей за час распределено по закону Пуассона, а время ожидания клиента распределено по показательному закону (см. данные в таблице).

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n	5	7	3	5	4	7	6	5	6	8	8	7	5	4	6
k	9	12	7	11	9	16	13	9	13	17	11	10	7	9	8
T	10	15	25	15	10	10	15	10	17	20	13	12	19	25	13
Вариант	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
n	5	6	5	9	6	9	6	6	8	8	9	8	7	5	9
k	9	13	8	16	14	13	10	12	14	11	12	12	12	7	14
T	12	14	15	12	16	14	10	18	19	14	22	21	10	10	17

 

Решение

Так как за час посещает в среднем 7 клиента, то за два часа посетят в среднем 14 клиентов, тогда параметр распределения Пуассона будет равен: . Пусть X случайная величина клиентов посетивших автомойку.

Вероятность, что на автомойку  придет k посетителей будет находится как:

Искомая вероятность  будет определяться как:

 

Так как в  среднем обслуживается 7 клиента, то для экспоненциального распределения параметр . Так же примем, что 12 минут составляет 12/60=1/5 от часа. Тогда вероятность того, что в течение как минимум 12 минут на автомойке не будет ни одного клиента:

 

 

15. Фирма принимает заказы на некоторые услуги по телефону в течение одного часа. В стационарном режиме интенсивность потока входных заявок λ=29 , а среднее время обслуживания одной заявки Т_обсл= мин. Доход, приносимый одной принятой заявкой в среднем составляет D=11ден. ед., а стоимость содержания одного канала, т.е. телефонного аппарата вместе с оператором С=48 .

Оценить работу фирмы (определив  характеристики работы системы) и найти доходы фирмы Δ_n для n=1,2,3 (n–число каналов). Предполагается, что в случае занятости канала, происходит отказ без постановки в очередь.

Провести анализ влияния  числа каналов обслуживания на оценку работы фирмы и сделать вывод о целесообразности двухканальной и трехканальной системы.

Примечание. Доход Δ_n=DА_n–nС, где А_n- абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания. При расчетах вероятностей состояний рекомендуется сохранить две значащие цифры после запятой.

 

Решение:

Для одноканальной системы

Интенсивность потока обслуживания:

 

Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 29 • 0.08333 = 2.42

Интенсивность нагрузки ρ=2.42 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

 

Следовательно, 29% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 17.5 мин.

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 71% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.29 • 29 = 8.51 заявок/мин.

Тогда в случае одного канала, получаем, что доход будет  равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*8,51-1*48=45,61

Проверим  двух канальную систему

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 46% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.46 = 0.54

Следовательно, 54% из числа  поступивших заявок будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.54 • 29 = 15.64 заявок/мин.

Тогда в случае двух каналов, получаем, что доход будет равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*15,64-2*48=76,04

Проверим трех канальную систему

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 27% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих  заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.27 = 0.73

Следовательно, 73% из числа поступивших заявок будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.73 • 29 = 21.15 заявок/мин.

Тогда в случае трех каналов, получаем, что доход будет равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*21,15-3*48=88,65

Т.о. получаем, что более  прибыльным является наличие трех каналов

 

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  СТАТИСТИКА

16. Объем дневной выручки в пяти торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 12, 17, 22, 19, х₅. Учитывая, что = 18, найти выборочную дисперсию s².

 

Решение:

По условию известно, что:

Выборочная дисперсия:

 

 

17. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде дискретного вариационного ряда

 

xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
mi	2	3	11	6	5	2	1

 

 

где x₁=0,  x_i=x₁+(i-1), , m_i – частоты.

Требуется:

а) построить полигон  относительных частот   ;

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_x  и среднее выборочное квадратичное отклонение σ_x.

Какие рекомендации следует  дать администрации универсама?

 

Решение:

а) Объем выборки равен 

Тогда относительные  частоты:

Xi	1	2	3	4	5	6	7
mi	2	3	11	6	5	2	1
wi	0,07	0,10	0,37	0,20	0,17	0,07	0,03

 

Тогда полигон будет  выглядеть:

 

б) Среднее значение:

Дисперсия:

Среднеквадратическое  отклонение:

Т.о. администратору стоит  определить свои запасы на уровне среднего размера потребления, т.е. запас должен быть равен 3,63. При больших размерах запасах будет происходить затоваривание склада, так как потребляться будет меньше, чем есть на складе. В случае если запасы будут меньше среднего значения, то будет происходить обнуление запасов и в периоды когда спрос выше среднего, он не будет удовлетворяться в полной мере.

 

18. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Размер уставного  фонда		До 30	30	60	90	120	Свыше 150	Итого
			60	90	120	150
Число банков		7	9	18	34	22	10	100

 

Найти:

а) вероятность того, что  средний размер уставного фонда  всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);

б) границы, в которых  с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда  которых не менее 120 миллионов рублей;

в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

 

Решение:

а) Преобразуем открытые интервалы в закрытые и рассчитаем необходимые статистики

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	(x - xср)2*f
0 - 30	15	7	105	51171.75
30 - 60	45	9	405	27722.25
60 - 90	75	18	1350	11704.5
90 - 120	105	34	3570	688.5
120 - 150	135	22	2970	26185.5
150 - 180	165	10	1650	41602.5
		100	10050	159075