Логарифмические уравнения и неравенства

МИНИСТЕРСТВО  образования и науки 

Российской  Федерации 

Федеральное государственное автономное образовательное  учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

 

ИНСТИТУТ  МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Направление: (математика и английский язык)

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА

 

                           Средства оценивания учащихся по теме:

                     «Логарифмические уравнения и неравенства»

 

 

 

Студент 4 курса

Группа  597  ма

"4" апреля 2013 г.                                   Садриева Эльмира

 

Научный руководитель

д.п.н., профессор кафедры теории и технологий 
преподавания математики и информатики

"___"_________ 2013 г.                                                  Л.Р. Шакирова

 

 

 

 

 

Содержание:

 

Введение   Глава I.      Логарифмические уравнения и неравенства    Определение логарифмических уравнений и неравенств 1.2 Методика решения логарифмических уравнений и неравенств   Глава II. Средства оценивания знаний и умений учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»   2.1.Тренинг 2.2. Самостоятельная работа 2.3. Контрольная работа   Глава III. Приложение    Заключение   Литература

  

 

                                                          Введение

 

           Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики.

           В школе логарифмическим уравнениям и неравенствам уделяется достаточно мало внимания.

            Однако задачи по теме "Логарифмические уравнения и неравенства" встречаются в ЕГЭ, и они довольно часто становятся затруднительными для выпускников.

            Так как при решении логарифмических уравнений и неравенств в школе применяется потенцирование, то ОДЗ уравнения расширяется, то есть возможно приобретение корней, в этом случае нужна проверка. Чаще всего возникают ошибки, обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.

            Цель данной курсовой работы: разработать средства оценивания учащихся  логарифмических уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить стандарты образования по данной теме;
2. Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения логарифмических уравнений и неравенств;
3. Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения логарифмических уравнений и неравенств;
4. Подобрать средства оценивания логарифмических уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Объектом исследования является процесс обучения решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках математики.

Предметом исследования являются методические особенности  решения логарифмических уравнений и неравенств.

- изучить методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Логарифмические уравнения и неравенства

                                                                                             

1. Определение логарифмических уравнений и неравенств.

 

             Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

            При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения к уравнению вида ; 2) введение новых переменных.

            Замечание. Так как  область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

            Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

            Решение простейшего логарифмического уравнения  ……(1)

           Основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел  по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию  равны тогда и только тогда, когда  равны эти числа.

            Для уравнения (1) из этого свойства получаем:    единственный корень.

           Для уравнения вида …………..(2)

получаем равносильное уравнение   .

 

 

 

 

 

              Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида          ….(1)

             Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

1. Если а > 1, то  неравенство вида (1) равносильно  системе неравенств:

2. Если 0 < а < 1, то  неравенство (1) равносильно системе  неравенств: 

Замечания

          1. Первые два неравенства систем задают область допустимых решений неравенства (1).

           2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.

          Логарифмические неравенства отличаются от уравнений тем, что результатом будет одно-два конкретных значения, а интервал значений. Приемы решений – те же самые.

 

         Важно помнить, что если основание логарифма больше 1, то данная логарифмическая функция – возрастающая, и подлогарифменные выражения таких функций соотносятся между собой так же, как и эти функции (знак неравенства сохраняется). Если же основания логарифмов меньше 1, то подлогарифменные выражения соотносятся между собой обратно тому, как соотносятся сами функции (знак неравенства меняется на противоположный).

 

 

 

 

2. Методика решения логарифмических уравнений и неравенств

1.2.1. Решение логарифмических уравнений.

 

           Логарифмическое уравнение вида можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

 

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

 

Пример 2: Решить уравнение 

 

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

 

 

Решим уравнение:

 

Всем условиям системы  удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

 

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА  .

Пример 3: Найти х, если 

Решение:

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ  К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение 

       

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ: 

4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.

Пример 5: Решить уравнение 

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство "логарифм степени".

Оба корня принадлежат  области допустимых значений логарифмической  функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ  К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение 

Воспользуемся формулой   и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение  примет вид:

Так как  , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть  ; тогда 

Учитывая, что 

Получим уравнение:

После проверки, проведенной  устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

7. ГРАФИЧЕСКИЙ  СПОСОБ.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма  или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек  пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение 

Решение: Построим графики функций   и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

8. МЕТОД  ПОДБОРА.

Пример 8: Найти х, если 

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 - корень уравнения. Действительно,

 истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует  искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке 

На этом промежутке функция   убывает, а функция   возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Итак, получаем

Ответ: х = 10

 

 

1.2.2. Решение  логарифмических неравенств

Рассмотрим основные методы решения логарифмических  неравенств:

 По определению логарифма

Простейшие логарифмические неравенства записывается следующим образом: ( ).

          Их можно решать следующими способами:

1) ( ).

         Теперь делаем выводы:

1. Если a>1, то f(x)> , решаем это неравенство.
2. Если 0<a<1, то f(x)< , решаем это неравенство.

         Аналогично поступаем при решении неравенства .

При выписывании ответа не забываем, что a>0, а 1и f(x)>0 (!).

2) Схема сравнения логарифмических  неравенств.

 

 

 

 

     

 

                Рис 1.                                                                             Рис 2.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Данное неравенство решим  по второму способу.

3>1 x> x>9.

Ответ: x .

2) Решить неравенство:  .

Решение: Число 0,5 = . Данное неравенство решим по второму способу.

, т.е. 0<x<4.

Ответ: x .

3)  Решить неравенство:  .

Решение: Данное неравенство  решим по второму способу 0<0,7<1 , т.е. x>0,7.

Ответ: x .

4) Решить неравенство:  .

Решение: Данное неравенство решим по второму способу

2,5>1 , т.е. 0<x<6,25 или 0<x< .                                                                                                   

Ответ: .                                                                                                   

5) Решить неравенство:  .

Решение: Данное неравенство решим  по первому способу:

 4>1 , т.е. 2<x<18

Ответ: .

6) Решить неравенство:  .

Решение:  Данное неравенство решим по второму способу

, т.е. x>8.

Ответ: .

7) .

Решение: Данное неравенство решим по второму способу , т.е. получаем .Ответ: .

Большинство неравенств я, решала по второму способу, потому что считаю, что этот способ легче и понятнее.

 Метод потенцирования

Суть метода в следующем: с помощью формул неравенство  привести к виду .

Решение неравенств вида основано на том, что функция (a>0, а 1и x>0)  является убывающей при 0<a<1 и возрастающей  при a>1. 
Таким образом, справедливы следующие утверждения:

1)         при a>1.

2)          при 0<a<1.

Решение нестрогих неравенств отличается от решения соответствующих строгих неравенств включением во множество всех решений множества корней соответствующих уравнений.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Так как 0<0,3<1, то решаем неравенство по второй системе:

.

                                      -1                  2               5                          Ответ:  .

2) Решить неравенство: .

Решение: Так как , то решаем данное неравенство по аналогии второй системы, только знак первого неравенства системы меняем.

.   

Ответ: .

3) Решить неравенство: .

Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10>1,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого неравенства системы меняем на противоположный.

.

                  

                7/3                   4

Ответ: .

   Покажем, как  используются логарифмические неравенства  для решения  задач на нахождение  области определения функции  или множества значений данной  функции.

Для нахождения области определения  логарифмической функции  необходимо найти множество значений при которых выполняется условие . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам:

I этап – находят все значения х, при которых ;

II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию.

4) Укажите длину промежутка  области определения функции:

.

Решение:

а) Найдем значения х, при которых , .

б) Найдем область определения функции: .

Перепишем полученное неравенство  так: .

Так как основание логарифма , то решаем по системе 2).

в) Пересекая полученные промежутки, получаем .

Таким образом, длина  промежутка области определения  данной функции равна 1.                                                                                  

 Ответ: 1.

 При нахождении  области значений функции  необходимо,  прежде всего, найти множество значений функции , а затем на основании свойства логарифмической функции указать область значений . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов:

I этап – находим область значений ;

II этап – находим область значений ;

III этап – выполняем дополнительные требования.

5) Указать наименьшее  значение функции:  .

Решение:

а) Определим множество значений функции: . Выделив полный квадрат, получим:

.

Так как  для всех действительных х, то  .

б) Таким образом, поскольку , а - возрастающая   функция, то .

в) Область значений функции представляет собой луч .

г) Наименьшее значение на этом луче равно 3.                 

  Ответ: 3.

6) Решить неравенство:  .

Решение:

Для наглядности решения  построим график функции  .

t			1	2	4	8
y	-2	-1	0	1	2	3

 

Из рисунка видно, что  функция принимает положительные  значения при  .

Далее, учитывая область  определения функции  , получим:

.

Ответ: .

Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых задаются неравенствами  с использованием логарифмических функций.

7) Изобразить на плоскости  (х;у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

Решение: Данное неравенство  равносильно совокупности двух систем:

.

Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2), (рис 1 – 2) .

 

 

                                         Рис 1.                                                                        Рис 2.

Ответ: Рис 3.

               

 

 

Рис 3

При решении логарифмических  неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.

8) Решить неравенство: .

Решение: Ключевым моментом в решении  данного неравенства является поиск  его области определения.

Выяснили, что область определения  неравенства состоит только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие  из этих точек удовлетворяют неравенству.

При логарифмическое неравенство принимает вид:

  - истинно.

При логарифмическое неравенство принимает вид: - ложно.                                                                                   

Ответ: .

Метод подстановки

Ищем в неравенстве  некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В некоторых случаях, очевидно что удобно обозначить.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Сразу отметим, что x>0 .

Заменяем  . Тогда имеем , (t+2)(t-1) , т.е. .

Так как  и , то имеем:

 

С учетом ОДЗ (x>0), получаем .

Ответ: .

2) Решить неравенство:  .

Решение: Заменяем = . Тогда получим:   .

      

            +               -               +

                     -3              1             

С учетом ОДЗ (x>0), получаем .

Ответ: .

3) Решить неравенство:  .

Решение: Заменяем .

Тогда .

Введем новое обозначение: , так как , значит .

В итоге имеем: .

             +               -               +

                      -6              5                   .

Так как  , то .

, значит  .

Далее учитывая равенство  , получим .

Ответ: .

 

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного неравенства.

4) Решить неравенство:  .

Решение: Неравенство  равносильно системе:

Заменяем  >0, получим неравенство:

.

             +              -                +

                    -2               3                .

Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные значения:

  .

Ответ: .

5) Решить неравенство:  .

Решение: Отметим, что x>0. Неравенство запишем в виде:

.

1. Если , то

         .

Заменяем  . Тогда имеем .

                +      -        +         

                   -3        1

Так как , то имеем:

                                 0                1    

                                                                                              2

В первом случае получили: (0; ).        

2. Если x>1,  то .

Заменяем  .

Тогда имеем: .

              +              -                +

                     -3               1

Так как  , то

                            1

                                             2 

Во втором случае получили: (1;2).

Ответ: (0; ) .

 Метод приведения  к одному основанию

Обычно условие примера  подсказывает, к какому основанию  следует перейти. Как правило, метод  приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Обозначим  , тогда данное неравенство примет вид:

.

Приведем логарифмы к одному основанию:

.

Заменяем  .

Тогда имеем  .

            +              -               +

                                                   .

1. Так как , то имеем ,

Поскольку основание  логарифма больше 1, то данное неравенство  равносильно системе двух неравенств:

2. .

   Так как , то имеем совокупность двух показательных неравенств:

Ответ: .

2) Решить неравенство:  .

Решение:

ОДЗ:

Приведем логарифмы к одному основанию:

.

Домножим обе части неравенства на .

Рассмотрим два случая: 1)   2)

Решим первый случай, когда  .

(*) (Знак неравенства не меняется, т.к.  ).

Основание логарифма больше 1, значит неравенство (*) равносильно системе  неравенств:

          +             -                +

                 -1               4                    .

                 -1      1              4             .

В первом случае получаем: .

Теперь рассмотрим второй случай, когда 

(**) (Знак неравенства изменился  на противоположный).

Неравенство (**) равносильно  системе неравенств

          -1        0      1          4             

Как мы видим решение  второго случая .

Во втором случае получили: .

Ответ: .

3) Решить неравенство:  .

Решение:

ОДЗ:

Все слагаемые приведем к одному основанию:

.

 

Воспользуемся свойствами логарифма  и получим:

, т.к.  , то .

, D<0, числитель дроби всегда >0, значит и знаменатель должен быть >0.

                        Ответ: .

4) Решить неравенство:  .

Решение:

Приведем обе части  неравенства к одному основанию

.

Так как основание  степени  , то имеем:

.

Функция определена при

Заменяем  .

Тогда имеем: .

        +             -             +

                1              5               .

Данное неравенство  равносильно совокупности двух неравенств:

Так как основание  логарифма больше 1, то:

Ответ: .

 Метод логарифмирования

При решении неравенств вида    обычно следуют следующей схеме:

1. Находят ОДЗ неравенства,  исходя из того, что на ОДЗ  функции f(x) и g(x) определены и положительны.