Математическая логика. 2

Содержание

Введение………………………………………………………………………    2

Глава 1. Элементы математической логики………………………………..     3

1.1.           Строение и виды теорем……………………………………………….   3

1.2.           Высказывания…………………………………………………………..   4

1.3.           Отрицание………………………………………………………………   7

1.4.           Неопределенные высказывания……………………………………….   9

1.5.           Знаки общности и существования…………………………………….   10

Глава 2. Необходимые и достаточные условия……………………………..   16

2.1. Необходимые и достаточные условия…………………………………..   16

2.2. Обратная и противоположная теоремы………………………………….  22

Глава 3. Примеры………………………………………………………………  28

Заключение……………………………………………………………………..  35

Список используемой литературы …………………………………………..   36

Введение

Я выбрала тему «Необходимые и достаточные условия» потому, что считаю, что она очень интересна и в то же время очень сложна для изучения. Часто бывает, что студенты не понимают о чем идет речь, как и где использовать данные понятия. Собрав много дополнительной информации, прочитав интересные книжки, я постараюсь подробно рассказать о необходимых и достаточных условиях, представленных в данной работе.

  Необходимые и достаточные условия обладают наибольшей познавательной ценностью. В сложных математических проблемах разыскание удобных для пользования Необходимыми и достаточными условиями бывает иногда чрезвычайно трудным. В таких случаях достаточные условия стараются сделать, возможно, более широкими, т. е. охватывающими возможно большее число случаев, в которых интересующий нас факт всё ещё имеет место, а необходимые условия — возможно более узкими, т. е. охватывающими возможно меньше лишних случаев, в которых изучаемый факт уже не имеет места. Таким образом, достаточные условия постепенно сближаются с необходимыми.

Целью работы является, изучение литературы по данной теме, подбор подходящих, разнообразных интересных примеров и задач и применение их на практике.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1.      Раскрыть суть и содержание необходимых и достаточных условий.

2.      Рассмотреть и проанализировать примеры и их решения.

3.      Сделать выводы по проделанной работе.

В курсовой работе были использованы учебники по элементарной математике, математической логике, которые очень помогли мне разобраться в данной теме и наиболее полно раскрыть ее.

Глава 1. Элементы математической логики .

1.1. Строение и виды теорем.

Из школьного курса известно, что теорема – предложение, истинность которого доказывается на основе других предложений (этой же теории), доказанных ранее (т.е. на основе ранее доказанных теорем) или же принятых без доказательства в качестве исходных предложений (аксиом).

Теоремы часто формулируются в виде импликаций.

Импликативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать).

Если импликация р  q выражает некоторую теорему, то основание р импликации выражает условие, а следствие q – заключение теоремы.

Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную.

Приведем несколько примеров.

1.              Известная теорема о среднем арифметическом и среднем пропорциональном двух неравных положительных чисел имеет следующую структуру:

p1p2p3  q –

( a ≠ b)  (a > 0)  (b > 0)  a + b /2 > √ab .

2.              Теорема «Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб» имеет структуру:

p1    p2  q,

где p1 - «Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны»;

p2 - «(Диагонали параллелограмма) делят его углы пополам»;

q – «Этот параллелограмм – ромб».

3.              Теорема о средней линии трапеции имеет структуру:

p  q1q2,

где p – «Четырехугольник – трапеция»;

q1 – «Его средняя линия параллельна основаниям»;

q2 - «(Его средняя линия) равна полусумме оснований».

В приведенных примерах структур теорем мы опустили «кванторные приставки». Подразумевается, что теорема о среднем арифметическом и среднем пропорциональном имеет место для любых двух неравных положительных вещественных чисел.

Таким образом, полная запись этой теоремы включает два квантора общности:

( a, b  R) * [(a ≠ b)  (a > 0)  (b > 0)  a + b/2 > √ab]

Во втором примере теорема имеет место для любого параллелограмма, в третьем – для любого четырехугольника.

Теоремы могут иметь и более сложные структуры, включающие разноименные кванторы, как, например, теоремы о существовании и единственности.

Так, предложение о существовании и единственности решения уравнения ах = b множестве R вещественных чисел запишется так:

( a, b  R)  [а ≠ 0  (!х) (ах = b)].

Теорема о существовании двух различных вещественных корней квадратного уравнения запишется так:

( a, b, c  R)  [a ≠ 0  b2 – 4ac  > 0  ( x1, x2  R) (x1 ≠ x2  ax12 + bx1 + c = 0  ax22 + bx2 + c = 0)].

Далее речь пойдет о необходимых и достаточных условиях. Но для этого нужно рассмотреть дополнительную вспомогательную информацию, которая поможет нам узнать все о необходимых и достаточных условиях.

1.2. Высказывания.

В математике мы имеем дело с различными высказываниями. Вот некоторые примеры:

А ≡{число 100 делится на 4}

B ≡{число 17 делится на 8}

C ≡{три меньше пяти}

D ≡{число 2 является единственным корнем уравнения x2-4=0}.

Сразу же видно, что в некоторых из этих высказываний утверждается нечто правильное; такие высказывания называются истинными. В других же из приведенных выше высказываний утверждается нечто неверное; такие высказывания называются ложными. В приводимой ниже таблице поставлена буква И под обозначением истинных высказываний  и буква Л под обозначением ложных высказываний:

Указанные выше высказывания мы обозначали большими латинскими буквами. Так мы будем обозначать высказывания и в дальнейшем.

Всякое высказывание является предложением и может быть выражено словами. Однако при записи высказываний математики пользуются не только буквами, но и специальными математическими знаками. Каждый знак заменяет собой слово (или даже несколько слов). Используются знаки для сокращения записи. Например, высказывание C можно с помощью знаков записать следующим образом 3<5.

Мы уже говорили, что всякое высказывание является предложением. Однако далеко не каждое предложение является высказыванием в математическом смысле. Вот несколько предложений, которые высказываниями не являются:

1)     Число 0,00000001 очень мало,

2)     Существует ли число, квадрат которого равен 2?

3)     x > 2,

4)     х + 5 = 12.

Первое из этих предложений не является высказыванием потому, что оно не имеет точного смысла и мы не можем сказать, истинно оно или ложно. Один скажет, что число это в самом деле очень мало, другой же с этим не согласится. Второе предложение вообще ничего не утверждает, а содержит вопрос. Бессмысленно говорить, истинно оно или ложно.

Наконец, третье и четвертое предложения содержат букву х. При одних значениях х получается истинное высказывание, при других ложное. Значит, в таком виде (пока не сказано, чему равен х) мы не можем сказать, истину или ложъ выражают эти предложения. Заметим, что не о всяком высказывании можно сразу же, только услышав его, ответить, истинно оно или ложно. Речь идет о принципиальной возможности решить вопрос, истинно оно или ложно данное высказывание, хотя для ответа на этот вопрос, может быть надо сделать столько действий, что и жизни человеческой не хватит.

Вот два примера высказываний, вопрос об истинности которых принципиально может быть решен, но требует огромного количества вычислений:

Е ≡ {число (1263728 + 1515 876)2387 + (11135 933 - 1891183)4914 + 4 является простым},

G ≡ {в записи числа  √2= в виде бесконечной десятичной дроби √2 = 1,41421… на 1 000 000-м месте после запятой стоит цифра 7}.

Предложения E и G мы также считаем высказываниями, поскольку принципиально возможно ответить на вопрос истинны они или ложны.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

Никакое выказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

Предложение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.

1.3. Отрицание.

Из всякого высказывания А можно получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не имеет места, не выполняется. Отрицание высказывания А обозначается символом ┐А. Запись ┐А читается как «отрицание высказывания А» или, короче, «не А».

Отрицание высказывания можно получить, сказав: «утверждение А места не имеет « или «А не выполняется». Однако в ряде случаев отрицание можно получить еще проще. Если, например, высказывание А выражается простым предложением с одним сказуемым, то для получения его отрицания ┐А нужно лишь добавить к сказуемому частицу «не». Приведем примеры высказываний и их отрицаний:

1)     А ≡ {число 23 делится на 7},

    ┐А ≡ {число 23 не делится на 7};

2)     В ≡ {3>5}  (т.е. три больше пяти),

               ┐В ≡ {три не больше пяти} (т.е 3≤5);

3)     С ≡ {5 + 3 = 8},

               ┐С ≡ {5 + 3  ≠ 8};

4)     D ≡ {30 (есть) простое число},

               ┐D ≡ {30 не (есть) простое число}.

Рассмотрим теперь вопрос об истинности высказываний А и ┐А. Если высказывание А истинно (т.е. то, что утверждается в этом высказывании, действительно имеет место), то высказывание ┐А, утверждающее, что А места не имеет, ложно. Итак, если А истинно, то  ┐А ложно. Наоборот, если А ложно, то высказывание ┐А (как раз и утверждающее, что А места не имеет) истинно. Итак, если А ложно, то ┐А истинно.

Мы видим, что, каково бы ни было высказывание А, из двух высказываний А, ┐А одно является истинным, а другое ложным.

Например, из высказываний, указанных выше, ┐А, ┐В, ┐С, ┐D истинны, а А, В, ┐С, D ложны.

Самый простой прием образования отрицания заключается, как мы отмечали, в том, что к сказуемому добавляется частица «не». Например:

А ≡ {11 делится на 3},

┐А ≡ {11 не делится на 3}.

Однако этот простой прием будет неприменим, если само высказывание уже является отрицательным, т.е. уже содержит частицу «не» перед сказуемым. Рассмотрим, например, высказывание

В ≡ {18 не делится на 5}.

Для образования отрицания ┐В мы уже не можем добавить еще одео отрицание к сказуемому (т.е. не можем сказать: «18 не не делится на 5»). Поэтому отрицание приходится формулировать так:

┐В ≡ {высказывание «18 не делится на 5» места не имеет}.

Но что означает это утверждение? Оно означает, что 18 делится на 5, т.е. отрицание ┐В можно проще сформулировать так:

┐В ≡ {18 делится на 5}.

Таким образом, если в некотором высказывании В перед сказуемым уже стоит отрицательная частица «не», то для образования отрицания ┐В достаточно выбросить частицу «не».

Пусть теперь А – произвольное высказывание. Его отрицание ┐А также является высказыванием. Значит, можно рассматривать и его отрицание, т.е. высказывание ┐┐А. Оно называется двойным отрицанием высказывания А. Его можно сформулировать словами так: утверждение о том, что высказывание А не выполняется, места не имеет. Но это по смыслу ничем не отличается от утверждения о справедливости самого высказывания А.

Более точно, двойное отрицание ┐┐А истинно в том и только в том случае, если истинно само высказывание А (т.е. если А истинно, то и ┐┐А истинно, а если А ложно, то  и ┐┐А ложно).

Это правило называется законом отрицания отрицания.

1.4. Неопределенные высказывания.

Будем обозначать через N множество всех натуральных чисел. Через x условимся обозначать произвольное натуральное число, т.е. произвольный элемент множества N. Рассмотрим теперь следующие предложения:

А(x) ≡ {число х делится на 5},

В(х) ≡{x > 10},

С(х) ≡ {х – простое число},

D(х) ≡ {(х – 5)2 < 10}.

Предложения А(х), В(х), С(х), D(х) высказываниями не являются. Действительно, об истинности, например, А(х) мы ничего не можем сказать, пока нам неизвестно число х. Однако, подставляя в А(х) вместо х различные натуральные числа, мы будем получать высказывания о натуральных числах – иногда истинные, иногда ложные. Подставляя в А(х) вместо х различные натуральные числа, мы получаем, например, следующие высказывания:

А(5) ≡ {число 5 делится на 5}- истинное высказывание,

А(13) ≡ {число 13 делится на 5}- ложное высказывание

и т.д. Можно составить следующую таблицу истинности для этих высказываний:

Указанные выше предложения А(х), В(х), С(х), D(х), содержащие переменное х, можно назвать неопределенными высказываниями (в математике их называют также предикатами). Каждое из них выражает некоторое свойство натурального числа х. Например, С(х) выражает свойство быть простым числом, А(х) – свойство делиться на 5 и т.п. Если вместо х подставить любое натуральное число, то мы получим обычное высказывание.

Неопределенное высказывание может быть задано на любом множестве, а не только на множестве натуральных чисел. Оно представляет собой высказывание о каком-то элементе х рассматриваемого множества. Для одних элементов эти высказывания истины, для других – ложны.

Часто приходится рассматривать неопределенные высказывания, в которых входит не одно, а два или большее число переменных. Рассмотрим, например, следующие предложения, в которых под х и у понимаются произвольные натуральные числа:

А(х,у) ≡ {х<у},

В(х,у) ≡ {х+у = 10},

С(х,у) ≡ {х делится на у}

D(х,у) ≡ {х + у – простое число}.

Мы ничего не можем сказать об истинности или ложности этих утверждений, пока нам не указано, какие значения принимают х и у. Но если точно указано, чему равны х и у, каждое из сформулированных утверждений превращается в высказывание – для одних пар (х,у) истинное, для других ложное. Вот примеры высказываний, получающихся из указанных предложений при конкретных значениях х и у:

А(1;3) ≡ {1 < 3} – истинное высказывание,

А(2;2) ≡ {2 < 2} – ложное высказывание,

А(5;4) ≡ {5 < 4} – ложное высказывание,

В(1;3) ≡ {1 + 3 = 10} – ложное высказывание,

В(8;2) ≡ {8 + 2 =10} – истинное высказывание    и т.д.

1.5. Знаки общности и существования.

Отрицание представляет собой операцию над высказываниями (или над неопределенными высказываниями). При помощи этой операции из любого, например неопределенного, высказывания А(х) можно получить новое неопределенное высказывание  ┐А(х) – его отрицание.

Большое затруднение у учащихся вызывает нахождение правильной формулировки отрицания  ┐А в том случае, когда высказывание А содержит слова «все», «каждый», «хотя бы один», «найдется», «существует» и т.п.

Пусть, например, высказывание А имеет вид:

А ≡ {каждое простое число нечетно}.

На вопрос о том, каково будет отрицание этого высказывания, многие отвечают, что отрицанием будет высказывание

В ≡ {каждое простое число четно}.

Легко убедиться в том, что здесь ошибка, поскольку ни одно из этих высказываний не является истинным. Правильным будет следующий ответ:

┐А ≡ {не каждое простое число нечетно},

иными словами,

┐А ≡ {найдется (существует) простое число, которое четно},

или еще

┐А ≡ {хотя бы одно простое число четно}.

Это высказывание истинно: существует (только одно!) четное простое число, а именно 2.

Сравним два только что рассмотренных высказывания:

А ≡ {каждое простое число нечетно},

┐А ≡ {хотя бы одно простое число четно}.

Мы видим, что если отбросить начальные слова в формулировках, то высказывание А будет иметь вид {…простое число нечетно}, а его отрицание  ┐А будет иметь вид {…простое число четно}, т.е. вторая часть высказывания просто заменится ее отрицанием. Но очень важно заменить, что при этом первое слово «каждое», стоявшее в высказывании А, заменится в высказывании  ┐А словами «хотя бы одно» (или словом «найдется» или «существует»). Этот факт является общим, и его понимание может избавить от многих неприятных ошибок. Итак, если высказывание А начинается со слов «все», «каждый», «любой» и т.п., то для получения отрицания  ┐А надо либо, ничего не меняя, поставить отрицание «не» перед этими словами, либо же поставить отрицание «не» после этих слов, но тогда эти слова непременно надо заменить на «хотя бы один», «найдется», «существует» и т.п. Разумеется верно и обратное: если в начале высказывания стоят слова «хотя бы один», «найдется», «существует», то при постановке отрицания «не» после этих слов они заменяются на «все», «каждый», «любой». Еще раз подчеркнем, что это происходит при постановке отрицания «не» после  указанных слов. Если же отрицание «не» добавляется (или выбрасывается) перед указанными выше словами, то никакой замены слов не происходит.

Пример:

А ≡ {каждое из чисел a, b, c делится на 7},

┐А ≡{не каждое из чисел a, b, c делится на 7},

или иначе:

┐А ≡ {хотя бы одно из чисел a, b, c не делится на 7}.

Пример:

А ≡ {никакой ромб не может быть вписан в окружность}.

Это высказывание можно сформулировать иначе:

А ≡ {не существует ромба, который может быть вписан в окружность}.

Поскольку здесь «не» стоит впереди, для получения отрицания можно просто отбросить это «не»:

┐А ≡ {существует ромб, который может быть вписан в окружность}.

Пример:

А ≡ {во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной точке},

┐А ≡ {не во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной точке},

или иначе

  ┐А ≡ {найдется треугольник, в котором три медианы не пересекаются в одной точке}.

Иногда используют специальные знаки , . Первый из них (знак общности ) заменяется в словесных формулировках словами всякий, каждый, любой, все. Второй знак  (знак существования) заменяется в словесных формулировках словами существует, найдется, какой-нибудь, хотя бы один. Именно, если Р(х) – некоторое неопределенное высказывание, заданное на множестве М, то запись

(х)Р(х)

означает: для любого элемента х (из множества М) имеет место Р(х). Эта запись уже представляет собой высказывание (а не неопределенное высказывание). Это высказывание истинно, когда Р(а) истинно для каждого элемента а множества М, и ложно в противном случае. Иными словами, чтобы убедиться в истинности высказывания (х)Р(х), нужно перебрать все элементы a, b, c … множества М и убедиться, что все высказывания Р(а), Р(b), Р(c), … истинны (а если мы не можем или не хотим перебрать все элементы множества М, то должны доказать с помощью некоторого рассуждения, что для любого элемента а из М высказывание Р(а) истинно). Для того же, чтобы убедиться в ложности высказывания (х)Р(х), достаточно найти лишь один элемент а множества М, для которого высказывание Р(а) ложно. Иначе говоря, для того, чтобы убедиться в ложности некоторого общего высказывания (т.е. высказывания, содержащего знак общности ), достаточно найти один противоречащий пример.

Пример:

Возьмем следующее неопределенное высказывание, заданное на множестве N всех натуральных чисел:

С(х) ≡ {число 2(2 ) + 1 - простое}.

При х = 1,2,3,4 мы получаем следующие высказывания

С(1) ≡ {число 2(2 ) + 1 = 5 - простое},

С(2) ≡ {число 2(2 ) + 1 = 17 - простое},

С(3) ≡ {число 2(2 ) + 1 = 257 - простое},

С(4) ≡ {число 2(2 ) + 1 = 65537 - простое}.

Все эти высказывания истинны. Но можем ли мы из этого заключить, что истинно высказывание (х)С(х), т.е что для любого натурального n число 2(2 ) + 1 будет простым? Нет, конечно, для такого заключения у нас нет оснований. Ведь мы же не перебрали все натуральные числа, да и не можем этого сделать, так как множество натуральных чисел бесконечно. Интересно, что известный французский математик Пьер Ферма был убежден в справедливости высказывания (х)С(х) и пытался найти общее доказательство этого факта. Однако другой известный математик, Леонард Эйлер, показал, что высказывание С(5) ложно (т.е. что число 2 (2 ) + 1 = 232 + 1 не является простым: оно делится на 641). Таким образом, высказывание (х)С(х), вопреки мнению Ферма, оказалось ложным. Этот пример показывает, что проверка истинности высказывания (х)Р(х) для отдельных значений х не может заменить общего доказательства. Напротив, один противоречащий пример, найденным Эйлером, показывает ложность высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывание (х)D(х), где D(х) – следующее неопределенное высказывание, заданное на множестве N всех натуральных чисел:

D(х) ≡ {число х3 + 5х делится на 6}.

Легко проверить, что высказывания  D(1), D(2), D(3), D(4), D(5) истинны. Тот же результат будет получаться, если мы будем продолжать проверку дальше. Но мы уже знаем, что проверкой для отдельных значений х мы не можем установить истинность высказывания (х)D(х). Даже если мы испытаем миллион значений х, всегда остается опасность, что для миллион первого значения х утверждение D(х) окажется ложным. Доказательство истинности высказывания (х)D(х) можно провести, например, следующим образом. Мы имеем:

х3 + 5х = х3 – х + 6х = х(х2 – 1) + 6х = (х – 1) х(х + 1) +6х.

Но из трех последовательных чисел х – 1, х, х + 1 обязательно одно делится на 3 и одно или два делятся на 2. Следовательно, произведение их делится на 6. Таким образом, и сумма (х – 1) х(х + 1) +6х = х3 + 5х при любом натуральном х делится на 6. Но это и означает истинность высказывания (х)D(х).

Перейдем теперь к знаку существование . Если Р(х) – некоторое неопределенное высказывание, то запись

(х) Р(х)

означает: существует элемент х множества М, для которого имеет место Р(х) (или иначе: найдется хотя бы один элемент х, для котрого имеет место Р(х)).

Запись (х) Р(х) не является неопределенным высказыванием, а представляет собой высказывание. Это высказывание истинно, если можно в множестве М найти элемент а, для которого Р(а) истинно. В противном случае (т.е. если в М нет ни одного элемента а,для которого высказывание Р(а) истинно) высказывание (х) Р(х) ложно.

Пример: Рассмотрим следующее неопределенное высказывание, заданное на множестве N всех натуральных чисел:

С(х) ≡ {х3 – 14х2 + 49х – 1 <0}.

При х = 1, 2, 3, 4 мы получаем следующие высказывания:

С(1) ≡ {13 – 14*12 + 49*1 – 1 < 0 (т.е. 35<0},

С(2) ≡ {23 – 14*22 + 49*2 – 1 < 0 (т.е. 49<0},

С(3) ≡ {33 – 14*32 + 49*3 – 1 < 0 (т.е. 47<0},

С(4) ≡ {43 – 14*42 + 49*4 – 1 < 0 (т.е. 35<0}.

Все эти высказывания ложны. Но можем ли мы из этого заключить, что ложно высказывание (х) С(х), т.е. что так и не найдется натурального n, для которого высказывание С(n) истинно? Нет, конечно, для такого заключения у нас нет оснований. Сколько бы мы чисел ни перебрали, всегда остается возможность, что где-то дальше найдется число n, для которого С(n) истинно.

Продолжим наши пробы дальше:

С(5) ≡ {53 – 14*52 + 49*5 – 1 < 0 (т.е. 19<0},

С(6) ≡ {63 – 14*62 + 49*6 – 1 < 0 (т.е. 5<0},

С(7) ≡ {73 – 14*72 + 49*7 – 1 < 0 (т.е. -1<0}.

Мы видим, что высказывания С(5) и С(6) ложны, а С(7) истинно. Итак, мы нашли такое n (а именно n=7), для которого высказывание С(n) истинно. Следовательно, (х) С(х) – истинное высказывание.

Разумеется, метод проб является далеко не наилучшим для проверки истинности высказывания (х) Р(х) (где Р(х) – некоторое неопределенное высказывание). Ведь «благоприятное» значение n (для которого Р(n) истинно) может встретиться где-то очень далеко, и нахождение этого n методом проб будет мучительной работой. А может случиться, что высказывание Р(n) ложно для всех n, и тогда метод проб вообще ни к чему не приведет. Поэтому более предпочтительным является общее рассуждение. Например, в рассматриваемом случае можно было рассуждать так:

х3 – 14х2 + 49х – 1 = х(х2 – 14х + 49) – 1 = х(х – 7)2 – 1.

Отсюда видно, что при х=7 этот многочлен принимает значение -1 (так как слагаемое х(х - 7)2 обращается в нуль). Итак, высказывание С(7) имеет вид -1 < 0, т.е. истинно, а потому истинно и высказывание (х) С(х).

Глава 2. Необходимые и достаточные условия.

2.1. Необходимые и достаточные условия.

Рассмотрим какую-либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.

Возьмем, например, теорему Пифагора. Мы рассматриваем некоторый прямоугольный треугольник ABC; c – гипотенуза треугольника, a и b – его катеты. Теорема утверждает, что имеет место соотношение c2 = a2 + b2. Условие теоремы здесь можно записать в виде следующего неопределенного высказывания:

М ≡ {в треугольнике ABC угол С - прямой}.

Заключение теоремы:

N ≡ { c2 = a2 + b2}.

При таком обозначении условия и заключения теорема Пифагора может быть выражена краткой записью:

М→N.

Эта запись означает, что из М следует N. Иными словами, если для некоторого треугольника истинно высказывание М, то истинно и высказывание N. Разумеется, высказывание М не всегда истинно – не всякий треугольник является прямоугольным. Но если высказывание М истинно, если известно, дано, что треугольник ABC – прямоугольный (а его стороны обозначены, как указано выше), то высказывание N также истинно. Это и выражается словами «из М следует N».