Математическая модель

Введение

В прикладных областях различают следующие виды абстрактных  моделей:

1. традиционное (прежде всего для теоретической физики, а также механики, химии, биологии, ряда других наук) математическое моделирование без какой-либо привязки к техническим средствам информатики;
2. информационные модели и моделирование, имеющие приложения в информационных системах;
3. вербальные (т.е. словесные, текстовые) языковые модели;

4)  информационные (компьютерные) технологии, которые надо делить. Итак, укрупненная классификация абстрактных (идеальных) моделей такова:

1) Вербальные (текстовые)  модели. Эти модели используют  последовательности предложений  на формализованных диалектах  естественного языка для описания  той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения).

2) Математические  модели - очень широкий класс знаковых  моделей (основанных на формальных  языках над конечными алфавитами), широко использующих те или  иные математические методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

3) Информационные  модели - класс знаковых моделей,  описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование  и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

Граница между  вербальными, математическими и  информационными моделями может  быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

Существуют  и иные подходы к классификации  абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась. В частности, есть тенденция резкого расширения содержания понятия «информационная модель», при котором информационное моделирование включает в себя и вербальные, и математические модели.

Основное содержание данной курсовой работы связано с прикладными математическими моделями, в реализации которых используются компьютеры. Это вызвано тем, что внутри информатики именно компьютерное

математическое  и компьютерное информационное моделирование  могут рассматриваться как ее составные части. Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически; использование компьютеров и соответствующих технологий обработки информации стало неотъемлемой и необходимой стороной работы физика, инженера, экономиста, эколога, проектировщика ЭВМ и т.д. Неформализованные вербальные модели не имеют столь явно выраженной привязки к информатике  ни в принципиальном, ни в технологическом аспектах.

Математическая  модель выражает существенные черты  объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Путь математического  моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ , нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое  моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В данной курсовой доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование). Наконец, понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как

1. все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований;
2. результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций». При этом компьютер - незаменимое средство.

1 Основные понятия теории моделирования

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта – оригинала с помощью объекта – модели.

Всем моделям присуще наличие  некоторой структуры (статической  или динамической, материальной или  идеальной), которая подобна структуре  объекта – оригинала. В процессе работы модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте. Если результаты такого исследования (моделирования) подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Процесс моделирования предполагает наличие:

1. объекта исследования; исследователя, имеющего конкретную задачу;
2. модели, создаваемой для получения информации об объекте, необходимой для решения задачи. По отношению к модели исследователь является экспериментатором. Одним из наиболее важных аспектов моделирования систем является проблема цели. Любую модель строят в зависимости от цели, которую ставит перед ней исследователь, поэтому одна из основных проблем при моделировании – это проблема целевого назначения. Подобие процесса, протекающего в модели, реальному процессу является не самоцелью, а условием правильного функционирования модели. Если цели моделирования ясны, то возникает следующая проблема, - проблема построения модели. Это построение оказывается возможным, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров исследуемого объекта.

Когда модель построена, то следующей проблемой является проблема работы с ней, реализация модели. Здесь основные задачи – минимизация  времени получения конечных результатов  и обеспечение их достоверности. Для правильно построенной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы – оригинала, несущественные в данный момент.

2 Этапы и цели компьютерного математического моделирования

Здесь рассматривается процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью

Первый этап – определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1)  модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2)  модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3)  модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним это  на примерах. Пусть объект исследования – взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же произошло, обусловив уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции  двух видов особей, имеющих общую  кормовую базу, “вдруг” начинают резко  менять численность – и здесь математическое моделирование позволяет (с известной долен достоверности) установить причину (или, по крайней мере, опровергнуть определенную гипотезу).

Математическая модель выражает существенные черты-объекта  или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира. Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование  как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели.

Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

3 Принципы моделирования

Моделирование является универсальным принципом  человеческого познания. В глубокой древности, чтобы узнать, сколько  будет овец в стаде, если соединить  две отары, заменяли овец камешками  или палочками и пересчитывали  их вместо овец. Потом появился абак, предшественник счетов, а затем и сами счеты, за ними механический калькулятор, электронный калькулятор, компьютеры. Как бы ни ушел далеко в техническом отношении современный компьютер от счетов или горстки камешков, принцип действия в них один – пересчитываются дискретные величины.

Моделирование широко применяется в науке. Прежде чем поднять самолет в воздух, модель его целиком и по частям обдувают в аэродинамической трубе. В медицинских экспериментах  моделью человека выступают животные. Наука и искусство являются для человека моделью окружающего мира, в т.ч. его самого.

Принцип моделирования  весьма прост. Пусть имеется объект А над которым человек собирается совершить некоторые действия, напр., управлять им. Объект А подвергается внешним воздействиям, множество которых обозначим как вектор Х_А. Элементы этого множества назовем входными величинами. Состояние объекта описывается множеством параметров, которое обозначим как вектор Y_А, элементы его назовем выходными величинами. Изменение во времени Y_А под воздействием Х_А назовем поведением. Y_А=F(Х_А), т.е. поведение объекта есть функция внешних воздействий. Именно она интересует исследователя. Выявление этой функции на самом объекте может быть затруднено по разным причинам (опасно для жизни,  дорого,  медленно и т.п.). Тогда исследователь находит другой объект В, похожий на А (В~А), помещает его в условия, аналогичные условиям А (Х_В~Х_А), и выявляет Y_В (поведение объекта В). Все сказанное означает, что В является моделью А. На основании сходства между объектами и условиями исследователь заключает, что поведение объекта А будет аналогично поведению его модели В  (Y_А~Y_В).

Важнейшая проблема моделирования  – адекватность (соответствие, совпадение) модели оригиналу. К модели предъявляются  противоречивые требования. С одной стороны, она должна по возможности полнее совпадать с оригиналом; чем больше такое совпадение, тем ценнее знание, полученное при исследовании модели. С другой стороны, модель должна быть как можно более простой, чтобы с ней было легче оперировать. В разрешении этого противоречия и состоит проблема адекватности модели.

Абсолютно адекватен  оригиналу только сам оригинал. От модели не требуется такого абсолютного  совпадения. Она должна соответствовать  оригиналу только в главном, существенном, в том, что интересует исследователя;  все несущественное должно быть отброшено.

Математическая  модель – это описание объекта  на математическом языке. Математика –  мощный инструмент, применимый к любым  отраслям человеческой деятельности. Можно выделить три главных этапа математического моделирования.

Сначала объект исследуется  методами конкретной науки (физики, экономики, медицины и т.д.). Затем его существенные свойства описываются на математическом языке, т.е. создается математическая модель. Теперь можно забыть о физическом, экономическом или ином содержании модели и исследовать ее чисто математическими формальными методами. Когда получен математический результат, необходимо вернуться к конкретной науке и проверить его методами данной науки. Главная проблема на этом этапе  –  выявить содержательную связь между полученными результатами и исходными данными. Если такая связь не обнаруживается, то это возможно по двум причинам: либо неадекватна модель, либо допущена ошибка при математическом анализе. Следовательно, нужно исправить ошибку, либо реконструировать модель и снова проделать анализ. Возможно, придется несколько раз выполнить все эти процедуры, прежде чем будет получен удовлетворительный результат.

В математическом моделировании самое сложное  – увидеть в проблеме математическое содержание. Для этого требуется  хорошо понимать содержание проблемы и владеть необходимым математическим инструментарием.

Если проблема качественно уже хорошо определена, к ее решению можно применить сложные математические методы. Если же проблема только постепенно вырисовывается в сознании исследователя, приходится применять качественные методы анализа, опираясь на интуицию, а не дедукцию.

4. Моделирование в экономике

1. Математические методы и моделирование в экономики

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А.

Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является, проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

4.2 Математическое  моделирование в экономике

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить при- рост эффекта). Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта.

Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.
4. подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5) численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно

является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6)анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

4.3 Программирование в экономике

Программирование экономике всегда позволяло решать ряд экономических и социальных проблем, а также разрабатывать и внедрять механизмы способствующие развитию любой системы хозяйствования.

Программный метод, при всей своей важности, не должен распространяться на все стороны хозяйственной жизни, так как в этом случае он будет сходен с целевым народно-хозяйственным (государственным) планированием, а негативные аспекты такого управления известны. Программирование должно быть нацелено на решение основополагающих проблем экономики, тем более, что многообразие федерального хозяйства порождает определенные ограничения на применение одинаковых подходов ко всем субъектам хозяйствования. Необходимость внедрения программирования в экономику, обуславливается следующим:

• важнейшей целью управления государственным хозяйством должно стать, наряду с устойчивым экономическим ростом, увеличение личного потребления, которое будет являться постоянным стимулом для эволюционного развития экономики;
• в усложнившейся структуре национального хозяйства растет число комплексных проблем развития экономики. В ходе решения этих задач необходимо, наряду с производственно-технологическими вопросами, учитывать социальные, экологические, финансово-экономические, организационные аспекты;
• в последнее время, когда самой важной проблемой развития являлась стабилизация социально-экономической обстановки (выживание субъектов хозяйствования), практически не поднимались вопросы качественных изменений в экономике. Но рано или поздно возникнет задача перехода на интенсивный путь развития федерального хозяйства как условия существования всего производственного потенциала России.