Математическая школа и развитие математических методов анализа экономики

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ 1. Роль математической школы в экономических исследованиях XIXв.

1.1 Предмет и методы математических  школ XIXв.

1.2 Формирование категорийного аппарата, расширяющего использование математических методов анализа

1.2.1. Теория предельной полезности

1.2.2. Теория  общего экономического равновесия

ЧАСТЬ 2. Математический анализ в экономике.

2.1 Методы математического анализа  в современной экономической  теории.

    2.1.1. Математическое моделирование

    2.1.2. Математический анализ

2.2. Формирование новых дисциплин.

    2.2.1. Эконометрика

    2.2.2. Математическая экономика

    2.2.3. Исследование операций

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ

Проникновение математики в  экономическую науку связано  с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в  связи с потребностями физики и техники. Но главные причины  лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых  экономической наукой, может быть охарактеризовано таким понятием, как сложная система.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между  системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень  сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и  связей с другими системами (природная  среда, экономика других стран и  т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют  природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование  невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка  зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и  любой сложности. И как раз  сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность  математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических  и математических знаний, имеющейся  конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости  экономических проблем, всегда будут  существовать еще неформализованные  проблемы, а также ситуации, где  математическое моделирование недостаточно эффективно.

1.1 Предмет и методы  математических школ XIXв

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более 400 лет тому назад. В середине XV в. обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи: он предпринял попытку вывести общие закономерности подобия, использовал механическое и геометрическое подобие при анализе ситуаций в рассматриваемых им примерах. Он использовал понятие аналогии и обращал внимание на необходимость экспериментальной проверки результатов аналогичных рассуждений, на важность опыта, соотношения опыта и теории, их роли в познании. Идеи Леонардо да Винчи о механическом подобии в XVII веке развил Галилей, они использовались при построении галер в Венеции. В 1679 г. Мариотт использовал теорию механического подобия в трактате о соударяющихся телах. Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения самого понятия подобия были даны в конце XVII века И. Ньютоном в «Математических началах натуральной философии».  Конец XIX – начало XX века ознаменовались широким использованием математики в экономике. 

Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. В частности, была построена и исследована динамическая модель дуополии.

О вкладе О. Курно в развитие математического моделирования социально-экономических процессов, а также о препятствиях, ограничивающих распространение этого метода, замечательно сказал А. Маршалл  в предисловии своей книги «Принципы экономической науки»: «…когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений О. Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать свое излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно».

В последующие годы происходила  интенсивная математизация экономики. Например, в книге У. Джевонса «Краткое описание общей математической теории политической экономии», опубликованной в 1862 г., была изложена одна из первых версий теории полезности. О значении метода математического моделирования при исследовании экономических процессов во второй половине XIX века лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов этого периода «...только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики» М. Блауг.

Методология математического моделирования  окончательно утвердилась в экономике  к началу XX века, когда усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджуорта и др. классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Говоря о классической экономике, обычно подразумевают работы ученых-экономистов, которые в соответствии с традицией, идущей от Д. Рикардо, исследовали вопросы общего экономического равновесия. Отметим, что, независимо от уровня использования математического аппарата, экономисты-классики В. Пети, Д. Рикардо и др. и их последователи при обосновании теоретических выводов применяли системный подход, четко выражая свои представления о причинно-следственных связях между различными элементами конкурентной системы в целом.

Расширение использования математических методов при исследовании экономических процессов способствовало развитию системного подхода. Например, Л.Вальрас считал, что все социальные явления – религия, политика, экономика и духовная жизнь – тесно связаны между собой . Это соответствует современному пониманию того, что экономика является подсистемой целостной системы социально-экономических отношений, вследствие чего изучение собственно экономики и предсказание траектории ее развития на перспективу должно опираться на анализ объекта более общей природы – социально-экономической системы.

Успешные приложения математики в  экономике стимулировали применение метода математического моделирования  и в других общественных науках. Например, Ф. Эджуортом была опубликована книга «Математическая психология», а В. Парето были разработаны основы теории элит.

1.2.1. Теория предельной  полезности

Одним из основных постулатов классической политической экономии являлось положение, что в основе стоимости  и цены товаров лежат затраты  труда (или, в другом варианте — издержки производства). Но одновременно продолжала жить идея, идущая еще от Аристотеля, что меновая стоимость и цена товара определяется интенсивностью желаний  вступающих в обмен лиц, “звездный  час” которой относится к периоду 70—80-х годов девятнадцатого века. Этот период вошел в историю экономической  мысли под названием “маржиналистской революции”. Термин “маржиналистская революция” используется, когда говорят  о независимом открытии в 70-х годах  девятнадцатого века К.Менгером ,С. Джевонсом и Л.Вальрасом принципа снижающейся предельной полезности. Суть этого принципа или закона - полезность, которую приносит каждая последующая единица данного товара (называют предельной полезностью) меньше полезности предыдущей единицы товара. Анализ предельных приращений полезностей товаров и означал переход в экономической науке к анализу предельных величин, анализу дифференциальных уравнений и производных. Но если бы появился только новый метод исследований, вряд ли можно было бы с полным правом говорить о происшедшей революции. Что гораздо существеннее, изменился сам предмет исследований.

Со времен А. Смита основными  направлениями исследований в экономической  науки были вопросы обеспечения  роста общественного богатства, анализ роли различных факторов производства в этом процессе. Можно с полным основанием сказать, что классическая политическая экономия исследовала  процессы экономики на макроуровне, особое внимание уделяя проблемам экономического роста, то есть экономической динамики. Маржиналистская же революция ознаменовала собой переход экономических исследований с макроэкономического уровня на микроэкономический. Центральными вопросами экономической науки стали вопросы исследования поведения экономических субъектов (потребителя и фирмы) в условиях ограниченных ресурсов. Экономика впервые стала наукой, которая изучает взаимосвязь между данными целями и данными ограниченными средствами. Сутью экономической науки стал поиск условий, при которых производственные услуги распределяются с оптимальным результатом между конкурирующими целями.

Нас интересует связь новых  подходов, которые провозгласила  маржиналистская революция с  концепцией ценообразования. Наиболее полно этот вопрос разработан представителями  “австрийской школы”. Они ввели  в экономическую науку понятие  субъективной полезности (ценности), и  выдвинули ее в качестве основы ценообразования. Чтобы лучше понять логику их рассуждений, следует уточнить разницу между  объективной и субъективной полезностью. Первая представляет собой способность служить для человеческого благополучия. Субъективная же полезность или ценность представляет собой значимость данной вещи для благополучия данного человека. Следовательно, может иметь место ситуация, когда вещь обладает полезностью, но не обладает ценностью. Ценностью блага обладают в том случае, если их не хватает для удовлетворения соответствующих потребностей, в противном случае материальные блага ценности не имеют.

Первым из представителей “австрийской школы” это положение  развил К. Менгер. ), Он сформулировал принцип снижающейся полезности. Согласно этому принципу стоимость (ценность) какого-либо блага определяется той наименьшей полезностью, которой обладает последняя единица запаса. При этом при определении ценности материальных благ должна браться за основу не шкала видов потребностей, а шкала конкретных потребностей данного конкретного человека. Для иллюстрации этого положения уместно привести таблицу, которая так и называется “таблица Менгера”.

ТАБЛИЦА МЕНГЕРА

В этой таблице вертикальные ряды, отмеченные римскими цифрами обозначают различные виды потребностей и их значение в нисходящем порядке: 1 — представляет собой самый важный вид потребности, например, в пище; V — вид потребностей средней важности, например, потребность в спиртных напитках, Х — самый маловажный вид потребностей. Цифры же в пределах каждого вертикального ряда (арабские цифры) иллюстрируют уменьшение настоятельности данной потребности по мере ее насыщения в порядке убывания от 10 к 1.

Из таблицы видно, что  конкретная потребность более важного  вида может оказаться стоящей  ниже отдельных конкретных потребностей менее важного вида. К примеру, восьмая единица первого вида потребностей будет представлять меньшую  ценность или меньшую значимость для благополучия субъекта, чем первая единица седьмого вида потребностей. Уменьшение же ценности благ по мере увеличения их количества представители австрийской  школы связывали с “глубоко укоренившимся  свойством человеческой натуры”, когда  одного и того же рода ощущения, повторяясь беспрерывно, начинают доставлять нам  все меньше и меньше удовольствия, и наконец, удовольствие это превращается даже в свою противоположность —  в неприятность и отвращение. Таким  образом, в теории ценности австрийской  школы, она может представлять и  отрицательную величину. Здесь мы видим формулировку закона убывающей  предельной полезности.

Другими словами, высота предельной полезности определяется двумя факторами: субъективными (потребности) и объективными (количеством благ), которое в  рамках рассуждений австрийской  школы остается раз и навсегда данным.

1.2.2 Теория общего экономического равновесия

По мнению некоторых исследователей в области истории экономической  мысли, Л.Вальрас (1834—1910) является величайшим экономистом девятнадцатого столетия. Такое признание он заслужил за разработку системы общего рыночного равновесия, которая получила название замкнутой модели экономического равновесия, изложенной в его основной работе “Элементы чистой политической экономии” (1874).

Вальрас сделал попытку создания замкнутой  математической модели общего экономического равновесия на базе принципа субъективной полезности и посылки, что все  экономические субъекты производства делятся на две группы: владельцы  производительных услуг (земли, труда  и капитала) и предпринимателей. Экономические связи между ними Вальрас выразил через систему  взаимосвязанных уравнений. Под  домохозяйствами подразумеваются  собственники факторов производства (труда, капитала, земли) под предприятиями  — покупатели факторов производства и одновременно производители товаров  и услуг. Как видим, у Вальраса владельцы производительных услуг  являются одновременно продавцами указанных  услуг и покупателями предметов  потребления а предприниматели — покупателями производительных услуг и продавцами потребительских продуктов. Таким образом, производство и потребление оказываются связанными посредством двух взаимодействующих рынков: рынков производительных услуг (или факторов производства) и потребительских продуктов.

Предложение производительных услуг  и спрос на продукты увязываются  следующим образом: предложение  производительных услуг рассматриваются  как функция рыночных цен на эти  услуги, а спрос на продукты —  как функция цен производительных услуг (так как они определяют доходы собственников факторов производства) и цен этих продуктов.

Безусловно, рынки факторов производства и продуктов взаимосвязаны, но откуда следует, что они находятся в состоянии равновесия? Чтобы ответить на данный вопрос, давайте проследим движение ресурсов и продуктов в натуральной и денежной форме. Начнем с домохозяйств. Собственники факторов производства продают их на рынке ресурсов, получая доход, который представляет собой ни что иное, как цены факторов производства. С полученными доходами они идут на рынок продуктов, обменивая их на необходимые товары и услуги. Обратим внимание на то, что в схеме Вальраса домохозяйства полностью тратят свои доходы, то есть сумма полученных доходов равна сумме потребительских расходов, в силу чего накопление отсутствует. Предприятия же, в свою очередь, также связаны с рынком ресурсов и продуктов. Однако то, что для домохозяйств является доходами (цены факторов производства), для предприятий являются издержками, то есть выплатами владельцам факторов производства, которые они покрывают за счет валовой выручки от продаж товаров и услуг на рынке продуктов. Круг замкнулся. В модели Вальраса цены факторов производства равны издержкам предприятий, которые равны валовой выручке предприятий, а последние, в свою очередь, равны потребительским расходам домохозяйств. Другими словами, равновесное состояние рынков означает, что спрос и предложение производительных услуг равны, существует постоянная устойчивая цена на рынке продуктов, и продажная цена продуктов равна издержкам, которые представляют собой цены факторов производства.

Модель Вальраса, хотя и является логически завершенной, носит чересчур абстрактный характер, так как  исключает многие важные элементы реальной экономической жизни.

Кроме отсутствия накопления, к числу  чрезмерных упрощений следует отнести:

— статичность модели (предполагается неизменность запаса и номенклатуры продуктов, а также неизменность способов производства и потребительских предпочтений),

— предположение о существовании совершенной конкуренции и идеальной информированности субъектов производства.

Иными словами, проблемы экономического роста, нововведений, изменения потребительских  вкусов, экономических циклов остались за пределами модели Вальраса. Заслуга  Вальраса скорее в постановке проблемы, чем в ее решении. Она дала толчок экономической мысли к поиску моделей динамическою равновесия и экономического роста. Развитие идей Вальраса мы находим в работах американского экономиста В.Леонтьева, чья алгебраическая теория анализа модели “затраты — выпуск” в сороковые годы двадцатого века дала возможность численного решения больших систем уравнений, получивших название “балансовых”. Однако первым экономистом, который исследовал вопросы динамического развития в рамках неоклассической теории явился Й.Шумпетер.

2.1.1.Математическое  моделирование

Моделирование — исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Главные функции модели - упрощение получения информации о свойствах объекта; передача информации и знаний; управление и оптимизация  объектами и процессами; прогнозирование; диагностика.

Математическая модель — это математическое представление     реальности.

Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Этапы построения математических моделей

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется  и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Выделяют следующие основные этапы  построения моделей.

1. Содержательное описание моделируемого объекта. Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы.
2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них.
3. Проверка адекватности модели. Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. После предварительной проверки приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта.
4. Корректировка модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.
5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности.

2.1.2. Математический  анализ

В настоящие время в экономике все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций

Интегральный  метод. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных моделей. В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в  своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная  производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

Метод логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними .При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом. В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые  виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Способ долевого участия.  Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Теория игр. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач  в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе  линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Также существуют ещё иные методы:

• Матричный метод

• Метод сетевого планирования

• Экстраполяционный анализ

• Метод линейного программирования

• Теория массового обслуживания

2.2.1 Эконометрика

Современная экономическая теория, как на микро, так и на макро  уровне, постоянно усложняющиеся  экономические процессы привели  к необходимости создания и совершенствования  особых методов изучения и анализа. При этом широкое распространение  получило использование моделирования  и количественного анализа. На базе последних выделилось и сформировалось одно из направлений экономических  исследований – эконометрика.

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Задачей данной работы является рассмотрение эконометрики как науки в целом, то есть рассмотрение ее объекта, принципов, целей и задач в частности.

Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Эконометрика - совокупность методов анализа связей между различными экономическими факторами на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики.

 Эконометрическое моделирование реальных социально-экономических процессов и систем обычно преследует два типа конечных прикладных целей (или одну из них): 1) прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы; 2) имитацию различных возможных сценариев социально-экономического развития анализируемой системы (многовариантные сценарные расчеты, ситуационное моделирование).

Объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей  проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и  с помощью методов математической статистики.

Эконометрические модели и методы сейчас - это не только мощный инструментарий для получения новых  знаний в экономике, но и широко применяемый  аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе. Развитие информационных технологий и специальных прикладных программ, совершенствование методов  анализа сделали эконометрику мощнейшим  инструментом экономических исследований.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения только характерных черт. Наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа экономики “затраты - выпуск”. Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства.

 Цели и задачи  эконометрики

Методологическая особенность  эконометрики заключается в применении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться  нетождественными тому содержанию, которое  вкладывается в реальный объект. Поэтому  важная задача эконометрики - создание как более универсальных, так  и специальных методов для  обнаружения наиболее устойчивых характеристик  в поведении реальных экономических  показателей.

2.2.2 Математическая  экономика

Математическая  экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Математическая экономика  — новация ХХ века. Именно тогда  возникло понимание того, что экономические  проблемы требуют совершенно нового математического аппарата.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с  потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли  засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и  потребности экономики в математических расчетах. Математическая экономика занимается формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим несложный пример, демонстрирующий применение математических моделей.