Математические задачи электроэнергетики

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НАУЧНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИРКУТСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра электроснабжения и электротехники

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

Математические задачи электроэнергетики

 

 

 

 

 

 

                                                                                                 

                                                                                                              Выполнил:

                                                                                                             Шевель И.В.

                                                                                                            гр.ЭСз-09-1

                                                                                                          Проверил:

                                                                                                              Акишин Л.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2012

Содержание

 

1.Применение матричной алгебры и теории графов в электроэнергетике                              3

   1.1Некоторые сведения из теории матричной алгебры                                                          3

 

2.Теория графов в  электроэнергетике                                                                                       10

    2.1Геометрический образ электрической сети                                                                    10

 

3.Методы решения систем алгебраических уравнений                                                           17

  3.1 Методы решения систем линейных уравнений                                                               17

 

4.Решение систем нелинейных уравнений                                                                                31

  4.1 Понятие о системах нелинейных уравнений и методах их решения                              31

 

5.Задачи                                                                                                                                         38

  

 

 

1.Применение матричной алгебры и теории графов

 в электроэнергетике

1.1 Некоторые сведения из теории матричной алгебры

 

Классификация матриц

 

Система m n чисел, действительных или комплексных, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов называется матрицей

                           .

где    a_ij – элементы матрицы;

          i = 1, 2, 3,…., m – номера строк;

          m – число строк в матрице;

          j = 1, 2, 3,…., n – номера столбцов;

          n – число столбцов.

Для   матрицы  часто  используется   сокращенная   запись         ,          где    m·n – размерность матрицы.

          Если  m = n (m ≠ 1, n ≠ 1), то матрица называется квадратной.

          Если  m ≠ n (m ≠ 1, n ≠ 1), то матрица называется прямоугольной.

          Если  m = n = 1, то матрица - скаляр.

          Если  m = 1, а n ≠ 1,  то матрица называется вектор-строкой

                 .

          Если  n = 1, а m ≠ 1,  то матрица называется вектор-столбцом

                               .

Матрица нулевого порядка смысла не имеет.

Квадратная матрица, у  которой диагональные элементы не равны  нулю, а все недиагональные элементы равны нулю, называются диагональной

 

Диагональная матрица, у которой все ненулевые элементы равны единице, называется единичной и обозначается Е

                                  .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О

.

Определитель

 

Определитель (или детерминант) является важной числовой характеристикой квадратной матрицы, обозначается через или det A и вычисляется по известным правилам. Классический способ вычисления (первый способ)

,

где  q₁,q₂,…,q_n – произвольная перестановка вторых индексов;

П – число беспорядков в перестановке вторых индексов.

Число  слагаемых  произведений  равно числу возможных перестановок вторых индексов, т.е. равно n!,   где n - порядок квадратной матрицы.

Пример:

	Возможные перестановки вторых индексов	Число беспорядков
	1) 1  2  3	П=0
	2) 1  3  2	П=1
	3) 2  1  3	П=1
	4) 2  3  1	П=2
	5) 3  1  2	П=2
	6) 3  2  1	П=3

 

 

 

Число слагаемых произведений при вычислении Δ возрастает стремительно с увеличением n:

n = 2  2! = 2

n = 3  3! = 6

n = 4  4! = 24

n = 5  5! = 120

n = 6  6! = 720

Вычислять Δ классическим способом сложно и поэтому применяют  другие способы.

Вычисление Δ для матрицы второго порядка (n = 2).

Два частных способа вычисления Δ для матриц только третьего порядка (n = 3).

	Слагаемые произведения со знаком +
	Слагаемые произведения со знаком -

                               

2)

Указанные схемы вычисления Δ для  матриц второго и третьего порядков основаны на использовании геометрического расположения элементов в матрицах, что неприменимо для матриц более высокого порядка.

Миноры и  алгебраические дополнения

 

Минором М_ij элемента а_ij матрицы А, называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением  называется минор, вычисляемый по формуле:

.

Второй способ вычисления определителя

 

Определитель матрицы любого порядка  равен сумме произведений элементов  любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения:

по i-й строке                          i =1, 2, …, n

по j-му столбцу         j =1, 2, …, n

 

Пример:

Дана матрица  .     Надо вычислить Δ.

По строке:                

                     

или     

или     

 

По столбцу:

 

или     

или     

Обычно для вычисления Δ по 2-му способу выбирается строка или столбец, которые содержат больше нулевых элементов, чтобы уменьшить число слагаемых произведений. Согласно схеме вычислений определителя матрицы n-го порядка по 2-му способу необходимо найти определители для матрицы (n-1)-го порядка. Очевидно, что для их нахождения в свою очередь можно использовать ту же схему вычислений и перейти к нахождению определителей матрицы  (n-2)-го порядка. И так далее до тех пор, пока не дойдет до матрицы 3-го или 2-го порядка, для которых мы уже умеем вычислять определители.

Третий способ вычисления определителя

 

Самый лучший способ вычисления определителя для матриц большой  размерности и если элементы являются нецелыми числами, заключается в преобразовании данной квадратной матрицы к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда у полученной после преобразования матрицы все элементы сверху или снизу главной диагонали являются нулевыми

 

.

 

Определитель искомой квадратной матрицы А равен произведению диагональных элементов полученной треугольной матрицы

                               .

Преобразование квадратной матрицы  к треугольному виду рассмотрим позднее («прямой ход» методом Гаусса).

Действия с  матрицами

 

   1.    Сумма и разность матриц.

Могут складываться и  вычитаться матрицы только одинакового типа.

 

Из сложения матриц вытекают следующие  свойства:

 

1) А+(В+С)=(А+В)+С;

2) А+В=В+А;

3) А+0=А.

 

           2.     Умножение матрицы на скаляр.

Отсюда: 1) 1А=А;   2) 0А=0;

3) α (β А) = (α_β) А;  4) αА +  βА = (α+β) А;

5) α (А+В) = αА +  αА;

 

         3.    Умножение матриц   А * В = С.

 

              

 

Перемножать матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк  второй матрицы, т.е. g=p, а число строк первой матрицы и число столбцов второй матрицы могут быть любые, т.е. m≠n. Результатом будет матрица С размерностью mn, элементы которой

                                    

Для вычисления элемента, стоящего в  i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства:

1. А(ВС)=(АВ)С;
2. α(АВ)=(αА)В;
3. (А+В)=АС+АВ.

Запомнить, что в общем случае 4) АВ≠ВА.

Пример:

 

В тех частных случаях, когда  АВ=ВА, матрицы А и В называются перестановочными. Например, единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка.

АЕ=ЕА=А.

Единичная матрица Е играет роль единицы при умножении.

Транспонированная матрица

Если в матрице  строки и столбцы поменять местами, то получим транспонированную матрицу.

Свойства:

1. дважды транспонированная матрица равна исходной

А^{‌ ‌} = (А^‌ )^‌ = А;

2. (А+В)^‌ =А^‌ + В^‌ ;
3. (АВ)^‌ =В^‌ А^‌ , т.е. (АВ)^‌ ≠ А^‌ В^‌ ;
4. Если А^‌ =А, то матрица А^‌ - симметричная

(а_ij = a_ji)

 

Обратная матрица

 

Обратной матрицей по отношению  к данной квадратной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обозначим для матрица А обратную ей матрицу через А^-1.

АА^-1=А^-1А=Е.

         Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной или сингулярной. Обратная матрица имеет только у неособенной матрицы.

Пусть имеем матричное  равенство

АС=В.

Умножим правую и левую часть  равенства на обратную матрицу А^-1

                                         А^-1АС= А^-1В.

Поскольку известно, что А^-1А=Е, то

                                               ЕС= А^-1В.

И поскольку известно, что ЕС=С, то

                                                  С= А^-1В.

        То есть, мы равенство АС=В преобразовали в равенство С= А^-1В, выразив матрицу С.

Если бы у нас были простые алгебраические числа а, b и с, то аналогичные преобразования были бы следующие: .

Сравнив преобразования для алгебраических чисел и матриц, видим, что обращение матрицы соответствует действию деления. Поэтому понятна необходимость в обратной матрице, в ее вычислениях.

Алгоритм получения обратной матрицы

 

1. Вычисление det A;
2. Транспонирование матрицы ;
3. Определение алгебраических дополнений А_ji, j=1, N; i=1, N;
4. Составление союзной матрицы ;
5. Вычисление обратной матрицы

;

6. Проверка А^-1А=Е.

 

Существуют другие, более  удобные способы вычисления обратной матрицы, например, методом Жордана – Гаусса, с которым познакомимся позднее.

Классический метод получения  обратной матрицы

 

Пусть данная матрица:

.

Транспортируем ее  .

Найдем для каждого  элемента а_ji транспортированной матрицы А^Т алгебраические дополнения А_ji.

Теперь составим для  матрицы А так называемую присоединенную (или союзную) матрицу

                                      .

 

Обратная матрица будет  равна

                               .

Например: найти обратную матрицу  для матрицы третьего порядка.

 

.

Основные свойства обратной матрицы

 

1. Учитывая, что det(AB)=detA∙ detB, можем записать detA^-1 detA=detE=1.

Отсюда 

.

Определитель обратной матрицы  равен обратной величине определителя исходной матрицы.

2. (АВ)^-1=В^-1А^-1

3. (А^-1)=(A¹)^-1.

2.Теория графов в электроэнергетике

2.1 Геометрический образ электрической сети

Схема замещения электрической сети (или системы) может быть представлена как граф. Вершинами графа при этом являются узлы электрической сети, а ветвями - элементы электрической сети (линии и трансформаторы). Граф сети характеризует ее конфигурацию. Если каждой ветви задать направление, то такой граф называется направленным. Для аналитического представления графа сети необходимо пронумеровать узлы, ветви и независимые контуры, выбрать положительное направление обхода каждого контура (рис.4).

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4. Граф электрической сети

Граф называется полным, если все  вершины (узлы) графа соединены (связаны) ветвями друг с другом. Число ветвей в полном графе определяется по формуле , где R – число узлов. В таблице 1 приведено число ветвей в полных графах с различным числом узлов.

Число узлов R	2	3	4	5	6	10	100	1000
Число ветвей n	1	3	6	10	15	45	4950	49950

Минимально связанный граф, содержащий в себе всю совокупность вершин графа, называется деревом. Число ветвей в  дереве n=R-1. В сложном графе (n>R-1) можно наметить несколько деревьев. На заданном графе жирными линиями выделено одно из возможных деревьев. Ветви, не вошедшие в дерево и дополняющие его до заданного графа, называются хордами. Хорды образуют с ветвями дерева контуры. Дерево контуров не содержит. При расчетах используют такие понятия:

1. число независимых узлов (R-1);
2. число независимых контуров, определяемое по формуле к=n-(R-1)=n-R+1.

Направленный граф схемы однозначно описывается двумя матрицами  инциденций (или соединений). Зная эти  матрицы можно нарисовать граф.

Первая матрица инциденций М (узлов и ветвей) представляет собой таблицу, каждая строка которой соответствует одному из узлов, а каждый столбец одной из ветвей. В клетках таблицы проставляется “0”, если ветвь не связана с узлом, которому соответствует строка. Если ветвь связана с узлом, то ставится “+I” или “-I” в зависимости от выбранного направления ветви. Если данный узел является началом ветви, то ставится “+I”, если же ветвь входит в данный узел, который считается концом этой ветви, то ставится “-I”.

				ветви
			1	2	3	4	5	6
	у	1	-1	-1	-1	0	0	0
М =	з	2	+1	0	0	-1	0	0
	л	3	0	+1	0	0	-1	0
	ы	4	0	0	+1	0	0	-1	4 х 6
		5	0	0	0	+1	+1	+1

Информация, которая содержится в  последней 5-й строке, является избыточной. Схема имеет только (R-1) независимый узел, поэтому последняя строка, соответствующая узлу R, который называется балансирующим, должна быть отброшена. Отброшенную избыточную строку легко можно восстановить, если известны (R-1) строк.

				ветви
	к
	о		1	2	3	4	5	6
N =	т	I	-1	0	0	-1	1	0
	у	II	1	0	-1	1	0	1	2 х 6
	р
	ы

Вторая матрица инциденций N определяет связь между ветвями и контурами. Для сложной электрической сети можно выбрать разные сочетания  независимых контуров, поскольку общее число контуров в графе больше. Информация, записываемая для большего числа контуров по сравнению с числом независимых контуров, является избыточной.

Необходимо знать, что выбираемое сочетание независимых контуров должно обязательно содержать все ветви графа. В матрице N строки соответствуют независимым контурам, а столбцы ветвям. Если ветвь не входит в рассматриваемый контур, то на пересечении соответствующих строки и столбца ставится “0”. Если ветвь входит в рассматриваемый контур, то ставится “+1” или “-1”.“+1” соответствует совпадению направления ветви и направления обхода контура. “-1” ставится в случае противоположных направлений у ветви и контура.

Уравнения законов Ома  и Кирхгофа в матричной форме

     Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Запишем основные матрицы, используемые при расчетах режимов в электрической  системе. Будем помнить, что комплексные  величины обозначаются точкой сверху.

1. Вектор-столбец токов в ветвях графа сети              2. Вектор-столбец узловых токов

                                                                      

3. Матрица сопротивлений ветвей графа является диагональной матрицей, если недиагональные элементы равны нулю при отсутствии взаимоиндуктивности между ветвями. Диагональные элементы равны сопротивлениям соответствующих ветвей.

 

 

		ветви
Zb=	в е т в и		где - комплексное сопротивление i-й ветви

Произведение матрицы сопротивлений  ветвей Z_b на матрицу токов в ветвях позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде

- закон Ома в матричной форме при отсутствии ЭДС в ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций М на вектор-столбец ветвей графа сети

МIb=

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное как алгебраическая сумма токов, проходящих к первому узлу. Эта сумма равна узловому току, т.е. . То же самое справедливо для остальных элементов матрицы произведения. Следовательно, можно записать

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций N на матрицу падений напряжений в ветвях .

N=	I
	II

 

 

Первый элемент матрицы есть не что иное, как сумма падений напряжений при обходе по ветвям первого контура. Мы знаем, что эта сумма при отсутствии ЭДС в ветвях равна 0, т.е. - второй  закон Кирхгофа для первого контура.

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

        или           .

“Прямой ” расчет токораспределения  в электрической сети

Заключается в том, что составляется система линейных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и решается известным Вам методом:

         число  уравнений (R – 1) + (n – R + 1) = n

      

Расчет  называется “прямым”, потому что токи вычисляются без каких-либо предварительных преобразований уравнений первого и второго законов Кирхгофа. “Прямой” способ обычно не применяется, так как не очень сложные предварительные преобразования позволяют получить эквивалентную систему уравнений с меньшим числом уравнений и более однородных по виду, что облегчает численное решение системы. Это достигается при использовании методов узловых напряжений и контурных токов. Отметим, что, как правило, при расчетах время преимущественно расходуется на решение систем уравнений.

Метод узловых напряжений для расчета токораспределения

В этом методе токи в ветвях определяются через разность напряжений в узлах. Число узлов в схемах обычно меньше числа ветвей, поэтому порядок решаемой системы будет меньше, чем при определении токов “прямым” способом.

                                                                                                                   (1)

    - система узловых уравнений         (2)

Обратная матрица 

М^t – транспонированная матрица М в случае, когда базисный узел системы совпадает с балансирующим.

Базисный узел – это узел, для  которого напряжение задается перед  расчетом.

Балансирующий узел – это узел, мощность которого равна алгебраической сумме мощностей всех остальных узлов в системе, т.е. он является балансирующим по мощности (здесь проявляется закон единства производства и потребления электроэнергии, сколько выработано, столько и должно быть потреблено).

В случае, если базисный узел не совпадает с балансирующим, то вместо М^t в формуле (1) ставится , которая может быть получена из избыточной первой матрицы инциденций М, т.е. содержащей строку для балансирующего узла, путем вычеркивания строки, отвечающей базисному узлу.