Математическая теория общественного выбора

Министерство образования Российской Федерации

Федеральное агентство  по образованию

ФГБОУ ВПО Ивановский Государственный Университет

Физико-математический факультет

Кафедра прикладной информатики

 

 

 

 

Курсовая работа

по курсу "Экономико-математическое моделирование"

на тему «Математическая теория общественного выбора»

 

 

ИГУ 061800.6004.09 ООО

 

                                                                           Руководитель работы:

     _____________Савина А.М.      

                                                                  "____"___________2012г.

    Исполнитель:

                                                          Студентка гр. 10ПИ                                                                     _____________Гурова Л.С.

        "___"_____________2012г   

 

 

 

 

 

 

 

Иваново 2012

 

 

Целью курсовой работы является закрепление практических навыков моделирования макроэкономических процессов и систем с использованием современных пакетов прикладных программ и содержательной экономической интерпретации результатов.

Задание 1 состоит в построении производственной функции страны (СССР или России) – на основе заданной информации (3 модели, в том числе с учетом НТП) и проведении анализа.

Пояснительная записка должна содержать  обоснование выбора спецификации производственной функции и основных этапов анализа. Расчетная часть выполняется с использованием ППП "Statistica" диалоговой системы Stadia и др. и помимо листинга с результатами должна содержать комментарии, выводы, анализ.

Результатам расчетов должна быть дана содержательная экономическая интерпретация.

Задание 2 состоит в моделировании  экономического роста на основе трехсекторной модели. Предлагается в зависимости от варианта исследовать динамику сбалансированных состояний с одинаковыми пропорциями в распределении трудовых и инвестиционных ресурсов; динамику сбалансированных состояний по труду и материалам; динамику сбалансированных состояний по инвестиционным товарам и материалам; оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике.

 

 

 

Введение

 

Будучи подсистемой человеческого  общества, экономика в свою очередь  – сложная система, состоящая  из производственных (товаропроизводящих) и непроизводственных (товаропроводящих, финансовых и пр.) ячеек или хозяйственных  единиц, находящихся в производственно-технологических или организационно-хозяйственных связей друг с другом.

По отношению к экономической  системе каждый член общества выступает  в двоякой роли: с одной стороны  как потребитель, с другой – как  работник. Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства. Накопленные средства производства производственной сферы представляют собой производственные фонды. В результате функционирования экономики за год все отрасли материального производства создают валовой внутренний продукт.

Существует много подходов к  установлению критерия общественного  выбора (или критерия оптимальности  экономик). Например. Ранее в модели Солоу и модели трехсекторной  экономики был использован критерий максимума среднедушевого производства (и потребления) предметов потребления. Разумеется, при использовании такого критерия игнорируются различия в душевом потреблении различных социальных групп. В моделях оптимального экономического роста используется критерий максимума дисконтированной общественной полезности.

Одним из подходов к определению  экономического оптимума является использование  оптимальности по Парето. Под оптимумом по Парето понимается такое состояние экономики, при котором невозможно допустимое перераспределение продукции и затрат, приводящее к увеличению полезности одних без уменьшения других.

После исключения всех состояний экономики, не оптимальных по Парето, вообще говоря, остается еще много состояний, оптимальных  по Парето. Выбор из этих оставшихся состояний является скорее социально-политической, чем экономической задачей, поскольку при этом приходится ранжировать полезности различных социальных групп. Ранжирование, сравнение полезности может быть осуществлено с помощью функции общественного благосостояния, в которую индивидуальные полезности входят с различными весами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Математическая  теория общественного выбора

 

Рассмотрим задачу общественного выбора в следующей форме: имеется два вида ресурсов, два вида товаров, два вида потребителей.

Для определенности под ресурсами  будем понимать основные производственные  фонды K и число занятых L, под товарами – продовольственные товары -   и непродовольственные товары - , под потребителями – два крупных социальных подразделения, вместе составляющих все общество. Эти подразделения различаются по своим предпочтениям в отношении товаров.

Каждый из двух товаров производится своим сектором экономики в соответствии со своей неоклассической производственной функцией.

при этом предполагается, что в  сектор экономики, производящий данный вид товара, включены все отрасли, подотрасли и производства, которые  не только выпускают товары данного  вида, но и обеспечивают их выпуск.

Например, в сектор экономики, производящей продовольственные  товары (продовольственный комплекс), входят следующие отрасли:

производящие – продовольственные отрасли сельского хозяйства (зерноводство, свекловодство, производство семян масличных культур, картофелеводство, овощеводство, плодоводство, чаеводство, животноводство в части производства мяса, молока, яиц, рыбоводство), речной, озерный, морской и океанический рыбный промысел;

перерабатывающие – пищевая и рыбная промышленность, торговля продовольственными товарами;

обеспечивающие – машиностроение для производящих и перерабатывающих отраслей производственных отраслей продовольственного комплекса, производство минеральных удобрений, средств защиты растений и животных, судостроение для рыбопромыслового флота.

Общие для продовольственного и непродовольственного комплексов отрасли (добывающие, металлургия, химия, металлообработка, энергетика, общее машиностроение, производственное строительство, грузовой транспорт, служебная связь и др.) распределяются между этими комплексами в соответствии с затратами ресурсов.

Предполагается, что фонды  и труд могут свободно перемещаться между продовольственными и непродовольственными секторами в соответствии с имеющимися наличными ресурсами K, L:

                           

                                 (1)

Общая картина выпуска товаров  и распределения ресурсов может  быть изображена на производственной диаграмме Эджворта-Боули. На этой диаграмме  показаны изокванты производственных функций обоих секторов в развернутых друг к другу системных координат:

Прямоугольник длины сторон которого соответствуют наличию ресурсов, может быть назван по этой причине прямоугольником распределения ресурсов. Каждая его точка имеет координаты в первой системе координат и координаты во второй системе координат. Поскольку длины сторон прямоугольника – К, L, то в любой его точке выполняются балансы ресурсов.

 

Рис. 1 – Прямоугольник  распределения ресурсов

 

Таким образом, каждая точка прямоугольника распределения ресурсов характеризуется  шестью показателями:

причем 

Поскольку производственные функции  секторов – неоклассические. То их изокванты – выпуклые функции (каждая в своей системе координат). При рассмотрении их на диаграмме Эджворда – Боули изокванты первой функции сохраняются выпуклыми, в то время как  изокванты второй функции в системе координат станут вогнутыми, поэтому каждая конкретная изокванта первой функции может находиться в следующих отношениях с конкретной изоквантой второй функции:

а) не пересекаться ни в одной точке;

б) пересекаться в одной точке;

в) касаться.

Кривая, составленная из точек касания  изоквант секторов, называется производственной кривой. Все точки этой кривой характеризуют такие состояния экономики, когда не может быть произведено больше какого-либо одного продукта без снижения производства другого. Таким образом, все точки, находящиеся на этой кривой,  оптимальны по Парето.

Все точки прямоугольника вне этой кривой не обладают таким  свойством. В самом деле, взяв любую  точку   А вне производственной кривой, мы можем двигаться вдоль  изокванты одной производственной функции в направлении к производственной кривой, при этом выпуск одного продукта будет постоянным (двигаемся по изокванте), а выпуск второго продукта будет возрастать.

Напротив, движение по производственной кривой (скажем, из точки    в точку ) приводит к возрастанию производства  одного продукта (производство первого продукта возрастает с до ) при убывании производства другого продукта (производство второго продукта убывает при этом с до ).

Из условия касания изоквант в некоторой точке    вытекает, что коллинеарен

                     

                   (2)

т.е. на производственной кривой предельные нормы замены ресурсов секторов равны.

Отобразим теперь все точки прямоугольника возможных распределений ресурсов на предыдущем рисунке  на плоскость  выпусков При этом каждому распределению ресурсов будет соответствовать только одна точка выпусков в первом квадранте т.е. это отображение однозначно, обратное отображение не однозначно.

На рисунке 2 представлен образ прямоугольника распределения ресурсов. Этот образ – множество точек первого квадранта, которое называют достижимой областью производственных возможностей.

При этом отображение участки изоквант, лежащие внутри прямоугольника, перейдут в отрезки прямых, параллельных координатным осям, отрезки    в отрезок ординаты, отрезки в отрезок абсциссы, производственная кривая – в криволинейный участок границы достижимой области. Эта криволинейная часть границы называется кривой производственных возможностей, в которой отобразились все распределения ресурсов, оптимальные по Парето. Эта кривая является убывающей и вогнутой, именно так она изображена на рисунке:

В самом деле, эта кривая в неявном  виде задается следующими решениями:

удобнее задать ее в непараметрической  форме (роль параметра выполняет  ):

                                  

               (3)

где - функция, задающая производственную кривую.

Функция   в дифференциальной форме удовлетворяет решению

                                 

                              (4)

при этом отношение частных производных удовлетворяет (2).

Согласно уравнению (4) в каждой точке ведет себя как изоклиналь, но условие (2) выделяет из всех изоклиналей данной изокванты ту, направление которой совпадает с направлением производственной кривой. Из (4) также видно, что поскольку предельные продукты положительны.

Используя параметрическую форму (3) и условие (2), получаем:

 

          

               (5)

поскольку выполнено (2) и предельные продукты положительны.

Таким образом, кривая производственных возможностей действительно убывает.

Точно так же находим

Из четырех агрегированных слагаемых  в последней фигурной скобке третье равно нулю вследствие (2) и четвертое  – равно нулю, поскольку в скобках стоит разность одинаковых слагаемых. Поэтому выражение для второй производной примет вид:

 

 

Поскольку матрицы Гессе (матрице  вторых производных) производственных функций отрицательно определены, то в выражения в квадратных скобках – отрицательны, а выражения в круглых скобках – положительны, так как предельные продукты положительны и >0, поэтому вторая производная отрицательна:

т.е. кривая производственных возможностей действительно вогнута.

Произведенные потребительские товары в объемах    (выпуски находятся на кривой производственных возможностей) должны быть распределены между первым и вторым (обобщенными потребителями):

                 

               (6)

(верхний индекс – номер потребителя).

Поведение каждого потребителя  определяется своей функцией полезности:       где

Общая картина распределения товаров может быть показана на диаграмме Эджворда-Боули (рис. 3).  На этой диаграмме изображены кривые безразличия обеих функций полезности в развернутых друг к другу системе координат:

Каждая точка прямоугольника распределения товаров, длины сторон которого равны объемам произведенных товаров, характеризуются шестью показателями  . При этом , , т.е. в любой точке выполнены балансы по произведенным товарам. Вместе с тем через эту точку проходят только одна кривая безразличия первого потребителя и одна кривая безразличия второго потребителя. 

Рис. 3 – Прямоугольник распределения  товаров

 

При указанном способе изображения  в координатной системе кривые безразличия первого потребителя – выпуклые, второго потребителя – вогнутые. Поэтому такие кривые могут находиться в следующих отношениях:

а) не пересекаются ни в одной точке;

б) пересекаются в двух точках;

в) касаться.

Кривая  оставленная из точек касания кривых безразличия потребителей, называется договорной кривой. Все точки этой кривой характеризуют такие состояния, когда не может быть увеличена полезность одного потребителя без снижения полезности другого. Таким образом, все точки, находящиеся на этой кривой, оптимальны по Парето.

Все точки прямоугольника вне этой кривой не обладают этим свойством. В  самом деле, возьмем любую точку  А вне договорной кривой и будем  двигаться по кривой безразличия одного из потребителей в направлении к договорной кривой, тогда полезность этого потребителя будет постоянной, в то время как полезность другого будет возрастать.

Из условия касания кривых безразличия  в точках на договорной кривой вытекает, что в этих точках предельные нормы замены первого товара на второй для первого и второго потребителя одинаковы:

                             

                                   (7)

На рисунке 3 в координатной системе  показана кривая производственных возможностей, в некоторой точке О₂ которой находится вершина прямоугольника распределения товаров.

Рис. 4 – Область полезностей

 

На рисунке 4 показано отображение  прямоугольника распределения товаров, изображенного на рисунке 3, на плоскость полезностей Получившаяся картина аналогична отображению прямоугольника распределения ресурсов на плоскость выпусков В самом деле, отрезки кривых безразличия перейдут в отрезки прямых, параллельных осям координат, договорная кривая – в кривую полезности, которая, как и кривая производственных возможностей, является убывающей вогнутой функцией. Таким образом, движение по кривой полезности связано с возрастанием полезности одного потребителя при убывании полезности другого. Образами характерных точек на плоскости выпусков являются точки на плоскости полезностей.

Таким образом, для точек  договорной кривой, для которых выполнено условие:

        (8)

 

изменение выпусков при движении точки по кривой производственных возможностей сопровождается сохранением полезностей обоих потребителей.

 

Точка А* (или несколько таких точек) на договорной кривой характеризуется тем, что в ней полезность одного потребителя (в нашем случае второго) максимальна при фиксированной полезности другого (в нашем случае первого). Эта точка перейдет в точку на кривой возможных полезностей (рис. 5). Все точки данной кривой полезности, для которых не выполнено условие (8), попадут внутрь области возможных полезностей.

 

 

Таким образом, все точки кривой возможных полезностей  характеризуются следующим свойством:  при заданной полезности одного потребителя полезность второго потребителя максимальна. Следовательно, уменьшение полезности одного потребителя приводит к увеличению полезности другого потребителя, т. е. все точки на кривой возможных полезностей являются оптимальными по Парето. Движение по этой кривой связано с перераспределением ресурсов и товаров. Выбор конкретной точки на этой кривой является задачей социально-политической, а не экономической, далее рассматривается один из возможных подходов к решению этой задачи.

С помощью введения функции благосостояния: , подлежащей максимизации, можно выбрать единственную функцию на кривой возможных полезностей. Предельные социальные значимости потребителей (т.е. производственные функции благосостояния) положительны и, вообще говоря, различны.

Реальное представление о действительном различии в потреблении различных  групп населения дает кривая Лоренца. На осях абсцисс и ординат показаны нарастающим итогом доли различных  социальных групп в общей численности населения и в общих доходах населения (группы ранжированы в порядке возрастания доходов на одного члена группы).

 

 

Площадь заштрихованной области характеризует степень  неоднородности распределения доходов и называется коэффициентом Джинни. При равномерном распределении этот коэффициент равен нулю.

Вернемся  к кривой возможных полезностей. Точка касания  на кривой возможных полезностей и некоторой линии уровня функции благосостояния и есть та единственная точка, которую мы выделяем из всех точек, оптимальных по Парето. Этой точке соответствует определенное социально-оптимальное распределение ресурсов и продукции.

Линии в пространстве выпусков продукции  , соответствующие линиям уровня благосостояния в пространстве полезностей, называются кривыми социального безразличия.

В случае конкурентной (децентрализованной) экономики условия оптимальности по Парето:

 

                                                   (9)

где - цены ресурсов.

Точно так  же в конкурентной экономике потребители  максимизируют свою полезность, что  требует касания кривой безразличии  и бюджетной линии. Поэтому условие оптимальности по Парето в распределении товаров дополняется условием максимизации полезности:

 

                                                                                           (10)

 

где - цены товаров.

 

Список используемых источников

 

 

1 Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике 

– М: Дело и Сервис, 2001, 156-173с.

2 Колемаев В.А. Математическая  экономика – М: ЮНИТИ, 2002, 14-52с.

3 Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому  моделированию – М: 

ЮНИТИ, 2001,  120-134с.