МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОТКРЫТЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине Математическая экономика      

на тему: Математические модели          
 
 

МОСКВА

2011 

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Современное состояние вопроса моделирования систем 4

1.1 Моделирование, как метод научного познания 4

1.2 Использование моделирования при исследовании и проектировании сложных систем 5

1.3 Особенности использования моделей 7

1.4. Классификация методов моделирования систем 9

Глава 2. Математические схемы моделирования систем 9

2.1  Основные подходы к построению математических моделей систем 10

2.1.1 Математические схемы 10

2.1.2 Формальная модель объекта 11

2.1.3 Типовые схемы 15

2.2 Непрерывно-детерминированные модели 16

2.3 Дискретно-детерминированные модели 19

2.4. Дискретно-стохастические модели 23

2.5. Непрерывно-стохастические модели 25

2.6. Комбинированные модели 27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31

СПИСОК ИСПОЛЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 32

Введение

       Нынешний  период развития человечества разнится тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит усиленное внедрение новых информационных технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать  формирование образования. Модифицируется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, содействующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с установленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно основываться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого особое место занимает модельный подход. Потенциалы модельного подхода весьма разнообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем. Сложные по внутренним связям и большие по количеству элементов системы экономически трудно поддаются прямым способам моделирования и зачастую для построения и изучения переходят к имитационным методам. Появление новых информационных технологий повышает не только возможности моделирующих систем, но и позволяет использовать большее многообразие моделей и способов их реализации. Улучшение вычислительной и телекоммуникационной техники привело к дальнейшему развитию методов машинного моделирования, без которых невозможно изучение процессов и явлений, а также построение больших и сложных систем.

Глава 1. Современное состояние вопроса  моделирования систем

       Моделирование (в широком смысле) является стержневым методом изучений во всех областях знаний и научно аргументированным  методом оценок характеристик сложных  систем, употребляемых для принятия решений в разнообразных сферах инженерной деятельности. Имеющиеся  и проектируемые системы можно  результативно исследовать с  помощью математических моделей (аналитических  и имитационных), реализуемых на современных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента  экспериментатора с моделью системы.

1. Моделирование, как метод научного познания

       В настоящее время нельзя назвать  область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не применялись бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где важнейшими являются процессы принятия решений на основе получаемой информации. Все то, на что устремлена человеческая деятельность, называется объектом . Выработка методологии устремлена на упорядочение приобретения и обработки информации об объектах, которые имеются вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой. В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т. е. определенные предсказания, базирующиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и контроле правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия.

       Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо заметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (отличия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

       Гипотезы  и аналогии, отображающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам; такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами, модель — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

       Замещение одного объекта другим с целью  получения информации о важнейших  свойствах объекта-оригинала с  помощью объекта-модели называется моделированием.

1.2 Использование моделирования при  исследовании и проектировании  сложных систем

       Одна  из проблем современной науки  и техники — разработка и внедрение  в практику проектирования новейших методов исследования. Характеристик сложных информационно-управляющих и информационно-вычислительных систем различных уровней (например, автоматизированных систем научных исследований и комплексных испытаний, систем автоматизации проектирования, АСУ технологическими процессами, а также интегрированных АСУ, вычислительных систем, комплексов и сетей, информационных систем, цифровых сетей интегрального обслуживания и т. д.). При проектировании сложных систем и их подсистем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных

       закономерностей процессов функционирования таких  систем, проведения структурного алгоритмического и параметрического их синтеза.

       Информационные  системы относятся к классу больших  систем, этапы проектирования, внедрения, эксплуатации и эволюции которых  в настоящее время невозможны без использования различных  видов моделирования. На всех перечисленных этапах для сложных видов различных уровней необходимо учитывать следующие особенности: сложность структуры и стохастичность связей между элементами, неоднозначность алгоритмов поведения при различных условиях, большое количество параметров и переменных, неполноту и недетерминированность исходной информации, разнообразие и вероятностный характер воздействий внешней среды и т. д. Ограниченность возможностей экспериментального исследования больших систем делает актуальной разработку методики их моделирования, которая позволила бы в соответствующей форме представить процессы функционирования систем, описание протекания этих процессов с помощью математических моделей, получение результатов экспериментов с моделями по оценке характеристики исследуемых объектов. Причем на разных этапах создания и использования перечисленных систем для всего многообразия входящих в них подсистем применив метода моделирования преследует конкретные цели, а эффективность метода зависит от того, насколько грамотно разработчик использует возможности моделирования Независимо от разбиения конкретной сложной системы на подсистемы при проектировании каждой из них необходимо выполнить внешнее проектирование (макропроектирование) и внутреннее проектирование (микропроектирование). Так как на этих стадиях разработчик преследует различные цели, то и используемые при этом методы и средства моделирования могут существенно отличаться. На стадии макропроектирования должна быть разработана обобщенная модель процесса функционирования сложной системы, позволяющая разработчику получить ответы на вопросы об эффективности различных стратегий управления объектом при его взаимодействии с внешней средой. Стадию внешнего проектирования можно разбить на анализ и синтез. При анализе изучают объект управления, строят модель воздействий внешней среды, определяют критерии оценки эффективности, имеющиеся ресурсы, необходимые ограничения. Конечная цель стадии анализа — построение модели объекта управления для оценки его характеристик. При синтезе на этапе внешнего проектирования решаются задачи выбора стратегии управления на основе модели объекта моделирования, т. е. сложной системы.

       На  стадии микропроектирования разрабатывают  модели с целью создания эффективных  подсистем. Причем используемые методы и средства моделирования зависят  от того, какие конкретно обеспечивающие подсистемы разрабатываются: информационные, математические, технические, программные  и т. д.

1.3 Особенности использования моделей

       Выбор метода моделирования и необходимая  детализация моделей значительно зависят от этапа разработки сложной системы. На этапах проверки объекта управления, например промышленного предприятия, и разработки технического задания на проектирование автоматизированной системы управления модели в основном носят описательный характер и преследуют цель наиболее полно представить в компактной форме информацию об объекте, необходимую разработчику системы. На этапах разработки технического и рабочего проектов систем, модели отдельных подсистем детализируются, и моделирование служит для решения конкретных задач проектирования, т. е. выбора оптимального по определенному критерию при заданных ограничениях варианта из множества допустимых. Поэтому в основном на этих этапах проектирования сложных систем применяются модели для целей синтеза. Целевое назначение моделирования на этапе внедрения и эксплуатации сложных систем — это проигрывание возможных ситуаций для принятия обоснованных и перспективных решений по управлению объектом. Моделирование (имитацию) также широко применяют при обучении и тренировке персонала автоматизированных систем управления, вычислительных комплексов и сетей, информационных систем в различных сферах. В этом случае моделирование носит характер деловых игр. Модель, реализуемая обычно на ЭВМ, воссоздает поведение управляемого объекта и внешней среды, а люди в определенные моменты времени принимают решения по управлению объектом. АСОИУ являются системами, которые развиваются по мере эволюции предмета управления, появления новых средств управления и т. д. Поэтому при прогнозировании развития сложных систем роль моделирования очень высока, так как это единственная возможность ответить на многочисленные вопросы о путях дальнейшего эффективного развития системы и выбора из них наиболее оптимального.

1.4. Классификация методов моделирования  систем

       В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отражала исследуемую сторону функционирования объекта. Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое выражается как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

       Все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Глава 2. Математические схемы моделирования  систем

       Наибольшие  затруднения и серьезные ошибки при моделировании возникают  при переходе от содержательного  к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которым требуется моделировать ( заказчиков ), и специалистов в области машинного моделирования ( исполнителей ). Результативным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем. Разрешающий поставить вопрос во главу угла об адекватности перехода от содержательного описания системы к её математической схеме. И только после этого решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, возможно и комбинирование, т.е. аналитико-имитационном. 

2.1 Основные подходы к построению математических моделей систем

       Исходной  информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой ( проектируемой ) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S  и позволяет выразить требования к разрабатываемой математической модели М, причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой- то степени определяет выбор математической схемы.

2.1.1 Математические схемы

       Математическую  схему можно обусловить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».

       Каждая  конкретная система S характеризуется  набором свойств. Под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы). Учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S — среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

2.1.2 Формальная модель объекта

       Модель  объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

совокупность  воздействий внешней среды

совокупность  внутренних (собственных) параметров системы

совокупность  выходных характеристик системы

       При этом в перечисленных подмножествах  можно выделить управляемые и  неуправляемые переменные. В общем  случае , , , являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид а выходные характеристики системы являются зависимыми ( эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид

       Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

       Совокупность  зависимостей выходных характеристик  системы от времени  для всех видов называется выходной траекторией . Зависимость называется законом функционирования системы S и обозначается . В общем случае закон функционирования системы может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

       Крайне важными для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом выходных воздействий внешней среды и собственных параметров системы . Вероятно, что один и тот же закон функционирования системы S может быть реализован разнообразными способами. Т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования .

       Соотношения являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирование во времени t, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

       Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H}, что в векторной форме может быть записано как

       Соотношения и могут быть заданы различными способами: аналитически ( с помощью формул ), графически, таблично и т.д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

где в момент

…, в момент и т.д.,

Если рассматривать  процесс функционирования системы  S как последовательную  смену состояний то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем

       Состояния системы S в момент времени полностью определяется начальными условиями [где ] , входными воздействиями внутренними параметрами и воздействиями внешней среды которые имели место за промежуток времени с помощью двух векторных уравнений

       Первое  уравнение по начальному состоянию  и экзогенным переменным определяет вектор-функцию а второе по полученному значению состояний - эндогенные переменные на выходе системы Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы

       В общем случае время модели системы  S может рассматриваться на интервале моделирования (0,Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длинной временных единиц каждый, когда где - число интервалов дискретизации.

       Следовательно под математической моделью объекта ( реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками

       Если  математическое описание объекта моделирования  не содержит элементов случайности  или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней  среды  и стохастические внутренние параметры отсутствуют, тогда модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

       Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

2.1.3 Типовые схемы

       Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д. Не располагая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, действующих в непрерывном времени, применяются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,— конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем применяются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем — системы массового обслуживания и т. д. Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей. Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

2.2 Непрерывно-детерминированные модели

       Рассмотрим  особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования  в качестве математических модели дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями  называются такие уравнения, в которых  неизвестными будут функции одной  или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных  порядков. Если неизвестные – функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной неизвестной переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

       Обычно  в таких математических моделях  в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные  искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде будет

Где и - n-мерные векторы; - вектор-функция, которая определена на некотором -мерном множество и является непрерывной.

       Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т.е. её поведение во времени, то они  называются D-схемами ( англ.  dynamic ).

       В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид

       Наиболее  значимо для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической   (маятника, рис. 1,а) и электрической (колебательный контур, рис. 1.0,б).

       Рис. 1.0. Элементарные системы

       Процесс малых колебаний маятника описывается  обыкновенным дифференциальным уровнем

где - масса и длинна подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; - угол отклонения маятника в момент времени

       Из  этого уравнения свободного колебания  маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания  маятника