Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Математические модели в экономике

Содержание

Введение…………………………………………………………………3

1.Теоертическая часть. Математические модели

в экономике……………………………………………………………...5

1.1. Понятие модели………………………………………………..5

1.2. Математические модели и их классификация……………....6

1.3. Линейное программирование………………………….……...7

1.4. Примеры задач линейного программирования.…………….9

2. Практическая часть. Исследование математических

моделей..………………………………………………………………... 17

2.1. Определение минимальных затрат…………………………… 17

2.2. Решение задачи определения наиболее

прибыльного объема продукции………………………………….. 22

Заключение……………………………………………………………... 27

Список использованной литературы…………………………………. 29

Введение

Моделирование математических моделей в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая «незначительная» ошибка может привести к огромным потерям.

Целью данной работы является рассмотрение вопросов, связанных с построением и использованием математических моделей в экономике.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

определить понятие математической модели;

изучить понятие и дать их классификации математических моделей;
выделить особенности экономических наблюдений и измерений
охарактеризовать основные этапы построения математической модели;
привести примеры построения математических моделей для решения экономических задач.

1. Теоретическая часть. Математические модели в экономике

1.1. Понятие модели

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием.

Модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления[6].

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности [2].

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат, которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс – цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой

Физические или вещественные модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

1.2. Математические модели и их классификация

Смысл математического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием. Для них свойственно то, что они реализуются с использованием информационных технологий.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По типу математического аппарата различают модели:

линейного и нелинейного программирования;
корреляционно-регрессионные;
матричные;
сетевые;
теории игр;
теории массового обслуживания и т.д.

1.3. Линейное программирование

Общая задача линейного программирования имеет вид

при ограничениях:

где c_j, a_ij, b_i — постоянные величины. Однако на практике сталкиваются с тем, что эти величины изменяются в некоторых интервалах. Кроме того, определив оптимальное решение экономической задачи при заданных c_j, a_ij и b_i, целесообразно знать, в каких допустимых пределах можно их менять, чтобы решение оставалось оптимальным. Поэтому возникает необходимость исследовать поведение оптимального решения задачи линейного программирования в зависимости от изменения коэффициентов ее целевой функции, системы ограничений и коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Ограничимся рассмотрением зависимости оптимального решения от изменения коэффициентов целевой функции.

На практике часто встречаются

такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не

одним, а многими различными способами. Естественно, что в этом случае

выбирается в каком-то смысле наилучший способ. Математически

последнее обычно сводится к нахождению наименьшего или наибольшего

значения некоторой функции, т.е. к следующей задаче: найти

min(max)/(x) при условии, что точках пробегает заданное множество

X. Используют запись:

Определенную таким образом задачу называют задачей оптимизации;

при этом X называют допустимым множеством (множеством планов)

задачи (1), а функцию f(x) - целевой функцией.

Ясно, что если х задано набором нескольких чисел, т.е.

Часто множество X задается с помощью системы нестрогих неравенств:

В этом случае задача оптимизации принимает следующий вид: даны

функция п переменных и система неравенств (2); требуется

найти при условиях

(2)).

Как правило нужно найти не только значение min(max) , но и

точку или точки, если она не одна, в которых это значение достигается.

Множество всех таких оптимальных решений обозначим X* (или

Задачи подобного рода называют задачами математического программирования.

При этом функцию ƒ называют целевой функцией, а неравенства

- ограничениями. Часто в число ограничений

входят условия не отрицательности части или всех переменных.

В зависимости от характера функций f ,g₁,...g_m говорят о различных

видах задач математического программирования. Наиболее простой

случай, когда все эти функции имеют вид a₁x₁+a₂x₂+... + a_nx_n+b ,

т.е. являются линейными. В этом случае будем говорить о задаче линейного

программирования (ЛП). ЛП как отдельный раздел оформилось в

40-50-х годах XX в., когда стало ясно, что множество задач из сферы

планирования и управления можно сформулировать в виде задач ЛП.

Подсчитано,что в настоящее время примерно 80-85 % всех

решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам ЛП.

Для решения таких задач разработаны эффективные методы, в частности

так называемый симплекс-метод.

Отметим, что одновременно рассматривать оба типа задач:

нет необходимости, так как задача на максимум

сводится к задаче на минимум (и наоборот) путем умножения целевой функции на - 1. В связи с этим

дальше будем изучать задачи только какого-нибудь одного типа.

1.4. Примеры задач линейного программирования.

Приведем четыре примера задач ЛП, ставшие классическими.

а) Задача планирования производства.

Пусть некоторое предприятие

производит п типов товаров, затрачивая при этом т типов ресурсов.

Известны следующие параметры:

a_ij количество i-го ресурса, необходимое для производства единичного

количества j-го товара,

b_i - запас i-го ресурса на предприятии, b_i > 0;

c_i -цена единичного количества j-го товара, c_i >0.

Считаем, что технология производства линейна, т.е. затраты ресурсов

растут прямо пропорционально объему производства. Пусть х показывает

планируемый объем производства/-го товара. Тогда допустимым

является только такой набор производимых товаров х = col (х,; х,;...; дся )

при котором суммарные затраты каждого /-го ресурса не превосходят

его запаса:

Кроме этого, имеется следующее естественное ограничение:

Стоимость набора товаров х выражается величиной

Задача планирования производства ставится так: среди всех векторов

х, удовлетворяющих ограничениям (3), (4), найти такой, при котором

величина (5) принимает наибольшее значение.

б) Задача о рационе.

При организации питания больших коллективов

людей, например в армии, больницах и т.п., возникает задача о наиболее

экономном рационе питания, удовлетворяющем определенным

медицинским требованиям. Пусть имеется п продуктов питания (хлеб,

мясо, молоко, картофель и т.п.), в которых учитывается т полезных веществ

(жиры, белки, углеводы, витамины и т.п.) и известны следующие

параметры:

a_ij - содержание i-го вещества в единичном количестве j-го продукта,

b_i - минимальное количество i-го вещества, которое должно потребляться

индивидуумом в расчете, скажем, на месяц, b_i > 0;

c_i -цена единичного количества j-го продукта, c_i >0.

Задача о рационе формулируется следующим образом:

где x_i -количество j-го продукта, потребляемого индивидуумом в течение

месяца. Другими словами, среди всех рационов питания

х = col (x_1;..; x_n), покрывающих минимальные потребности индивидуума

в полезных веществах, необходимо выбрать наиболее дешевый.

в) Транспортная задача.

Пусть некоторый однородный продукт (уголь, кирпич, картофель и т.п.) хранится на т складах и потребляется в и пунктах.

Известны следующие параметры:

При этом суммарные запасы равны суммарным потребностям:

j-ый пункт. Иными словами, требуется организовать перевозки продукта

со складов в пункты потребления так, чтобы при полном удовлетворении

потребностей минимизировать суммарные транспортные расходы.

Заметим, что условие (7) является необходимым и достаточным для

существования, по крайней мере, одной матрицы перевозок X = (x_ij)

удовлетворяющей ограничениям задачи (8).

г) Задача о банке.

Для простоты рассмотрим числовой пример такой

задачи. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами

составляют 100 млн. долларов. Часть этих средств, но не менее 35 млн.

долларов должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными

активами банка, так как в случае непредвиденной потребности

в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их

можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, как

правило, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно

которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции

ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать не ликвидность

кредитов. Считаем, что ликвидное ограничение следующее:

ценные бумаги должны составлять не менее 30 % средств,

размещенных в кредитах и ценных бумагах.

1.5. Основные этапы построения математической модели

Чтобы воспользоваться математической моделью для конкретной производственно-экономической ситуации, следует применить информационную технологию. Информационная технология позволяет безошибочно выделить из множества реальных производственно-экономических ситуаций именно ту, которая полностью соответствует конкретным обстоятельствам. Эта технология состоит из следующих восьми этапов .

Этап 1. Выбор объекта моделирования (например: склад готовой продукции; организация выпуска новой продукции или системы транспортных перевозок и т.п.).

Этап 2. Анализ проблемной ситуации, сложившейся в рассматриваемом объекте моделирования. Например, для нормального функционирования склада готовой продукции необходимо увязать скорость потребления продукции со временем поставки и размерами складских площадей, оборотными средствами, которые всегда оказываются ограниченными.

Этап 3. Тип и число ненаблюдаемых параметров (отыскиваемых значений целевой функции и основных переменных X_j), определение которых позволит выбрать обоснованное управление конкретного экономического объекта.

Этап 4. Тип и число наблюдаемых параметров (задаваемых значений правых частей ограничений b[i], коэффициентов затрат a[ij] , граничных условий для отыскиваемых переменных.

Этап 5. Условие адекватности, то есть уверенность в том, что математическая модель экономического объекта полностью (или в главных чертах) характеризует его действительное оптимальное функционирование. Обычно адекватность ставится в зависимость от численного значения критерия оптимальности (или нескольких таких критериев при многокритериальной оптимизации).

Этап 6. Используемый математический аппарат, соответствующий конкретному математическому описанию производственно-экономической ситуации. (Например, аналитические связи между основными параметрами движения запасов).

Этап 7. Анализ результатов моделирования экономического объекта: оптимальных значений основных переменных и целевой функции. Эти значения составляют основу экономического анализа конкретного объекта, за которым следуют выводы.

Этап 8. Принятие решения. По результатам оптимальных значений и сделанных на этапе 7 выводов принимается решение по управлению экономическим объектом.

Можно сделать вывод, что для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование – не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым восьмиэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики – математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа .

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации, и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

2. Практическая часть. Исследование математических моделей

2.1. Определение минимальных затрат

Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах соответственно равных 1210, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей:

Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными.

Для решения данной задачи воспользуемся программой MS Excel.

Исходными данными для решения транспортной задачи являются матрица транспортных расходов, предложения поставщиков, спрос потребителей (рис. 1).

Рис. 2.1. Матрица транспортных расходов

Кроме исходных данных для решения транспортной задачи необходимо предусмотреть:

а) блок ячеек «Матрица перевозок», в котором будут моделироваться объемы перевозок;

б) блок ячеек «Фактически реализовано», в котором будет моделироваться фактическая реализация продукции;

в) блок ячеек «Фактически получено», в котором будет моделироваться фактическое удовлетворение спроса;

г) блок ячеек «Транспортные расходы по потребителям», в котором будут подсчитываться транспортные расходы по каждому потребителю;

д) ячейку «Итого расходы», в которой будут моделироваться итоговые транспортные расходы по всем потребителям (целевая ячейка) (рис. 2).

Рис. 2.2. Создание блоков ячеек

Для формирования элементов математической модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:

а) заполнить ячейки блока «Матрица перевозок» (С15:G17) произвольным числом, например числом 0,01;

б) в первую ячейку блока «Фактически реализовано» (ячейка J15) вставить формулу СУММ(С15:G15) – сумму первой строки блока «Матрица перевозок»;

в) скопировать формулу СУММ(С15:G15) из первой ячейки блока «Фактически реализовано» на все остальные ячейки этого блока;

г) в первую ячейку блока «Фактически получено» (ячейка С19) вставить формулу СУММ(С15:С17) – сумму первого столбца блока «Матрица перевозок»;

д) скопировать формулу СУММ(С15:С17) из первой ячейки блока «Фактически получено» на все остальные ячейки этого блока;

е) в первую ячейку блока «Транспортные расходы по потребителям» (ячейка С22) вставить формулу СУММПРОИЗВ(С6:С8*С15:С17) и скопировать ее в остальные ячейки блока;

ж) в ячейку «Расходы» (ячейка J22) ввести формулу СУММ(С22:G22) (рис. 3).

Рис. 2.3. Ввод формул

Готовый результат после вычисления формул представлен на рис. 4.

Рис. 2.4. Результаты расчета по формулам

Для нахождения плана перевозок продукции, при котором общие затраты являются минимальными, необходимо воспользоваться встроенной функцией MS EXCEL «Поиск решения».

Для этого необходимо активизировать ячейку «Итого» (ячейка J22), в меню «Сервис» выбрать команду «Поиск решения» и установить следующие параметры (рис. 2.5):

Рис. 2.5. Применение команды «Поиск решения»

В результате выполнения данной команды решение данной задачи примет вид (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Результат выполнения команды «Поиск решения»

Таким образом, затраты на перевозку грузов составят 2240 ден. ед. при следующем распределении:

- поставщик 1 реализует продукцию 3-му и 4-му потребителям в размере 120 и 60 ед. соответственно;

- поставщик 2 реализует продукцию 1-му, 2-му, 4-му и 5-му потребителю в размере 110 ед., 90 ед., 20 ед. и 130 ед. соответственно;

- поставщик 3 реализует продукцию 5-му потребителям в размере 20 ед.

2.2. Решение задачи определения наиболее прибыльного объема продукции

Промышленная фабрика для производства трех видов продукции А, В и С использует три вида сырья: песок, уголь и декоративный камень. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т готового продукта данного вида приведены в табл. 2.1. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т готового продукта данного вида.

Таблица 2.1

Нормы расхода сырья

Найти план производства, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

Для решения данной задачи воспользуемся программой MS Excel.

Исходными данными для решения задачи определения наиболее прибыльного объема выпуска продукции является:

- имеющиеся в наличии ресурсы;

- нормы расхода ресурсов на выпуск 1 т готового продукта;

- прибыль от реализации 1 т готового продукта (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Расходы сырья

Кроме исходных данных для решения данной задачи необходимо предусмотреть:

а) блок ячеек «Выпуск продукции», в котором будут моделироваться объемы производимой карамели каждого вида;

б) блок ячеек «Расходы на производство», в котором будут моделироваться объемы используемого сырья;

б) ячейку «Итого прибыль», в которой будет моделироваться итоговая «максимальная прибыль» от производства карамели (рис. 2. 8).

Рис. 2.8. Создание блоков ячеек

а) заполнить ячейки блока «Матрица перевозок» (D9:F9) произвольным числом, например числом 1;

б) в первую ячейку блока «Объемы используемого сырья» (ячейка J4) вставить формулу СУММПРОИЗВ(D4:F4*$D$9:$F$9);

в) скопировать формулу СУММПРОИЗВ(D4:F4*$D$9:$F$9) из первой ячейки блока «Объемы используемого сырья» на все остальные ячейки этого блока;

г) в ячейку «Максимальная прибыль» (ячейка D11) ввести формулу СУММПРОИЗВ(D7:F7*D9:F9) (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Ввод формул

Готовый результат после вычисления формул представлен на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Результаты расчета по формулам

Для нахождения плана производства, обеспечивающего максимальную прибыль от ее реализации необходимо воспользоваться встроенной функцией MS EXCEL «Поиск решения».

Для этого необходимо активизировать ячейку «Максимальная прибыль» (ячейка D11), в меню «Сервис» выбрать команду «Поиск решения» и установить следующие параметры (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Применение команды «Поиск решения»

В результате выполнения данной команды решение данной задачи примет вид (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Результат выполнения команды «Поиск решения»

Таким образом, максимальная прибыль от производства трех видов карамели составит 2036 ден. ед. при следующем плане производства:

- необходимо производить 2,5 т песка А;

- необходимо производить 6,5 т угля В;

Математические модели в экономике 📙 Курсовая → 🆔 121086