Математические модели поведения производителей

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение  образования 
«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

Математический  факультет 
Кафедра математического моделирования

Курсовая  работа

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ  ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Шейко Максим Сергеевич, 
студент 5 курса специальности «Экономическая кибернетика»

Козинский Андрей Андреевич – доцент кафедры прикладной математики, кандидат педагогических наук, доцент

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Брест 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ И   ИХ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 5

1.1 Дуополия 5

1.2 Олигополия 5

2 Модели дуополии 7

2.1 Модель Курно 7

2.2 Модель Чемберлина 9

2.3 Модель Стэкльберга 11

2.4 Картельное соглашение 13

3 Модели олигополии 16

3.1 Модель олигополии Курно 16

3.2 Модель олигополии Бертрана 17

3.2 Модель олигополии Стэкльберга 19

3.2 Сговор и картели 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 26

 

     

     Введение

     Стратегическое  взаимодействие характерно не для всех типов рыночных структур и непосредственно  связано с понятием несовершенной  конкуренции на рынке. К случаям  несовершенной конкуренции относятся  рыночные структуры, которые нельзя считать полностью конкурентными  и которые в то же время не контролируются продавцом-монополистом. Несовершенная  конкуренция возникает тогда, когда  на рынке конкурируют фирмы, две  или более, каждая из которых имеет  возможность влиять на цену.

     Известны  две формы несовершенной конкуренции: монополистическая конкуренция  и олигополия.

     Монополистическая конкуренция предполагает, что значительное число фирм, каждая из которых удовлетворяет относительно небольшую долю рыночного спроса, конкурирует на рынке дифференцированного товара со свободным входом и выходом. Олигополия, напротив, отличается небольшим числом фирм, которые доминируют на рынке, где вход и выход могут быть затруднены.

     Следует заметить, что монополистическую  конкуренцию иногда рассматривают  как особую форму олигополии, а  олигополист может предлагать на рынке как однородный, так и дифференцированный продукт.

     Олигополия- это тип строения рынка, на котором действует ограниченное число фирм, осознающих свою взаимозависимость.

     Олигополия  является преобладающей формой рыночной структуры многих отраслей экономики, поэтому существует много примеров стратегического взаимодействия в  условиях олигополии. Создано немало моделей олигополии, цель которых  -исследовать процессы принятия решений и, по возможности, предсказать результаты взаимодействия фирм на рынке.

     Модели  олигополии последовательно развивают  идеи классической теории олигопольного ценообразования, выдвинутые А. Курно в 1838 г. и Ж. Бертраном в 1883 г. Нет единой модели олигополии: модели олигополии могут иметь различную структуру, но существует несколько предпосылок, общих для всех моделей олигополии.

     Выделим две главные предпосылки. Во-первых, возможность прямо или опосредованно  воздействовать на цену предполагает убывающую кривую спроса на продукцию  олигополии. Во-вторых, ценообразование  на рынках олигополии предполагает взаимозависимость  фирм-производителей (и одновременно продавцов) товара при принятии решений  относительно их поведения на рынке.

     Вторая  предпосылка определяет наличие  стратегического поведения или  стратегического взаимодействия фирм на рынке. Это означает, что поставщик  товара имеет возможность предвидеть и учитывать в принятии решений  поведение своих конкурентов.

     Выбор каждого олигополиста зависит от поведения его соперников. Поэтому кривая спроса на продукцию отдельного олигополиста в момент принятия стратегических решений, как правило, неизвестна. Ключевое значение имеют предположения олигополиста относительно реакции конкурентов на действия друг друга.

     Целями  данной курсовой является:

1. Рассмотреть основные модели поведения производителей
2. Классифицировать их по общим признакам
3. Создать информативную базу для написания дипломной работы

 

     1. основные понятия теории производителей и их основны элементы

     1.1 Дуополия

     Дуополия - это рыночная структура, при которой  два продавца, защищенные от появления  дополнительных продавцов, являются единственными  производителями стандартизированной  продукции, не имеющей близких заменителей. Экономические модели дуополии полезны, чтобы проиллюстрировать, как предположения  отдельного продавца насчет ответа соперника  воздействуют на равновесный выпуск Классическая модель дуополии - это  модель, сформулированная в 1838 г. французским экономистом Огюстеном Курно. Эта модель допускает, что каждый из двух продавцов предполагает что его конкурент всегда будет удерживать свой выпуск неизменным на текущем уровне. Она также предполагает, что продавцы не узнают о своих ошибках. В действительности предположения продавцов о реакции конкурента, вероятно, поменяются, когда они узнают о своих предыдущих ошибках.

     1.2 Олигополия

     Олигополия  – это такая рыночная структура, при которой существует несколько  продавцов, доля каждого из которых  настолько велика в общих продажах на рынке, что изменение в количестве предлагаемой продукции каждого  из продавцов ведет к изменению  цены.

     Существует  два вида олигополии. Первый вид  предполагает, что несколько фирм производят идентичный продукт. Второй – когда несколько производителей выпускают дифференцированные товары.

     Однако  в том и другом случае фирмы  осознают взаимозависимость своих  продаж, объемов производства, инвестиций и рекламной деятельности. Так, если одна фирма будет усиленно рекламировать  свою продукцию или участвовать  в создании новой модели изделия, то она должна почти наверняка  ожидать аналогичных действий со стороны своих конкурентов. В  такой ситуации каждая фирма знает, что, по крайней мере, некоторые решения  конкурентов зависят от ее собственного поведения, и поэтому, принимая то или  иное решение, она обязана считаться  с этим обстоятельством.

     Олигополистическая  взаимозависимость фирм поднимает  соперничество между ними на качественно  новый уровень, превращает конкуренцию  в непрестанную борьбу “всех против всех”. В этом случае возможны самые  разнообразные решения конкурентов: они могут совместно добиваться некоторых целей, превращая отрасль  в подобие чистой монополии, или  же – в качестве другой крайности  – бороться друг с другом вплоть до полного уничтожения.

     Последний вариант чаще всего осуществляется в форме ценовой войны –  постепенного снижения существующего  уровня цен с целью вытеснения конкурентов с олигополистического рынка. Если одна фирма снизила цену, то ее конкуренты, почувствовав отток покупателей, в свою очередь тоже снизят свои цены. Этот процесс может иметь несколько этапов. Но снижение цен имеет свои пределы: оно возможно до тех пор, пока у всех фирм цены не сравняются со средними издержками. В этом случае исчесзнет источник экономической прибыли и на рынке воцарится ситуация, близкая к совершенной конкуренции. От подобного исхода в выигрышном положении, естественно, остаются потребители, в то время как производители все до одного никакого выигрыша не получают. Поэтому чаще всего конкурентная борьба между фирмами приводит к принятию ими решений, основанных на учете возможного поведения своих соперников. В этом случае каждая из фирм ставит себя на место конкурентов и анализирует, какова была бы их реакция. Процесс принятия подобных решений рассматривается на примере взаимоотношения двух фирм в модели дуополии, впервые предложенной французским экономистом А. Курно в 1838г.

 

2. Модели дуополии

     Рассмотрим  базовые модели дуополии при одинаковых предпосылках. Пусть фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию  рыночного спроса вида: 

                        P = a-bQ (1) 

     где а, b - положительные константы; рыночный спрос Qскладывается из объемов предложения первой и второй фирм (Q = q₁ + q₂) при цене Р.

     Пусть также обе фирмы имеют равные условия по издержкам производства:

                        ТCi = сqi (2) 

     где с - положительная константа.

     Таким образом, предельные издержки равны  средним для каждого дуополиста:

                        MC_i=AC_i=c (3)

     2.1 Модель Курно

     Модель  Курно - одна из классических моделей количественной олигополии. Аналитическая версия модели анализирует стратегическое взаимодействие фирм при нулевых предполагаемых вариациях:

     

                                       0;              0 (4) 

     Это означает, что при решении задачи на максимум прибыли каждый дуополист рассматривает уровень выпуска конкурента как постоянный, и при данной предпосылке принимает решение об уровне своего выпуска.

     Прибыли дуополистов определяются как разности между выручкой и издержками каждого из них:

                        П₁=TR₁-TC₁;  (5)

                        П₂=TR₂-TC₂ (6)

     При предпосылке, что им известна функция  рыночного спроса (1), получим^- 

                          (7)

                        П₂=(a-bq₁-bq₂)q₂-cq₂ (8) 

     Необходимое условие максимизации прибылей дуополистов:

                          (9)

     Примет  вид: 

     

                                                                           (10)

     

                    (11) 

     Уравнения (10) и (11) задают линии реакции дуополистов и могут быть переписаны в виде:

     

                                                (12)

        (13)Равновесие на рынке дуополии Курно определяется в результате решения (решение имеет смысл лишь при а>с) системы уравнений (12), (13):

        (14) 

     Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

        (15)

      

           (16) 

     Значит, равновесные объемы выпуска q₁^* и q₂^* обеспечивают максимум прибыли для каждого дуополиста.

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равновесных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

     

           (17) 

      при равновесной  цене

                 (18)

     что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

        (19) 

 

      2.2 Модель Чемберлина

     Аналитическая версия модели Э. Чемберлина основана на экономическом анализе рынка олигополии, сделанном в его монографии, опубликованной в 1956 г. В отличие от модели Курно в модели Чемберлина дуополист принимает во внимание тот факт, что уровень конкурента будет изменяться в ответ на его собственные действия. В результате дуополисты примут наиболее выгодные для себя решения, не вступая в открытый сговор.

     Рассмотрим  возможный алгоритм стратегических взаимодействий в дуополии Чемберлина. Предположим, что на первом шаге,для примера, первая фирма ведет себя на рынке как монополист. Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает монопольный уровень выпуска:

        (20) 

      При этом она  получит монопольную прибыль

                 (21)

     при монопольной цене

        (22)

     На втором шагевторая фирма принимает решение исходя из функции остаточного спроса на свою продукцию и предполагая, что выпуск первой фирмы не изменится. Таким образом, вторая фирма фактически принимает решение как фирма-монополист, где уравнение функции остаточного спроса имеет вид:

        (23)Решая задачу  на максимум прибыли, она выбирает  уровень выпуска что составляет половину монопольного выпуска первой фирмы. В результате отраслевой выпуск составит

        (25) 

      при понижении  цены до

           (26) 

     Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:

        (27) 

        (28) 

     Первая  фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое уменьшит свою прибыль  по сравнению с монопольной.

     Уже на третьем шаге первая фирма осознает, что конкурент реагирует на её действия, и уменьшает свой выпуск на величину выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.

     На  четвертом шаге вторая фирма принимает условия, предложенные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене. Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения. При этом дуополисты поделят рынок поровну:

     

                 (29)

     и получат одинаковую прибыль

        (30) 

     разделив  монопольную прибыль между собой.

     При введенных предпосылках об однородности продукции и о равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конкурентами.

     Функция спроса примет вид:

        (31)

     где q₁=q₂= q

     Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по издержкам):

        (32) 

      Необходимое условие экстремума

           (33) 

     определит равновесные уровни выпуска фирм (29). Они будут соответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного условия экстремума:

        (34) 

     Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чемберлина могут установить на рынке монопольную цену.

 

      2.3 Модель Стэкльберга

     Решение проблемы асимметричной конкуренции  в условиях количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбергом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер-последователь».

     Если  фирма первой принимает решение  об уровне выпуска, то она считается  лидером по объему выпуска. Лидер  в модели Стэкльберга информирован о поведении последователя. Последователь осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска лидера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно.

     Пусть для определенности в модели количественной дуополии первая фирма является лидером, а вторая - последователем. При введенных  предпосылках (1)- (3)решения модели для лидера и последователя не изменяется, если фирмы поменяются ролями.

     Задача  максимизации прибыли фирмы-последователя  аналогична ситуации принятия решений  в модели Курно см. (6), (8), (11), что определяет вид реакции второй фирмы, соответствующий условию (13):

     

           (35) 

     Последователь рассматривает уровень выпуска  лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой  предполагаемой вариации:

     Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-последователь будет  определять уровень своего выпуска  в зависимости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает  влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает реакцию  последователя при решении задачи на максимум прибыли.

     Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая определяет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами модели:

                          (36)

     Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-лидера см. (5), (7) при такой предпосылке примет вид:

        (37) 

     Уравнение (37) задает линию реакции лидера по Стэкльбергу и может быть переписано в виде:

       

           (38)

     Зная, что фирма-последователь будет  выбирать уровень выпуска, фирма-лидер  отдает предпочтение такой комбинации уровней выпуска конкурентов, которая  обеспечит ей максимально возможную  прибыль.[1, 25]

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно получить в результате решения системы уравнений (35), (38):

       (39) 

        (40) 

     Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов Стэкльберга показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

        (41) 

        (42) 

     Значит, равновесные объемы выпуска q₁^*и q₂^* обеспечивают максимум прибыли как для лидера, так ж дня последователя при принятых, условиях их стратегического взаимодействия.

     Решение модели Стэкльберга можно найти, используя другой алгоритм.

     Поставив  функцию зависимости q₂от q₁из уравнения (35)в функцию прибыли фирмы-лидера (7), получим:

     

           (43) 

     Таким образом, лидер решает задачу максимизации прибыли на безусловный экстремум, где в процессе принятия решений  он осознает, что отраслевой выпуск составит q₁+q₂(q₁), т.е. учитывает реакцию последователя.

     Необходимое условие экстремума:

     

           (44) 

     позволяет однозначно определить наилучшее решение  фирмы-лидера (достаточное условие  экстремума подтверждает принятие наилучшего решения). Подставив найденный уровень выпуска первой фирмы в уравнение реакции (35)фирмы-последователя, получим равновесный уровень выпуска второй фирмы. Учитывая, что линия реакции представляет наилучший ответ на действия конкурента, равновесный уровень выпуска фирмы-последователя обеспечит ей максимум прибыли при заданных условиях взаимодействия.

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

     

           (45) 

     при равновесной цене

       (46) 

     При этом в соответствии с предпосылками  рассматриваемой модели лидер получает прибыль в размере

       (47) 

     что в два раза превышает уровень  прибыли последователя.

     2.4 Картельное соглашение

     Один  из примеров кооперированной олигополии - сговор между фирмами-конкурентами. Картель - это объединение олигополистов, вступающих в сговор с целью совместного принятия решения относительно уровня рыночной цены и объемов выпускаемой продукции. Образующие картель фирмы ведут себя на рынке как единый монополист, максимизируя совокупную прибыль отрасли.

     Рассмотрим  картель, максимизирующий прибыль при предпосылках (1)- (3).Задача максимизации прибыли для двух фирм заключается в выборе таких уровней выпуска продукции q₁ и q₂, которые бы максимизировали совокупную прибыль отрасли П, где

       (48) 

     Необходимое условие экстремума имеет вид:

       

                 (49) 

      Оно определяет систему двух одинаковых уравнений  с двумя неизвестными (q₁ и q₂), которая имеет бесконечно много решений. Любая комбинация объемов выпуска фирм (q₁,q₂), которая обеспечивает рыночный спрос в размере

           (50) 

     Удовлетворяет системе уравнений (49).

     Таким образом, необходимое условие экстремума задает лишь совокупный объем производства картеля. Достаточное условие экстремума с учетом вида функции (48)и знака вторых частных производных

       

           (51)