Математические модели принятия решений в экономике

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

 

 

Кафедра теории функций  и приближений

 

 

 

Математические  модели принятия решений в экономике.

Курсовая     работа

студентки   IV курса   412   группы   механико – математического факультета

Скиданенко Вероники Сергеевны

 

 

 

Научный руководитель

к.ф.м.н., доцент                   ___________________________             Е.В. Гудошникова

                                                                  

ВРИО заведующего кафедрой

 к.ф.м.н., старший преподаватель                                                           С.В. Тышкевич

                                                                  ____________________________

   

САРАТОВ

2012 год

Содержание

Введение……………………………...…………………………………………... 3

Задание 1 ………………………………………………………...…………….……………….5

Задание 2………………….………………………………………………………. 9

Задание 3 …………………………………………………………………………10

Задание 4………………………………………………………………………….11

Задание 5………………………….………………………………………………12

Задание 6………………………………………………………………………….13

Задание 7………………………………………………………………………….14

Задание 8………………………...………………………………………………..15

Задание 9………………………….………………………………………………16

Задание 10………………………….……………………………………………..16

Задание 11…………………………...……………………………………………17

Задание 12…………………………..…………………………………………….18

Задание 13………………………………...………………………………………18

Задание 14………………………………...………………………………………19

Задание 15……………………………….………………………………………..21

Задание 16………………………………………….……………………………..23

Задание 17……………………………………….………………………………..24

Задание 18…………………………………………..…………………………….25

Задание 19…………………………………………..…………………………….26

Задача «Как заработать миллион»………………….…………………………..28

Дерево решений………………………………………………………………….30

Заключение……………………………………….………………………………31Список литературы………………………………………………………………33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

В основе всей современной финансово-экономической  деятельности лежат те или иные модели исследуемых экономических процессов. Основным методом исследования экономических  процессов в настоящее время является метод моделирования, т.е. способ теоретического и практического действия, направленного на разработку и использование моделей.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности  изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

Математическая модель в экономике, иначе экономико-математическая модель, — это математический образ, математическое описание существа исследуемого экономического процесса, задачи.

В процессе решения экономических  задач с применением математических методов можно выделить четыре основных этапа:

1. Постановка экономической проблемы, задачи (описание экономико-организационной  сути).

2. Моделирование (разработка экономико-математической модели проблемы, задачи).

3. Получение решения по модели.

4. Внедрение полученного решения  (разработка рекомендаций, предложений  в доступном и наглядном для  практика виде).

В представленной работе наиболее подробно рассматриваются примеры экономических задач. Главным в них являются понятия оптимальности и их экономические реализации. Данная курсовая работа содержит следующие задачи и их решения:

Задача 1. Задача об оптимальном размере закупаемой партии товара относится к задачам управления запасами. В данном случае ее решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной.

Задача 2 Задача максимизации производственной функции (оптимизация при наличии ограничений). В экономике широкое распространение получили мультипликативные производственные функции, простейшим примером которой является производственная функция в задаче 2.

Задача 3. Задача максимизации производственной функции (для нахождения экстремума используется графический метод).

 

Задача 4. Задача о смеси (линейное программирование).

 

Задача 5. Задача производственного планирования (линейное программирование).

 

Задача 6-7. Выбор квартиры (многокритериальная оптимизация — дискретный случай).

 

Задача 8-9. Сравнение объектов по предпочтительности (многокритериальная оптимизация со сравнимыми критериями).

 

Задача 10. Аренда отеля (демонстрирует применение критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа при принятии решения в условиях неопределенности).

 

Задача 11. Выбор проекта электростанции (нахождение оптимального решения по критерию Гурвица).

 

Задача 12. Доказательство следующего утверждения: если альтернатива i₁ является оптимальной по одному из критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и i₂ доминирует i₁, то альтернатива i₂ также будет оптимальной по соответствующему критерию.

 

Задача 13. Выбор варианта продаваемого товара (иллюстрирует способы принятия решений в условиях риска по паре критериев (М, а) — дискретный случай).

 

Задача 14. Выбор варианта производимого товара (нахождение  оптимального решения для задачи с помощью метода субоптимизации, метода лексикографической оптимизации).

Задача 15. Сравнение по предпочтительности лотерей (по критерию ожидаемой полезности, по обобщенному критерию).

Задача 16. Задача выбора продаваемого товара (принятие решения в условиях риска по критерию ожидаемой полезности).

Задача 17. Выбор варианта производимого товара (использовании смешанных стратегий как способ уменьшения риска).

 

Задача 18. Задача нахождения максимально допустимой стоимости  идеального эксперимента.

 

Задача 19. Бурение нефтяной скважины (сравнение альтернатив по предпочтению производится по критерию ожидаемой полезности и с помощью построения эмпирической функции полезности).

 

Задача «Как заработать миллион». Задача принятия решения в условиях риска с возможностью проведения эксперимента.

 

 

Задание 1.

 

Рассмотрите все этапы решения  задачи об оптимальном размере закупаемой партии товара (см задачу 1) при следующих  данных:

а) Q = 72т, c_о = 3 тыс р/т, c₁ = 400р, с₂ = 100р/т,

б) Q = 25т, с_о = 3 тыс р/т, c₁ = 400р, с₂ = 30р/т

Задача 1 (об оптимальном размере закупаемой партии товара). Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями одинаковой величины, при этом закупленный товар расходуется с постоянной скоростью. Как только запас товара кончается закупается следующая партия и т.д. Неизрасходованный товар фирма сдает на склад за определенную плату.

Предполагаются известными следующие данные:

Q — требуемое количество товара на плановый период;

c_о — стоимость единицы товара;

c₁ — стоимость заказа одной партии товара (считается, что стоимость заказа не зависит от величины заказываемой партии);

c₂ — стоимость хранения единицы товара в течение планового периода (считается, что стоимость хранения товара пропорциональна его количеству и времени хранения). Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара (т.е. такой, при котором суммарные затраты фирмы будут минимальными).

Решение.

Этап 1. Построение .математической модели ЗПР. Здесь этот этап сводится к нахождению функции суммарных затрат в зависимости от величины заказываемой партии товара. Пусть х — величина заказываемой партии товара (по смыслу должно выполняться условие 0 < х < Q, т.е. D = (0, Q]). Затраты фирмы состоят из трех частей:

   1. Затраты на покупку товара. Они равны c_oQ и не зависят от величины заказываемой партии товара.

2. Затраты на заказы в течение планового периода. Число заказов равно Q/x. Отсюда суммарная стоимость заказов в течение планового периода равна c₁Q/x.

3. Затраты на хранение товара. Стоимость подсчета затрат на хранение товара осложняется тем, что в рассматриваемом случае количество хранимого товара является не постоянным, а переменным. Пусть количество товара, хранимого в течение некоторого временного периода [а, b], задается неотрицательной функцией g(t) > 0, с — стоимость хранения единицы товара в течение всего периода времени Т = b — а. Чтобы решить задачу, какова должна быть стоимость хранения товара за период времени Т, изобразим на координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем время t, по оси ординат — количество товара и) график функции g(t) (рис. 1).

Рис.1

Разобьем, как это принято  при построении определенного интеграла, интервал [а, b] точками деления а = to < t₁ < … < t_i-1 < t_i < … < t_n = b; выберем в каждом интервале [t_i-1, t_i] точку и положим t_i = t_i — t_i-1. Считая, что за малый промежуток времени t_i количество товара меняется незначительно, можем считать, что в течение временного периода t_i количество товара остается практически неизменным и равным g ( ). Учитывая, что стоимость хранения пропорциональна количеству хранимого товара и времени хранения, получаем, что стоимость хранения товара в течение периода [t_i-1, t_i] приблизительно равна откуда общая стоимость хранения v за весь временной промежуток [а, b] определяется приблизительным равенством

Точное значение v получается при переходе к пределу при условии, что , где ; учитывая, что сумма в правой части, является интегральной суммой, при переходе к пределу получаем определенный интеграл

(1)

Итак,

Рис.2

— среднее значение функции g(t) на интервале [а, b], приходим к следующему простому правилу.

Правило. Стоимость хранения переменного количества товара в течение некоторого временного периода равна стоимости хранения среднего количества товара за этот период.

(Согласно (1) стоимость хранения получается умножением среднего количества хранимого товара на стоимость хранения единицы товара в течение всего временного периода.)

В рассматриваемом  случае переменное количество товара изображается графически в виде системы параллельных отрезков (рис. 2).

Среднее значение функции, график которой изображен на рис. 2, можно подсчитать как отношение суммарной площади построенных прямоугольных треугольников к суммарной длине их оснований; оно, очевидно, равно x/2. По правилу затраты на хранение товара в течение планового периода составляют с₂х/2, а суммарные затраты можно представить в виде следующей функции: (2)

заданной в  области D = (О, Q].

а) Подставляя данные задачи, получим функцию затрат: f(x)=216+28800/x+50x

б) f(x)=75+10000/x+15x

 

 
Рис.3

 

Этап 2. Исследование построенной функции на экстремум. Находим производную

В случае, когда  числовые значения величин Q, с_о, с₁, с₂ заданы, нахождение экстремума сводится к нахождению стационарных точек, то есть к решению уравнения f'(x) = 0, и сравнению значений функции / в стационарных точках и граничных точках интервала (см. п. 2). В рассматриваемом случае попробуем проанализировать поведение функции f(x) в зависимости от величин Q, c_о, c₁,c₂, рассматриваемых как параметры. Для этого найдем интервалы распределения знаков производной. Имеем:

 

(3) 

 

Итак, для функции f{x) имеется единственная стационарная точка х* = , причем левее точки х* функция f(x) убывает, а правее точки х* — возрастает. Возможны два случая:

В случае (а) очевидно, что х* — единственная точка глобального минимума функции f(x) на интервале (О, Q] (рис. 3, а). В случае (б) точкой глобального минимума функции f(x) на интервале(0, Q] будет точка Q (рис. 3,б). При этом случай (а) имеет место когда Q. т.е. Q > 2c₁/c₂; случай (б) имеет место, когда Q < 2с₁/с₂.

a) Подставляя данные задачи, получим оптимальную величину заказываемой партии товара х*= =24

б) x* 25,8

Этап 3. Анализ результатов. Оптимальная величина х* заказываемой партии товара зависит от соотношения между параметрами c₁, с₂, Q. Установим характер этой зависимости «на уровне здравого смысла».

1. х* должна быть монотонно возрастающей функцией от Q (если при неизменной плате за заказы и за хранение потребуется большее количество товара, то и величина заказываемой партии должна быть увеличена).
2. х* должна быть монотонно возрастающей функцией от с₁ (при увеличении стоимости заказов с₁ выгодно уменьшить их число, а для этого надо увеличить размер заказываемой партии).
3. х* должна быть монотонно убывающей функцией от с₂ (при увеличении стоимости хранения выгодно уменьшить количество хранимого товара, а для этого надо уменьшить размер заказываемой партии).

Функция х* = удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Далее, возьмем какой-нибудь частный случай, например, х* = Q (т.е. когда оптимальным является решение о заказе всего требуемого товара целиком). Согласно формальным выкладкам, проведенным выше, такая ситуация наступает при выполнении условия (б): Q < 2с₁/с₂. Интуитивно ясно, что решение х* = Q будет оптимальным тогда, когда требуемое количество товара Q «не слишком велико», а плата за хранение «достаточно мала» по сравнению с платой за заказы. Но тогда решение «заказать весь товар целиком» будет тем более верным при уменьшении Q, увеличении с₁ и уменьшении с₂, что как раз имеет место для критерия Q < 2с₁/с₂.

a) х*<Q, т.е. 24<72.  В этом случае оптимальный размер закупаемой партии товара будет равен х*=24.

б)x*>Q оптимальный размер закупаемой партии товара будет равен Q=25.

 

Задание 2.

 

Продукт С производится из продуктов А и В, причем количество продукта С равно 5х^1/3у^2/3, где х — количество продукта А, у — количество продукта В. Какое наибольшее количество продукта С может быть произведено, если стоимость единицы продукта А равна пяти денежным ед , стоимость единицы продукта В равна 2ден ед и всего на покупку продуктов А и В ассигновано 20 денежных ед ?

Решение.

Основной метод  решения этой задачи состоит в  следующем: составляется функция Лагранжа

где Ai,...,A_m — переменные, называемые множителями Лагранжа.

Справедливо следующее  правило.

Правило 3.3. Точка, являющаяся точкой условного экстремума, должна быть стационарной точкой функции Лагранжа {т. е. в этой точке все частные производные функции Лагранжа L по переменным x₁,…, х_n, ₁,..., _m должны быть равны нулю).

Метод нахождения условного экстремума, основанный на правиле 3.3, называется методом множителей Лагранжа.

В данной задаче целевая функция задается в виде f(x,y)= 5х^1/3у^2/3, а система ограничений сводится к уравнению 5x+2y=20. Составим функцию Лагранжа L(x,y, )= )= 5х^1/3у^2/3+ (20-5x-2y).

Находя частные производные  функции L и приравнивая их нулю, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y,

 

Решаем эту систему, получаем  x= , y = . Подставляем эти значения в данную функцию получаем, что наибольшее количество продукта С, которое может быть произведено, равняется f( , )= 5( )^1/3( )^2/3=19,42.

 

 

Задание 3.

 

Количество продукта С, производимого из продуктов А и В, находится по формуле f(x, у) =2х + 3у, где х — количество продукта А, у — количество продукта В Какое максимальное количество продукта С может быть получено при условии, что х и у связаны ограничением 4х² + 9у² < 72?

Решение.

Задача максимизации производственной функции состоит в следующем. Найти максимум производственной функции f(x₁,. .., х_п) в допустимой области D = {х Rⁿ : {р,х) d; x₁,. . ., х_п 0}, где d > 0, р = (р¹, ... ,р^п) — заданные величины.

    Здесь допустимая  область D={(x,y) R2: 4х2 + 9у2 < 72 ; x,y 0}. Эта область представляет собой четверть эллипса, ограниченную осями системы координат, лежащую в I координатной четверти (рис. 4).

 

рис. 4

 

 

 

Линии уровня целевой  функции определяются уравнением: с =2х + 3у. При каждом фиксированном с > 0 линия уровня представляет прямую. Точкой максимума функции f(x, у) является М*(х*; у*), для которой проходящая через нее прямая касается эллипса . Приближенно значения координат точки М* определяют по графику. Для нахождения точных значений координат точки М* составим систему

 

Прямая, проходящая через  точку М*, характеризуется тем, что  при соответствующем ей значении константы с = с* система имеет единственное решение — это обстоятельство мы и используем для нахождения х*,у*. Выражая из первого уравнения x=         подставляя его во второе уравнение и возводя обе части в квадрат, получаем в результате квадратное уравнение относительно y:

18y² -6cy + с²-72 = 0.

Последнее уравнение  также должно иметь единственное решение, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю. Имеем

D = -36 с²+5184 = 0, откуда с* = 12. Находим: y* = 2, x* = 3.

Максимальное количество продукта С высчитывается по формуле 2*3+3*2=12.

 

Задание 4.

 

В табл. 1 приведено количество белков Б , жиров Ж, углеводов У, витаминов В в единице продукта П₁ и II₂, а также минимальная норма питательных веществ в смеси этих продуктов и стоимость единицы продуктов П₁ и П_2. Найдите оптимальную смесь продуктов П₁ и П₂

 

Таблица 1

	Б	Ж	У	В	Стоимость
П1	4	3	8	7	4
П2	5	18	2	3	3
Минимальная норма	20	36	16	21

 

Решение.

Определение. а) План называется допустимым, если он может быть реализован, т. е. если для его реализации хватает ресурсов всех типов.

б) План называется оптимальным, если, во-первых, он является допустимым, и, во-вторых, дает максимальную прибыль среди всех допустимых планов.

Задача нахождения оптимального плана сводится к следующей оптимизационной  задаче: найти максимум линейной функции

f(x₁, ...,x_n) = с₁х₁ +…+ с_пх_п

в допустимой области D, выделяемой системой линейных неравенств при граничных условиях х_i > 0 (i=  ). Это — частный случай общей задачи линейного программирования.

Здесь система ограничений  сводится к системе линейных неравенств

при граничных условиях неотрицательности х 0, у 0. Целевая функция имеет вид: f(x,y) = 4х + 3у, а семейство линий уровня — это семейство прямых 4х + 3у = с, где с — константа. Градиентом целевой функции здесь является постоянный вектор g = grad f с координатами (4; 3), который перпендикулярен всем линиям уровня. Задача нахождения глобального максимума функции f(x,y) в допустимой области D в данном случае может быть решена графическим способом. Точка глобального максимума функции f(x,y) в области D это та вершина М*, через которую проходит линия уровня при наибольшем возможном значении константы с (геометрически точка М* получается перемещением прямой 4х + 3у = с в направлении градиента до тех пор, пока она еще пересекает область D). Приближенно значения координат (х*; у*) точки М* могут быть найдены по графику :

Для нахождения точных значений (х*; у*) составим систему из уравнений прямых (l₃) и (l₄), пересечением которых является эта точка:

Решая систему, находим х*= 0,6; у* = 5,6.

 

Задание 5.

Используя графический  метод, найдите оптимальный производственный план в задаче, заданной табл.

Таблица

	1	2	3	4	Прибыль
1	24	15	8	10	6
2	8	15	16	5	7
Запас	120	150	128	60

 

 

Решение.

Все рассуждения аналогичны, как и в предыдущей задаче.

Система ограничений  выглядит следующим образом:

Семейство линий уровня — это семейство прямых 6х + 7у = с.

 

 

Задание 6.

 

   При выборе квартиры в качестве существенных критериев взяты р₁ — метраж (в м²), р2 — время поездки на работу (в мин), р3 — время поездки в зону отдыха (в мин), при этом критерий p1 рассматривается как позитивный, а критерии р2 и р3 — как негативные. Сравните по предпочтительности семь вариантов, представленных в табл. 1

Таблица 1

	Критерий
Вариант	P1	Р2	Р3
1	60	50	30
2	50	45	25
3	45	30	20
4	60	40	30
5	42	20	10
6	45	30	15
7	48	45	25

Указание. Первый этап анализа — отбрасывание вариантов, доминируемых по Парето. Второй этап — сужение Парето-оптимального множества с помощью процедур, основанных на дополнительной информации, получаемой от принимающего решение, о критериях или свойствах оптимального решении.

 

Решение.

1)4 1, 6 3, 2 7.

Q={2,4,5,6}- парето-оптимальное множество

2)

а) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение:

метраж — не менее 45 м²;

время поездки на работу — не более 35 мин;

время поездки в зону отдыха — не более 25 мин.

Варианты, удовлетворяющие  этим дополнительным ограничениям: {3,6}; из них оптимальными по Парето является вариант 6.

б) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного критерия выступает критерий p3; ограничения: метраж — не менее 50 м², время поездки на работу — не более 50мин. Отбросим варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям; остаются варианты: {2, 4}. Из них минимальное время поездки в зону отдыха имеет вариант 2. Этот вариант и будет оптимальным.

в) Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относительной важности, например, следующим образом: p1>p2>p3 (т.е. важнейший критерий — метраж, следующий за ним по важности — время поездки на работу, наименее важный критерий — время поездки в зону отдыха). Максимальное значение по критерию p1 имеют варианты 1 и 4. Далее сравниваем эти варианты по второму по важности критерию р2. Вариант 4 является здесь оптимальным.

 

Задание 7.

 

Используя в качестве обобщенного критерия для задачи 6 критерий, постройте полное ранжирование вариантов мест работы.

 Соответствует ли полученное ранжирование вашим предпочтениям?

Решение.

Определение. Под обобщенным критерием будем понимать отображение , удовлетворяющее условию

 

 

 

Критерий. Итоговой численной оценкой исхода а является сумма нормализованных оценок по всем критериям (нормализованная оценка по j-му критерию есть отношение fj(a)/Mj: , где

M₁=60, M₂=50, M₃=30.

f(1)=60/60-50/50-30/30=-1

f(2)=50/60-45/50-25/30=-27/30

f(3)=45/60-30/50-20/30=-11/60

f(4)=60/60-40/50-30/30=-4/5

f(5)=42/60-20/50-10/30=-1/30

f(6)=45/60-30/50-15/30=-7/20

f(7)=48/60-45/50-25/30=-28/30

Получаем, что 5 вариант  наиболее предпочтительный, который  соответствует лексикографической оптимизации.