Математические модели и методы их расчета

1.  Моделирование   экономических   систем.

Основные  понятия  и  определения. 

1.1.  Возникновение и  развитие системных  представлений 

      Научно-техническая  революция привела к возникновению  таких понятий, как большие и сложные  экономические системы, обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость решения таких проблем привела к появлению особых подходов и методов, которые постепенно накапливались и обобщались, образуя, в конце концов, особую науку - системный анализ.

      В начале 80-х годов системность  стала не только теоретической категорией, но и осознанным аспектом практической деятельности. Широко распространилось понятие того, что наши успехи связаны  с тем, насколько системно мы подходим к решению возникающих проблем, а наши неудачи вызваны отсутствием  системности в наших действиях. Сигналом о недостаточной системности  в нашем подходе к решению  какой-либо задачи является появление  проблемы, разрешение же возникшей  проблемы происходит, как правило, при  переходе на новый, более высокий, уровень  системности нашей деятельности. Поэтому системность не только состояние, но и процесс.

      В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и  соответствующие методы решения  специфических проблем, которые  получили различные названия: в военных  и экономических вопросах - «исследование операций», в политическом и административном управлении - «системный подход», в философии «диалектический материализм», в прикладных научных исследованиях - «кибернетика». Позже стало ясно, что все эти теоретические и прикладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение», которое постепенно оформилось в науку, получившую название «системный анализ». В настоящее время системный анализ является самостоятельной дисциплиной, имеющей свой объект деятельности, свой достаточно мощный арсенал средств и свою прикладную область. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный анализ использует все средства современных научных исследований - математику, моделирование, вычислительную технику и натурные эксперименты. 

þ Самая интересная и сложная часть системного анализа - это «вытаскивание» проблемы из реальной практической задачи, отделение важного от несущественного, поиск правильной формулировки для каждой из возникающих проблем, т.е. то, что называется «постановкой задачи». 

      Многие  довольно часто недооценивают работу, связанную с формулировкой задачи. Однако многие специалисты полагают, что «хорошо поставить задачу - значит на половину ее решить». Хотя в  большинстве случаев заказчику  кажется, что он уже сформулировал  свою проблему, системный аналитик знает, что предлагаемая клиентом постановка задачи является моделью его реальной проблемной ситуации  и неизбежно  имеет целевой характер, оставаясь  приблизительной и упрощенной. Поэтому  необходимо проверить эту модель на адекватность, что приводит к  развитию и уточнению первоначальной модели. Очень часто первоначальная формулировка изложена в терминах не тех языков, которые необходимы для  построения модели. 
 

1.2.  Модели и моделирование.  Классификация моделей 

      Первоначально моделью называли некое вспомогательное  средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь  моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками. 

В настоящее время  для постижения истины существует 3 пути: 

À теоретическое исследование;

Á эксперимент;

 моделирование. 

þ Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества: 

- дешевизну;

- наглядность;

- легкость оперирования и т.п. 

þ В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй. 

      Paзвитие  понятия модели вышло за пределы  математических моделей и стало  относиться к любым знаниям  и представлениям о мире. Поскольку  модели играют чрезвычайно важную  роль в организации любой деятельности  человека их можно разделить  на познавательные (когницитивные) и прагматические, что соответствует делению целей на теоретические и практические.

þ Познавательная модель ориентирована на приближении модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.

þ Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтомy при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.

      Другим  принципом классификации целей  моделирования может служить  деление моделей на статические и динамические. 

þ Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими. Примером являются структурные модели систем.

þ В тех же случаях, когда возникает необходимостъ в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели  систем. 

      В распоряжении человека имеется два  типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающею материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные. 

þ Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика. 

1.3.  Виды подобия моделей 

      Чтобы некоторая материальная конструкция  могла быть моделью, т.е. замещала в  каком-то отношении оригинал, между  оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия, что придает моделям  особенности, специфичные для каждого  способа. 

þ Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым. Примером такого подобия являются фотографии, масштабированные модели самолетов, кораблей, макеты зданий, выкройки, куклы и т.д. 

      Следует помнить, что как бы хороша ни была модель, она все-таки лишь заменитель оригинала, только в определенном отношении. Даже тогда, когда модель прямого  подобия выполнена из того же материала, что и оригинал, т.е. подобна ему  субстратно, возникают проблемы переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при испытании уменьшенной  модели самолета в аэродинамической трубе задача пересчета данных модельного эксперимента становится нетривиальной  и возникает разветвленная, содержательная теория подобия, позволяющая привести в соответствие масштабы и условия  эксперимента, скорость потока, вязкость и плотность воздуха. Трудно достигается  взаимозаменяемость модели и оригинала  в фотокопиях произведений искусства, голографических изображениях предметов  искусства. 

þ Второй тип подобия между моделью и оригиналом называется косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью объективно существует в природе и обнаруживается в виде достаточной близости или совпадения их абстрактных математических моделей и вследствие этого широко используется в практике реального моделирования. Наиболее характерным примером может служить электромеханическая аналогия между маятником и электрическим контуром. 

      Оказалось, что многие закономерности электрических  и механических процессов описываются  одинаковыми уравнениями, различие состоит в разной физической интерпретации  переменных, входящих в это уравнение. Роль моделей, обладающих косвенным  подобием, очень велика и роль аналогий (моделей косвенного подобия) в науке  и практике трудно переоценить. Аналоговые вычислительные машины позволяют найти  решение почти всякого дифференциального  уравнения, представляя собой, таким  образом, модель, аналог процесса, описываемого этим уравнением. Использование электронных  аналогов в практике определяется тем, что электрические сигналы легко  измерить и зафиксировать, что дает известные преимущества модели. 

þ Третий, особый класс моделей составляют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называется условным. С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто, поскольку они являются способом материального воплощения абстрактных моделей. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), всевозможные сигналы (модели сообщения). 

      Например, сигналом наступления кочевников  у древних славян служили костры на курганах. Бумажные денежные знаки  могут играть роль модели стоимости  только до тех пор, пока в среде  их обращения существуют правовые нормы, поддерживающие их функционирование. Керенки в настоящее время  имеют только историческую ценность, но это не деньги, в отличие от царских золотых монет, которые  представляют материальную ценность из-за наличия благородного металла. Особенно наглядна условность знаковых моделей: цветок в окне явочной квартиры Штирлица означал провал явки, ни сорт, ни цвет не имели никакого отношения к  знаковой функции цветка. 

1.4.  Адекватность  моделей 

      þ Модель, с помощью которой успешно достигается поставленная цель, будем называть адекватной этой цепи. Адекватность означает, что требования полноты, точности и правильности (истинности) модели выполнены не вообще, а лишь в той мере, которая достаточна достижения поставленной цели.

      В ряде случаев удается ввести меру адекватности некоторых целей, т.е. указать способ сравнения двух моделей  по степени успешности достижения цели с их помощью. Если к тому же есть способ количественно выразить меру адекватности, то задача улучшения  модели существенно облегчается. Именно в таких случаях можно количественно  ставить, вопросы об идентификации  модели т.e. о нахождении в заданном классе моделей наиболее адекватной, об исследовании чувствительности и  устойчивости моделей т.e. зависимости  меры адекватности модели от ее точности, об адаптации моделей, т.е. подстройке параметров модели с целью повышения  ее точности.

      Приближенность  модели не следует путать с адекватностью. Приближенность модели может быть очень  высокой, но во всех случаях модель - это другой объект и различия неизбежны (единственной совершенной моделью  любого объекта является сам объект). Величину, меру, степень приемлемости различия можно ввести, только соотнося его с целью моделирования. Так  некоторые подделки произведений искусства  даже эксперты не могут отличить от оригинала, но все-таки это всего  лишь подделка, и с точки зрения вложения капитала не представляет никакой  ценности, хотя для любителей искусства  ничем не отличается от оригинала. У  английского фельдмаршала Монтгомери во время войны был двойник, появление  которого на разных участках фронта намеренно  дезинформировало разведку немцев.

      Упрощение является сильным средством для  выявления главных эффектов в  исследуемом явлении: это видно  на примере таких явлений физики, как идеальный газ, абсолютно  упругое тело, математический маятник  и абсолютно твердый рычаг.

      Есть  еще один, довольно загадочный, аспект упрощенности модели. Почему-то оказывается, что из двух моделей, одинаково хорошо описывающих систему, та  модель, которая проще, ближе к истине. Геоцентрическая модель Птоломея позволяла  рассчитать движение планет, хотя и  по очень громоздким формулам, с  переплетением сложных циклов. Переход  к гелиоцентрической модели Коперника  значительно упростил расчеты. Древние  говорили, что простота - печать истины. 

2.  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ  И  МЕТОДЫ  ИХ  РАСЧЕТА 

2.1.  Понятие  операционного   исследования 

      Bпервые  математические модели были использованы  для решения практической задачи  в 30-х годах в Великобритании  при создании системы противовоздушной  обороны. Для разработки данной  системы были привлечены ученые  различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.

      Решения человек принимал всегда и во всех сферах своей деятельности. Раньше хотели, чтобы принимаемые решения  всегда были правильными. Теперь принято  говорить, что решения должны быть оптимальными. Чем сложнее объект управления, тем труднее принять  решение, и, следовательно, тем легче  допустить ошибку. Вопросам принятия решений на основе применения ЭВМ  и математических моделей посвящена  новая наука «Исследование операций», приобретающая в последние годы все более обширное поле приложений. Эта наука сравнительно молодая, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными.

      Предмет под названием «Исследование  операций» входит в программу  элитарных вузов, но не всегда в этот термин вкладывается одно и то же содержание. Некоторые ученые под «исследованием операций» понимают, главным образом, математические методы оптимизации, такие  как линейные, нелинейные, динамическое программирование. Другие к исследованию операций подходят с позиции теории игр и статистических решений. Наконец, некоторые ученые вкладывают в понятие  «исследование операций» чрезмерно  широкий смысл, считая ее основой  системного анализа и «наукой  наук».

þ Под термином «исследование операций» мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. 

      Окончательно  термин «исследование операций»  закрепился в конце Второй мировой  войны, когда в вооруженных силах  США были сформированы специальные  группы математиков и программистов, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми  действиями. В дальнейшем исследование операций расширило область своих  применений на самые разные области  практики: экономика, транспорт, связь  и даже охрана природы.

      чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо, кроме опыта и интуиции. Правда, никакой гарантии правильности, а тем более оптимальности при этом нет. Подчеркнем, что ЭВМ никаких решений не принимает. Решение принимает человек (ЛПР). А ЭВМ только помогает найти варианты решений. Непременное присутствие человека (как окончательный инстанции принятия решений) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов, есть тоже решение. По мере автоматизации управления функции человека перемещаются с одного уровня управления на другой - высший. Основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ показаны на Рис. 2.1. 

ъ

Рис. 2.1. Основные этапы решения задачи принятия решения с помощью ЭВМ. 

выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два: 

À должно существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, значит и выбирать не из чего);

Á надо четко знать в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим (кто не знает, куда ему плыть - тому нет и попутного ветра). 

      Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Когда производится содержательная постановка задачи, к ней привлекаются специалисты в предметной области. Они прекрасно знают свой конкретный предмет, но не всегда представляют, что  требуется для формализации задачи и представления ее в виде математической модели.

      Хорошую модель составить не просто. Известный  математик Р.Беллман сказал так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если слишком упростим ее, то она  перестанет удовлетворять нашим  требованиям». Таким образом, исследователь  должен пройти между западнями Переупрощения  и болотом Переусложнения. Для  выполнения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости. Эти правила применительно  к задачам математического моделирования  и формулируются так: учесть главные  свойства моделируемого объекта; пренебрегать его второстепенными свойствами; уметь отделить главные свойства от второстепенных.

      Составление модели - это искусство, творчество. Древние говорили: «Если двое смотрят  на одно и то же, это не означает, что оба видят одно и то же». И слова древних греков: «Если  двое делают одно и то же, это не значит, что получится одно и то же». Эти  слова в полной мере относятся  к составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения. 

Можно выделить следующие  основные этапы операционного  исследования: 

À наблюдение явления и сбор исходных данных;

Á постановка задачи;

 построение математической модели;

à расчет модели;

Ä тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться на этап 3, т.e. предложить для решения задачи другую математическую модель; либо вернуться на этап 2, т.e. поставить задачу более корректно;

Å применение результатов исследований. 

      Таким образом, операционное исследование является итерационным процессом, каждый следующий  шаг которого приближает исследователя  к решению стоящей перед ним  проблемы. В центре операционного  исследования находятся построение и расчет математической модели. 

þ Математическая модель - это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

þ Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы. 

      Проведение  операционного исследования, построение и расчет математической модели позволяют  проанализировать ситуацию и выбрать  оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Применение математических моделей  необходимо в тех случаях, когда  проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.

      Использование математических моделей позволяет  осуществить предварительный выбор  оптимальных или близких к  ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и  лицо, принимающее решение, может  руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных  «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком  задачи и исследователем.

      В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных  решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное  управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство  проектом, распределение инвестиций и т.п. 

2.2.  Классификация   и  принципы  построения

математических  моделей 

Можно выделить следующие  основные этапы построения математической модели: 

À Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

Á Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

 Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

à Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

Ä Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

Å Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи. 

Введем  следующие  условные  обозначения: 

a - параметры модели;

x - управляющие переменные или решения;

X - область допустимых решений;

x - случайные или неопределенные факторы;

W - целевая функция или критерий эффективности (критерий оптимальности). 

W=W (x, a, x) 

      В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет  следующий вид: