Математические модели. 2

ВВЕДЕНИЕ

Мир, окружающий нас, огромен. Его разнообразие поражает человека уже много веков. Гармонию мира стараются передать в своих произведениях художники, поэты, писатели. Языком науки пытаются описать гармонию мира ученые. И если им удается уловить самое существенное в том маленьком фрагменте мировой картины, который стал объектом их внимания, получается шедевр, происходит открытие.

Впрочем, умение выделять существенное небесполезно для каждого  из нас. Ведь тогда не будут растрачены по пустякам силы и средства, отчетливо будет обозначена цель и намечены пути к ее достижению, появится возможность оценить перспективы и последствия. Уловив самое важное, мы превращаем информационный хаос в стройную модель стоящей перед нами задачи. Вообще, какую бы задачу ни взялся решать человек, первым делом он строит модель – иногда осознанно, а иногда и нет. С моделями мы имеем дело ежедневно, ежечасно и, может быть, даже ежеминутно.

Проведение операционного  исследования, построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения.

Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.

Использование математических моделей позволяет осуществить  предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям.

Они научно обоснованы, и  лицо, принимающее решение, может  руководствоваться ими при выборе окончательного решения.

В настоящее время  математические модели применяются  для анализа, прогнозирования и  выбора оптимальных решений в  различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и так далее.

Поэтому умение строить  оптимальные модели для решения  жизненных задач является важным как для отдельной личности, так и для сообщества людей в целом, а, следовательно, актуальной является задача изучения моделей, общих принципов их построения и реализация моделирования и формализации с помощью программирования.

Данная курсовая работа состоит из двух основных частей: теоретической и практической.

В теоретической части  курсовой работы рассматриваются классификации математических моделей, общие принципы их построения и практическое применение математических моделей.

В практической части  курсовой работы ведется разработка программы на языке программирования Turbo Pascal 7.0, которая находит решение транспортной задачи.

1 ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 
И МЕТОДОВ ИХ РАСЧЕТА

1.1 Сущность моделирования и общая классификация моделей

Первым этапом любого исследования является постановка задачи, которая определяется заданной целью. От того, как понята цель моделирования, зависит и вид модели, и выбор программной среды и получаемые результаты.

На начальном этапе  моделирования выделяются существенные признаки изучаемого объекта и дается развернутое содержательное описание связи между ними (системный анализ), то есть осуществляется неформальная постановка задачи. Следующим важным этапом моделирования является формализация содержательного описания связей между выделенными признаками с помощью некоторого языка кодирования: языка схем, языка математики (“перевод“ полученной структуры в какую-либо заранее определенную форму).

Естественные языки  используются для создания текстовых  описательных информационных моделей. Например, такой литературный жанр, как басня или притча, имеет непосредственное отношение к понятию модели, поскольку смысл этого жанра состоит в переносе отношений между людьми на отношения между животными, между вымышленными людьми. Более того, всякое литературное произведение может рассматриваться как модель (информационная), ибо фокусирует внимание читателя на определенных сторонах человеческой жизни.

В истории науки также  известны многочисленные текстовые  информационные модели, например, гелиоцентрическая модель мира, которую предложил Коперник, формулировалась следующим образом: не Солнце движется вокруг Земли, а, наоборот, Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца; орбиты всех небесных тел проходят вокруг Солнца.

С помощью формальных языков строятся информационные модели определенного типа – формально-логические модели.

Например, с помощью  алгебры логики можно построить  логические модели сумматора и триггера.

Формализация – этап перехода от содержательного описания связей между выделенными признаками объекта (словесного или в виде текста) к описанию, использующему некоторый язык кодирования (языка схем, языка математики и так далее).

Формализация – процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков.

Моделирование любой  системы невозможно без предварительной формализации. По сути, формализация – это первый и очень важный этап процесса моделирования.

Первый (зачастую наиболее важный) этап формализации – выявление  основных концептуальных составляющих модели. На этом этапе детали работы модели не рассматриваются. Основное внимание уделяется определению входов, то есть того, что модель должна обрабатывать, и выходов – того, что модель производит. Модель на данном этапе называется «черным ящиком», поскольку еще не известно, какая логика будет реализована в модели (рисунок 1.1).

После определения входов и выходов модели необходимо разбить  их на две категории. Входы, именуемые  внешними переменными, делятся на решения  – переменные, контролируемые человеком, и параметры – переменные, которыми человек управлять не может. Многие неконтролируемые входные величины могут быть неизвестны заранее. Трактуя их как параметры, можно строить модель так, как если бы они были известны. Позднее можно конкретизировать численные значения данных величин, проанализировав данные и оценив эти значения, или

просто задать предполагаемые значения величин при анализе модели.

Выходы, называемые внутренними  переменными, делятся на показатели эффективности (или критерии) – переменные, которые определяют степень приближения к цели, и результирующие переменные, которые отражают другие следствия моделирования и помогают понимать и интерпретировать результаты работы модели. Критерии особенно важны, так как именно они используются, чтобы определить, насколько удалось приблизиться к цели. Поэтому критерии часто называют целевыми функциями.

Несмотря на простоту концептуальной схемы «черного ящика», она заставляет в самом начале процесса моделирования определить, что следует включать в модель, а что исключить из нее, а также разобраться с классификацией соответствующих факторов.

Примером неформального  описания модели является кулинарный рецепт или словесное описание модели парусника, или словесная формулировка второго закона Ньютона.

Под моделью  понимается некий объект-заместитель, который в определенных условиях заменяет изучаемый объект-оригинал, воспроизводя наиболее существенные его свойства и обеспечивая большее удобство оперирования.

Первоначально в качестве моделей одних объектов применялись  другие объекты. Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков и карт. Отдельный класс составляют физические аналоговые модели: электрические, пневматические и так далее. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями одних реальных объектов могут служить не только другие реальные объекты, но и абстрактные идеальные построения, типичным примером которых служат математические и другие символические модели, в частности сам язык.

Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получаем физико-математиче-скую модель системы или математическую модель физической системы.

В частности, физиологическая  система – система кровообращения человека, подчиняется некоторым законам термодинамики и, описав эту систему на

физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Модели, если отвлечься  от областей, сфер их применения, бывают трех типов:

• познавательные,
• прагматические,
• инструментальные.

Познавательная модель – форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель – средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.

Инструментальная модель – является средством построения, исследования и (или) использования прагматических и (или) познавательных моделей.

Познавательные отражают существующие, а прагматические – хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические – на основе эмпирических фактов, зависимостей, теоретические – на основе математических описаний и смешанные, полуэмпирические – использующие эмпирические зависимости и математические описания.

Можно также  рассмотреть другую классификацию  моделей, представленную на рисунке 1.2.

Примером описательной (вербальной) модели является гелиоцентрическая модель мира (Коперника):

• Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;
• орбиты всех планет проходят вокруг Солнца.

В качестве примера математической модели можно рассмотреть математическую модель равномерного равноускоренного движения:

x =v₀*cosa*t;

y=v₀ *sina*tga*t²/2

В некоторых источниках можно встретить классификацию  моделей, представленную на рисунке 1.3.

1.2 Классификация математических моделей

Математическая модель – это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Классификацию математических моделей можно проводить, используя  различные критерии. Рассмотрим виды классификаций математических моделей.

1. Классификация по числу критериев эффективности.

По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Однокритериальные математические модели содержат только один критерий. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

2. Классификация по учету неизвестных факторов.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях  неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и так далее).

Среди стохастических характеристик можно выделить:

- модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

- модели теории случайных  процессов, предназначенные для  изучения процессов, состояние  которых в каждый момент времени  является случайной величиной;

- модели теории массового  обслуживания, в которой изучаются  многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

Также к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.

Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.

В моделях теории игр  задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например организация предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях  реальный процесс разворачивается  в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.

В детерминированных  моделях неизвестные факторы  не учитываются. Несмотря на кажущуюся  простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач.

По виду целевой функции  и ограничений детерминированные модели делятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая  функция и ограничения линейны  по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

Hелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случиться и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

В динамических моделях, в отличие от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в дина-

мических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

В общем, классификацию  математических моделей удобно представить в виде схемы (рисунок 1.4).

1.3 Принципы построения математических моделей

При изучении любого физического  или другого какого-либо явления  сначала получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования  качественное представление переходит в количественное.

Одновременно определяют функциональные зависимости между переменными, и для каждого варианта входных данных находят выходные данные системы. Построение моделей – процедура неформальная. Она в значительной мере зависит от опыта исследователя и всегда опирается на экспериментальный материал. Модель должна правильно отражать явления, но этого мало. Она должна быть удобной для пользования. Поэтому форма представления модели и степень детализации описания процесса или явления с ее помощью зависят от целей исследования и непосредственно от исследователя.

Сегодня построение математических моделей охватывает чрезвычайно  обширные области знаний. Выработано немало принципов и подходов, носящих  достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа – выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы отбора. Здесь термин движение употребляется в широком смысле: изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая (самая высокая организация материи).

На уровне неживой  материи основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и момента количества движения.

Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записываются законы сохранения. Но законы сохранения не выделяют единственного движения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные дополнительные ограничивающие условия: граничные, начальные и так далее. Другие принципы отбора (например, принцип минимума диссипации энергии или условия устойчивости) производят дальнейшее сужение множества возможных движений.

На уровне живой материи  все принципы отбора движений, которые справедливы для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже иными.

Почти все взаимодействия живой материи динамические, то есть зависят

от времени, постоянно изменяются. Более того, взаимодействия часто  имеют особенность, которую в технике называют обратной связью. Взаимодействия характеризуются тем, что некоторые эффекты процесса возвращаются к своему источнику или к предыдущей стадии. В результате эти эффекты усиливаются или видоизменяются. Обратные связи бывают положительными (усиление эффекта) и отрицательными (ослабление эффекта). Итак, при описании биологических систем следует основываться на законах сохранения и системе обратных связей.

На общественном уровне организации материи возникает  совершенно новое явление – трудовая деятельность. Поэтому для построения таких моделей следует пользоваться терминами трудовой деятельности человека (экономическими терминами).

В некоторых случаях при изучении процесса может оказаться, что получить функциональные зависимости между выходными и входными переменными невозможно из-за недостатка данных. Тогда приходится использовать мнение экспертов (специалистов).

Процесс построения модели можно представить в виде схемы (рисунок 1.5).

Нисходящее моделирование  предполагает, что процесс может  происходить следующим образом: сначала, исходя из общих соображений, определяются переменные, затем они связываются в модели на основании гипотез об алгебраических видах их связей и предполагаемых значениях всех параметров. В результате используется нисходящий способ моделирования, в котором основными являются общие знания и суждения разработчика модели о значениях данных и математических связях между ними, а также о будущем применении этих общих знаний. Полученные таким образом модели изначально являются недостаточно обеспеченными данными.

При восходящем моделировании  исходят из того, что модель можно  разработать, сфокусировав внимание на переменных, отражающих собранные данные затем объединить их в модель, определив путем анализа данных связи между ними и оценив значения всех параметров. В результате модели строятся восходящим способом, а главным являются точные, легко доступные данные и суждения

об их будущем применении. Полученные модели с самого начала хорошо обеспечены данными и содержат сотни или тысячи элементов данных, которые впоследствии уточняются, чтобы оценить параметры модели в процессе так называемого извлечения информации из данных.

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели.

1. Определение цели, то есть, определение, чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
2. Определение параметров модели, то есть заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
3. Формирование управляющих переменных, изменяя значения которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
4. Определение области допустимых решений, то есть тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
5. Выявление неизвестных факторов, то есть величин, которые могут изменяться

случайным или неопределенным образом.

6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, то есть формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Введем следующие условные обозначения:

 – параметры модели;

x - управляющие переменные  или решения;

X - область допустимых  решений;

x- случайные или неопределенные факторы;

W - целевая функция  или критерий эффективности (критерий  оптимальности).

W=W (x, , x).

В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:

Решить задачу – это значит найти такое оптимальное решение х^* Î X, чтобы при данных фиксированных параметрах a и с учетом неизвестных факторов x значения критерия эффективности W было по возможности максимальным (минимальным).

W^*₌W (x^*, a, x) = max (min)W (x^*, a, x). xÎX

Таким образом, оптимальное  решение – это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности.

Перечислим некоторые  основные принципы построения математической модели.

1. Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
2. Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
3. Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.
4. Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой (сохранять свойства и структуру при этих воздействиях).

Соответственно  говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и так далее. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и прочее.

В настоящее  время широко используется математическое моделирование и тогда, когда  о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия, доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее.

История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные  гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.

Математический  аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме  классических разделов математического  анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

1.4 Примеры построения математических моделей

Рассмотрим примеры построения математических моделей при решении различных задач.

Задача 1.

Предприятие располагает определенными производственными мощностями для изготовления изделий и может выпускать изделия фиксированных наименований для их последующей реализации. Требуется определить оптимальный состав производственного заказа и способы его изготовления.

Построим математическую модель для этой задачи.

1. Цель:
• максимизация прибыли от реализации;
• минимизация себестоимости изготовления;
• минимизация времени обработки.
2. Параметры модели:

m – число единиц оборудования;

n – число наименований изделий, которое может выпускать предприятие;

Ti – фонд времени работы i-й единицы оборудования (i= );

l_k – число различных способов изготовления изделия k-го наименования, характеризующихся различным временем обработки на единице оборудования i-го типа;

 – время обработки изделия  k-го наименования, изготавливаемого l-м способом на оборудовании i-го типа (i= , l= , k= );

_k – спрос на изделие k-го наименования (k= );