Математический Анализ

 

 

 

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

БАЙКАЛЬСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ  И УПРАВЛЕНИЯ

НАПРАВЛЕНИЕ «БАКАЛАВР ЭКОНОМИКИ»

 

ЭКЗАМЕЦИОННАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математический анализ»

 

Срок обучения – 5 лет

2 курс 3 семестр

12 вариант

 

Вопрос 1. Понятия дифференциала и производной функции. Геометрический смысл производной и дифференциала

Вопрос 2. Функция нескольких переменных. Область определения, непрерывность функции двух переменных

Задача

 

Выполнил: студент  заочной формы обучения

КУЗНЕЦОВА СВЕТЛАНА НИКОЛАЕВНА  602935

 

Проверил_________________________________

Оценка_____________ Подпись______________

 

 

Улан-Удэ

2013

 

Содержание

 

 Стр.

 

Первый вопрос…………………………………………………………….......3

Введение……………………………………………………………………......3

1. Понятия дифференциала и производной функции. ………………………5

2. Геометрический смысл производной и дифференциала……….. ………...6

Второй вопрос……………………………………………………………….....7

Введение…………………………………………………………………………7

1. Функция нескольких переменных…………………………….……………..9

2. Область определения, непрерывность функции двух переменных ...……12

Список литературы………………………………………………………….....15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 1. Понятия дифференциала и производной функции. Геометрический смысл производной и дифференциала

 

Введение

 

В современной жизни социальная реклама является одним из самых  актуальных направлений. Возникла социальная реклама, как призыв в Америке, когда  было необходимо призвать граждан к  войне в Европе. И если изначально она была некоммерческой, а призванной привнести изменения в жизнь  человека, то на сегодняшний день это  одна из активно развивающихся коммерческих отраслей. С помощью социальной рекламы  борются с конкурентами, продвигают товары, добиваются разрешения на постройку  каких-либо объектов и др.. Но независимо от того коммерческая реклама или некоммерческая ее результат надо оценивать – для того чтобы знать были ли достигнуты поставленные цели. В социальной рекламе для этой цели используются метод Осгуда и шкала Лебедева – Боровикова. Итоговая эффективность оценивается по 2 направлениям – коммерческая – по продажам, а некоммерческая – по количеству призванных сторонников. Вообще от одной рекламной кампании маловероятно получить большой результат. Поэтому вводятся еще критерии – узнаваемость, лояльность к акции и др.. Измеряются количественными опросами и глубинными интервью. Тема моей контрольной работы – это семантический дифференциал и сравнение с эталоном. Семантический дифференциалангл. semantic differential) — метод построения индивидуальных или групповых семантических пространствангл. semantic Координатами объекта в семантическом пространстве служат его оценки по ряду биполярных градуированных (трех-, пяти-, семибалльных) оценочных шкал (англ. rate scale), противоположные полюса которых заданы с помощью вербальныхантонимов. Эти шкалы отобраны из множества пробных шкал методамифакторного анализа. Разработал этот метод в 1952 году Чарльз Осгуд для психосемантических исследований – то есть исследований эмоций. В своей работе я в основном использую материалы из Интернета. Цель моей работы – разобраться в методе Осгуда.

 

 

 

 

 

 

1. Понятия дифференциала и производной функции.

 

Одним из распространенных экспериментальных  методов оценки восприятия рекламной  продукции является метод семантического дифференциала Ч. Осгуда. Этот метод разработан в 1952 году группой американских ученых(Дж.Сьюси и Л.Танненбаум.) под руководством Чарльза Осгуда для изучения эмоционального отношения людей к тем или иным понятиям для определения их смысла. Метод семантического дифференциала [греч. sêmantikos — обозначающий и лат. differentia — разность] — метод психолингвистики и экспериментальной семантики, является частной разновидностью способов построения субъективных семантических пространств. Был разработан в ходе исследования механизмов синестезии и получил широкое применение в исследованиях, связанных с восприятием и поведением человека, с анализом социальных установок и личностных смыслов. Его используют в психологии и социологии, теории массовых коммуникаций и рекламе, а также в области эстетики. Как полагает Осгуд, метод семантического дифференциала позволяет измерять коннотативные значения — те состояния, которые следуют за восприятием символа-раздражителя и необходимо предшествуют осмысленным операциям с символом. Наиболее близким аналогом коннотативного значения является понятие личностного смысла — "значения для субъекта" (А.Н. Леонтьев, А.А. Леонтьев). Метод семантического дифференциала является комбинацией метода контролируемых ассоциаций и процедур шкалирования. В методе семантического дифференциала измеряемые объекты (понятия, изображения, отдельные персонажи и т. п.) оцениваются по ряду биполярных градуальных (трех-, пяти-, семибальных) шкал, полюса которых заданы с помощью вербальных антонимов. Оценки понятий по отдельным шкалам коррелируют друг с другом, и с помощью факторного анализа удается выделить пучки таких высококоррелирующих шкал, сгруппировать их в факторы. С содержательной стороны фактор можно рассматривать как смысловой инвариант содержания шкал, входящих в фактор. Группировка шкал в факторы позволяет перейти к более емкому описанию объектов с помощью меньшего набора категорий-факторов, представив содержание объекта, его коннотативное значение как совокупность факторов, данных с различными коэффициентами веса. При геометрическом представлении семантического пространства категории-факторы выступают координатными осями некоего n-мерного семантического пространства (где мерность пространства определяется числом независимых, некоррелирующих факторов), а коннотативные значения анализируемой содержательной области задаются как координатные точки или вектора внутри этого пространства.

 

Семантическое пространство является своеобразным метаязыком описания значений, позволяющим путем  разложения их содержания в фиксированном  алфавите категорий-факторов проводить  семантический анализ этих значений, выносить суждения об их сходстве и  различии путем вычисления расстояний между соответствующими значениям  координатными точками в пространстве. В работах Осгуда было выделено три основных фактора ("Оценка", "Сила", "Активность"), объединяющих множество шкал, и для дифференциации коннотативных значений использовалось декартово трехмерное пространство. В дальнейшем, работая с большим количеством шкал и понятий, американским исследователям удалось расширить набор базисных факторов и наряду с факторами "Оценка", "Сила", "Активность" выделить факторы "Сложность", "Упорядоченность", "Реальность", "Обычность". Аналогичные результаты были получены В.Ф. Петренко на материале русской лексики. Наряду с универсальными семантическими дифференциалами, построенными на базе лексики из различных семантических классов, строятся и частные семантические дифференциалы для ограниченных понятийных классов. Например, построен ряд частных семантических пространств: "личный семантический дифференциал", структурирующий прилагательные свойства личности; "дифференциал политических терминов" и т. п. Построение таких частных семантических пространств позволяет проводить и более тонкий семантический анализ, а сами факторные структуры могут интерпретироваться как категориальная сетка данного понятийного класса. Частные семантические пространства, построенные для данной социальной популяции или отдельного индивида, не обладают межкультурной инвариантностью и несут дифференциальные психологические признаки. Последнее делает возможным их применение в психологии индивидуальных различий, но требует процедуры построения субъективного семантического пространства для каждого индивидуального исследования. Наряду с вербальными семантическими дифференциалами разработаны невербальные семантические дифференциалы, использующие в качестве шкал графические оппозиции, живописные картины и фотографические портреты.

 

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения

функции к приращению ее аргумента при  стремлении приращения аргумента к  нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

 

 Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.

Логический  подход при введении производной  в качестве базисного понятия  использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):

 

 

2) исходя  из операции предела функции  в точке через окрестности  (топологическое): a- предельная точка множества E, т.е.

 

 

В действующих  школьных программах по математике при  введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально  формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.

 

 

Вопрос 2. Функция нескольких переменных. Область определения, непрерывность функции двух переменных

 

 

Введение

 

Многие  вопросы естествознания приводят к  рассмотрению такой зависимости  между несколькими переменными  величинами, при которой значение одной из этих переменных величин  полностью определяется значениями остальных переменных.

  Так, например, при рассмотрении  каких-либо физических характеристик  тела (плотности или температуры)  нам приходится учитывать изменение  этих характеристик при переходе  от одной точки тела к другой. Поскольку каждая точка тела  определяется тремя декартовыми  координатами x;y; =; то рассматриваемые характеристики определяются значениями трех переменных.

  При рассмотрении физических  процессов, меняющихся во времени,  значения физических характеристик  определяются значениями четырех  переменных: трех координат точки x;y;=;  и времени t.

  Для изучения такого рода зависимостей  вводится понятие функции нескольких  переменных и развивается аппарат  для исследования таких функций  методами дифференциального исчисления. На случай функции нескольких  переменных распространяются многие  понятия и утверждения, справедливые  для функции одной переменной.

  Понятия из раздела функции  нескольких переменных необходимы  для изучения кратных и криволинейных  интегралов, систем дифференциальных  уравнений, уравнений математической  физики, теории функций комплексного  переменного и операционного  исчисления, многомерных случайных  величин в теории вероятностей  и т.д.

  Из-за малого количества часов,  отводимых на функции нескольких  переменных в общем курсе высшей  математики, часть материала было  бы удобно предоставить студентам  для самостоятельного изучения. Данная работа, по мнению авторов,  служит этой цели. Пособие состоит  из 24 параграфов и охватывает  все темы дифференциального исчисления  функций нескольких переменных, предусмотренные программой курса.  Материал каждого параграфа содержит  основные понятия и теоремы  с доказательством. Как правило,  теорема, доказанная для функций  двух независимых переменных, может  быть распространена на функции  трех и большего числа переменных без существенного изменения хода рассуждения. Поэтому в дальнейшем изложение ограничивается рассмотрением функций двух переменных, а функции большего числа переменных обсуждаются лишь в тех случаях, когда существо вопроса требует для них особого исследования.

  Во всех параграфах содержатся  примеры решения задач, в них  разобраны в основном стандартные  примеры, демонстрирующие применение  тех или иных формул и теорем Приводятся задачи и упражнения для самостоятельной работы. Количество упражнений ограничивается определенным минимумом, достаточным для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. Многие задачи снабжены ответами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Функция нескольких переменных.

 

Многие  явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать  с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия  зависит от прибыли, основных и оборотных  фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции  двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко  обобщаются на случай большего числа  переменных.

Пусть – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел  по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.

Например, формула  , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару  чисел  иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение  функции  в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность  всех точек  , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции  – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .

 

2. Предел  и непрерывность функции двух  переменных

 

Понятия предела и непрерывности функции  двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначается  предел следующим образом:

 

 или  .

 

Пример 1. Найти предел .

Решение. Введем обозначение  , откуда . При имеем, что . Тогда

 

.

 

Определение 3. Функция  называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в  которых условие непрерывности  не выполняется, называются точками  разрыва этой функции. В некоторых  функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось ( ) и ось ( ).

Пример 2. Найти точки разрыва функции  .

Решение. Данная функция не определена в тех  точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .

 

 

 

 

 

2. Область определения, непрерывность функции двух переменных

 

Частные производные первого порядка. Полный дифференциал

Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :

.

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние , получим частное приращение функции по переменной :

.

Величина  называется полным прира-щениием функции в точке .

Определение 4. Частной производной функции  двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или , или .

Таким образом, по определению имеем:

,

.

Частные производные функции  вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .

Пример 3. Найти частные производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) Чтобы найти  считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :

.

Аналогично, считая постоянной величиной, находим :

.

Решение.

б) ;

.

 

Определение 5. Полным дифференциалом функции  называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

.

Учитывая, что дифференциалы независимых  переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде

 или  .

 

Список  используемой литературы

 

1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

2. Гусак А. А.. Математический  анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов  вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А. И., Кузнецов А.  В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с. Бесплатно скачать реферат "Функции нескольких переменных" в полном объеме