Математическое моделироание

Содержание

                                                                                     Лист        

1        Теоретическая часть                                                               4       

2        Практическая часть                                                                                 9            

2.1          Постановка задачи                                                                         9

2.2          Решение задачи                                                            10       

2.3   Экономическая интерпретация                                                14   

3          Список литературы                                                                    15

4          Приложение

4.1 Приложение А

4.2 Приложение B

4.3 Приложение С

X116 - 05 230105   КР-ПЗ 

Лист

3

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

1 Теоретическая часть

Прогнозирование..Методы и приемы прогнозирования
Статистические модели - важный класс моделей, которые предлагает математика исследователю. С помощью этих моделей описываются явления, в которых присутствуют статистические факторы, не позволяющие объяснить явление в чисто детерминистских терминах. Типичные примеры такого рода моделей представляют временные ряды в экономике и финансовой сфере, имеющие тренд-циклическую компоненту и случайную составляющую. Хочет того или нет, исследователь не может исключить случайную составляющую и должен строить свои выводы, учитывая ее наличие.

Прогнозирование, нахождение скрытых периодичностей в данных, анализ зависимостей, оценка рисков при принятии решений и другие задачи решаются в рамках статистических моделей

Метод прогнозирования представляет собой способ рассмотрения объекта прогнозирования, необходимый для составления прогноза. Система специфических правил, приемов и методов определяют методику прогнозирования.

 Среди самых популярных методов составления прогнозов можно назвать:

1.      экстраполяцию;

2.      нормативное вычисление;

3.      интерполяцию;

4.      экспертные характеристики;

5.      математическое моделирование.

Рассмотрим специфику этих методов.

Экстраполяция являет собой метод, для которого характерно осуществление вычисления прогнозируемых показателей как продолжение динамического ряда на будущее по определенной закономерности развития. Экстраполяция — это ничто иное как перемещение закономерностей и тенденций прошлого в будущее, основываясь на связях между показателями одного ряда. Метод способствует выявлению уровня ряда за его границами в будущем. Экстраполяция полезна при составлении краткосрочных прогнозов при условии, что данные динамического ряда представлены ярко и устойчиво.

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

4

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

Нормативный метод прогнозирования сводится к нахождению путей и временных показателей реализации вероятных состояний явления, которые определяются как цель. Здесь имеется в виду прогноз достижения желаемых комбинаций явления на основе заранее определенных норм, идеалов, стимулов и целей. Подобный вопрос дает ответ на вопрос: какой путь (пути) позволяет достигнуть задуманного состояния системы.

Метод экспертных характеристик применяется, как правило, в прогнозах на длительный срок. Роль эксперта играет квалифицированный специалист или группа специалистов определенной области. Такие деятели способны дать долгосрочную достоверную оценку, касающуюся объекта прогнозирования. Наиболее часто такой метод применим в случаях, когда сложно количественно охарактеризовать прогнозный фон. Группа специалистов представляют оценку на основе своего понимания вопроса.

Виды метода экспертных характеристик:

1.      частная экспертная характеристика;

2.      коллективная экспертная характеристика;

3.      метод организации идей;

4.      аналитический метод;

5.      метод общения;

6.      метод экспертных групп;

7.      дельфийский метод;

8.      метод коллективного представления идей;

9.      синоптический метод и т.п.

Сущность метода аналогии заключается в использовании одних и тех же знаний относительно разных предметов или явлений. Метод носит вероятностный характер, поскольку явления или предметы полностью никогда не совпадают. Аналогия бывает: историческая и математическая. Первая базируется на определении и применении аналогии объекта прогнозирования с эквивалентными по природе объектами, развитие которых быстрее по сравнению с подобными прогнозируемыми.

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

5

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

  Метод математической аналогии предполагает нахождении аналогии математикой характеристики процессов развития различных по природе объектов с дальнейшим применением более совершенного математического описания одного из них для составления прогнозов другого. Как правило подобный метод применим в экономико-математическом моделировании, а также в экспертном подходе к исследованию экономики в том случае, когда информацию о признаках одного объекта можно получить, основываясь на его подобии с другими объектами. Метод аналогии обязательно используется в процессе моделирования и эксперимента.

Моделирование (математическое) представляет собой характеристику моделируемого экономического явления посредством использования математических формул, уравнений и неравенств. Математический аппарат должен в полной степени точно представлять прогнозный фон, однако обозначить всю комплексность прогнозируемого объекта достаточно сложно. В более широком понимании модель являет собой замену исходного объекта исследования которой предполагает наличие с ним сходства, которое обеспечивает получение нового знания об объекте. В более узком смысле модель — это объект прогнозирования. Более глубокое рассмотрение модели позволяет получить данные о вероятностных состояниях объекта в будущем и способах достижения этих состояний.

Посредством математических моделей можно выявить:

1.      взаимозависимость различных экономических показателей;

2.      разнообразные ограничения, свойственные для показателей;

критерии, которые способствуют оптимизации процесса

Для прогнозирования характерно:

1.      макромоделирование- более масштабное моделирование показателей экономики общего развития государства;

2.      микромоделирование- организация моделей, предназначенных для конкретного объекта (предприятия);

3.      моделирование на мезоуровне- моделирование экономических процессов региона, области.

  К116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

6

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

  В Советском Союзе часто использовали практику моделирования на уровне экономики. Наиболее важны модели:

1.      линейная модель экономической динамики с наибольшим сжатием данных;

2.      двухшаговая модель экономической динамики;

3.      межотраслевая модель процесса совершенствования.

Для каждой из обозначенных моделей характерна своя разновидность и модификация.

Иностранными специалистами созданы следующие экономические модели:

1.      модели экономического роста вне зависимости от технического процесса;

2.      модели экономического роста с учетом технического совершенствования;

3.      динамические модели магистрального типа и др.

Для примера обозначим модель фон Неймана. Она являет собой модель расширяющейся экономики, в которой увеличение производства всех видов продукции осуществляется с одинаковым темпом, на цены не оказывает влияние время, а инвестиции вкладываются в производство за счет прибыли. Для описания динамического равновесия в модели фон Неймана особое значение имеет условие:

 здесьпредставлена в качестве относительного увеличения производства (при простом воспроизводстве );- наименьший процент на капитал.

В модели основное внимание уделяется ограниченному числу технологических способов, реализующих производство видов товаров с определенной интенсивностью. Чистый продукт подразумевает деление на:

1.      фонд потребления;

2.      фонд накопления.

На такой основе определяется ряд соотношений, применение которых может последовательно, поэтапно, способствовать развитию процесса производства.

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

7

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

  При составлении прогноза, как правило, производят исследование временных рядов, которые могут быть представлены в качестве:

1.      тренда;

2.      лагов;

3.      периодических колебаний.

Трендовая модель наиболее часто применяется при составлении прогнозов. Сущность такой модели заключается в том, что для объема и структуры процесса характерны свои степени инертности. Трендовая модель используется при условии, если определенным является тот факт, что полученные закономерности будут действовать на конкретном временном отрезке в будущем.

Одним из недостатков трендовых моделей является то, что множество факторов, действующих в базисном периоде, а также связь между ними не предполагают изменений и в прогнозном периоде. В действительности подобное допущение часто нарушается

Главные подходы при применении моделирования в процессе прогнозирования или планирования:

1.      создание кибернетических моделей, для которых характерно знание структуры и специфики моделирующих процессов;

2.      построение модели типа «черного ящика», которая предполагает, что рассматриваемая система по большей части неизвестна, но по наблюдениям и активным и пассивным экспериментам предпринимаются попытки восстановить внутренние связи и структуру системы.

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

8

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

2 Практическая часть

2..1   Постановка Задачи.

При откормке животных каждое животное должно получить не менее 5 единиц питательного  вещества А , не менее 5 единиц питательного вещества В и не менее 4 единицы вещества С.

Указанные питательные вещества  содержат 3 вида корма, содержание единиц питательного вещества в 1 кг каждого из  вида корма приведены в  таблице:

Цель: Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательного вещества при минимальных денежных затратах. Если цена 1 кг корма: 1 вид-9р,2 вид 12р, 3 вид 10р.

Итак, перед нами представлена  симплексная задача, в которой необходимо найти оптимальное решение, то есть  распределить рацион между животными с минимальными затратами на производство.

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

9

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

2.2 Решение задачи

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 9x1 + 12x2 + 10x3 при следующих условиях-ограничений.

4x1 + 5x2 + 3x3≥5

5x1 + 3x2 + 6x3≥5

3x1 + 2x2 + 4x3≥4

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус.

4x1 + 5x2 + 3x3-1x4 + 0x5 + 0x6 = 5

5x1 + 3x2 + 6x3 + 0x4-1x5 + 0x6 = 5

3x1 + 2x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5-1x6 = 4

Поскольку задача решается на минимум и элементы единичной матрицы отрицательны, сведем задачу к нахождению максимума. Для этого умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.

-4x1-5x2-3x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -5

-5x1-3x2-6x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -5

-3x1-2x2-4x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = -4

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

10

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

2 Практическая часть

2.2 Решение задачи

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,-5,-5,-4)

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3).

Выполняем преобразования симплексной таблицы .

В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

   X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

11

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата

2.2 Решение задачи

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

min (12/3 : 12/3 , 5 : 7 , 22/3 : 42/3 ) = 4/7

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (42/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Получаем новую симплекс-таблицу:

  X116 - 05  230105   КР-ПЗ 

Лист

12

Изм

Лист

№ документа

Подпись

Дата