Математическое моделирование. 5

Введение

       Перспективы современного приборостроения связаны с разработкой устройств, обладающими малыми массой, габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением и достаточно высокой надежностью и качеством.

       Математическое моделирование в технологии приборостроения используется в течение нескольких десятков лет при проектировании новых приборов и аппаратов. Вследствие развития ЭВМ, появления персональных компьютеров и специализированных прикладных пакетов программ, не требующих от разработчиков специализированных знаний по программированию, в последние годы моделирование стало необходимым этапом при создании любого нового изделия или при разработке нового технологического процесса.

       В каждой области можно выделить свои способы построения моделей, однако в любом случае существует несколько обязательных этапов, без которых ни одна модель не имеет право на существование. Поэтому необходимо дать соответствующие определения понятиям, используемым при моделировании.

       Прежде всего, необходимо дать определение понятию «математическая модель».

       Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов на языке математики. Основная цель моделирования – исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

        Математическое моделирование, а в последние годы, часто сопровождающий его компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, многие современные технологии проводятся в условиях, в которых человек не способен непосредственно контролировать каждый этап. К таким технологическим процессам относятся процессы создания современных кристаллов для оптоэлектроники. Невозможно, также, полностью контролировать параметры современного самолета или ракеты в полете. Во многих случаях невозможно создать даже макетный образец прибора, предварительно не просчитав, как отдельные узлы будут влиять на работу в целом. Поэтому, не смотря на то, что, задача моделирования современного объекта или технологического процесса полностью, остается практически невыполнимой, оптимизация отдельных этапов его создания приобретает все более важное  значение для современного производства. Стоит заметить, что  в последнее время приобрели значимость математические модели, позволяющие оптимизировать все предварительные этапы разработки, начиная от самых первых шагов по изучению принципа действия, заложенного в прибор, и кончая этапами проектирования и производства. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка  математической задачи.

            Цель данной курсовой работы – смоделировать возможность роста квантовой точки.

            Квантовые точки - это искусственные  атомы, свойствами которых можно  управлять.

           Квантовые точки (КТ) – это  изолированные нанообъекты, свойства  которых существенно отличаются  от свойств объемного материала  такого же состава. Сразу следует  отметить, что квантовые точки  являются скорее математической  моделью, нежели реальными объектами.  И связано это с невозможностью  формирования полностью обособленных  структур – малые частицы всегда  взаимодействуют с окружающей  средой, находясь в жидкой среде  или твердой матрице. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Описание  технологического процесса или объекта моделирования.

      Методика осаждения пленок из металлоорганических (МОС) соединений (metalorganic vapor phase epitaxy, MOVPE), известная также как МОС-гидридная технология, ее характер массопереноса: газовый поток смеси компонентов реакции с диффузией в направлении фронта роста ГС в MOVPE.

     Металлоорганические соединения  образуют широкий класс веществ,  имеющих химические связи металл–углерод  или металл–кислород–углерод,  а также координационные соединения  металлов и органических молекул.  Соединения, представляющие интерес  для выращивания полупроводниковых  структур, при комнатной температуре,  как правило, являются жидкостями, хотя некоторые из соединений, используемых в технике MOVPE, находятся  в твердом состоянии. Эти соединения  могут быть легко перенесены  в зону реакции в потоке  газа-носителя, например молекулярного  водорода, проходящего через жидкий  источник или над поверхностью  твердого источника. Гидриды,  применяемые в полупроводниковой  технологии, при комнатной температуре  являются газами и обычно используются  в виде разбавленной смеси  с . Металлоорганические и гидридные компоненты смешиваются в газовой фазе и подвергаются пиролизу в атмосфере в потоке через реактор открытого типа, действующий при атмосферном или пониженном давлении. Температура пиролиза обычно составляет от 600 до 800°C. Энергия для разогрева газовой смеси подводится от радиочастотного генератора или мощной лампы. Происходит разогрев графитового столика, на котором размещаются монокристаллические подложки. Газовая смесь вблизи подложек также нагревается до высокой температуры, тогда как стенки камеры реактора остаются холодными, например за счет водяного охлаждения. Такой режим обеспечивает осаждение продуктов реакции на подложках и приводит к относительно малым потерям компонентов реакции на стенках камеры. Кристаллизация в процессе MOVPE возникает при прохождении газовой смеси компонентов реакции в потоке газа-носителя вблизи нагретой подложки и идет в условиях, существенно более близких к термодинамическому равновесию.

      Чаще всего используются метиловые  или этиловые металлоорганики  из-за относительной простоты  приготовления и легкости пиролиза  в атмосфере молекулярного водорода. Эти соединения поставляют атомы  металлов с побочными продуктами  в виде метана или этана.  Химическая реакция в частном  случае MOVPE роста арсенида галлия  из триметилгаллия и гидрида  мышьяка может быть записана  как 

В этом случае атомная концентрация x алюминия в твердом растворе As прямо связана с относительными начальными парциальными давлениями триметилгаллия и триметилалюминия в газовой фазе.  

     Выращивание слоистых полупроводниковых  ГС методом MOVPE требует изменения  состава газовой смеси в реакторе. Скорость, с которой может

быть  обеспечено необходимое изменение, зависит от геометрии реактора и  полного потока газа через реактор. При высоких скоростях потока такое изменение состава может  быть осуществлено достаточно быстро, поэтому могут быть получены гетеропереходы с практически резкой гетерограницей. Использование методики MOVPE для выращивания  ГС As–GaAs позволяет получать структуры весьма высокого качества, в которых толщина отдельных слоев составляет всего 5–6 межатомных расстояний.

Квантовые точки

       Квазинульмерные  структуры - "квантовые  точки".  На  первых  порах  наряду  с   неустоявшимся  еще  термином " квантовые  точки"  бытовал 

термин "квантовые  ящики",  на  мой  взгляд, "более  наглядный".  По  существу,  это трехмерные  потенциальные  ямы,  т.е.  квазичастицы  локализованы  во  всех  трех направлениях.  Естественно,  характерные  размеры  такого  объекта,  называй  ли  его "точкой" (с точки  зрения  человека) или "ящиком" (с точки зрения  электрона), - те же самые несколько нанометров. Полная - во всех направлениях - локализация приводит к тому,  что  энергетический  спектр  подобной  структуры  по-настоящему  дискретен. Именно по этой причине квантовые точки иногда называют "искусственными атомами" - эти  изготовленные человеком  объекты  нанометровых  размеров  имеют квазиатомый (дискретный) энергетический спектр.  

Рис. 2. Изображение квантовых точек InAs в матрице GaAs (вид сверху), полученное с помощью просвечивающей  электронной микроскопии.  Важно отметить,  что формирование  квантовых точек происходит без образования дислокаций несоответствия (говорят о системе когерентно  напряженных трехмерных островков).  

       Возникает  законный  вопрос:  вырастить  квантовую  яму  просто, ввели тонкий слой  одного  полупроводника в  матрицу  другого, и пожалуйста, однако как же получить квантовые проволоки и квантовые точки? Можно, конечно "вырезать" полоски (квантовые  нити)  или  квантовые  точки  из  выращенных  плоских  слоев  с помощью литографии, иногда так и поступают. Однако это не самый удобный и легкий путь. Есть  способ  лучше - спонтанное формирование квантовых точек в процессе роста. Помните, как важно было на первом этапе  найти "идеальную  гетеропару",  материалы  с  близкими  постоянными  решетками?

Так вот, с развитием технологии оказалось, что напряжения в структуре могут  играть и положительную роль. При  росте ультратонких напряженных  слоев иногда оказывается термодинамически  выгодным  не  двумерный (послойный) рост,  а  трехмерный  рост - распад  сплошного  слоя  на  массив  отдельных  островков-включений (рис. 2). Так происходит,  например,  в наиболее  хорошо  исследованной системе InAs/GaAs, где постоянные  решетки соединений InAs и GaAs различаются на 7%. В этой  системе самопроизвольно формируются квантовые точки в форме ... пирамидок  с  квадратным основанием (сторона  квадрата  порядка 12 нм)  и  высотой  до 6 нм.  Но  возможны варианты - в системе CdSe/ZnSe (те  же 7 % разницы постоянных решетки) квантовые точки образуются в форме плоских "блинчиков".   

Гетерограницы

Гетерограницы в реальных ГС не являются идеально плоскими. Даже в наиболее качественных структурах, выращенных по методике MBE, из-за неизбежных флуктуаций потоков напыляемых веществ в отдельных местах границы процесс роста может идти с некоторым запаздыванием или, наоборот, опережением. Возникает характерная островковая структура границы, представляющей совокупность плоских участков, выступающих друг относительно друга на одно-два межатомных расстояния (рис. 5). Сами плоские участки границы также не являются идеальными: процессы взаимной диффузии при температуре роста протекают крайне медленно, тем не менее они могут приводить к локальным (атомного масштаба) изменениям концентраций компонентов ГС. Таким образом, гетерограницы в качественных ГС можно представлять как плоскости (определяющие средние положения границ) с островками разного знака, причем в характерных латеральных (то есть вдоль границы) размерах островков можно выделить два существенно разных масштаба: типичные размеры больших островков могут составлять сотни, тысячи и даже более межатомных расстояний, тогда как типичные размеры малых островков составляют всего несколько межатомных расстояний.

Структура гетерограниц является важным фактором, определяющим поведение носителей  тока (электронов и дырок) в ГС. В частности, неровности (шероховатости) границ могут оказывать заметное влияние на латеральную подвижность носителей. Поэтому, для того чтобы получить ГС с тонкими проводящими слоями и достаточно высокой латеральной подвижностью, необходимо выращивать такие структуры, в которых крупномасштабные неоднородности границ превышают длину свободного пробега носителя (определяется главным образом температурой). Толщиной слоев ГС (например, шириной L квантовой ямы, изображенной на рис. 2 и 5) определяются энергии размерного квантования электронов и дырок. Действительно, уже из соображений размерности ясно, что характерная величина наименьшей энергии электрона и дырки в потенциальной яме ширины L может быть записана как , где m* – эффективная масса электрона или дырки. Уровни размерного квантования естественно проявляются в оптических спектрах поглощения и излучения (наиболее четко в экситонных спектрах). Поэтому по этим спектрам можно судить, например, о ширине выращенной квантовой ямы. Действительно, если в одной структуре ширина ямы равна  L, а в другой – L + δL, то относительное

изменение характерной энергии размерного квантования составляет  

      В достаточно узких структурах (несколько единиц или десятков межатомных расстояний) это отношение может иметь заметную величину, даже когда δL равно одному-двум межатомным расстояниям. Таким образом, появляется достаточно естественная возможность оптическими методами измерять расстояния, существенно меньшие длины волны видимого света (так, длина волны света в красной области спектра равна ∼700 нм).

     Экситонные спектры позволяют судить и о качестве гетерограниц в выращенной ГС. Поскольку характерный размер экситона может быть оценен как величина порядка 10–100 межатомных расстояний (то есть он оказывается существенно меньшим посравнению с характерным латеральным размером больших островков), то в качественных структурах с

квантовой ямой экситоны существуют как бы независимо в трех ямах шириной L и L ± δL (рис. 5). Эти экситоны фактически неподвижны, так как их латеральному движению препятствуют мелкомасштабные неоднородности границ. Поэтому экситон данного типа дает не одну, а три серии линий в оптических спектрах. Эти линии как раз соответствуют значениям ширины квантовой ямы L и L ±δL, как это схематически показано на рис. 5. По отношению интенсивностей линий можно судить о структуре границ и даже о том, насколько качественно отличаются нормальные и инвертированные гетерограницы. 

     Рис.1 Схема роста при проведении процесса МОС-гидридного выращивания 

             Процесс эпитаксиального наращивания  на поверхности пластины (см. рис. 1) происходит в следующей последовательности:

     - массопередача вступающих в реакцию молекул посредством диффузии из турбулентного потока через граничный слой к поверхности;

     - адсорбция молекул поверхностью;

     - процесс реакции на поверхности;

     - десорбция продуктов реакции;

     - массопередача молекул продуктов реакции посредством диффузии через граничный слой к основному потоку газа;

       - упорядочение адсорбированных атомов материала в решетке. 

         В данной курсовой работе мы рассматриваем следующий поток:

- процесс  реакции на поверхности. 

         Скорость реакции компонента лимитируется компонентом, которого меньше всего. Для подложки из InP  это галлий. 
 
 

1.2  Построение уравнений переноса, описывающих процесс.

Для моделирования  задачи используют законы сохранения (уравнения Онсагера)

1. Уравнение неразрывности

            – изменение парциального давления

              -  парциальное давление галлия

           -  изменение парциальное давление галлия в единицу времени

            – время изменения температуры

            V – скорость изменения температуры. 

2.  Уравнение  сохранения энергии

        - кинетическая вязкость

   - динамическая вязкость

  - скорость изменения температуры

   - изменение скорости

  - изменение скорости в единицу времени

  - время изменения температуры

 - парциальное давление галлия 
 

3. Уравнение конвективного тепломассопереноса

 – парциальное давление галлия

 - изменение внутренней энергии

   - теплопроводность

- температура

   - давление

 - скорость изменения температуры 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3 Классификация задачи с точки зрения поставленной цели, оценка требуемой точности.

          К процессам, к которым  обычно не применимо диффузионное приближение относят процессы обработки поверхностей лазером (формирование отверстий, абляция оптических дисков, абляция глаза),  МОС-гидридная и МЛЭ эпитаксия, все процессы, где осуществляется фазовый переход второго рода и т.д. В общем случае, в таких задачах приходится решать сложную систему дифференциальных уравнений  в частных производных  с  усложненными граничными условиями. Это выходит за рамки нашего курса. Однако, для выяснения многих вопросов важных для конкретных разработок, можно ограничиться решением задачи в диффузионном приближении.

     Экспериментальные входные параметры для таких задач, как правило, определяется трудом, или не определяются вовсе, решение в диффузионном приближении не понижает общей точности модели. Это является основной причиной использования диффузионного приближения при моделировании практически всех высокоэнергетических процессов.

1.4     Выбор основного приближения. 

     Рассмотрим моделирование возможности роста квантовой точки. Для моделиpoвaния процесса выберем диффyзиoннoе приближение.

       В этом приближении предполагается, что существуют потоки из одной части системы в другую, что существует граница раздела, на которой выполняется закон локального разделения фаз.

Диффузионное  приближение – это приближение, которое предполагает, что различные  диффузионные потоки действуют независимо друг от друга. В этом случае полную систему уравнений можно разделить  на несколько более простых систем, описывающих или процесс тепла  или процесс диффузии. Диффузионное приближение условно можно разделить  на две части: аналитическое (если уравнение  в частных производных можно  решить в аналитическом виде) и  численное (если уравнение решается численным образом). Диффузионным это  приближение принято называть не потому, что оно описывает задачи диффузии, а потому что каждый из моделируемых в системе потоков, движется в направлении градиента  действующих потенциальных сил.

   Запишем уравнение переноса для распределения  концентраций в газовой фазе. Для  понижения размерности в качестве обобщенного параметра выберем, так называемое концентрационное сечение, которое представляет собой поверхность  на которой концентрации остаются постоянными (поверхность уровня).

   Концентрационное  сечение С(x,y)  может быть найдено из  уравнения непрерывности конвективного массопереноса

          (1.4.1)

     Где С_tot – основная газофазовая концентрация (=P/P_g T), n≡n(x,y,z,t) - мольная доля вида роста (C(x,y,z,t) – концентрация GaAs, υ≡υ(x,y,z,t) – поток скорости, D≡D(Т(x,y,z,t)) - двойной коэффициент диффузии компонентов III группы, α_Т – термический диффузионный показатель, Т≡(x,y,z,t) – рост температуры, Р – общее(полное) давление и R_g – газовая постоянная.

      Обратим внимание, что это равенство  действительно, как в случае  ограниченного массопереноса, так  и в случае кинетически ограниченного  процесса, т.к. кинетика реакций  поверхности представлена как  граничное состояние. Газофазовые  реакции могут включать в себя  добавление в правых отношениях, которые представляют собой генерацию  и аннигиляцию с помощью разновидностей  химических реакций, кроме того (это также происходит). Полное давление Р постоянно(Р=1 атм. в нашем случае), уравнение сводится к (переделанный в переменную С(х,у), используя n(x,y,z,t) «1 ) следующему частному дифференциальному уравнению 

 (1.4.2) 

С соответствующими граничными условиями: 

     С(0, y) = (T₀/T(y))C₀  0≤y≤h     (1.4.4)

     J(x,0) = kC(x,y)‌‌‌|_y=0  x>0      (1.4.5)

     J(x, h) = 0          (1.4.6) 

Где поток  J(x,y) дается как 

         (1.4.7) 

     Условия (α_Т+1) в уравнениях (1.4.2) и (1.4.7) выводятся из общего давления Р, которое постоянно, где общая газофазовая концентрация С_tot является функцией температуры (и высоты). В вышеуказанных уравнениях к обозначено переменным коэффициентом для реакций, которые ограничены кинетикой поверхности и С₀ которая является входной концентрацией для компонентов III группы. Граничное состояние уравнения (1.4.4)представляет внезапное изменение температуры сечения, где х=0. Предположения [2] ведут к следующим определениям величины R(х): 

     R(x) = J(x,0)        (1.4.8) 

     Температура сечения выводится из общего равенства  для теплового баланса 

         (1.4.9) 

Где р – это  концентрация газа, с_р – удельное тепло газа, к – коэффициент теплопереноса с температурной зависимостью и Т₀ – температура на верху реактора (=T(x,h)).

Из [2] (полностью  развитая температура сечения) следует, что левая часть уравнения  (1.4.9)равна 0. Решаемое уравнение (4..3) для случая β=0 (нет температурной зависимости  коэффициента теплопереноса к)  выводит линейный температурный градиент по направлению у: 

             (1.4.10) 

     Где Т_s определяет температуру вещества. Эта температура сечения не зависит от диффузионных процессов и скорости сечения. Действительное сечение не сильно отличается от этого линейного температурного градиента, т.к. было найдено экспериментально.

     Для приведения этой задачи к моделированию  диффузионным приближением, необходимо:

     1 Разделить потоки, т.е. связать входную скорость с входной температурой.

     2  Ограничить область моделирования

       Для решения первого вопроса,  будем предполагать, что на оси симметрии температура изменяется пропорционально скорости потока тепла, а на границе раздела нет перехода второго рода (перехода сразу из газовой фазы в твердую, минуя жидкую) .В этом случае, задачу можно представить как моделирование зависимости только выходных потоков  тепла  и концентраций от входных, и предположить, что граничные условия определяются условиями механического равновесия. 
 

1.5 Выбор  входных, выходных и оптимизируемых  параметров.

       Так как целью работы является моделирование возможности роста квантовой точки в зависимости от вариаций температуры, то входным параметром является температура. А выходным параметром является отклонение парциальных давлений. 
 
 

2. Выбор  основного блока из пакета  программ.

        Для моделирования возможности роста квантовой точки в зависимости от вариаций температуры воспользуемся пакетом программ TEPLO2D, так как он позволяет работать с тепловыми задачами.