Математическое моделирование. 4

                                                      Содержание

 

 

Введение                                                                                                                 3

                                                                                           

1 Задание на курсовую  работу                                       4

2 Исходные данные к выполнению курсовой работы                                        5

 

3 Расчетная часть                                                                                                   7

 

3.1 Расчет освещенности  торца приемного устройства                                     7

 

3.2 Выбор начальной  и конечной точки перемещения шторки                         8

 

3.3 Получение функции  изменения площади освещаемого  

приемного торца от произвольного  значения  перемещения х                10       

 

3.4 Нахождение выборочного  среднего и выборочной 

дисперсии  в зависимости от перемещения x                       14

Заключение                         16

 

Список используемых источников                                            17                                          

 

Приложение А                                  18

 

Приложение Б             20

 

Введение

 

Выполнение курсовой работы по курсу “Математические моделирование физических процессов” является важным этапом при подготовке квалифицированных специалистов специальности Т 06.01 и может рассматриваться как подготовительный этап к изучению ряда специальных дисциплин на последующих курсах.

Цель курсовой работы заключается в практическом освоении общих вопросов теории моделирования, методов построения математических моделей и формального описания объектов интроскопии, а также в закреплении навыков применения математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных  задач.

Выполнение курсовой работы ставит следующие задачи:

1. приобрести умение пользоваться литературой, справочными        материалами, в которых освещены те или иные вопросы математического моделирования;
2. закрепить и расширить знание основ построения математических моделей;

3 закрепить знание  правил оформления документации  в соответствии с ЕСКД и  другими стандартами;

4 подготовить студентов  к  самостоятельному решению  задач, связанных с построением математических моделей физических процессов /1/.

 

1 Задание на курсовую  работу

 

 

 

Рисунок 1.1 –Задание к  курсовой работе

 

 

Таблица 1.1 – Исходные данные к курсовой работе

 

N˚вар.	α,     град	r1,    мм	а,     мм	b,     мм	случ.    пар.	закон  распр.	m;σ
7	20	1	8	2	b	норм.	b;0,2

 

 

2 Исходные данные к  выполнению курсовой работы

 

В качестве объекта моделирования  выбран волоконно-оптический первичный  преобразователь физических величин, сводимых к перемещению подвижного элемента- шторки. Структурная схема такого преобразователя приведена на рисунке 2.1.

Световой поток от источника света 1 поступает  в  волоконно-оптический кабель 2 и далее  в зону измерения. На расстоянии а от его выходного торца приемный торец световода 3. Часть света, не перекрытая подвижной шторкой 6, через световод 3 направляется на фотоприемник 4, где подвергается оптоэлектронному преобразованию в блоке 5. С выхода последнего подается сигнал у, функционально связанный с положением х подвижной шторки, при этом полученный сигнал зависит от формы шторки, формы излучающей площадки АА световода 2, приемной площадки ВВ световода 3, угла расходимости светового потока a и расстояния а.

Излучающий торец световода 2 имеет форму круга радиуса r₁. Первоначальное положение шторки таково, что торец световода 3 является полностью открытым. Приемная площадка является квадратом со стороной b. Шторка движется вдоль оси х, совпадающей с осью симметрии приемного торца. При своем движении шторка полностью закрывает торец световода 3.

В результате выполнения курсовой работы  необходимо:

1 Построить упрощенную  математическую модель заданного  варианта преобразователя в виде функциональной зависимости Ф(х), где Ф – световой поток на выходе световода 3.

2 Составить алгоритм  и программу на языке высокого  уровня для расчета значений  передаточной функции Ф(х) в пределах диапазона преобразований физической величины х и получить значения функции Ф(х) для 15-20 точек диапазона измерения перемещения.

3 Исходя из предположения,  что один из параметров преобразователя является случайной величиной с заданным законом распределения, составить алгоритм и программу вычислительного эксперимента по определению статических характеристик (оценки дисперсии  и математического ожидания ) выходного потока Ф как функции от указанного параметра во всем диапазоне х. При этом, исходный случайный параметр должен моделироваться по методу Монте-Карло с помощью датчика случайных чисел /1/.        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1 – Моделируемый преобразователь

 

 

 

3 Расчетная часть

 

 

3.1 Расчет освещенности торца приемного  устройства

 

Согласно заданию в  курсовой работе в результате выполнения расчетной части необходимо построить упрощенную математическую модель заданного варианта преобразователя в виде функциональной зависимости Ф(х)/Ф₀,

где Ф(x) – зависимость светового потока на выходе световода 3 от смещения шторки 6 (см. рисунок 2.1);

Ф₀ – условно принятый поток на выходе световода 2.

В процессе работы нахождения функциональной зависимости Ф(х)/Ф₀ сводится к нахождению другой функциональной зависимости S(x_Т)/S(x). Покажем это.

Световой поток Ф, падающий на произвольную площадку, площадью S по нормали к ее поверхности , определяется из соотношения

 

Ф=Е·S,     (1)

где Е - освещенность площадки. Поток на выходе световода 2 условно принимается равным Ф₀ и распространяется далее в виде  конуса. Угол a носит название угла рассеивания. Для того, чтобы определить долю света, попадающего в световод 3, необходимо рассчитать освещенность Е на его входном торце и площадь перекрытой шторкой поверхности световода  S(x).

Расчет освещенности производится из условия сохранения светового потока при распространении в пустом изотропном пространстве, где отсутствует  поглощение  и рассеяние света. Это означает, что на любом расстоянии от источника  площадью  S через сечение S₀ проходит тот же поток Ф₀ (рисунок (3.1). В результате освещенность светового пятна S₀ равна

.     (2)

Она зависит только от площади светового пятна S₀.

Рисунок 3.1 – Схема  расчета освещенности

 

Площадь перекрытия шторкой  входного торца приемного световода S(x_Т) изменяется от нуля (начального положения) до S(x_Т)= πr² (конечное положение).

Как видно из рисунка 3.1 расстояние а от световода 2 находится световод 3. Поток, попадающий в световод 3, будет равен

 

Ф(x)=Е₀S(x_Т).     (3)

 

Видно что поток Ф(x) зависит от освещенности Е₀ и площади перекрытия шторкой входного торца приемного световода S(x_Т).

Подставляя формулу 2 в формулу 3, получим

 

,     (4)

 

иначе

 .     (5)

 

Итак видно, что функциональная зависимость Ф(x)/Ф₀ сводится к нахождению S₀ и S(x_Т).

Найдем S₀.

Площадка S₀ представляет собой круг радиуса R₀=BC+ r₁. Найдем BC из треугольника ABC (см. рисунок 3.2)

 

 

.    (6)

 

Тогда площадь S₀ , будет равна

 

²,   (7)

 

где r₁ – радиус волоконно-оптического кабеля 2, его значение указано в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Выбор начальной  и конечной точки перемещения  шторки

           

Для нахождения функции изменения  площади освещаемого торца от текущего значения перемещения x_Т , необходимо показать несколько промежуточных положений шторки относительно световода 3 (рисунок 2.2).

 

                                                             

 а) б)

                                    

в) г)

Рисунок 2.2 – Схема, поясняющая промежуточные положения шторки 6

 

Видно, что шторка движется вдоль оси x. Начальное положение шторки обозначено x₀ , x_Т – текущее значение перемещения, x_К – конечное положение шторки. Из рисунка 2.2б) найдем x_К1 – конечное значение первого интервала перемещения шторки. Видно из треугольника ABC, что AC= ,

а,значит:

x_К1=R-AC=R - . (8) 

Иначе

 

x_К= b+R - . (9) 

 

При расчете площади S(x_Т) возникает 3 случая. Первый – когда x_Т находится в интервале

 

x_К1>x_Т

x₀.

Второй когда

 

b

x_Т>x_К1.

И третий, когда

 

x_К

x_Т>b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Получение функции изменения  площади освещаемого приемного   торца от произвольного значения  перемещения шторки

 

Рассмотрим первый случай, когда x_К1>x_Т x₀, где x_К1= R - .

 

Рисунок 2.3 –  Схема, для расчета площади засветки на первом интервале

 

Площадь открытой части  световода будем находить как  разность  площадей квадрата  S_КВ и сегмента  S_СЕГМ.

 

S=S_1КВ+S_СЕГМ.    (10)

 

Площадь квадрата находится  по формуле S_КВ= b², где b – сторона

квадрата /3/.

Площадь сегмента находится по формуле:

 S_СЕГМ=S_СЕКТ - S_{D ABC} /3/, где S_DABC=0,5RRsin(2b)=0,5 R²sin(2b), а S_СЕКТ= R²2b /2= R²b .

 

И окончательно :

                                           S_СЕГМ= R²(b - 0,5sin2b). (11)

 

Тогда S в первом случае будет вычисляться по формуле 

 

S= b² - R²(b - 0,5sin2b).      (12)

 

Рассмотрим второй случай, когда  b x_Т x_К1.

 

 

 

 

Рисунок 3.4 – Схема, для  расчета площади засветки на втором интервале

 

Площадь открытой части  световода будем находить как  разность площадей квадрата S_КВ, прямоугольника MBCN и сегмента S_СЕГМ.

 

S=S_КВ – S_ПР -  S_СЕГМ.     (13)

 

Где площадь S_ПР=NC×BC, BC=b, а NC=x_Т –x_К1,  (x_К1   и S_КВ смотри первый случай).

S_ПР=( x_Т –x_К1 )× b.     (14)

 

Площадь сегмента на всем этом интервале одинаковая, и рассчитывается по формуле:

S_СЕГМ=S_СЕКТ - S_{D ABC}= R²×b - 0,5× R²×sin(2b),   (15)

 

где .

И окончательно

 

S_СЕГМ= R²( - 0,5sin( )). (16)

 

Тогда площадь S во втором случае будет находиться по формуле:

 

S= b² – b( x_Т –x_К1 ) - R²( - 0,5sin( )). (17)

 

 

Рассмотрим третий случай, когда x_К x_Т b, где x_К= x_К= b+R-

 

Рисунок 3.5 – Схема для расчета  площади засветки на третьем интервале

 

Площадь открытой части  световода будем находить как  разность площадей прямоугольника DMNF S_ПР и разницу между площадью сегмента S_2СЕГМ и S_1СЕГМ

 

S= S_ПР – (S_2СЕГМ - S_1СЕГМ )= S_ПР  - S_2СЕГМ+S_1СЕГМ.   (18)

 

Площадь прямоугольника DMNF находится по формуле

 

S_ПР=DF×DM=b(x_К1 – x_Т + b).    (19)

 

S_2СЕГМ, S_1СЕГМ,  x_К1 находятся по формулам (8), (16), (11) соответственно.

 

Тогда площадь S в третьем случае будет находиться по формуле:

 

S= b(x_К1 – x_Т + b) - R²( - 0,5sin( )+

 

+ R²(b - 0,5sin2b).     (20)

 

Как видим, величина площади открытой части световода в двух случаях

зависит не только от радиуса  торца R, стороны квадрата b и перемещения шторки x_Т, но и от угла b, который в свою очередь зависит от перемещения шторки x_Т.

 

 

Для того чтобы показать эту зависимость воспользуемся  рисунками 2.3 и 2.5. В обоих случаях  высота DABC вычисляется по формуле

 

h=R-x_Т+k b,      (21)

 

где k – целочисленный коэффициент, k=0 – в первом случае, и k=1 – во втором случае.

Тогда можно записать

 

cosb=h/R.       (22)

 

b= .     (23)

С учетом выведенных формул  (12), (17),(20) получили формулу (24):

 

 

 (24)

 

 

Также необходимо  разработать  программу, которая позволяла бы с помощью вычислительной техники  рассчитать относительное значение передаточной функции Ф(x_Т)/Ф₀.

 

 

 

 

В результате программы  весь диапазон измерений x_Т разбивается на несколько интервалов и для каждого текущего значения x_Т вычисляется значение Ф(x_Т)/Ф₀.

Распечатка программы  реализующей данный расчет и график  передаточной функции представлены в приложениях А, Б соответственно.

Из графика  (рисунок  А.2) видно, что максимальный поток  равен 0,082 отн. ед., когда шторка закрыта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Нахождение выборочного среднего  и выборочной дисперсии в зависимости от перемещения шторки

 

Необходимо провести вычислительный эксперимент, предполагая, что один из параметров полученной модели является случайной величиной (в таблице 1.1 указана случайная величина b) с нормальным законом распределения.

В целом алгоритм реализации численного метода включает:

а) задание фиксированной  точки диапазона смещения x;

        б) для этого фиксированного  значения генерируем  случайные  числа с помощью датчика случайных чисел;

в) если это необходимо, ставим ограничение на генерируемое число;

        г) масштабируем полученное стандартное число исходя из заданных вероятностных характеристик.

Построение на основе стандартного датчика нормальных случайных  чисел с m_t=0, s_t=1 осуществляется с помощью соотношений /1/

 

,     (25)

 

где х_1,i , х_2,i – случайные числа, имеющие распределение в интервале (0,1).

Затем осуществляем соответствующее  масштабирование путем расчета t_i  по формуле

 

.      (26)

В нашем случае:

                                 (27) 

      д) рассчитываем на основе зависимости полученной в первом пункте расчетного задания выборки значений при фиксированном x_Т /1/.

      е) рассчитываем  выборочное среднее потока и  выборочную дисперсию потока Ф(x_Т) /2/.

.     (28)

 

.    (29)

По результатам расчета  строим зависимости выборочного  среднего и выборочной дисперсии  от перемещения. Программа, производящая расчет и  графики  представлены в приложениях А, Б соответственно.

 

 

Из графика (рис. Б1) видно, что максимальное выборочное среднее потока равно 0,082 отн. ед..

Из графика (рис. Б2) видно, что максимальная выборочная дисперсия  равна 2,15×10^-6 (отн. ед)².

 

 

 

Заключение

 

 

В процессе проделанной  курсовой работы мы практически освоили  общие вопросы теории моделирования, методы построения математических моделей и формирование описания объектов математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

Также мы приобрели умение пользоваться литературой, справочными материалами, в которых освещаются те или иные вопросы математического моделирования, закрепили знания правил оформления документации в соответствии со стандартами.

Расчеты поставленной задачи в работе производились MathCAD 2000 professional.

Для оформления записки, а так же графической части задания, были использованы возможности графических редакторов Word и MathCAD 2000 professional.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1 Математическое моделирование  физических процессов. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности Т 06.01.-“Приборостроение “ дневной формы обучения. Могилев: МГТУ, 2001. – 15с.

 

2 Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. – М.:Высшая школа, 1977. – 427 с.

 

3 Погорелов А. В.  Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 383 с.: ил.