Математическое моделирование в ионосферных процессах

 

Содержание

Введение 3

1 Уравнения  переноса для моментов функции  распределения 7

   1.1 Система уравнений, моделирующих ионосферную плазму в гидродинамическом приближении 14

   1.2 Некоторые преобразования вида моделирующих уравнений для нейтральных компонент 26

1.2.1 Среднемассовая и диффузионная скорости 26

1.2.2 Учет турбулентности 28

2 Кинетическое уравнение для сверхтепловых электронов 31

   2.1 Системы координат, используемые в ионосферном моделировании 36

Заключение 41

Список используемых источников 44

 

Введение

 

Под термином «моделирование ионосферы» будем понимать процесс, результатом которого является обобщенное количественное описание пространственно-временных вариаций ионосферных параметров. Таким процессом может быть усреднение данных наблюдений по тем или иным интервалам пространства и времени, их систематизация в виде таблиц и графиков и аппроксимация аналитическими формулами. Полученные наборы таблиц, графиков и аппроксимирующих формул представляют собой модели называемые «эмпирическими» или «статистическими». В качестве примера можно назвать модели, описанные в [27]. Эти модели являются, в сущности, «наборами состояний» ионосферы и не дают представление о происходящих в ней процессах. Количество информации на выходе этих моделей определяется наличием регулярных средств наблюдений в различных географических регионах и в различных гелио-геофизических условиях. Пробелы в данных наблюдений заполняются путем интерполяции и экстраполяции, что существенно сглаживает модельные вариации по сравнению с реальными.

Эмпирические модели весьма ограниченны по числу описываемых  параметров. Наибольшее количество информации накоплено по данным о критических частотах ионосферных слоев, менее полно и достоверно представлены вариации высот максимумов и формы высотного профиля электронной концентрации, особенна для высоких и субавроральных широт, для области D и для возмущенных условий. Лишь фрагментарно представлены вариации ионного состава, электронной и ионной температур, частот столкновений и прочих параметров ионосферной плазмы.

В последние 15 лет широкое  развитие получило моделирование ионосферы, основанное на численном решении уравнений для ионосферной плазмы, записанных в том или ином приближении. Именно в этом смысле мы будем понимать термин «математическое моделирование», а под «математической моделью ионосферы» будем понимать совокупность уравнений динамики ионосферы как физической системы вместе с соответствующими краевыми условиями и алгоритмом решения. Такое определение аналогично данному А. С. Мониным применительно к метеорологическим моделям атмосферы в книге «Прогноз погоды как задача физики» [16]. В литературе модели такого рода называют также «теоретическими», «детерминированными» и т. п.

В зависимости от степени  самосогласованности эти модели в той или иной мере используют данные наблюдений либо собственно ионосферных параметров (например, в качестве начальных и граничных условий), либо параметров термосферы, либо электрических полей, что привело к появлению понятий «полуэмпирические», «гибридные» и «адаптивные» модели. Все эти термины подразумевают наличие коррекции модели по данным наблюдений. Различия между «теоретическими» и «полуэмпирическими» моделями весьма условны, поскольку неясно на каком уровне самосогласованности следует проводить границу между этими типами моделей. По видимому, имеет смысл пользоваться терминами «гибридные» и «полуэмпирические» модели в случаях, когда в качестве входных параметров используются массивы данных наблюдений о наиболее важных с практической точки зрения параметрах ионосферы, таких, как критические частоты ионосферных слоев и высоты максимумов [9, 12, 22].

В наиболее полной самосогласованной  постановке математическая модель ионосферы  должна учитывать фотохимию, динамику и энергетику как заряженных, так и нейтральных компонент ионосферной плазмы, принимать во внимание физическую взаимосвязь различных областей околоземного космического пространства как по вертикали, так и по горизонтали (нижняя атмосфера-ионосферные слои - протоносфера; полярная – субавроральная –среднеширотная - приэкваториальная области ионосферы), содержать в себе самосогласованный расчет электрических полей. Такая полностью самосогласованная модель ионосферы еще не создана и является перспективной задачей ионосферного моделирования. Однако многие аспекты этой проблемы уже решены [10, 18, 19] и существующие математические модели ионосферы широко используются как инструмент исследований, позволяющий «взвесить» роль всевозможных факторов и физических механизмов в различных гелио-геофизических явлениях и ситуациях.

Это «взвешивание» осуществляется путем «включения» и «выключения» тех или иных процессов, учитываемых  в модели, варьирования ее управляющих параметров в расчетах и сопоставления результатов расчетов с наблюдениями. Тем самым осуществляется интерпретация данных наблюдений и одновременно проверяется на адекватность реальной среде теория ионосферной плазмы, лежащая в основе математической модели, проверяются на допустимость сделанные упрощающие предположения.

Такая проверка тем достовернее, чем большее количество одновременно наблюдаемых и рассчитываемых параметров ионосферы сопоставляются. Поэтому метод математического моделирования особенно плодотворен, когда достаточно полная и самосогласованная математическая модель привлекается для интерпретации результатов комплексных наблюдений типа проводимых с помощью установок некогерентного рассеяния (еще лучше с одновременными спутниковыми измерениями над установкой некогерентного рассеяния). По результатам проверки модели путем сопоставления ее с наблюдениями возможно осуществить коррекцию модели и тем самым повысить степень ее адекватности реальной среде. Наконец, математическая модель ионосферы может быть использована как практический инструмент прогноза состояния ионосферы, как долгосрочного, так и краткосрочного, либо служить основой для разработки методики прогнозирования.

В настоящей главе формулируется  система моделирующих ионосферу  уравнений для заряженных и нейтральных  компонент околоземной плазмы, обсуждаются системы координат, используемые в ионосферном моделировании, способы учета трехмерности задачи, начальные и граничные условия. Поскольку моделирующие уравнения представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частцых производных с коэффициентами, зависящими от координат и времени, их решения ищутся методами конечных разностей на ЭВМ. Используемые при этом численные методы рассмотрены весьма кратко, так как их подробному изложению посвящены специальные монографии [14, 23, 24]. Явный вид скоростей образования и потерь частиц, нагрева, неупругого теплообмена и охлаждения, входящих в моделирующие уравнения.

Обьектом исследования являются ионосфера и иоосферные процессы.

Предметом исследования является математическое моделирование иоосферных процессов.

Цель исследования – исследовать возможности применения математического моделирования к изучению ионосферных процессов.

Задачи исследования:

1. Изучить и проанализировать литературу по проблеме исследования.
2. Обобщить результаты исследования моделей ионосферы.

 

1. Уравнения переноса  для моментов функции распределения

Ионосферная плазма достаточно разрежена, чтобы считать столкновения частиц бинарными, а внешние поля изменяются медленно по сравнению со временем взаимодействия частиц при  столкновении. Это позволяет описывать  ионосферную плазму системой кинетических уравнений Больцмана для многокомпонентной смеси:

(1)

Здесь Fa - функция распределения -й компоненты, определенная соотношениями (1.283), (1.284); — ускорение под действием внешних сил; g - гравитационное ускорение; та, — масса и заряд частицы сорта ; Е и В — электрическое и магнитные поля.

Операторы в левой части  уравнения Больцмана могут быть записаны также в форме

                                  (2)

 

где j — индекс, нумерующий оси системы координат; — проекции векторов r, v и на оси системы координат; V — оператор Гамильтона; по повторяющимся в сомножителях координатным индексам подразумевается суммирование.

Правая часть уравнения (1) представляет собой интеграл столкновений, т. е. изменение числа частиц в элементе объема фазового пространства координат и скоростей в единицу времени за счет столкновений. Он складывается из интегралов упругих столкновений и и интегралов , неупругих столкновений (ионизация, возбуждение, химические реакции), в которых частицы сорта рождаются и исчезают соответственно. При парных взаимодействиях, положив там вместо соответствующее сечение неупругого рассеяния .

Непосредственное интегрирование нелинейных интегродиф-ференциальных уравнений (1) представляет собой чрезвычайно сложную задачу, прямое решение которой неоправданно не только вследствие вычислительной трудоемкости, но и из-за отсутствия надежных сведений о сечениях неупругих взаимодействий, В ионосферном моделировании кинетические уравнения приходится обычно решать лишь при описании сверхтепловых электронов. В большинстве же случаев в качестве уравнений, моделирующих тепловую ионосферную плазму, используют уравнения переноса для моментов функции распределения, определяющих средние макроскопические характеристики плазмы.

Моментом n-го порядка называется величина

(3)

где число нижних индексов, нумерующих оси системы координат, равно n, а индексы α, β, ..., нумерующие сорта частиц, опущены; интегрирование ведется по всему пространству скоростей.

Моменты нулевого и первого  порядков имеют простой физический смысл:

(4),(5)

где n и nVj — концентрация и поток частиц в направлении оси j соответственно; V — направленная макроскопическая скорость.

Через моменты второго  порядка, являющиеся компонентами тензора  второго ранга,

(6)

выражаются давление р, температура Т, компоненты тензора вязких напряжений П. В частности,

(7),(8)

где w = v - V; — символ Кронекера ( = 1 при j = к и = 0 при j ≠ к). При максвелловском распределении по скоростям (7) дает уравнение состояния идеального газа: р = nкkТ. С моментами третьего порядка

(9)

связан тензор потока тепла

(10)

Уравнения, описывающие изменения  в пространстве и во времени макроскопических характеристик ионосферной плазмы, определяемых через моменты функции распределения, выводятся из (1) путем умножения его на различные комбинации различного числа сомножителей ... и последующего интегрирования по скоростям. Получающуюся при этом систему уравнений называют уравнениями переноса для моментов функции распределения. Интегрируя по скоростям уравнение (1) и учитывая, что t, , — независимые переменные, F(v) →0 при v → ±∞, а упругие столкновения не меняют полного числа частиц данного сорта в единице объема, получим известное уравнение непрерывности, или закон сохранения числа частиц в дифференциальной форме:

(11)

где член div представляет собой изменение числа частиц в единицу времени в дифференциально малом единичном объеме за счет разности между приходом частиц в этот объем и уходом из него; Qα и Lα — скорости образования и исчезновения частиц сорта α в процессах неупругого взаимодействия:

(12)

Для процессов парного  взаимодействия частиц сорта α с частицами сорта γ типа

(13)

в частицы сорта α и γ гибнут, а вместо них образуютой частицы сортов β и δ, скорость Lα исчезновения частиц сорта α записывают в виде

(14)

где — коэффициент скоростй процесса (13):

(15)

где u — относительная скорость частиц; — сечение процесса (13); — нормированная на единицу функция распределения частиц по относйтельным скоростям. Коэффйциенты обычно находят из лабораторных измерений; они зависят от температур реагентов, их относительных скоростей и распределений по возбужденным состояниям.

Если процесс (13) может идти не по одному каналу, а по нескольким, с образованием, например, разных пар продуктов: то вводят коэффициенты ветвления и , характеризующие вероятность каждого канала, такие, что

(16)

По аналогии с упругими соударениями величину можно принять за частоту неупругих столкновений , а обратную ей величину 1/ - за время между столкновениями , называемое в этом случае временем жизни компаненты α относительно реакции (13). Скорость изменения концентрации частиц сорта α за счет реакции (13) запишется в виде

(17)

откуда при n ≈ const

(18)

Возвращаясь к процедуре  перехода от кинетического уравнения  к уравнениям переноса для моментов, умножим (1) на импульс частицы v и проинтегрируем по скоростям. Используя (11), получим уравнение движения, или закон сохранения импульса:

(19)

где —∆ — вязкая сила (сила внутреннего трения): (∆ᵧ ≡

(20)

 

Rα — среднее изменение импульса частиц α-го сорта в единице объема за единицу времени в результате столкновений с частицами других сортов:

(21)

Умножая далее (1) на кинетическую энергию частицы и интегрируя по скоростям, получим после некоторых преобразований закон сохранения энергии:

22)

Здесь Е — полная энергия частиц в единице объема, складывающаяся из кинетической энергии направленного движения и внутренней энергии (хаотического, теплового движения):

(23)

 вектор потока тепла, образуемый из компонент тензора потока тепла :

(24)

Рα — выделение тепла в единице объема в единицу времени вследствие столкновений:

(25)

Таким образом, мы свели систему кинетических уравнений (1) к системе уравнений переноса (11), (19) и (22) для макроскопических характеристик плазмы , и (или . Однако сами по себе эти уравнения еще не избавляют от необходимости нахождения функции распределения Fα(r, v, t), поскольку она входит в выражения для ,, и (система не замкнута). Продолжая процедуру аналогично тому, как были получены уравнения (11), (19), (22), можно получить уравнения для и , которые, в свою очередь, будут содержать моменты более высоких порядков, и т. д. Тем самым придем к бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений.

Для того чтобы уравнениями (11), (19) и (22) можно было пользоваться для нахождения, , и , необходимо каким-то образом выразить ,, и через , и . С этой целью функцию распределения представляют (метод Грэда) в виде рядапо полиномам Эрмита в пространстве скоростей:

(26)

где — равновесная (максвелловская) функция распределения, а коэффициенты разложения связаны с моментами функции распределения:

(27)

Сохраняя члены с N от 0 до 3 и полагая среди коэффициентов , отличными от нуля только коэффициенты с одинаковыми индексами k и l, связанные с компонентами вектора потока тепла , получим после подстановки (26) в (11), (19), (22) и в уравнения переноса для и замкнутую систему уравнений для 13 моментов функции распределения (, Тα, три компоненты вектора Vα, пять независимых компонент симметричного тензора и три компоненты вектора ) — так называемое 13-моментное приближение метода Грэда. Мы не выписываем здесь эти громоздкие уравнения (их вывод и анализ можно найти в [2, 3, 8, 15]), поскольку в практике ионосферного моделирования их непосредственно обычно не используют, а делают еще один упрощающий шаг и переходят к так называемому гидродинамическому приближению.

 

1.1. Система уравнений, моделирующих ионосферную плазму в гидродинамическом приближении

 

В этом приближении отклонения от равновесного распределения считаются малыми (функции распределения слабо отличаются от максвелловских), величины скоростей и компонент тензора вязких напряжений и вектора потока тепла предполагаются величинами первого порядка малости, а их производные по координатам — малыми второго порядка. Эти предположения можно считать обоснованными, если выполняются следующие условия.

Время релаксации к равновесному распределению, интервалом между столкновениями т, должно быть мало по сравнению с  характерным временем Т изменения макроскопических величин, представляющих собой моменты функции распределения:

(28)

а длины свободного пробега  λ должны быть малы по сравнению с характерными пространственными масштабами L изменения макроскопических величин:

(29)

В качестве L для заряженных частиц на высотах h≤1000 км следует брать высоту однородрой атмосферы для преобладающей нейтральной компоненты , а выше, где столкновения с нейтральными частицами практически отсутствуют,— характерный масштаб неоднородности геомагнитного поля .

Оба эти условия хорошо выполняются в ионосфере на высотах  до ~ 400 км, несмотря на быстрый рост τ и λ с высотой из-за уменьшения плотности. Так, в Е- и F-областях τ < 1 с, а T > с; λ ~ /10° км, a L ~ 5/50 км. Однако в протоносфере (на высотах выше ~ 1000 км) условия (28), (29) выполняются лишь для тепловых заряженных частиц, в частности для электронов с энергиями Е ≤10, где — температура электронов в энергетических единицах [11]. Это означает, что функция распределения таких электронов близка к максвелловской и для них применимо описание в гидродинамическом приближении. Однако и в этом случае необходимо знание функции распределения сверхтепловых электронов для расчета, например, скорости нагрева тепловых электронов. Это приводит к комбинированию в моделях ионосферы уравнений гидродинамики для тепловых частиц с кинетическим уравнением для сверхтепловых электронов [9, 13, 28].

С учетом предположений, сделанных  в начале , запишем уравнения переноса (11), (19) и (22) для первых моментов функции распределения , и отдельно для нейтральных частиц, ионов и электронов, используя для обозначения сортов частиц индексы n, i и e соответственно [2, 3, 26].

Уравнения непрерывности  для нейтральных частиц и ионов

(30),(31)

Уравнение непрерывности  для электронов нет необходимости  решать, если решаются уравнения (3); для нахождения электронной концентрации можно использовать условие квазинейтральности:

(32)

Уравнения движения для нейтральных  частиц:

33)

Здесь

  (34)

 

                                    (35)

 

                (36)

 

В этих выражениях Ω — вектор угловой скорости вращения Земли; r — радиус-вектор, проведенный в данную точку из центра Земли; — коэффициент вязкости Нейтрального газа; — сийы трения, действующие на частицы сорта n, находящиеся в единичном объеме, со стороны нейтральных частиц других сортов и ионов; и — соответствующие частоты столкновений; и — приведенные массы сталкивающихся частиц: ; — фактор термодиффузии.

Поскольку скорости направленного  движения частиц определяют обычно относительно вращающейся Земли, в левую часть уравнения движения (33) вошли центробежное и кориолисово ускорения. Последний член в (33) описывает термосилу, возникающую вследствие пространственной неоднородности температуры и вызывающую термодиффузию [2]. Для Многокомпонентной смеси факторы термодйффузии сложным образом зависят от концентраций компонент и сравнительно простые выражения для них могут быть написаны лишь для конкретных случаев преобладания одних компонент и второстепенности других. Термодйффузия наиболее существенна Для лёгких нейтральных компонент Н и Не, для которых [20] получено β(Н) ≈ 0,38, β(Не) ≈ -0,27.

Коэффициент вязкости однокомпонентного нейтрального газа определяется выражением (в приближении «твердых шариков» диаметром dn) [29]:

(37)

Для молекул и d ~ 3,6· см, для атомов О и Н — 2· см, для Не — 2,6· см. Результаты теоретических и экспериментальных исследований вязкости атмосферных газов обобщены следующими аппроксимациями:

(38)

где выражено в г··; α() = 4,03; α() = 3,43; α(O) = 3,90; α(Не) = 3,84; α(Н) = 1,22.

Для смеси газов

(39)

Частоты столкновений , фигурирующие в определении силы трения (36), отличаются от использованных нами ранее частот , которые удовлетворяли определению силы трения. Очевидно, что

(40)

В соответствии с третьим  законом Ньютона

(41)

Для упругих столкновений нейтральных частиц сортов n и l, подчиняющихся максвеяловским распределениям с температурами и можно написать

(42)

где сечение  принято независящим от скорости. В приближении «твердых шариков»

(43)

Прй учёте зависимости ; от относительной скорости в (42) появляется множитель 4/3. Для столкновений нейтральных частиц с ионами

(44)

Сечение соударений, не сопровождающихся обменом зарядом, дается выражением

(45)

где — атомная поляризуемость нейтрального газа. Подстановка (45) в (44) дает

(46)

где выражена в ; — приведенная масса в атомных единицах массы; — в . Значения для разных газов представлены ниже:

Выражение (45) неприменимо для столкновений нейтральный частиц со своими собственными ионами при высоких температурах, когда процесс происходит с обменом зарядом. В этом случае:

(47)

где

(48)

Аналогично, с резонансной  перезарядкой (вследствие близости потенциалов ионизации), происходят столкновения атомов Н с ионами и атомов О с протонами, для которых

(49)

Упругие столкновения нейтральных частиц с электронами не оказывают заметного влияния на движение нейтрального газа из-за малости массы электрона, и поэтому соответствующая сила трения отсутствует в уравнении (33). Пренебрегается также изменениями импульса в химических реакциях.

Уравнение движения для ионов  запишется в виде

(50)

(51)

Здесь и — силы ион-нейтрального и ион-ионного трения, определяемые аналогично (36). Выражение для частоты ион-ионных столкновений:

(52)

Вязкими силами в уравнениях движения для заряженных частиц -пренебрегают ввиду их малости по сравнению с другими силами.

Термодиффузия заметно влияет лишь на примесные ионы. Для смеси  из атомов О, ионов О+ и электронов, каковой является ионосферная плазма вблизи главного максимума (F2-слоя), фактор термодиффузии ионов O+ β (O+) ≈ 0,74 — , где фактор термодиффузии электронов составляет примерно 0,59 на высоте 220 км и стремится к постоянному пределу порядка 0,76 на высотах выше 340 км. Для ионов Н+ и Не+ на высотах, где они являются примесными, β(Н+) и β(Не+) порядка единицы.

Для плазмы, в которой  n(O+), n(Н+) >> n(N+), n(Не+), выражения для можно аппроксимировать согласно следующим образом:

(53)

При использовании этих выражений  следует полагать = 0 в уравнении движения для электронов.

Ускорение ионов следует  учитывать при описании движений со скоростями, приближающимися к скорости звука, в частности при описании процессов опустошения и наполнения плазмой субавроральных и высокоширотных силовых трубок геомагнитного поля. В большинстве стандартных ситуаций на высотах Е- и F- областей ионосферы можно пренебречь инерцией и термодиффузией. Уравнение движения ионов в этом случае запишется в виде:

(54)

а уравнение движения электронов – 

(55)

Здесь и — силы электрон-нейтрального и электрон-ионного трения, определенные аналогично (36). Частоты упругих электрон-нейтральных столкновений , входящие в эти силы, определяются выражением

(56)

где — средние сечения упругих электрон-нейтральных столкновений (в ), Те — в К :

(57) 
В уравнении (55) опущены инерционные члены и сила тяжести, малые из-за малости массы электрона. Силы трения и следует учитывать при рассмотрении токов в нижней ионосфере. Ими можно пренебречь, если токи невелики, т. е. если невелики разности скоростей Ve — Vn и Ve — Vi (так называемое амбипо-полярное приближение), поскольку но

Для описания плазмы верхней ионосферы (F-области и протоносферы) обычно используется укороченное уравнение движения для электронов, в котором сохраняется только градиент давления и электромагнитная сила:

(58)

Из (58) можно определить только составляющую вектора скорости, электродов, перпендикулярную геомагнитному полю В. Для нахождения продольной скорости можно использовать соответствующие, вытекающее из определения плотности тока:

(58а)

где j|| — плотность продольного тока, если последняя задана и не очень велика.

Уравнения теплового баланса для температур различных компонент ионосферной плазмы могут быть получены из уравнений (22) для полной плотности энергии путем исключения из этих уравнений плотности кинетической энергии направленного движения с помощью уравнений непрерывности и движения. В гидродинамическом приближении уравнения для температур будут иметь следующий вид.

Уравнение теплового баланса  для нейтральных частиц:

(59)

Здесь учтено, что внутренняя энергия распределена не только по поступательным, но и по вращательным и колебательным степеням свободы (для молекул); in — число степеней свободы, равное трем для атомов и пяти для двухатомных молекул:

(60)

где и — удельные (на единицу маееы) теплоемкоети при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.

Второй и третий члены в левой части (59) описывают скорость изменения тепла в единице объема за счет работы сил давления и вязкости. Вектор потока тепла записывается в виде

(61)

где — коэффициент молекулярной теплопроводности (в эрг·). Для одноатомных газов он связан с коэффициентом вязкости соотношением

(62)

Для молекулярных компонент  O2 и N2

(63)

для смеси атмосферных  газов

(64)

Член  в правой части (59) описывает скорость упругого теплообмена с газами других сортов, имеющими отличную от Тn температуру:

(65)

суммирование ведется по всем сортам частиц (индекс l соответствует нейтральным частицам, i — ионам, е - электронам). Из-за высокой плотности нейтрального газа теплообмен между различными сортами нейтральных частиц эффективно выравнивает их температуры, что позволяет считать нейтральный газ в целом находящимся при одинаковой общей температуре Тn. Упругий теплообмен с электронами несуществен для нейтрального газа ввиду малости массы электрона.