Оглавление

1. Исходные данные 

2 Разработка математического  описания САР 

2.1 Передаточные функции  системы по задающему и возмущающему  воздействиям 

2.2 Дифференциальное  уравнение САР 

3 Исследование устойчивости  САР 

3.1 Критеввававарий Гурвица 

3.2 Критерий Найквиста 

4 Оценка качества  регулирования САР 

4.1 Оценка качества  регулирования в переходном режиме 

4.2 Оценка точности  САР в установившемся режиме 

5 Оценка точности  моделирования САР 

5.1 Составления алгоритма  моделирования 

5.2 Сравнение точности  моделирования по каждому из  подходов 

Заключение 

Приложение: графики и рисунки к курсовой работе……………………………… 

       1. Исходные данные

       В качестве исходных данных приведена  функциональная схема (рис. 1) следящей системы:

   

     

       Уравнения динамических звеньев САР:

      (1)

Значения коэффициентов  для уравнений (1) приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Значение коэффициентов

 

 

       2 Разработка математического описания САР

       Математическое  описание САР включает в себя:

• передаточные функции системы по задающему и возмущающему воздействиям;
• дифференциальное уравнение САР.

       2.1 Передаточные функции системы по задающему и возмущающему воздействиям

       Чтобы получить передаточные функции необходимо перейти от функциональной схемы (рис. 1) к структурной схеме (рис. 2). Для этого найдем изображения по Лапласу для каждого уравнения (1):

      (2)

       Получаем  следующие передаточные функции  динамических звеньев САР:

      (3)

       Подставив передаточные функции (3) в функциональную схему (рис. 1) и заменив входящие и выходящую функции на их изображения по Лапласу, имеем структурную схему САР:

   

     

       Чтобы найти передаточную функцию по задающему воздействию (ПЗ), возмущающие воздействие приравниваем к нулю, т.е. , и упрощаем структурную схему (рис. 2): 

   

                

       где: , , , . Упрощаем структурную схему (рис. 3): 

              

              

       где: , . Упрощаем структурную схему (рис. 4): 

                            

              

       где:

       Подставляем все вводимые выше дополнительные обозначения: 

       Окончательно  ПЗ выглядит:

      (4)

       Упростим  знаменатель уравнения (4): 
 
 
 

       Общий вид знаменателя уравнения (4) имеет вид: 

       Упростим  числитель уравнения (4): 

       Подставляем значение коэффициентов уравнения (4), в результате получаем передаточную функцию по задающему воздействию для САР:

      (5)

       Чтобы найти передаточную функции по возмущающему воздействию (ПВ), задающие воздействие  приравниваем к нулю: и упрощаем структурную схему (2):

       

              

       где: , , , . Преобразуем структурную схему (рис. 6):

                

           

       Упрощаем  структурную схему (рис. 7):

                

             

       где: , . Упрощаем структурную схему (рис. 8):

                

              

       где: . Упрощаем структурную схему (рис. 9):

                    

             

       где: , .

       Подставляем все вводимые выше дополнительные обозначения: 

       Окончательно  ПВ выглядит:

      (6)

       Упростим  числитель уравнения (6): 

       Знаменатели у уравнений (4) и (6) совпадают, поэтому заново его упрощать не требуется. Подставляем значения коэффициентов в уравнение (6) в результате получаем передаточную функцию по возмущающему воздействию для САР:

      (7)

       2.2 Дифференциальное уравнение САР

       Дифференциальное  уравнение САР с двумя воздействиями  имеет общий вид:

                               (8)

       Подставляем в уравнение (8) уравнения (5) и (7): 

       Помножим уравнение, приведенное выше, на знаменатель: 

       Делаем  обратное преобразование по Лапласу  и в итоге получаем дифференциальное уравнение для САР:

      (9)

 

       3 Исследование устойчивости САР

       Предварительную оценку устойчивости САР произведем по критериям Гурвица и Найквиста. Если САР будет устойчива по обоим  критериям, тогда определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

       3.1 Критерий Гурвица

       Возьмем характеристическое уравнение (это знаменатель уравнения (5)) САР:

   (10)

       Т.к. уравнение имеет пятый порядок, необходимо посчитать пять определителей, составленных из коэффициентов уравнения (10): 

 

       Все определители положительны, следовательно, САР устойчива по критерию Гурвица

       3.2 Критерий Найквиста

       Для определения устойчивости по данному  критерию, возьмем передаточную функцию  по задающему воздействию (5): 

       Введем  новые обозначения: 
 
 
 
 
 
 
 

       Передаточная  функция (5) примет вид:

      (11)

       Заменим в уравнение (11) на : 
 

       Выделим мнимую и реальную части: 
 

       Таблица значений годограф Найквиста:

Таблица 2 - Значения годографа Найквиста

 

       Годограф  Найквиста построенный по табл. 2:

    

       Из  рис. 11 следует, что САР устойчива по критерию Найквиста. Запасы устойчивости:

• по амплитуде: h≈0,79
• по фазе:  γ≈53⁰

       Запасы  устойчивости удовлетворяют условия, что h не менее 0,2 и γ не менее 40⁰.

 

       4 Оценка качества регулирования САР

       Оценка  качества регулирования САР предполагает решение двух задач:

• оценка качества регулирования в переходном процессе;
• оценка точности САР в установившемся режиме.

       4.1 Оценка качества регулирования в переходном режиме

       Оценка  качества регулирования в переходном режиме требует решения двух задач:

• построение кривой переходного процесса;
• определение прямых и интегральных оценок качества регулирования.

       Кривую  переходного процесса построим методом  разностных уравнений. Для этого  возьмем уравнение (9) и вместо производных  подставим левые разности: 

       Помножим  полученное уравнение на знаменатель  старшего порядка: 

       Введем  следующие обозначения: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Выразим и получим разностное уравнение:

      (12)

       При коэффициенты в уравнение (12) имеют вид:

Таблица 3 - Значения коэффициентов для разностного уравнения

 

       Таблица значений координат точек, необходимые  для построения графика переходного  процесса.

Таблица 4 - Значения для переходного процесса

 

       График  переходного процесса, построенного по табл. 4:

    

       Прямые  оценки качества регулирования:

• время регулирования, : 11,4 сек
• перерегулирование, G: 
• число колебаний, N:  2

       Интегральные  оценки качества регулирования:

       Модульная интегральная оценка, берется из табл. 4 (столбец: I-мод.):

             (13) 
 

       Квадратичная  интегральная оценка, берется из табл. 4 (столбец: I^2):

             (14) 

       4.2 Оценка точности САР в установившемся режиме

       При оценке точности САР в установившемся режиме определяют статическую ошибку и коэффициенты ошибок , , . Статическую ошибку определим по формуле:

      (15)

       где - требуемое значение выходной переменной, - установившееся значение выходной переменной.

       Значение  определяется по формуле:

, (16)

       где – коэффициент передачи системы. 
 
 

       Считаем коэффициенты ошибок: 
 

       Передаточная  функция ошибки имеет вид:

             (17)

       Первая  производная передаточной функции  ошибки  

       Вторая  производная передаточной функции  ошибки  

       В передаточную функцию ошибки и в ее первые две производные вместо подставляем : 
 
 

 

       5 Оценка точности моделирования САР

       Для оценки точности моделирования САР  необходимо сравнить два метода построения кривой переходного процесса:

• на основе разностного уравнения САР, которое получено в предыдущей части курсовой работы;
• на основе алгоритма моделирования.

       5.1 Составления алгоритма моделирования

       У передаточных функций (3) элементов САР делаем замену и в результате получаем: 
 
 
 
 
 
 
 

       Выражаем  изображения выходного сигнала  элемента САР в зависимости от входного изображения: 
 
 
 
 
 
 
 

       Перейдем  во временную область: 
 
 
 
 
 
 
 

       Получим разностные уравнения для динамических звеньев, входящих в САР: 
 
 
 
 
 
 
 

       Разностные  уравнения для сумматоров: 
 
 

       Подставляем коэффициенты, причем , и выстраиваем алгоритм моделирования:

       Построим  график переходного процесса, причем :

Таблица 5 - Значения для переходного  процесса

 

Таблица 6 - Продолжение таблицы 5

 

       Переходный  процесс, построенный по табл. 5 и  табл. 6:

    

       Интегральные  оценки качества регулирования:

       Модульная интегральная оценка, берется из табл. 6 (столбец: I-мод.). Считается по формуле (13): 
 

       Квадратичная  интегральная оценка, берется из табл. 6 (столбец: I^2). Считается по формуле (14): 

       5.2 Сравнение точности моделирования по каждому из подходов

       Для этого необходимо определить для  каждого подхода:

• среднемодульную оценку;
• среднеквадратичную оценку;
• медианную оценку.

       Также необходимо построить графики изменения  ошибок для каждого подхода на одном рисунке.

       Метод разностных уравнений

1. Среднемодульная оценка:

 
       

2. Среднеквадратичная оценка:

 
       

3. Медианная оценка:

 

       Алгоритм  моделирования

1. Среднемодульная оценка:

 
       

2. Среднеквадратичная  оценка:

 
       

3. Медианная оценка:

 
 

       Графики изменения ошибок . Данные для графика берутся из табл. 4 и табл. 6:

  

 

       Заключение

       В курсовой работе была рассмотрена система  автоматического регулирования, а  именно следящая система. Был проведен анализ по определению устойчивости и оценок качества регулирования. Было определено, что система является устойчивой и имеет необходимые  запасы устойчивости: по амплитуде  – 0,79 и по фазе – 53⁰. При оценки качества регулирования системы было определено, что система является статической, т.к. коэффициент ошибки С₀ = 0, также это было доказано при построение соответствующих графиков (рис. 12 и 13). Построение кривой переходного процесса осуществлялось двумя способами: с помощью разностных уравнений и методом алгоритма моделирования. Качество регулирования для обоих методов оценивалось с помощь интегральных оценок, а также с помощью среднемодульной, среднеквадратичной и медианной оценок. Ниже приведена таблица со значениями этих оценок для обоих методов: