Математическое описание составных элементов САУ

Задание на курсовое проектирование

Целью данного курсового  проекта является проектирование устройства стабилизации силы схвата руки промышленного робота.

1. Выполнить функциональную схему . Выполнить описание функциональной схемы системы. Посредством разбиения САУ на функциональные узлы и элементы, выделить динамические звенья. Для полученных динамических звеньев составить описывающие их дифференциальные уравнения и передаточные функции. На основе передаточных функций составить структурную схему.
2. Определить устойчивость САУ по трем критериям, при необходимости сделать устойчивой. Для полученной САУ вычислить показатели качества.
3. Вы полнить синтез последовательного корректирующего устройства с целью достижения требуемых показателей качества, рассчитать корректирующее устройство, выполнить проверку, определив переходные и частотные характеристики..
4. По средствам D-разбиения определить возможные диапазоны регулирования коэффициента K.
5. Выполнить расчет на устойчивость, определить запасы по амплитуде и фазе.
6. Вывод по проделанной работе.

 

 

  
Содержание

 

1 Функциональная схема устройства стабилизации

 

Рисунок 1 – Функциональная схема устройства

Обозначения на схеме:

Д – двигатель;

Н – насос;

С – сильфонный датчик;

К – клапан;

ГЦ1 и ГЦ2 – гидроцилиндры.

 

2 Описание работы системы

Д – двигатель, приводящий в движение насос Н. При повышении давления Р в системе, гидроцилиндры ГЦ1, ГЦ2 сжимают заготовку. Но сжать её необходимо с определенной силой, поэтому при достижении необходимого давления (усилия) сильфонный датчик «С» приводит в движение жестко с ним связанный клапан «К», вследствие чего давление в гидроцилиндрах не повышается и держится на постоянном уровне.

 

3 Математическое описание составных элементов САУ

Используя функциональную схему устройства, найдем дифференциальные уравнения для каждого элемента и выведем их передаточные функции.

 

3.1 Сильфонный датчик

Уравнение срабатывания сильфонного датчика описывается уравнением:

Где x – перемещение рейки сильфона;

D –коэффициент вязкого трения;

k_С – коэффициент упругости сильфона;

F_С – площадь сильфона;

m_ж – масса жидкости.

Принимаем

 

Передаточная функция  примет вид:

k_п – коэффициент пропорциональности между перемещением и давлением.

 

 

 

 

3.2 Клапан

Дифференциальное уравнение  имеет вид:

Где k_п – коэффициент жесткости пружины;

х – перемещение клапана;

F – площадь клапана;

P – давление, действующее на клапан.

 

Тогда передаточная функция примет вид:

,

 

3.3 Объект регулирования (гидроцилиндр)

Рисунок 2 - Гидроцилиндр

Где m_ц – приведенная масса поршня и подвижных элементов гидроцилиндра;

– коэффициент вязкого трения в гидроцилиндре;

Р_нагр – внешняя нагрузка, действующая на шток;

F_шт – площадь, равная площади поршня гидроцилиндра за вычетом площади штока;

F_пор – площадь поршня;

P_пор – давление в поршневой полости гидроцилиндра;

P_шт – давление в штоковой полости гидроцилиндра;

x – перемещение поршня гидроцилиндра.

Отсюда передаточная функция давления:

Где , 

 

4 Структурная схема устройства стабилизации

Рисунок 3 – Структурная схема стабилизатора

Рисунок 4 – Структурная схема стабилизатора с уравнениями

 

5 Передаточная функция  структурной схемы

;            

Передаточная функция  системы примет следующий вид:

Выбираем коэффициенты , , , ,

Передаточная функция САУ после преобразований:

 

6 Исследование САУ  на устойчивость

6.1 Исследование разомкнутой САУ на устойчивость

 

Передаточная и переходная характеристики системы:

,

  

Рисунок 5 – Переходная характеристика соединения

САУ устойчива, т.к. переходная характеристика сходящаяся. При этом:

1) статическая ошибка ε_ст=1–0,980=0,02; 2) время переходного процесса t_п= 20,6 с;

3) перерегулирование:

 

6.1.1 Исследование САУ на устойчивость по критерию Раусса-Гурвица

 

Запишем характеристический полином:

Так как характеристическое уравнение имеет 3-й порядок. Тогда должно выполняться условие

Составим по нему три  минора

    

    

 

Поскольку все миноры и все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то САУ устойчива.

 

6.1.2 Исследование САУ на устойчивость по критерию Михайлова

Для построения годографа Михайлова определим вещественную и мнимую части функции:

3) Вычислим и для ряда значений частоты и по данным таблицы построим годограф Михайлова:

 

 

 

w	U	V
0	1,015	0
0,2	0,969	0,1576
0,4	0,831	0,3008
0,6	0,601	0,4152
0,8	0,279	0,4864
1	-0,135	0,5
1,2	-0,641	0,4416
1,4	-1,239	0,2968
1,63	-2,04044	0,004776
1,7	-2,3085	-0,1139
1,8	-2,711	-0,3096
1,9	-3,1365	-0,5377
2	-,585	-0,8
2,1	-4,0565	-1,0983
2,2	-4,551	-1,4344
2,3	-5,0685	-1,8101
2,4	-5,609	-2,2272
2,5	-6,1725	-2,6875

Рисунок 6 –Годограф Михайлова

4) Анализируя годограф Михайлова, видно, что он последовательно проходит через три квадранта соответственно 3-му порядку характеристического полинома. Следовательно, система устойчива.

5) Значение критического  коэффициента усиления К_кр определим из графического построения годографа: он равен отрезку прямой на действительной оси между значениями, при которых коэффициент мнимой части равен 0.

К_кр = 1,015 + 2,040 = 3,055

 

6.2 Исследование замкнутой  САУ на устойчивость

Передаточная и переходная характеристики системы:

  

Рисунок 7 – Переходная характеристика соединения

САУ устойчива, т.к. переходная характеристика сходящаяся. При этом:

1) статическая ошибка ε_ст=1–0,49=0,51; 2) время переходного процесса t_п= 20,8 с;

3) перерегулирование:

 

6.2.1 Исследование САУ на устойчивость по критерию Раусса-Гурвица

Запишем характеристический полином:

Так как характеристическое уравнение имеет 3-й порядок. Тогда  должно выполняться условие

Составим по нему три  минора

    

    

 

Поскольку все миноры и все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то САУ устойчива.

 

2. Исследование САУ на устойчивость по критерию Михайлова

 

1) Запишем характеристический полином:

2) Для построения годографа Михайлова определим вещественную и мнимую части функции:

3) Вычислим и для ряда значений частоты и по данным таблицы построим годограф Михайлова:

w	U	V
0	2,022	0
0,3	1,9185	0,32253
0,6	1,608	0,59646
0,9	1,0905	0,77319
1,2	0,366	0,80412
1,5	-0,5655	0,64065
1,89	-2,08592	0,057588
2,1	-3,0495	-0,46389
2,4	-4,602	-1,50216
2,7	-6,3615	-2,92923
3	-8,328	-4,7937

 

 

 

 

Рисунок 8 – Годограф Михайлова

4) Анализируя годограф  Михайлова, видно, что он последовательно  проходит через три квадранта  соответственно 3-му порядку характеристического  полинома. Следовательно, система  устойчива.

5) Значение критического  коэффициента усиления К_кр определим из графического построения годографа: он равен отрезку прямой на действительной оси между значениями, при которых коэффициент мнимой части равен 0.

К_кр = 2,022 + 2,1 = 4,122

6.2.3 Исследование САУ на устойчивость по критерию Найквиста

Об устойчивости САУ, в соответствии с критерием Найквиста, можно судить совместно по АФХ  и ФЧХ разомкнутой системы. Для оценки устойчивости надо сравнить две частоты: и . На частоте среза АЧХ пересекает нулевой уровень, а на критической частоте ФЧХ пересекает уровень -180. Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно чтобы .

Частотные характеристики разомкнутой системы:

; 

 

Так как  необходимо вычислять превышение:

        

 

 

Рисунок 9 - ЛФЧХ и ЛАЧХ

По графику частота  среза  и критическая частота , а запасы устойчивости по фазе и амплитуде .

Так как – система устойчива.

 

7 Частотный синтез САУ

Используя известную методику частотного синтеза, подберём и рассчитаем корректирующее устройство с целью достижения заданных показателей качества:

Время переходного процесса t_п=0,2 с, перерегулирование s=70%, ε_ст=0,02.

Передаточная функция разомкнутой системы:

1) Исходя из требований  точности и качества переходного процесса простроим желаемую ЛАЧХ разомкнутой САУ.

    Определим  начало желаемой ЛАЧХ:

График желаемой ЛАЧХ будет начинаться в точке 20lg(k_ж)= 20lg(50)=34 дБ.

По заданному значению времени переходного процесса, определим ω_с.

,    

Выбираем желаемую частоту среза ω_с=50 рад/с.

Коэффициент усиления корректирующего устройства

k_К= k_Ж/k₀ =50/0,99=50,5

Низкочастотную и среднечастотную  составляющие желаемой характеристики соединим прямыми с наклоном -20 и -40 дБ/дек.

Передаточная функция  желаемой САУ:

Далее геометрически  вычитаем из желаемой характеристики исходную и получаем в результате характеристику последовательного корректирующего устройства.

Рисунок 10 – Частотный  синтез САУ

Передаточная функция  корректирующего устройства примет вид:

где Т₁ = 1, Т₂ = 0,02.

 

 

 

 

 

 

 

САУ после коррекции

Рисунок 11– Переходная характеристика соединения

САУ устойчива, т.к. переходная характеристика сходящаяся. При этом:

1) статическая ошибка ε_ст=1–0,98=0,02; 2) время переходного процесса  t_п= 0,85 с;

3) перерегулирование:

Передаточная функция  скорректированной САУ примет вид:

,   

 

8 Исследование скорректированной САУ на устойчивость по критерию Найквиста

Частотные характеристики  разомкнутой системы:

,

.

Рисунок 12 - ЛФЧХ и ЛАЧХ

По графику частота  среза  увеличилась и стала равна и критическая частота увеличилась. Запас устойчивости по фазе не изменился и амплитуде уменьшился .

Так как  – система устойчива.

 

9 Расчет граничных значений изменяемого параметра k, используя методику D-разбиения

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой скорректированной системы:

Для получения кривой D–разбиения решим характеристическое уравнение:

Осуществим замену , тогда

Отсюда выражаем k:

Находим действительную и мнимую части X(ω) и Y(ω), строим границу  
D-разбиения:

 

 

 

 

 

 

 

 

ω	X(ω)	Y(ω)
3,5	7905,562	47982,16
3	4234,518	14649
2,5	2015,95	-6504,53
2	806,008	-17474
1,5	241,542	-20273,7
1	40,102	-16933
0,5	-0,062	-9492,41
0	0	0
-0,5	-0,062	9492,406
-1	40,102	16933
-1,5	241,542	20273,72
-2	806,008	17474
-2,5	2015,95	6504,531
-3	4234,518	-14649
-3,5	7905,562	-47982,2

 

Рисунок 13 –Границы D-разбиения

По графику область  устойчивости K лежит в пределах от 0 до 2750.

 

10 Проверка устойчивости САУ для выбранного коэффициента K

Проверим по критерию Михайлова устойчивость для того значения параметра, который находится внутри графика. Примем K=2500.

 1) Запишем характеристический полином:

2) Для построения годографа Михайлова определим вещественную и мнимую части функции:

 

 

3) Вычислим и для ряда значений частоты и по данным таблицы построим годограф Михайлова:

w	U	V
0	2500	0
0,5	-4345,64	9492,281
1	-11144,2	16932
1,5	-17774,6	20270,34
2	-24035,2	17466
2,5	-29643,4	6488,906
3	-34236,2	-14676
3,5	-37369,6	-48025
4	-38519,2	-95532
4,5	-37079,6	-159144
5	-32365	-240780
¥	+¥	+¥

Рисунок 14 – Годограф Михайлова

4) Анализируя годограф  Михайлова, видно, что он последовательно  проходит через пять квадранта соответственно 5-му порядку характеристического полинома. Следовательно, система устойчива.

 

 

Заключение

В ходе данной курсовой работы была разработана функциональная схема  устройства стабилизации силы схвата руки промышленного робота, получены дифференциальные уравнения, определены передаточные функции устройств, была доказана устойчивость системы по 3 критериям устойчивости: алгебраическому критерию Раусса-Гурвица и частотным критериям Михайлова и Найквиста.

К достоинствам алгебраического критерия Раусса-Гурвица относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

Устойчивость САУ по виду частотных характеристик определяется с помощью частотных критериев  Михайлова, Найквиста, основанных на использовании принципа аргумента. При этом об устойчивости САУ, в соответствии с критерием Найквиста, можно судить совместно по АФХ и ФЧХ разомкнутой системы. При этом используют логарифмические характеристики, что представляет большое удобство в силу простоты их исполнения.

Используя известную методику частотного синтеза, было подобрано и рассчитано корректирующее устройство с целью  достижения заданных показателей качества. В результате было сокращено на t_п= 20,8 – 0,85 = 19,95 с, точность в установившемся режиме составила ε_ст=0,02, а перерегулирование составило 22%. Система с такими параметрами обладает достаточной устойчивостью и является работоспособной.

Были рассчитаны граничные  значения, изменяемого параметра k, используя методику D-разбиения. При этом граница устойчивости K лежит в пределах от 0 до 2750.

 

 

Библиографический список

1. Теория автоматического управления / П. И. Нетушило. — СПб.: Санкт-Петербург Оркестр, 1988.
2. Таранов И. Н., Гордеев Е.Н. Теория автоматического управления: Конспект лекций. — Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2002. — Ч. 1. — 40 с.
3. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. — СПб.: Политехника, 1998. — 295 с.
4. Клюев А.С. Автоматическое регулирование. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Энергия, 1973. — 392 с.
5. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1989. — 304 с.
6. Теория автоматического управления: Учебное пособие для вузов / Под ред. А.С. Шаталова.— М.: Высшая школа, 1977.— 448 с.
7. Москаленко В.В. Автоматизированный электропривод – М., «Наука».,   1987 г., 412 стр., табл. 162.

8. Свешников, В.К. Станочные гидроприводы: Справочник / В.К. Свешников, А.А. Усов. – М.: Машиностроение, 1982. – 468с.

9. Чинёнова Т.П., Чинёнов  С.Г. Расчет гидроприводов: учебное пособие. – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2003. –62с.