Математикалық индукция әдісі

Мазмұны

1. Кіріспе......................................................................................4
2. Негізгі бөлім............................................................................5
1. Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары................5
2. Толымсыз индукция......................................................................7
3. Толық индукция..............................................................8
4. Дедукция.........................................................................10
5. Жетілдірілген индукция әдісі......................................................12
6. Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы.............13
7. Индукцияны қолданып есептер шығару....................................15
3. Корытынды............................................................................19
4. Пайдаланған әдебиеттер......................................................20

Кіріспе

Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс.

Курстық жұмыстың  мақсаты:  индукцияның пайда болуының әр түрлі формаларын, толымсыз индукцияны, толық индукцияны, дедукцияны, жетілдірілген индукция әдісін және натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасын  толықтай зерттеу болып табылады.

Бұл жұмыста  көптеген қызықты мағлұматтар қамтылған . Жұмыста келесі мәлімдемелер келтірілген:

Негізгі бөлімнің бірінші тақырыбы бойынша  индукция термині,оның үш мәні жайлы жалпы түсінік берілген. Ал индукцияның түрлері, яғни толымды және толымсыз индукция, дедукция  жайлы толық мағлұмат, негізгі бөлімнің екінші, үшінші және төртінші такырыптарында қарастырылған.

Негізгі бөлімнің бесінші және алтыншы тақырыбында математикалық индукция принципі толық ашылған. Ал жетінші тақырыпта математикалық индукция әдісін шыңдай түсу үшін есептер шығарылған.

Зерттеу барысында төмендегідей тақырыптар қарастырылған: 

• Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
• Толымсыз индукция.
• Толық индукция.
• Дедукция.
• Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
• Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

Жұмысытың мақсаттары мен міндеттері:математикалық индукция әдісінің мәнін,жүйесін,қолдану аясын толық ашу.

Жұмысытың құрылымы: жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды, пайдаланған әдебиеттерден тұрады. 

1. Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары.

 
          Ойымызды тұжырымдап айтып берудің негізгі екі түрлі жолы бар: олар индукция мен дедукция. Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. 
 
Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (Б.Ж.С. д. 469-399) еңбектерінде кездеседі. «Индукция» термині латынның  
 
inductio – түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып  
 
пайымдау жолы деген сөзі.

Оның негізгі үш мәні бар: 

1. Ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау;

2. Кейбір объектілер жиынын үйрету үшін жеке объектілерді қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздейді, жеке фактіден жасалған тұжырымды барлық объектілердің қасиеті ретінде алады;

3. Оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады.

1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде  
 
қиылысады. 
 
Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. 
 

 
Дербес пікірлер: Эллипс, парабола, гипербола 
конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды 
 
Жаңа жалпы пікір: Екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 
 
 
2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық:  
 
f(n)=n²-n+41 
 
 
n=1 болсын  
 
f(1)=1-1+41=41

n=2  f(2)=4-2+41=43

 
n=3  f(3)=9-3+41=47 
 
 
Сан тізбегі - жай сандар тізбегі болып табылады. {Қате пікір, өйткені   болғанда f(41²)=41²-41+41=41²- құрама сан}.  
 
 
3-мысал. Мұғалім үшбұрыштың биіктігі ұғымын оқушыларға таныстыра келіп, тақтаға әр түрлі қиғаш бұрыштарды сызады, әр түрлі жағдайда үшбұрышқа биіктік тұрғызады, бұл сызбаларға қарай отырып, оқушылар мынадай қорытындыға келеді: Егер үшбұрыш табанына іргелес жатқан бұрыштар сүйір болса, онда биіктік   табанымен қиылысады, ал егер   табанымен іргелес жатқан бір бұрыш доғал болса, онда биіктік   табанының созындысымен қиылысады. 
 
Бірінші мысалда индукция ой қорытудың ерекше формасын білдіреді, екінші мысалда бақылау мен тәжірибенің (нәтижесінде) негізіне сүйеніп индукция ғылыми-зерттеу әдісі, ал 3-мысалда индукция оқыту әдісі ретінде қолданылған. Индукцияның әр түрлі формада болуы адамдардың күнделікті қызметінің сипатына тікелей байланысты.

2. Толымсыз индукция

 
 
Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке фактілер өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. 
 
Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмады да мүмкін алғашқы жеке фактілерде бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық процесте, әсіресе жеке фактілер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес фактілерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адам практикасында бұрыннан сыналған. 
 
5+2=2+5 демек a+b=b+a . 
 
Сабақ өту кезінде оқушыларға таныс жеке мысалдар алып, солардан қорытынды шығаратын болсақ, бұл оқушыларға түсінікті болады. 
 
Толымсыз индукция төменгі сыныптарда жиі қолданылады. 
 
Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз, дәл осы әдіспен мектепте прогрессия өтіледі: 
 
=

 
= 
 
 
= 
 
= 
 
= 
 
 
Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. 
 
Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып 
 
білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелермен көрген білгендерінен келіп, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады.

3. Толық индукция

 
 
Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. 
 
Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытындының негізі бар деп есептейміз. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды 1=1; 2=1*2; 3=3*1; 4=1*4=2*2; 5=1*5; 6=1*6=2*3; 7=1*7; 8=1*8=2*2*2; 9=1*9=3*3; 10=1*10=2*5. 
 
Қорытынды 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. 
 
Сонымен толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. 
 
Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. 
 
Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. 
 
Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. 
 
Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз. 
 
а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады.  
 
 
б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. 
 
 
в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады – бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. 
 
 
Мысалы, «Натурал санның квадраты 2 мен аяқталады». 

 
 
Индукциялық ой қорыту объектілердің арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде объектілер арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту – белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп аталады. 
 
Оқыту процесінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. 
 
Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістері ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады).

4. Дедукция

 
 
Дедукция (латынша deductio – бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция деп атаймыз.

а) Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір).

б) Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір).

в) Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір – қорытынды).

Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. 
 
[Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді] алғы шарт деп атайды. 
 
[Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды]. 
 
1-мысалда жалпы сөз тіркесі 40Д, екіншісінде «Дұрыс аттас көпбұрыштар». 
 
Дедукцияның мәні берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. 
 
Дедуктивтік ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. 

Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін:

1. Барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. Жоғарыдағы НОД (а,в)-қа байланысты мысал осы түрдегі дедукцияны білдіреді.
2. Жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу.

Мәселен. Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді. Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді. Ешбір жұп сан мезгілде тақ сан бола алмайды. 

3. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту.

Мәселен. 2 саны – жай сан. 
 
2 саны – натурал сан. 
 
 
Кейбір натурал сан жай сан болып табылады 
 
 
Математикалық ой қорытулар көбінесе дедуктивті болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады:  
 
Мәселен. Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. 
 
Математика дедуктивті ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. 
 
Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. 
 
Теореманы дедуктивтік тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілерге сүйеніп сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Бір теореманы дәлелдеу арқылы бұрын айтылғандарды түсіндірелік: 
 
 
Шарты:   теңбүйірлі? Қорытынды:  . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. 
 
Зерттеу әдісі ретінде объектілер арасындағы ортақ қасиеттермен байланыстарды табу арқылы сипатталады, объектілер класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. 
 
Мысалы, квадраттың қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет квадратқа да тән екен. (Квадраттың диагоналдары өзара ?). 
 
 
Дедукция арқылы оқулық материалын баяндаудың ерекше формасы, ол материалды жалпы түрден жекеше түрге көше отырып баяндау әдісі. Мысалы,  -тың ұқсастығы қасиетін дедукцияның көмегімен геометриялық есептер шешуге қолданамыз. 
 
Математикалық даму процесінде индукция мен дедукция бір-бірінен өзгешеленбейді. (Бір-бірінен айырмашылығы жоқ).  
 
2+7=7+2=9 бұдан a+b=b+a бұл индукция, бұл заңды жеңілдету үшін 1+42=42+1=43. Оқушылар дедукциялық әдіс қолданады. Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі.

5. Жетілдірілген индукция әдісі 
   

Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. 
 
Толық математикалық индукция белгілі фактіге қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады.

1. Бақылау мен тәжірибе;
2. Гипотеза;
3. Гипотезаны дәлелдеу.

Математикалық индукция принципінің мәнісі төмендегідей: егер қайсыбір тұжырым (формула) n=1 болғанда (немесе бұл ұйғарымның мағынасы бар n-нің басқа мәндерінде) ақиқат болса және n=k қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарылуынан келесі натурал n=k+1 үшін де тұжырымның ақиқаттығы шығатын болса, онда тұжырым n-нің барлық натурал мәнінде ақиқат. Математикалық индукция принципін қолдануға негізделген дәлелдеу әдісі математикалық индукция әдісі деп аталады.

Математикалық индукция әдісімен дәледеу тәсілі төмендегі келесі кезеңдерден тұрады:

1. n=1 болғанда тұжырымның (формуланың) ақиқаттағы тікелей тексеріледі немесе дәлелденеді;
2. қайсыбір натурал n=k үшін тұжырым ақиқат, тура деп ұйғарылып, тұжырымның ақиқаттағы n=k+1 үшін дәлелденеді. Математикалық индукция әдісін, натурал n-ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге ғана қолдануға болатыны айқын.

Негізінен ол есептің екі түрін шешуге қолданылады:

1. жекелеген бақылаулардан ой түйіп , кейбір заңдылықты тағайындайды және одан кейін оның дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді;
2. кейбір формулалардың ақиқаттығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді.

6. Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

Математикалық индукция әдісінің көмегімен натурал сандардың бөлінгіштігіне қатысты тұжырымдарды дәлелдеуге болады. Мысалы, натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасын дәлелдейік. 
 
^ Теорема: Бірден артық кез-келген n натурал сан─ жай сан не әр түрлі жіктелуіндегі өзгешелігі көбейткіштердің тұрған орнында ғана болатын көбейтінді түрінде жазылады. 
 
Дәлелдеу: 
 
Біз ең алдымен жай көбейткіштерге жіктеудің бар болатынын көрсетелік. n=2, бұл жай сан. Біз айтқан тұжырым дұрыс. 
 
k санына кез-келген n саны не жай немесе жай көбейткіштерге жіктелетін құрама сан. k санының өзі не жай сан, не жай көбейткіштерге жіктелетінін көрсетелік. Егер k жай сан болса, онда айтылған тұжырым дұрыс. Егер k- құрама сан болса, онда k=ab, мұндағы a және b сандары k- дан кем натурал сандар. Ұйғарым бойынша бұлар жай көбейткіштерге жіктеледі. Бұл a, b сандарын өздерінің жіктелулерімен алмастырсақ, k санының жай көбейткіштерге жіктелуін аламыз. 
 
Сонымен, n=2 болғанда жай көбейткіштерге жіктелу туралы теореманың бар болатыны ақиқат, ал бұдан k санынан кем барлық натурал сан жіктеледі деген қорытындыға келеміз. Демек, бұл пікір k саны үшін де ақиқат деп аламыз. Демек, бұл пікір бірден артық кез келген натурал сан үшін ақиқат. 
 
Енді көбейткіштерге жіктелудің біреу-ақ болатынын көрсетелік. Ол үшін бізге жай сандардың келесі қасиеті қажет болады. Егер n натурал саны р жай санына бөлінсе, онда n санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуінде бір көбейткіш р болады. Шынында да n саны р-ға бөлінсе және n=q1... qm, q1, q2,..., qm – жай сандар, онда жай сандардың қасиеті бойынша q1, q2,..., qm – сандардың бірі, мысалы, q1 саны р – ға бөлінуге тиіс. q1-жай сан, онда ол р -мен бірдей болуы керек. n=2 болғанда 2 жай санын аламыз, мұның басқа жай көбейткіштерге жіктелуі болмайды. 
 
k санынан кем барлық натурал сандар бір ғана түрде жай көбейткіштерге жіктелсін. Бұл жағдайда жіктелудің біреуі ғана болатыны туралы теорема ақиқат. Егерk құрама сан болса, онда ол k – дан өзгеше ең болмағанда бір р санына бөлінеді.  
 
Басқа сөбен айтқанда k санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуі k= р*q2…qm түрінде болады. Мұндағы q2…qm – көбейтіндісі   санының жай көбейткіштерге жіктелуі –саны бірден артық k – дан кем натурал сан болғандықтан ұйғарым бойынша оның жай көбейткіштерге жіктелуі бір ғана түрде болады. Математикалық индукция әдісі бойынша тұжырым дәлелденді. 
 
 
Келесі тұжырымды математикалық индукция әдісімен дәлелделік. 
 
Егер n натурал сан болса, онда n²- n саны жұп. Дәлелдеу. n=1 болса, онда тұжырым ақиқат. Өйткені 1²-1=0 – жұп сан. Енді k²- k жұп сан болса. Сондай-ақ(k+1)²-( k+1)= 2k – жұп сан, ендеше (k+1)2-(k+1) жұп сан. Сонымен, n²- n айырмасының жұптылығы n=1 үшін дәлелдедік, k²- k жұптылығын (k+1)2-(k+1)-жұп екені қорытылды. Демек, n²- n айырмасы n санының барлық натурал мәнінде жұп. 
 
Дәл осы сияқты n³ -n айырмасы 3-ке бөлінеді. Ол үшін ((k+1)³- (k+1))- (k³-k) = 3k³+3k санының 3-ке бөлінетінін пайдаланамыз. 
 
Қарастырған мысалдардан nm- n айырмасы әрқашан m-ге бөлінеді деп тұжырым жасаймыз. Мысалы m=4, n=3 болғанда. 34-3=78 саны 4-ке бөлінеді. Егер m=5 болса nm- n айырмасы 5-ке бөлінеді. Сонымен, біз қарастырған мысалдарда 2,3,5 жай сандар, сондықтан жоғарыдағы гипотезаны дәлірек тұжырымдайық. 
 
Егер р жай сан болса, ал n кез келген бүтін сан болса онда np- n өрнегі р-ға бөлінеді, мұндағы р-жай сан. Бұл тұжырым Ферманың кіші теоремасы деп аталады.n саны р-ге бөлінетін болса, теореманың дұрыстығы бірден көрініп тұр. 
 
np-n=n(np-1-1) 
 
Tеңдіктің оң жағындағы n саны р-ге бөлінетіндіктен көбейтінді р-ге бөлінеді.

7. Индукцияны қолданып есептер шығару

 
Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.  
 
1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса  
 
2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.  
 
Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады. 
 
1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

1.  
   n = 1 болса S(1) = 1²
2.  
   n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

 
S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды. 
 
2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² =  теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1. S(1)= 1=1²=1 n=1 үшін орынды.
2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда, 
   n=k+1 үшін дәлелдейік. 

 
S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² =  +(k+1)² = = =   =  мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген  
 
натурал n үшін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік  
 
1+3+6+10+...+   = 

1. n=1 онда, 1=   орынды.
2. n=k  үшін орынды деп ұйғарамызда,

 n=k+1 үшін дәлелдейік.

 
1+3+6+...+  + =S(k)+   =  
 
=  +   =   =  = 
 
=   формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек. 
 
+ + +...+ =   
 
1) n=1 үшін  =  орынды. 
 
2) n=k үшін орынды деп ұйғарып, 
 
n=k+1 үшін дәлелдейік 
 
+ + +...+  +  = + = 
          
=  =  =  =   n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

5-есеп. Кез – келген натурал n >3 үшін   +  +   +…+  <   теңсіздігінің 
 
орынды екендігін дәлелдеу керек. 
 
1) n=4 1+  +   +   = 1+   =   <  ; 
 
2) n=k үшін орынды деп алып,  
 
n=k+1 үшін дәлелдейміз 
 
+ +  +...+  + <   +  = 2-   +  =  - + - 
 
- + =  + ( -  ) <   ; себебі  - < 0  
 
n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n>3 орынды болады. 
 

6-есеп. 4n+15n-1 өрнегі натурал n 1 болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

1. n=1 болғанда, 41+15 1-1=18 9-ға бөлінеді.
2. n=k болғанда 4k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін  дәлелдейік.

4k+1+15(k+1)-1=4k 4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4k 4+60k-4)-45k+18= 
 
=4(4k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n 1 кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады.

Қорытынды

Жұмысты зерттеу барысында теорема, анықтамалар, мысалдар пайдаланылды.

Зерттеу барысында келесідегідей тақырыптарға жіктеп қарастырылды: 

• Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
• Толымсыз индукция.
• Толық индукция.
• Дедукция.
• Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
• Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

Пайдаланған әдебиеттер тізімі 

1. Қазақ энциклопедиясы 7-том.
2. И.С.Петраков: «Математические кружки в 8-10 классах» - Москва «Просвещение» 1987.
3. И.С.Петраков: «математические олимпиады школьников» - Москва «Просвещение» 1982.
4. «Математикалық ойашар», «Қазақ энциклопедиясы» Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
5. Л. ГЕНКИН : «О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ»
6. С.И.Туманов: «Элементарная алгебра». Москва. 1960
7. А.И. Маркушевич, К.П.Сикорский,Р.С.Черкасов : «Алгебра и элементарные функций»
8. Т.А. Алдамұратова : «Математика 5»−Алматы: Атамұра, 2001. 
9. А. Көбесов : «Математика тарихы» – Алматы: Қазақ Университеті,
10. Интернет желісі.