Математиканы оқытудың семиотикалық негіздері

ҚАЗАҚ МЕМЛЕКЕТТІК ҚЫЗДАР ПЕДАГОГИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МЕМЛЕКЕТТІК БІЛІМ МЕКЕМЕСІ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Математиканы оқытудың семиотикалық негіздері

Жазған: Дауренбекова Ж.

3-курс, математика

Тексергендер: Елубаев С.,

Алматы, 2013

Жоспары:

1. КІРІСПЕ БӨЛІМ
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

1. Семиотика сөзінің этимологиясы және жалпы түсінік
2. Математикалық таңбалардың шығу кезеңдері
3. Символикалық логика

3. ҚОРЫТЫНДЫ БӨЛІМ
4. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

Семиотика (гр. semeion -белгі, таңба) – таңбалық белгілер жүйесі туралы ғылым, адамзат қоғамына қызмет ететін салалардағы, табиғаттағы немесе адамның өз қызмет-қабілетіндегі (заттарды көру, есту арқылы қабылдау, логикалық пайымдау) ақпараттың сақталуы мен қабылдануына қатысты әр түрлі таңбалық жүйелердің құрылымы мен қызметінің жалпы мәселелерін зерттейтін ғылыми пән. "Таңбалар жайындағы ғылым" ретінде семиотиканың алғашқы негізгі ұстанымдары табиғи тілді байқауға байланысты Ч. С. Прис пен Ф. де Соссюрдің еңбектерінде айтылған.

Алғашқы математикалық таңбалар - сандар.

Ежелгі грек матемтиктері жұмыстарында: Евклидтің «Бастау» кесінділері мен басқа геометриялық объектілер әріптермен белгіленетін болды. Әріптік өрнектердің тарихы III ғасырдан басталады. Ол кезде Диафант белгісіз шамалар мен дәрежелерді әріптермен белгілеуін ұсынды.

VII ғасырда үнді математиктері әріптік өрнектерді пайдаланды.

XIV-XVII ғасыларды әріптік өрнектердің қарқынды дамуы байқалады.

XV ғасырда француздық Н. Шюке мен итальяндық Л. Пачолли қосу амалын деп, ал азайту амалын деп белгіледі; неміс математиктері қазіргі кездегі қолданып жүрген «+» мен «-» таңбаларын енгізді.

XVI ғасырда математиктер аралас жазбаларды пайдаланды. Ол жазбаларда сөздер мен таңбалар қатар пайдаланатын болды.

XVII ғасырдың басында «=»белгісі мен «[ ]» белгісін итальяндық математик Р. Бомбелли ұсынды.

Математикалық таңбалардың  шығу кезеңдері:

Семиотика термині алғашқы кезде формалды логика-математика саласы үшін қолданылған, ал оның заттық-мазмұндық жағы Еуропа дәстүрі бойынша семасиология деп аталған, кейін бұл екі термин синоним ретінде қолданылатын болды. Семиотиканың көлемді объектілерінің ішінде неғұрлым ортақ сипат тіл мен көркем әдебиеттің арасында айқын байкалады. Сол себепті тіл мен әдебиет семиотикасы гуманитарлық семиотиканың өзегі болып табылады. Семиотиканың тағы бір саласы формалды логика-математика деп аталады.

Тіл мен әдебиет семиотиканың негізін қалағандар 1920—30 жылдары Прага лингвистикалық мектебі мен Копенгаген лингвистикалық үйірмесінің өкілдері (Н. С. Трубецкой, Р. О. Якобсон, Л. Ельмслев, т.б.). 

Семиотика зандылықтары семиотикалық жүйелердің негізгі құрылымдық элементтерінің (фонэма, мофема, сөз, сөйлем, дауыс ырғағы) бір-біріне қарама-қарсы келуі арқылы анықталады. Ғылыми еңбектерде семиотиканың үш денгейде жіктелетіні көрсетілген:

1. Таңбалар арасындағы, сөз тізбегіндегі қарым-қатынасты білдіретін синтактика;
2. Таңба мен сол арқылы белгіленген заттың арасындағы қарым-қатынасты білдіретін семантика;
3. Таңба мен оны пайдаланушылардың арасындағы қарым-қатынасты білдіретін прагматика.

Синтактика (Syntactic) - таңбаның құрылу дұрыстығы жайындағы таңбалық жүйе.

Семантика (көне грекше: σημαντικός - танбалаушы, білдіруші) — тіл және тіл бірліктері (сөз, грамматикалық тұлға, сөз тіркесі, сөйлем) арқылы білдірілетін хабарды, заттар мен құбылыстардың мән-мазмұның зерттейтін тіл білімінің саласы.

Прагматика (грек. pragma - ілік септіктеp, pragmatosіс - әрекет) — семантика мен тіл біліміндегі тілдік танбалардын кызметін зерттейтін саласы.

Квантор (лат. quantum - қанша) –математикалық логиканың предикаттарын есептеуге қабылданған логикалық операторлардың жалпы атауы. Логикалық операторлар сөйлемнің ішкі логикалық құрамын, яғни субъекті мен предикаттың ара қатынасын және логикалық пікірдің сандық сипатын білдіреді. Кванторлардың екі түрі бар:жалпылық кванторы (“барлық”, “әрбір”, т.б. көздердің эквиваленті және оның белгісі х) және бар болу кванторы (“кейбір”, т.б. сөздердің эквиваленті және оның белгісі х). Мысалы, х жалпылық кванторы “барлық х үшін” дегенді, ал хбар болу кванторы “кейбір х үшін” дегенді білдіреді. “Квантор” терминін американдық математик, философ Ч.Пирс (1839 – 1914) енгізген.

Символикалық логика, математикалық логика — логикалық қорытындыларды қатаң символикалық тілдің негізіндегі логикалық есептеулер арқылы зерттейтін логиканың тармағы. Термин ретінде алғаш 1880 жылы Дж.Венн қолданған. Аристотельдің өзі өзгергіштерді әріптермен белгілеген. Бүкіл математика үшін әмбебап тіл жасау, сөйтіп, матем. дәлелдерді, тіпті кез келген пайымдауларды формалдау идеясын 17 ғасырда Лейбниц ұсынды. Бірақ 19 ғасырдың ортасында аристотельдік силлогистика сол кездегі ғылым дамуының сұраныстарына жауап бере алмайтыны белгілі болды. Бір жағынан, абстрактілі алгебраның жетістіктері алгебр. әдістерді ғылымның басқа салаларына көшіруге мүмкіндік берді. Бұны А. де Морган (1806 — 71), Е.Шредер сияқты математиктер өз зерттеулерінде қолданды. Екіншіден, Г.Фреге (1848 — 1925) және Ч.С. Пирс (1839 — 1914) 1879 және 1885 жылы логика алгебрасы тіліне предикаттарды, өзгергіштерді және кванторларды енгізді. Лейбництің идеясын іске асыруға тырысқан Фреге бірінші болып предикаттарды есептеуді кіргізді. Сонымен қатар, Фреге предикаттарды есептеу үшін қазіргі күні де қолданылып отырған “дәлелдеу” ұғымының анықтамасын берді. Қазіргі символикалық логиканың негізін италиялық математик Дж.Пеано (1858 — 1932) жасады. Оның 1894 — 1908 жылы шыққан әйгілі “Formulaіre de mathematіques” шығармасы математиканың бүтіндей дамуына бағытталған. Пеаноның логик. жазуын А.Н. Уайтхед пен Б.Рассел “Prіncіpіa Mathematіca” (1910 — 1913) деп аталатын 3 томдық кітабында, содан кейін Д.Гильберт қолданды. Сонымен теріске шығару, & — конъюнкция, V — дизъюнкция, импликация, жалпылық кванторы, өмір сүру кванторы сияқты логикалық белгілері бар бүкіл әлемде пайдаланылатын символикалық тіл қолданысқа енді. Мұндай жасанды тілдің пайда болуы 19 ғасыр ғылымының қажеттілігінен туындады. 20 ғасырдың басында символикалық логика дамуының негізгі ынталандырушысы математиканың негіздемелері мәселесі болды. К.Вайерштрасс, Р.Дедекинд және Г.Кантор бүкіл классикалық математиканың фундаменті ретінде бүтін сандар арифметикасын қарастыруға болатынын көрсетті. Дедекинд және Пеано арифметиканы аксиомаландырды, ал Фреге натурал санға барлық тең қуатты жиынтықтардың жиынтығы деп анықтама берді. Сөйтіп барлық математика жиынтықтар теориясына сайды. Бірақ 1902 жылы математика әлемін Рассел тапқан Фрегенің “Арифметика негіздері” (qrundqesetze der Arіthmetіk) кітабының 1-томындағы парадокстың қарапайымдығы мен тереңдігі таң қалдырды. Жиынтықтар теориясының осы және басқа да қисынсыздықтарына жауап ретінде математика негіздерінде 4 бағыт пайда болды: логицизм (бүкіл математиканы ешқандай арнайы ұғымдарды, мысалы, сан немесе жиынтық ұғымдарын пайдаланбай-ақ таза логикадан дедукциялауға болады), интуиционизм (жаңа логика қажет), жиынтықтың — теориялық платонизм (жиынтықтарды құрастыруға шек қою) және формализм (Гильберттің бағдарламасы). Қазіргі символикалық логика қызметінің аумақты өрісін рекурсия теориясы құрайды. Ал мұнда шығарылу мәселесі бірінші қатарда тұрғаны белгілі. Ондағы зерттеулер дәлелдеуді автоматик. іздеудің компьютерлік бағдарламаларын және алгоритдер теориясын жасауға әкелді. Сонымен қатар, қазіргі символикалық логикада модельдер теориясы маңызды орын алады. Ол жасанды тіл сөйлемдерінің синтаксистік қасиеттері мен олардың модельдерінің семантикалық қасиеттері арасындағы іргелі байланысты, модельдер мен теорияларды, модельдердің өзгеруін зерттейді. Қазіргі логиканың дамуы “символикалық логика” терминінің “математикалық логика” терминінен әлдеқайда кең екенін көрсетіп отыр. “Математикалық логика” ретінде математиктер қолданатын пайымдаулар типтерін зерттеу түсініледі. Символикалық логиканың ерекше қасиеті рефлексивті ғылым болуында. Ол өзінің тәсілдері мен логикалық құралдарын өзінің құрылымын түсіну және талдау үшін пайдаланады деген сөз. Ең алдымен, бұл Гедельдің (1930) таза логиканың, яғни предикаттар логикасының қайшылықсыздығы және толықтығы туралы қол жеткізген нәтижелері. Ол көптеген теориялардың негізінде жатыр. Бірақ бұл логиканың құралдары арқылы тек арифметиканы немесе оның бөлігін ғана кіргізетін кез келген теория толық болмайтыны, яғни онда не дәлелдеуге, не жоққа шығаруға болмайтын тұжырым бар екендігі дәлелденді. Бұндай теорияларды олардың қайшылықсыздығын дәлелдеу үшін толықтыруға болмайды. Бұл рефлексияның нәтижесінде математиканың өзінің статусы туралы сұрақ туады: ол терең жасырылған қайшылықтарға негізделе ала ма? Онымен қоймай, 20 ғасырдың cоңында таза логиканың рефлексиясы тығырыққа тіреліп, логиканың өз статусы туралы логика не деген сұрақты тудырды. Қазір классикплық емес логикалардың әр түрлі кластарының континуумдары белгілі болды. Барлық осы логикалардың иерархиясы туралы, өзара қатынастары және классификациясын жасау (оны жасау мүмкін емес) туралы мәселелер туындауда. Негізінде классик. логика жатқан қазіргі компьютерлер қандай құдіретті болса да, ешқашан компьютерді жасаған адамның логикасына жете алмайды. Бұл мәселелер 21 ғасыр мәселелері болып отыр. 1936 жылы символикалық логиканың Халықаралық Ассоциациясы құрылды. Сол жылдан бастап логика бойынша ең әйгілі “The Journal of Symbolіk Loqіs” журналында шыға бастады.

Ойлау элементінің негізі болатын ұғымның қалыптасуына әсерін тигізетін математика тілін меңгеру, дұрыс пайдалана алу математиканы мектепте оқытудың міндеттерінің бірі болып табылады.

Оқушылар мектеп табалдырығын аттағаннан бастап 1, 2, 3, ..., 9, 0 сияқты араб цифрларымен, олардың арасындағы қатысты көрсететін >, <, = - реттік, +, -, ·, : - операция және *, ( ), [ ], { }, …, ? сияқты қосымша таңбаларымен танысады. Бұл таңбалар мөлшерлік натурал сандар арасындағы түрлі тұжырымдарды жазуға мүмкіндік береді. Мысалы, 10>8 санды теңсіздігін қысқаша он артық сегізден, не толық түрде мөлшерлік натурал 10 саны мөлшерлік натурал 8 санынан артық деп оқимыз. Мектепте геометрия, алгебра және анализ бастамаларын оыту мұндай таныстықтың аясын кеңейте түседі. Түрлі математикалық таңбалар жиі ұшырасып, оқушылар олармен істес болады. Мысалы, y=ax+b теңдеуі түзу сызықты сипаттаса, формуласы ax²+bx+c=0 толық квадрат теңдеуінің шешімдерін табудың жалпы заңын сипаттайды. p таңбасы шеңбер ұзындығының өз диаметріне қатынасын білдіреді.

Физиканың, өндірісті автоматтандырудың, биологияның алуан түрлі мәселелері символдар тілінде сөйлейтін математкалық логиканың негізінде шешіледі. Олай болса математика тілін барлық маманды иелері игеруі қажет. Онсыз академик С. Л. Соболев айтқандай, «...математиканы білмейтіндер немесе шала білетіндер, заводта немесе траспортта жұмыс істей алмайтын болады». Мысалы, V=H(S₁+4S₂+S₃)/6 формуласымен жұмыс істей білуі, ауыл шаруашылығы маманына шөп, жем көлемдерін, қойма сыйымдылығын, таразыға тартпай-ақ тірілей малдың салмағын, тіпті мал жайылымдарының ауданын, түрлі ұзындықтарды табуға мүмкіндік туғызады. Демек, математиканың арнайы терминдерін, таңбаларын, өрнектерін, анықтамаларын, тұрақты сөз тіркестерін, формулаларын, графиктерін тани, қолдана әрі түсіне білу - әркімнің өмір қажеттігі.

Қазіргі ғылыми-техникалық революция тек ғылым мен техникаға емес, негізгі тұлғасы адам болып табылатын өндіргіш күштердің бүкіл тұтас жүйесіне түбірлі өзгерістер енгізуді көздейді. Экономистердің көптеген социологиялық зерттеулері еңбек өнімділігі мен еңбекшілер білімнің жалпы деңгейі арасында тығыз тәуелділік барлығын дәлелдейді. Осындай жағдайда оқушының математикалық мәдениетін қалыптастырудағы мұғалімнің еңбегі творчествалық көрініс тауып, методикалық жүйемен астарласып жатуы тиіс.

Білімнің материалдық формасы - тіл. Тіл арқылы ұғымдармен операция жасаймыз. Ойлау нәтижесі сөз арқылы бекітіледі.

Математикалық ойды білдіретін барлық негізгі құралдары математикалық  тіл деп түсінетін боламыз. Математикалық  тілдің құрамдас бөліктері болып: сөз, символ, формула, график, фразеология, логикалық предикаттар т.т табылады. Математикада негізінен алгебра мен геометрия тілі қолданылады.

Математикалық символика  деп математикалық ұғымдарды, сөйлемдерді  шартты түрде жазуды айтамыз. Ол математиканың  түрлі, маңызды әрі күрделі заңдары  мен қатыстарын қысқа, дәл және оңай байқалатындай етіп жазуға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, жаңа математикалық сөйлемдерді шығарып алуға жәрдемдеседі. Бірыңғай қорытынды жасалынады, бірақ олардың көріністері түрліше болуы ықтимал. Сондықтан ол универсал тіл делінеді де.

Математика ережелері  грамматика ережелеріндей тез өзгермейді де өз қызметіне жақсы икемделген болады. Оның ескертуі де аз. Математика тарихына терең зер салсақ, оның теориясы риторикалық баяндаудан символикаға көшкенде ғана күрт дамығанын байқауға болады.

Бірнеше мысал келтірейік.

1. «Алгебралық символика дамымағандықтан гректер есепті теңдеу құрып шығару әдісін болмашы түрде пайдаланды»,-дейді                               П. С. Александров.
2. 1675 жылы Лейбниц енгізген дифференциалдың dx пен интегралдың ∫ydx таңбасы дифференциалдық және интегралық есептеудің негізі болып табылды.
3. «19 ғасырда пайда болған көптеген теориялар, мәселен тензорлық есептеме, лайықты символикасыз дами алмады».

Математика таңбаларының математиканың өзін және басқа ғылымдарды дамытудағы ролі  ерен екендігіне төмендегі  мысалдар да көз жеткізеді.

1. Француз физигі Поль Дирак теңдеу тілінде электронның  қозғалу заңын зерттей отырып, 1928 жылы массасы электрон массасына тең, заряды оған қарама-қарсы бөлшектің бар екендігін болжап айтты. Теориялық жағынан бұл антибөлшектің табылуын көрнекті совет физигі, академик        И. Е. Тамм: «Ғылым тарихындағы ғылыми танып-білудің тамаша табыстарының бірі»,-деп бағалады. Осы антибөлшек - позитрон 1932 жылы тәжірибелік жолмен ашылды.
2. 1976 жылы американ математикатері К. Аппель мен В. Хакен математикалық есептеу машинасының көмегімен өткен ғасырдың ортасында қойылған атақты төрт бояу проблемасын шешті. Проблема мәнісі картадағы әрбір көршілес екі ел әр түрлі түспен боялғанада кез келген картаны жасауға қажет ең аз, түсті бояулардың санын табу керек дегенге тіреледі.

Сөйтіп математика адамға практикалық, сол сияқты теориялық  проблеманы зерттеу мен дүниені  танудың қуатты құралын береді,-дейді талантты педагог, ғалым, профессор Л. Д. Кудрявцев.

Математикалық таңба оқушы  мен оқытушы арасындағы, сондай-ақ жеке оқушыға информацияны тиімді түрде тасымаладаушы ролін атқарады. Бұл туралы кезінде Н. И. Лобачевский математика таңбалары сөз байлығы сияқты біреудің қолы жеткен ұғымын, ашқан ақиқатын одан гөрі кемел, дәлірек, әрі анық түрде ойды байытып жеткізеді деген ді.

Математика методының  басқа ғылым салаларында пайдаланылуынан  оның символдарының маңызы арта түседі. Математиканың дамуын оның таңбаларының дамуымен тәуелді талдай отырып, оның қолдану қажеттігінен, математикалық  символика белгігі талаптарды қанағаттандырып, принципті негізде құрылуы тиіс деген қорытындыға келеміз. Математикалық  символдардың дамуы математикалық  терминдердің даму деңгейіне сәйкес қаралуы тиіс. Жоғарыда баяндалғандай-ақ  терминология толықтық принципін қанағаттандырады. Мұны қазіргі терминология проблемаларын зерттеуші А. А. Реформатский, З. М. Зорин, Г. Н. Ағаев, Б. А. Ағаев, С. М. Мұсаев, М. И. Черемсина, Д. Икрамов және методист математиктер А. И. Фетисов, Д. Пойа, В. Рабинович, т.б. атап өтеді. Егер осылай десек, онда логика заңы бойынша терминдер жиынтығы мен олардың өкілі символдар жиыны арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатылуы тиіс. Бұл талап символдың толықтық принципін тудырады. Қазіргі математикада әлі де көлбеу, дөңгелек, тең шамалылық сияқты символы жоқ математикалық ұғымдар мен объектілер бар екендігін байқатады. Қарастырылған принцип бойынша бір теория, пікір, есеп ішінде бір символ не белгі әр түрлі бірнеше сәйкес келмеуі тиіс және керісінше бір ұғым бірнеше символға сәйкестенбеуі қажет. Математиканы оқытуда аталған принциптің педагогикалық маңызы зор, өйткені ыңғайлы белгілеу есепті шешуде немесе теореманы дәлелдеуде кедергі болмай, қайта көмектесуі, тіпті қажет нәрсені меңзеп тұруы тиіс.

Бірінші мысал: Тік параллелепипед көлемін V=abc формуласымен есептейміз. Мұндағы a, b, c- латын алфавитінің тетелес алғашқы үш әрпі. Әріптер көлемді табудағы атқаратын олардың ролі бірдей екендігін байқатумен бірге, қатар тұрған үш әріп формуланы есте сақтауды жеңілдетеді.

Екінші мысал:

формуласына көз жүгіртейік. Мұндағы үш жақты бұрыштың екі  жақты бұрышының біріншісіне  үш жақты бұрыштың төбесіндегі жазық  бұрышының біріншісі сәйкес келеді дегенге нұсқайды. Сызбада, қара кесінді қарсы жатса, оған қарсы бұрышы қарсы жатыр. Демек, есепті шешкенде немесе басқа бір мәселені қарастырғанда белгілеуді осы жағдай үшін түрлендірмеу керек. Егер оған басқа мағына беретін болсақ, өзгертудің мағынасын ескертуіміз міндетті. Онсыз түсінбестік туып, белгілеу ойлауға кедергі болады. Бұл тұста Н. И. Лобачевскийдің мына сөзін келтіру орынды. «... сөзді басқаша қолданудан туатын жалған ой сияқты, таңбаны өзінің мағынасынан бөлек түсінуден математикадағы кез келген пайымдау тоқтайды».

Кемел символ практикада қолдануға  ыңғайлы болуы тиіс. Басқаша айтқанда, математикалық операциялар олармен  тез жасалып, қорытынды нәтиже оқуға  ыңғайлы әрі көрнекті болуы тиіс. Мәселен, деу алгебралық оперцияларды,түрлендіруді жазу үшін ыңғайлы. Бұл әрі қысқа, әрі көрнекі, сондықтан, есте тез  сақталады.

Г. Лейбниц «белгілеуді  жаңалық ашуға ыңғайлы болатындай етіп жасауға қамқорлық керек, ... сонда ғана ол ой жұмысын таң қаларлықтай қысқартады», дейді. Көптеген математиктер символдарды жасауға осы принципті практикалық ыңғайлылық принципін еске алады. Принцип көбіне дәстүрлік және қысқа символдарды өзгертпей, сақтау арқылы іске асады.

Символға қойылатын келесі талап қысқалық принципі. Ол былай  іске асырылады:

• Сөздің, терминнің бірінші әрпін алу арқылы. Мәселен, символы латынның радикал сөзінің бірінші әрпі болса, тік бұрыш шамасын білдіретін дэ әрпі, француздың друа дегендегі ағашқы әрпі. Осы әдіспен символдары жасалған;
• Сөзді бірнеше әріпке қысқарту, яғни эллипсистеу нәтижесінде. Мысплы латынның лимит сөзінен синус сөзінен таңбасы пайда болған. Сондай ақ, сигнум, логарифм, минимум, максимум таңбалары да осылай туған;
• Бар символдың элементін өзгертуден жаңа символ туындайды. Мысалы, пен символынан сәйкесінше дербес тунды символы пен ондық логарифм таңбасы шыққан. Ұқсастық таңбасы латынның эс әрпін жатқызып өрнектеуден тараған. Ал тің өзі латынның симилис, ұқсас деген сөзіндегі бірінші әріп. Фигура ауданын арқылы белгілейміз. Интеграл таңбасы осы әріпті созудан туған. Әрпін аударудан жалпылық кванторының таңбасы, Е әрпін төңкеруден бар болу кванторы таңбасы символдары туындаған, себебі А немістің кез келген мағынасын білдіретін сөзінің бірінші әрпі болса, Е осы тілдің бар болушылық деген сөзінің алғашқы әрпі. Мектеп курсындағы тиісті емес, параллель емес таңбалары осылай өмірге келген;
• Дербес символдардың екі элементін кіріктіру арқылы жаңа символ алынады. Мысалы, біртұтас символдары осылай туған. Біртұтас символдарды жартылай тасымалдауға болмайды;
• Сөздердің орнын ауыстырып, келтіру арқылы жаңа таңба алынады. Мысалы, латын тіліндегі теминінің элементтерінің орнын ауыстырып, артынан эллипсистеуден символы шыққан. Эйлер осы әдіспен гиперболалық синус пен гиперболалық синус таңбалары пен ұсынған;
• Негізгі қасиеттері мен элементтерін сақтау, әрі геометриялық бейнені кішірейту арқылы таңбалары пайда болған. Мұндай түрдегі символдардың педагогикалық көзқарастан маңызы зор, өйткені олар символ мазмұнын еске түсіріп, еске сақтауды күшейтеді. Бұған олардың көрнекілігі жәрдемдесіп  тұр. Осы көзқарастан кейін авторлар пайдаланатын шеңбер, симметриялық, вертикаль ось бойынша параллель көшіруден шығады, горизонталь ось бойынша параллель көшіруден шығады белгілеулері пайдалы;
• Ұғымдар арасындағы тікелей байланысты пайдалану көмегімен де біртұтас символдар алынады. Мысалы, үшбұрыш медианаларының үшбұрын биіктітерінің таңбалары осылай жасалған. Мұндағы латынның орта сызық, гректің, биіктік деген сөзіндегі алғашқы әрпі болса, төменгі индекстер қай қабырғаға медиана жүргізілгендігін сипаттайды. Алайда мектеп өмірінде: үшбұрыштың ауданы кез келген бір қабырғасы мен оған түсірілген биіктік көбейтіндісінің жартысына тең деп түзету мұғалімнің борышы. Онсыз ой тұманданып, қателікке әкеледі. Жазылған формуласы екі ұштылыққа нұсқайды. Себебі, мұнда ретінде кез келген қабырғаға жүргізілген биіктікті алуға болады. Оны деп түзетіп, оқулыққа ендіру қажет;
• Тектес объектілер үшін бір алфавиттің әріптерін ретімен пайдалану. Мысалы, белгігіт және берілген шамаларды латыннның, белгісіз немесе ізделінді шамаларды осы алфавиттің соңғы әріптері арқылы таңбалау Виеттен басталады, нүктелер немесе жиын түрлерібас әріптерімен жазылса, жиын элементтері немесе символымен жазылады;
• Бірімен бірі тығыз байланысты, бірақ, әртүрлі категориялы объектілер үшін әртүрлі алфавиттің әріптері пайдаланылады. Мысалы, планиметрияда латынның әріптері нүктелерді, гректің әріптері бұрыш шамаларын білдіреді. Егер осы символдарды үшбұрыш элементтері үшін пайдалансақ, онда мен ны немесе мен ны көріп, төбесіндегі бұрышты деп еске түсіреміз. Мұндай көзқарастан туылған символдар оқыту процесінде педагогтар үшін пайдалы;
• Бірімен бірі тығыз байланысты ұғымдар, объектілер үшін таңдалған алфавиттің кіші және үлкен әріптері сәйкесімен қолданылады. Мысалы, үшбұраштағы мен мен мен белгілеулерін көріп, бұрышына қарсы жатқан қабырға бұрышына қарсы жатан қабырға бұрышына қарсы жатқан қабырға екенін еске түсіреміз.

Математикалық таңбалар жүйесі мүмкіндігінше ұғымдар структурасын, сөйлемдерді айқын елестетуі  керек, яғни белгілеу реті мен байланысын, объектілер реті мен байланысын айқындауы  керек және керісінше. Осы жағдайда ғана символика елес көрінісін сызу үшін тиімді, әрі ұғымдарымен тәуір  ассоцияцияланады. Осы талаптарды сақтау символиканың желілік, мазмұндық, ыждағаттылық принципін қанағаттандандыратын болады. Үшбұрыштың элементтерінің таңбалары, Эйлер  нұсқаған синустар формуласы  үшбұрыштардың ұқсастығының символы  осы талаптарды қанағаттандырады. Эйлер  үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын  және арқылы, ал оған қарсы жатқан бұрыш  шамасын және әріптерімен таңбалады. Өйткені бұлай белгілеу тригонометрияның көптеген формулаларын осы элементтермен  байланыстырады. Сондықтан бұлар  Эйлерге элементтерарасындағы тәуелділікті өрнектеуге мүмкіндік беріп, байқалымдық пен оперативтілікті қамтамасыз етті.

Сызбасы қазіргі мағынада қабырғаларының жазылу реті мен төбелерінің  сәйкестігіне, бұрыштарының теңдігіне  нұсқайды. Мұны білу ұқсас үшбұрыштардағы сәйкес қабылғалардың пропорционалдығын  жазуға мүмкіндік береді. Мектеп өмірінде үшбұрыштардың ұқсастығы символын терең түсіне бермейтіндігі кездесіп отырады. Қиындықтанқұтылу үшін сәйкес төбелер үшін бірдей әріптер пайдаланып, бірі екіншісінен индекспен ажыратылса жеткілікті. Мәселен, не. Осылай үйрету пайдалы да.

Символиканы құрудың келесі принципі оның оперативтілігі. Бұл  принципті қазіргі көптеген символдар  қанағаттандырады. Оперативтілік принципі қысқалық толықтығына тәуелді. Мәселен, ноль таңбасы жоқ кезде, кейін  таңбасы жасалып мен арасындағы цифрлармен бірдей құқыққа ие болмағанда ондық позициялық санау жүйесі алгоритмдірек  болмады. Алгебралық есептеулер математикаға теріс сан мен оның таңбасы  ендірілгеннен соң ғана әсерлі нәтижелер  бере бастады.

Оқушыларды математикалық  формулаларды дұрыс пайдаланып, одан дұрыс қортынды жасай білуге үйрету математика мұғалімдерінің міндеті.

Үлгі үшін этимология элементін  пайдаланып жүргізген бір сбақтан  үзінді келтірейік:

Сабақ тақырыбы: Теріс және оң сандар. Сандық ось.

Сабақ мақсаты: Теріс және оң сандармен таныстыру, сандық осьте рационал санды кескіндеуді үйрету.

Сабақ басында оқушы теріс  санның даму тарихынан бес алты минуттық хабар жасады. (Оны мұғалім алдын  ала даярлаған). Үйге бөлме термометрін  қарап келу тапсырылғандығын ескеріп, мұғалім:

• Бөлмедегі температураның қандай екенін кім айтады? Деген сұрақ қойды. Әр жерден қолдар көтерілді. Тақтаға бес оқушының бен градус арасындағы жауаптары жазылды, ал сынып кезекшілері үзіліс кезінде қарап келген дала термометрінің көрсетуін айтты. Ол градусты көрсетіп тұр екен.
• Олай болса, бөлме мен даланың температурасы қатар болғаны ма? Деді мұғалім. Оған оқушылар: «Жоқ, бірдей емес» деп, бір ауыздан жуап берді.
• Демек қазіргі жағдайдағы үйдегі градус пен даладағы градус дегендегі саны бірдей түсінік бере ме? Деп мұғалім тағы да анықтай түсті. «жоқ, бірдей емес» деген жауап іле шала алынды. Градус мағынасын анықтау үшін, ол қосымша сұрақ қойды. Сонда қалай? Осындағы саны әрі бөлме әрі даладағы температураны көрсете ме? Оқушылар: олар әр түрлі сандар оның біреуі суықтықты, ал екіншісі жылылықты көрсетеді, деді. Осы кезде магнитафон іске қосылды. Одан диктордың: «планетамыздың ауа рай туралы мәлімет тыңдаңыздар. Бүгін жергілікті уақытпен сағат тоғызда отанымызды астанасы Астанада қаласында градус суық, Алматыда нөлден төмен, Ташкентте градус аяз, Мәскеуде градус суық, Делиде градус жылы, Шанхайда градус нөлден жоғары, ең жылы жер Эквадорда градус ыстық, Нью Йоркте суық», деген сөздер тыңдады. Осы жерде мұғалім: суық, жылы, аяз, нөлден төмен, нөлден жоғары, сөздерінің мағыналарын түсіндіріп, қай кезде қолданылатын айтты. Осыдан кейін ғана оң, теріс, ноль терминдерінің мағынасын түсіндірді. Латын сөзі. Ол жетіспеушілікті, кемістікті білдіреді. Те латынның сөзі. Артықтықты білдіреді. Математика тариын зерттеушілер, саудаға тиістісінен жетіспеушілікті, кем шығушылықты символымен таңбаласа, артық шығушылықты деп белгілеген. Алғаш рет бұл таңбалар ғасырдағы оқымыстылар Леонардо да Винчи, И. Видиман және басқалардың кітаптарында жиі ұшырасады. «» символдарын пайдаланып есептеу әдістері бар математикаға арналған құралды неміс авторы Грамматеус ( жылы туылған) жылы жазды. Жылы Уилкинс және  таңбасын оң және теріс сан үшін қолданумен бірге, оны қосу мен азайту үшін де пайдаланды. Қазіргі ны деп жазды. Магницкий орыс тілінде алғаш рет өз «Арифметикасында» пен таңбасын қосу мен азайту үшін қолданғаны айғақ.

Қазақ халқы оң және теріс  санмен және олардың символдарымен  Ұлы Қазан социалистік революциасынан кейін ғана танысты. Мұнан әрі  оқушылар практикалық сабаққа көшті. Одан соң сынып нұсқалық өздік  жұмысқа кірісті. Келесі сабақтар оқушылардың  үйретілген мәселелерден білімдерінің нақты әрі тұрақты екендігін  көрсетті.