Методы аппроксимации

1. Методы расчета линейных систем регулировании

1.1 Методы аппроксимации линейной характеристики объекта

1.1.1 Метод Симою (Метод площадей)

Передаточную функцию  регулируемого объекта можно  определить по кривой разгона методом  Симою. При этом передаточная функция статического объекта:

       .

                              (1)

где -постоянные коэффициенты ;

-безразмерная передаточная функция.

 

Коэффициент k_об, следует определить по статической характеристики ,

Время запаздывания τ определяется по кривой переходного процесса и равно времени, в течении которого выходная координата объекта близка к нулю. После смещения начала координат экспериментальной переходной функции на величину τ и изменения значений ординат на k_об, обозначим новую кривую σ(t). По новой переходной функции   σ(t) следует определить неизвестные коэффициенты  a₁,a₂, …,a_n; b₁,b₂,…b_m. М. П. Симою предложил для определения указанных ранее коэффициентов следующую систему уравнений:

.                                           (2)

В этой системе i=m+n и для всех i>n a_i=0, а для всех i >m b_i=0. Входящие в уравнения коэффициенты F₁,F₂,…F_i  вычисляются по следующим формулам:

,                        (3)

где θ=t/F₁; σ=Δx/Δy(∞)-отклонение выходной величины в безразмерном виде.

 

Таблица 1 . Расчет по методу площадей

 

Принята следующая последовательность расчета  для статического объекта:

1. Разбивают отрезок времени от момента нанесения возмущения до момента выхода величины x на установившееся значение на равные отрезки времени Δt так, чтобы на каждом участке кривая разгона мало отличалась от прямой. Разделив значение Δx в конце каждого интервала Δt на  Δx( ), получают безразмерные значения σ(iΔt), которые заносят в графу 3 таблицы 1.
2. Вычисляют  1 – σ(iΔt) и заносят значения в графу 4 таблицы 1.
3. Подсчитывают сумму чисел графы 4, т.е. величину .
4. Определяют площадь F1 по формуле .
5. Изменяют масштаб времени θ(iΔt)= iΔt/F1 и заносят значения в графу 5 таблицы 1.
6. В графу 6 записывают значение 1 – θ(iΔt).
7. В графу 7 заносят величину (1-θ)(1-σ), полученную перемножением величин граф 4 и 6.
8. Подсчитывают сумму чисел графы 7, т.е. величину .
9. Определяют площадь  F2 по формуле .
10. Рассчитывают и заносят в графу 8 величину 1 – 2θ + θ² /2.
11. Заносят в графу 9 величину (1-σ)( 1 – 2θ + θ² /2).
12. Подсчитывают сумму чисел графы 9.
13. Определяют площадь 3 по формуле

.

 Обычно  точность эксперимента не позволяет  использовать F4, F5 и др., поэтому останавливаются на определении F3.

14. Определяют вид передаточной функции.

1.1.2 Инженерные методы аппроксимации

Если переходная характеристика объекта имеет s-образную форму, то наклон, кривизна характеристики и её расстояние от оси ординат зависят от динамических свойств конкретного объекта (кривая 1 на рисунке 1).

Для практических расчетов системы управления таким объектом s-образную кривую переходного процесса, снятую при единичном, ступенчатом воздействии, достаточно охарактеризовать следующими параметрами, определяемыми непосредственно по графику:

1)передаточным коэффициентом  объекта k_о;

2)постоянной времени объекта  T_о;

3)полным запаздыванием t_о, которое складывается из чистого запаздывания t_ч и переходного запаздывания t_п, т.е.t_о = t_ч + t_п .

 

 

Рис. 1. Переходные характеристики реального объекта (кривая 1) и его приближенных моделей второго (кривая 2)  и первого (кривая 3) порядков с запаздыванием

a)Аппроксимация инерционным звеном первого порядка

В классе моделей первого  порядка s-образную характеристику можно приближенно заменить экспонентой с запаздыванием (см. рисунок 1, кривая 3). Параметры Т'_о и τ'_o передаточной функции

W_o(p) = k_oe^-pτ'°/(T'_op+ 1)

выбирают таким образом, чтобы экспонента пересекала аппроксимируемую кривую в двух точках и проходила в среднем наиболее близко к ней.

Очевидно, что такое математически  нестрогое требование может быть выполнено при разных сочетаниях параметров Т_о и τ'_о. Один из возможных способов определения параметров модели заключается в следующем. Полагают, что экспонента начинается в той же точке, что и характеристика модели с двумя одинаковыми постоянными времени (точка D'), т. е.

τ^'₀ ≈τ₀ -0.11T₀   ,

а постоянную времени принимают равной

Т_о' = 0,64Т_о.

б)Аппроксимация инерционным звеном второго порядка.

В классе моделей второго  порядка достаточно хорошее приближение  к s-образным переходным кривым дает передаточная функция с одинаковыми постоянными времени и запаздыванием:

где T_oi = T_o/2.72; τ^'₀ ≈τ₀ -τ_п; = τ₀ - 0,107 Т_о; τ_п — переходное запаздывание модели для n = 2. Параметры данной модели однозначно выражаются через параметры Т_о и τ₀ экспериментальной переходной характеристики.

Передаточной функции  соответствует кривая 2, которая  начинается в точке D' (см. рисунок 1). Очевидно, что при данном способе аппроксимации почти весь интервал то должен быть смоделирован как чистое запаздывание, т. е. τ_ч = τ'₀.

Модель является наиболее рациональной для рассматриваемых  объектов, так как, с одной стороны, она обеспечивает достаточно хорошую  аппроксимацию, а с другой, ее параметры  легко определяются по переходной характеристике.

Если на графике переходной функции объекта h₀(t) не просматривается характерный для s-образных кривых прямолинейный участок, а сама переходная кривая приближается к установившемуся значению h₀ (∞) = k₀ сравнительно медленно, пересекая вертикаль из точки В ниже значения h_o = 0,80 k₀, то более точную, чем модель, аппроксимацию может обеспечить передаточная функция с запаздыванием τ_ч и различными постоянными времени:

Постоянные времени Т₁ и T₂ определяют не через параметры Т_о и τ_п, а по некоторым характерным точкам графика переходного процесса.

В большинстве случаев  модель обеспечивает достаточную для  практических расчетов точность, если принять Т₀₁/Т₀₂ = = 0,5. При этом постоянные времени T₀₁ и T₀₂ определяют следующим образом: по ординате h (t₂) = 0,63 k_o экспериментальной переходной характеристики находят момент времени t₂, отсчитываемый от точки D (т. е. без учета чистого запаздывания τ_ч), а затем вычисляют T₀₂ = 0,64 t₂ и Т₀₁ = 0,5 Т₀₂. Такая аппроксимация целесообразна, когда h (0,5 t₂) > 0,3 k₀.

2. Метод динамической компенсации

Задача синтеза регулятора заключается  в нахождении передаточных функций  регулятора таких, чтобы замкнутая  система обладала эталонными динамическими  характеристиками. Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью  совпадает с задачей синтеза  регуляторов в классе линейных систем. Предполагается, что неизменяемые элементы системы (объект управления) представляют собой  соединение линейных инерционных  и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы предполагаются минимально-фазовыми, а нелинейные — аналитическими функциями, имеющими обратные для всех возможных входных воздействий. Такое предположение обусловлено положениями принципа динамической  компенсации.

Поскольку предполагается, что заданы эталонная система, имеющая передаточную функцию  , и объект управления, описываемый передаточной функцией ,…, то задача синтеза сводится к нахождению передаточной функции регулятора i=1,2.

Рисунок 6- К постановке задачи синтеза регулятора.

 

Запишем формулы, связывающие передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что в задаче синтеза  регулятора для передаточной функции  замкнутой системы должны быть выполнены  равенства:

находим:

 

Из последних соотношений легко  получить формулы, определяющие передаточную функцию  разомкнутой системы через передаточную функцию замкнутой системы:

Поскольку разомкнутая система  представляет собой последовательное соединение

регулятора и объекта управления, то справедливы зависимости:

Теперь легко найти  соотношения, определяющие передаточную функциию регулятора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Динамические звенья

Динамическим  звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное  звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

 (1)

или передаточной функцией:

(2)

При этом переходная функция усилительного  звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

а)                                                                            б)

Рис. 1

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

 

.

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

 (3)

или передаточной функцией:

(4)

где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического  звена (рис. 3а) и его функция веса (рис. 3б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

а)

Рис. 3

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (5)

 

или передаточной функцией:

 

(6)

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 4а) и его функция веса (рис. 4б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

а)                                                                                          б)

Рис. 4

Дифференцирующее  звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

 (7)

или передаточной функцией:

(8)

При этом переходная функция звена (рис. 5а) и его функция веса (рис. 5б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

Колебательное звено.

Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (9)

или передаточной функцией:

(10)

 

где x – демпфирование (0 £ x £ 1).

Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена  и его функция веса (рис. 6) соответственно имеют вид:

 

(11)

а)                                                      б)

Рис. 6

1.4 Устойчивость  САР

Устойчивость  САР

Понятие устойчивости системы  регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Понятие устойчивости можно  распространить и на случай движения САР:

• невозмущенное движение,
• возмущенное движение.

Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение (при Δx_i∞=0) называется устойчивым по отношению к переменным x_i, если при всяком заданном положительном числе A², как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число λ²(A²) так, что для всех возмущенийΔx_i0, удовлетворяющих условию:

_i=0ⁿ∑(μ_i²(Δx_i0)²)≤λ²,

возмущенное движение будет  для времени t≥T удовлетворять неравенству:

_i=0ⁿ∑(μ_i²(Δx_i)²)≤A²,

где: μ_i – коэффициенты, уравновешивающие размерности величин Δx_i0.

Если с течением времени limΔx_i→0, то система асимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой  системы, а не с тем, как внешние  источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать  цепь преобразования энергии (систему) не учитывая источников. Поэтому в  правой части ДУ описывающих систему  всегда будут присутствовать источники  движущих сил (вспомните как записываются уравнения по II закону Кирхгофа). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.

Условие устойчивости. Типы границы устойчивости

Устойчивость систем зависит  от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма  экспоненциальных функций:

y_перех(t)=C₁e^s₁^t+C₂e^s₂^t+…+C_ne^s_n^t.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

Заметим, что:

C₁e^−(α+jβ)t+C₂e^{−(α−jβ)t}=Ae^−αtsin(βt+φ),

где: A и φ – новые постоянные интегрирования, α – показатель затухания, β – круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, для затухания переходного  процесса и устойчивости линейной системы  необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости  корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

• нулевого корня,
• пары чисто мнимых корней,
• бесконечного корня.

Необходимое условие  устойчивости САР, 
достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков

Чтобы корни ХУ имели отрицательные  вещественные части, необходимо чтобы  все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным  только для систем 1-ого и 2-ого  порядков. Док-во:

ХУ

a₀sⁿ+a₁sⁿ⁻¹+…+a_n−1s+a_n=0,

представим в виде:

a₀(s−s₁)(s−s₂)…(s−s_n−1)(s−s_n)=0,

где: s₁,s₂,…s_n−1,s_n – корни.

В устойчивой системе вещественные части корней отрицательны. Подставим  такие корни: s₁=−α₁; s₂=−α₂; s₃₄=−α₃±jβ…:

a₀(s+α₁)(s+α₂)(s+α₃−jβ)(s+α₃+jβ)…= 
=a₀(s+α₁)(s+α₂)((s+α₃)²+β²)…=0

Если раскрыть скобки и  вернутся к стандартному виду ХУ, то все коэффициенты уравнения получатся  положительными.

Критерий устойчивости Найквиста

Чтобы система в замкнутом состоянии  была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от -∞ до +∞ годограф разомкнутой системы W(jω) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (−1,j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jω).

Примечания:

1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jω) не должен охватить точку (−1,j0).
2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
3. Годограф W(jω) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jω) к ∞ (приω→0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.

Док-во:

 Рассмотрим ПФ для статической САР сдвинутую на величину (−1,j0):

W₁(s)=1+W(s)=Q(s)/Q(s)+R(s)/Q(s)=D(s)/Q(s),

в ней D(s) – характеристический полином, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).

Рассмотрим  угол поворота годографа W₁(s). Он равен φ=φ₁(D(jω))−φ₂(Q(jω)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W₁(s) равны. Следовательно, при изменении ω от -∞ до +∞ имеем: φ₁(D(jω))=nπ (по критерию Михайлова), φ₂(Q(jω))=nπ (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). Т.е. φ=nπ−nπ=0. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии W₁(jω) не должна охватывать начала координат, а функция W(jω) – точку (−1,j0).

 Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости, то угол поворота годографа W(jω) должен составить величину:

φ=φ₁(D(jω))−φ₂(Q(jω))=nπ−[(n−l)π−lπ]=l2π,

что и требовалось  доказать.

1. Свойства годографа Найквиста

1. Годограф Найквиста спиралевиден.
2. При ω→∞ годограф W(jω)→0, т.к. нет безынерционных систем.
3. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси.
4. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси "+1".
5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в ∞ и приращению его фазы на −180°.

2. Примеры годографов Найквиста статических САР (ω∈[0…+∞))

1. САР на колебательной границе устойчивости.
2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).
3. Неустойчивая САР.
4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

2. Расчет и исследование линейной системы регулирования

Задание: Рассчитать систему управления температурой горячего дутья. Управляющее воздействие - положение смесительного клапана.

Рис. 2. Реальная переходная характеристика объекта управления

2.1 Аппроксимация переходной  характеристики объекта.

Рис. 3. Переходная характеристика объекта управления

 

 

Исследовав переходную характеристику объекта получили следующие характеристики:

t_рег= 7c.

k_o= 0,8

T_o= 4с.

τ_ч= 0с.

τ_п=1с.

τ_o= 1с.

2.1.1  Аппроксимация моделью первого порядка

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.1 а.

W_o(p) = k_oe^-pτ'°/(T'_op+ 1);

где:

Т_о' = 0,64Т_о=2,56;

τ^'₀ ≈τ₀ -0.11T₀=0,56;  

таким образом, передаточная функция равна:

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном первого порядка.

2.1.2 Аппроксимация моделью второго  порядка с одинаковыми постоянными времени

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.2 б.

;

где:

T_oi = T_o/2.72=1,47;

 τ^'₀= τ₀–0.107 Т_о=0.6;

таким образом, передаточная функция равна:

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном второго порядка с одинаковыми постоянными времени

2.1.3 Аппроксимация моделью второго  порядка с разными постоянными времени

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.2 б.

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 6.

Рис. 6. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном второго  порядка с разными постоянными времени

 

 

 

 

 

 

2.1.4 Аппроксимация объекта по  методу Симою

Расчет производился в  программе “Excel” по формулам представленным в пункте 1.1.1. Данные полученные в процессе расчета занесены в таблицу 2.

Таблица 2. Расчетные данные

Время t, с	Температура ∆Х ˚С	σ (i ∆t)	1 - σ (i ∆t)	θ = t / F1	1 - θ	(1 - σ) (1 - θ)	1 - 2θ + θ²/2	(1 - σ) (1 - 2θ + θ²/2)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0,000	1,000	0,000	1,000	1,000	1,000	1,000
1	0,06	0,067	0,933	0,275	0,725	0,676	0,487	0,455
2	0,18	0,200	0,800	0,550	0,450	0,360	0,051	0,040
3	0,38	0,422	0,578	0,826	0,174	0,101	-0,310	-0,179
4	0,58	0,644	0,356	1,101	-0,101	-0,036	-0,596	-0,212
5	0,7	0,778	0,222	1,376	-0,376	-0,084	-0,805	-0,179
6	0,78	0,867	0,133	1,651	-0,651	-0,087	-0,939	-0,125
7	0,8	0,889	0,111	1,927	-0,927	-0,103	-0,997	-0,111
Σ =			4,133			1,828		0,689

 

F₁=3,633

F₂=4,823

F₃=2,497

 

Получена следующая передаточная функция:

 

 

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном третьего порядка по методу Симою

2.1.5 Выбор лучшей модели объекта

Лучше всех повторяет реальную переходную характеристику объекта, переходная характеристика инерционного звена третьего порядка, полученного по методу Симою. Эту модель будем использовать для моделирования процесса регулирования.

2.2 Расчет настроек регулятора

2.2.1 Расчет настроек регулятора по методу динамической компенсации

Для расчета использовался  объект рассчитанный по методу Симою

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.2.2

 

Передаточная функция  регулятора вычисляется по формуле 21:

 

 

 

В итоге передаточная функция  регулятора примет вид:

 

W_p(p)=

 

Переходная характеристика системы с таким регулятором  и объектом аппроксимированным по методу Симою идентична характеристики объекта, посчитанного тем же способом.(см рис. 7) .

 

2.3 Моделирование  и исследование системы регулирования

Моделирование системы производилось  в программе Matlab с помощью функции Simulink.

C помощью программы Matlab исследуем реакцию системы на задающего воздействия.

Подадим ступенчатое задающее воздействие.

Рис. 8. Переходный процесс, при ступенчатом задающем воздействии

 

 

 

 

 

 

 

Подадим линейное задающее воздействие.

 

Рис. 9. Переходный процесс, при линейном задающем воздействии

Подадим синусоидальное задающее воздействие.

Рис. 10. Переходный процесс, при синусоидальном задающем воздействии.

 

 

 

 

 

 

2.4 Получение  АЧХ

C помощью программы Matlab получим АЧХ системы по нагрузке, управлению и задающему воздействию. Они отражены на рисунках 11,12,13

Рис.11 АЧХ по нагрузке

Рис.12 АЧХ по задающему  воздействию

Рис.13 АЧХ по управлению