Методы коррекции гетероскедастичности случайных отклонений, тестирование гетероскедастичности в скорректированной модели с помощью тес

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экономический факультет

Кафедра банковской и финансовой экономики 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВОЕ  ПРОЕКТИРОВАНИЕ 

на тему: Методы коррекции гетероскедастичности случайных отклонений, тестирование гетероскедастичности в скорректированной модели с помощью теста Голдфелда-Квандта 
 
 
 

    Студентки 3 курса    __________  дневного отделения    
 
 

    Научный руководитель   __________  старший преподаватель    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Минск 2010

Содержание

Введение

     При проведении регрессионного анализа, основанного на методе наименьших квадратов, на практике следует обратить внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений модели. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть либо большим, либо меньшим, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение).  Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью. Гетероскедастичность может быть вызвана следующими причинами:

1. Разброс в значениях переменных
2. Наличие резко выделяющихся наблюдений
3. Ошибки спецификации модели (наличие пропущенных переменных)
4. Ассиметрия распределения данных по какой-либо экзогенной переменной
5. Ошибки в преобразовании данных

     Обычно  проблема гетероскедастичности характерна для моделей, построенных на пространственных данных. Наличие гетероскедастичности влечет за собой следующие последствия:

     Оценки  коэффициентов модели остаются линейными  и несмещенными, но перестают быть эффективными. Оценки не будут даже асимптотически эффективными.

     Дисперсия случайного отклонения рассчитывается со смещением, поэтому дисперсии оценок или параметров модели также являются смещенными оценками;

     Выводы  о качестве регрессионной модели, сделанные на основании t- и F-статистик, становятся ненадежными, а заключение, сделанное на основании этих статистик, может быть ошибочным.

     Следовательно, при присутствии гетероскедастичности, модель не может давать адекватные прогнозы, и ее использование становится нецелесообразным. Поэтому при построении регрессионную модель необходимо тестировать  на наличие гетероскедастичности. Если по результатам анализа гетероскедастичность обнаруживается, исходная модель не может быть использована и требует проведения преобразований с целью устранения гетероскедастичности.

     Итак, иногда на практике, зная природу данных, проблему гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить ее на этапе спецификации модели. Однако чаще всего проблему обнаружения гетероскедастичности приходится решать уже после оценивания регрессионной модели.

     Для выявления проблемы гетероскедастичности могут использоваться следующие методы:

1. Графический анализ
2. Тест Голдфелда-Квандта
3. Тест Парка
4. Тест Глейзера

     При обнаружении гетероскедастичности ее необходимо устранить. Для этого  используется взвешенный метод наименьших квадратов.

       Я исследовала модель на гетероскедастичнось  с помощью теста Голдфелда-Квандта (как и по условию).

Таким образом, целью данной работы является исследование модели на наличие гетероскедастичности и последующее ее устранение. Для  проведения данного анализа будет  исследована зависимость цены квартиры в г. Минске от ее характеристик (приложение, таблица№1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теоретическое обоснование модели

     В исследуемой модели в качестве зависимой  переменной взята цена квартиры в  городе Минске. Целесообразно проводить  оценку продажной цены квартиры (price, $) по следующим факторам:

1. общая площадь (м2) (totsq): при увеличении количества квадратных метров общей площади квартиры пропорционально возрастает ее стоимость;
2. жилая площадь(м2) (livsq): при увеличении количества квадратных метров жилой площади квартиры пропорционально возрастает ее стоимость;
3. площадь кухни(м2)( kitsq): при увеличении количества квадратных метров кухни пропорционально возрастает стоимость квартиры;
4. расстояние до центра (м) (distc): чем меньше расстояние от квартиры до центра города, тем выше стоимость данной квартиры;
5. этаж – 0 – первый или последний, 1 – нет(floor): стоимость квартиры, находящейся на первом или последнем этаже ниже стоимости квартир, находящихся на промежуточных этажах;
6. наличие балкона – 1 – есть хотя бы один или лоджия, 0 – нет(bal): наличие в квартире балкона повышает ее стоимость;
7. наличие телефона – 1- есть, 0 - нет (tel): наличие в квартире телефонной связи увеличивает ее стоимость;
8. «возраст» дома (year): квартиры более раннего года постройки, как правило, дешевле аналогичных квартир более позднего года постройки.

     В модели предполагается положительная  зависимость PRICE от TOTSQ, LIVSQ, KITSQ, FLOOR, BAL, TEL;  отрицательная — от DISTC, YEAR. При исследовании зависимости между данными переменными вероятно возникновение проблемы гетероскедастичности (PRICE будет иметь большую ошибку для больших квартир.

     Для устранения гетероскедастичности используется взвешенный метод наименьших квадратов. Преобразование модели зависит от того, известны дисперсии случайных отклонений или нет. Если дисперсии случайных отклонений известны можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение среднего квадратического отклонения. Для преобразованной модели выполняются все предпосылки МНК; оценки, полученные по МНК являются BLUE- оценками. Оценки, полученные для исправленного уравнения, используются в исходном уравнении. Однако на практике значения дисперсии чаще всего неизвестны, и для применения взвешенного МНК необходимо сделать реалистичные предположения о дисперсии.

Построение  и анализ эконометрической модели

 Для начала необходимо проверить модель на адекватность.

Если  знак положителен , то это прямая зависимость: при повышении Х – растет Y,  и аналогично при уменьшении Х – падает Y. Это полностью согласовывается с экономической теорией. 

Для начала мы  исследуем значимость влияния  всех факторов на цену квартиры.

     Для проверки значимости коэффициентов  используем P-value- вероятность того, что статистика будет меньше, чем t-набл.

     Так, если P-value<Alpha, то коэффициенты значимы, если же

P-value>Alpha, коэффициенты незначимы.

В нашем  случае P-value <0,05.

И в  итоге значимыми оказались факторы – distc, totsq. Все незначимые факторы мы исключим из модели и построим новую модель. 

R²=0,858209, F(R²)=29,65795

Полученное  при построении регрессии значение коэффициента детерминации R²=0,858209 свидетельствует о сравнительно невысокой точности модели, т.е. о том, что изменение данных факторов в совокупности лишь в некоторой степени определяет изменение зависимой переменной Y. Влияние случайной составляющей на наблюдаемые значения объясняемой переменной значительно.

R²=0,837008, F(R²)=146, 3555

     Коэффициенты  модели статистически значимы, R-квадрат достаточно высокий, Высокое значение F- статистики (2,57) и соответствующее ему значение Pvalue =3,52 подтверждают его значимость.

Проинтерпретируем коэффициенты при переменных.

     - коэффициент 2314,22 при totsq означает, что увеличение общей площади квартиры на 1 кв.м при прочих равных приводит к увеличению цены в среднем на 2314,22 долл.

     - коэффициент при distc означает, что увеличение расстояния до центра на 1 км при прочих равных приводит к уменьшению цены на 1,77281 долл., коэффициент значим, следовательно, цена квартиры зависит от расстояния до центра.

     Проверим  модель на мультиколлинеарность

Одним из условий Гаусса – Маркова для  множественной регрессии является то, что объясняющие переменные должны быть независимыми. Только в этом случае оценки коэффициентов регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, являются эффективными. Нарушение условия о независимости переменных называется проблемой мультиколлинеарности.

Проведя соответствующие расчеты в Excel получи следующие парные коэффициенты корреляции:

Таблица (2)

        Из приведенной выше таблицы можно сделать вывод об отсутствии мультиколлинеарности в модели.

     Присутствие автокорреляции в данной модели маловероятно, т.к. приведенные данные являются перекрестными. 

     Проверим  остатки модели на нормальность. 
 
 

     Остатки модели имеют нормальный закон распределения.

     Высокое значение t-статистики коэффициента при переменной totsq (16,6592) может свидетельствовать о наличие в модели проблемы гетероскедастичности. Для того, чтобы исключить возможность ложных выводов о значимости коэффициентов при переменных и коэффициента детерминации, проведем тесты на гетероскедастичность.

     Тест  Голдфельда- Квандта проверяет, зависит ли дисперсия случайных возмущений от какого- то конкретного показателя.

Тест  применяется, как правило, когда  есть предположение о прямой зависимости  дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель.

Проверяем по Х1 (См. Приложение 4): по переменной Х1 ГС отсутствует.

Проверяем по Х2 (См. Приложение 5):по переменной Х2 ГС присутствует.

В результате проведенного теста Голдфелда-Квандта установлено, что

Fнабл < Fкрит, то есть гипотеза Но отвергается, то есть дисперсия случайных возмущений не зависит от Х1.

     Гомоскедастичность- дисперсия каждого отклонения ε_i одинакова для всех значений i.

     Гетероскедастичность- дисперсия объясняемой переменной не постоянна.

     В тесте на гетероскедастичность мы должны проверить основную гипотезу

     H0:σ₁²= σ₂²=…= σn² (т.е. модель гомоскедастична) против альтернативной гипотезы     H1: не H0 (т.е. модель гетероскедастична).

     В ряде случаев на базе знаний характера данных появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако значительно чаще  эту  проблему  приходится  решать  после  построения  уравнения регрессии.

Использование  графического  представления  отклонений  позволяет  определиться  с  наличием  гетероскедастичности.

Проанализировав график остатков выдвигаем гипотезу Но: дисперсия случайных возмущений зависит от Х1.

Проанализировав график остатков выдвигаем гипотезу Но: дисперсия случайных возмущений зависит от Х2.

Делаем  вывод, что дисперсия случайных возмущений зависит отX1 (distc) и Х2(totsq). 

Попробуем изменить спецификацию модели. Построим логарифмическую модель. Возможно, это устранит проблему гетероскедастичности.

     Высокий коэффициент детерминации (0,89), его  значимость (F-stat=242,273  Pvalue=0,0000), значимые коэффициенты при независимых переменных, говорят о хорошем качестве модели.

Проинтерпретируем коэффициенты при экзогенных переменных:

     - коэффициент 1,0377 при LNTOTSQ означает, что увеличение общей площади квартиры на 1% при прочих равных приводит к увеличению цены в среднем на 1,0377%.

     - коэффициент при DISTC проинтерпретируем следующим образом: при увеличении расстояния до центра на 1% при прочих равных приводит к увеличению цены в среднем на 0,097844%; этот коэффициент значим, следовательно, цена квартиры зависит от расстояния до центра.

Проверив  модель на мультиколлинеарность можно  сделать вывод  об её отсутствии.

     Высокое значение t-статистики коэффициента при переменной TOTSQ (21,5486) может свидетельствовать о наличие в модели проблемы гетероскедастичности. Для того, чтобы исключить возможность ложных выводов о значимости коэффициентов при переменных проверим наличие либо отсутствие в модели гетероскедастичности с помощью тестов.

Тест Вайта (White) на гетероскедастичность

МНК, использованы наблюдения 1-60

Зависимая переменная: uhat^2 

              Коэффициент   Ст. ошибка  t-статистика  P-значение

  --------------------------------------------------------------

  const        0,624788     2,00841       0,3111        0,7569 

  l_distc     -0,0284895    0,336370     -0,08470       0,9328 

  l_totsq     -0,278008     0,462921     -0,6006        0,5507 

  sq_l_distc   0,00165119   0,0155584     0,1061        0,9159 

  X2_X3       -0,000151004  0,0264857    -0,005701      0,9955 

  sq_l_totsq   0,0393224    0,0397294     0,9898        0,3267   

  Неисправленный R-квадрат = 0,134431 

Тестовая статистика: TR^2 = 8,065876,

р-значение = P(Хи-квадрат(5) > 8,065876) = 0,152642

     Тест  Вайта показал, что в модели отсутствует  гетероскедастичность. Таким образом, можно сделать вывод, что при  использовании преобразованных  данных можно избежать проблемы гетероскедастичности в модели. 
 
 
 
 
 
 

Заключение

     В ходе проведенной работы были построены  две регрессионные модели, описывающие  зависимость продажной цены квартиры от двух факторов: общей площади  квартиры и величины, равной расстоянию до центра. В качестве регрессоров были рассмотрены и другие факторы, но они оказались незначимыми, и поэтому были исключены из модели. Незначимость переменных может быть связана с рядом факторов: небольшой объем выборки, неточность данных или их действительно незначимый вклад в определение цены квартиры. В первой линейной модели было обнаружено одно из нарушений классических предпосылок МНК – непостоянство дисперсий отклонений – гетероскедастичность. Поэтому вопреки хорошим показателям модели (высокие t-статистики, коэффициент детерминации) вывод о ее хорошем качестве может быть ложным из-за нарушения предпосылки о гомоскедастичности остатков. Для борьбы с этим явлением была изменена спецификация модели. В новой логарифмической модели проблема гетероскедастичости по результатам теста Уайта устранилась, соответственно можно сделать вывод о том, что изменение спецификации модели может служить хорошим методом для устранения гетероскедастичности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованных источников

1. Магнус  Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2000.
2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач по начальному курсу эконометрики. — М.: Дело, 1999.
3. Бородич С.А. Эконометика. – Мн., Новое знание, 2004
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.
5. Твоя столица - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.t-s.by

Приложение

Таблица №1: Данные, используемые в работе