Многомерная средняя

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………......3

1 Общая характеристика средних величин………………………...5

1.1 Виды степенных средних и их экономический смысл…………………8

1.2 Назначение и виды  структурных средних величии……………………11

2 Многомерная средняя……………………………………………..15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………….…..17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………...……...21

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В данной работе рассмотрено такое понятие, как средние величины. Большое распространение в статистике имеют средние величины. Следует обратить внимание на такой показатель как многомерная средняя, которая является неотъемлемой частью средних величин в статистике.  В средних величинах отображаются показатели товарооборота, товарных запасов, цен, заработной платы. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Правильное  понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через  единичное и случайное позволяет  выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. Важную роль в статистике играет такой показатель, как многомерная средняя. С помощью многомерной средней можно сравнивать многие экономические показатели, которые характеризуют рынок, предприятия и экономику в целом. Многомерная средняя является обобщающим показателем, этот показатель удобен в случаях выбора и принятия решений, когда используются несколько характеристик объекта исследования.

В теоретической  части рассмотрим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, и структурные средние, многомерные средние - в экономическом анализе, а также условия их применения. Материал изложен с пояснениями и примерами.

Актуальность  темы заключается в том, что область  применения и использования средних  величин в статистике довольно широка. Цель - ознакомление с применением средних величин в экономических исследованиях. В связи с заданной целью были поставлены следующие задачи:

-охарактеризовать средние величины в экономическом анализе

-раскрыть виды средних величин

-раскрыть понятие  многомерной средней и привести  пример

-привести пример  многомерной средней в рядах  динамики

-сделать выводы  на основе полученных показателей

 

 

1 Общая характеристика  средних величин

Средней величиной  называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Так, например, средняя заработная плата дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников. Кроме того, используя средние величины, имеется возможность сопоставлять различные информационные совокупности. Так, например, можно сравнивать различные организации по уровню производительности труда, а также по уровню фондоотдачи, материалоотдачи и по другим показателям.

Сущность средней  заключается в том, что в ней  взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются  изменения вызванные основным фактором.

Статистическая  обработка методом средних величин  заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака некоторой уравновешенной средней величиной x.

Например, индивидуальная выработка у 5 операционистов коммерческого  банка за день составила 136, 140, 154 и 162 операции. Чтобы получить среднее число операций за день, выполненных одним операционистом, необходимо сложить эти индивидуальные показатели и полученную сумму разделить на количество операционистов: операций. Как видно из приведенного примера, среднее число операций не совпадает ни с одним из индивидуальных, так как ни один операционист не сделал 150 операций. Но если мы представим себе, что каждый операционист сделал по 150 операций, то их общая сумма не изменится, а будет также равна 750. Таким образом, мы пришли к основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.

Это свойство еще  раз подчеркивает, что средняя  величина является обобщающей характеристикой  всей статистической совокупности.

Средние величины широко применяются в различных  отраслях знаний. Особо важную роль они играют в экономике и статистике: при анализе, планировании, прогнозировании, при расчете нормативов и при  оценке достигнутого уровня. Средняя  всегда именованная величина и имеет ту же размерность, что и отдельная единица совокупности.

Важнейшими  условиями (принципами) для правильного  вычисления и использования средних  величин является следующие:

В каждом конкретном случае необходимо исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и имеющиеся для расчета данные.

Индивидуальные  значения, из которых вычисляются  средние, должны относиться к однородной совокупности, а число их должно быть значительным.

Средние величины делятся на два класса: степенные  и структурные средние.

Степенные средние:                           

1 Арифметическая                              

2 Гармоническая                                 

3 Геометрическая

4 Квадратическая

Структурные средние:

1 Мода

2 Медиана

 

1.1 Виды степенных средних и их экономический смысл

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные  средние

Степенные средние:

1.Арифметическая

2.Гармоническая

3.Геометрическая

4.Квадратическая

Выбор формы  средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся  экономической информации для ее расчета.

Исходной базой  расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Расчет некоторых  средних величин:

Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников

Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала

Средний процент  брака = ( стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции ) * 100%

Степенные средние  в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Если вариант  встречается один раз, расчеты проводим по средней простой (например зарплата в 3 тыс.руб. встречается только у  одного рабочего), а если вариант  повторяется неодинаковое число  раз, то есть имеет разные частоты (например зарплата в 4 тыс.рублей встречается у пяти работников), то расчет проводим по средней взвешенной.

Формула степенной  простой в общем виде

где: индивидуальное значение признака ; k – показатель показатель степени средней величины;  n-число единиц совокупности

Формула степенной  средней взвешенной в общем виде

где: частота повторения i-й варианты.

В зависимости  от того, какое значение принимает  показатель степени средней величины k , получаем различные виды средних, для наглядности формулы отражены в таблице 1 (Виды средних и формулы их расчета).

Таблица 1- Виды средних и формулы их расчета.

 

 

1.2 Назначение и виды структурных средних величии

Кроме степенных  средних в статистике для относительной  характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:  -значение моды; -нижняя граница модального интервала; величина интервала; -частота модального интервала; частота интервала, предшествующего модальному;   частота интервала, следующего за модальным.

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две  равные по численности части.

Для определения медианы  в дискретном ряду при наличии  частот сначала вычисляют полусумму частот     а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков  в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа  признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для  интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы  по формуле:

где: - искомая величина; -нижняя граница интервала, который содержит медиану; h – величина интервала; -  сумма частот или число членов ряда; - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному; - частота медианного интервала.

 

Таблица 2 – Число студентов по возрастным группам

Возрастные  группы	Число студентов			Сумма накопленных  частот
До 20 лет	346			346
20-25	872			1218
25-30	1054			2272
30-35	781			3053
35-40	212			3265
40-45	121			3386
45 дет и более	76			3462
Итого		3462

 

Решение:В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем  величину моды:

Это значит что  модальный возраст студентов  равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что  одна половина студентов имеет возраст  до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и  медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

 

2 Многомерная средняя

Многомерной средней  называется средняя величина нескольких признаков для одной единицы  совокупности. Поскольку нельзя рассчитать среднюю величину абсолютных значений разных признаков выраженных в разных единицах измерения, то многомерная средняя вычисляется из относительных величин, как правило, - из отношений значений признаков для единицы совокупности к средним значениям этих признаков:

где: -многомерная средняя для i-единицы; хij - значение признака х, для единицы; хj - среднее значение признака xi; k - число признаков; j - номер признака; i - номер единицы совокупности.

Рассмотрим использование  многомерных средних на примере  сельскохозяйственных предприятий  Магаданской области за 2009 г. (табл. 2). По каждому предприятию приведены четыре признака:

• среднемесячная оплата труда работника, руб., x1;

• валовой доход  на 1 га сельхозугодий, тыс. руб./га, х2;

• среднегодовая  стоимость основных производственных фондов на 1 га сельхозугодий, млн руб./га, x3;

• отношение дебиторской задолженности к кредиторской задолженности, %, x4.

Эти признаки можно считать  однородными, так как большая  их величина положительно характеризует  экономику предприятия. Предпочтительнее обобщать в многомерной средней  признаки либо «положительные», либо «отрицательные» (чем больше, тем хуже).

Многомерные средние, приведенные  в последней графе табл. 2, обобщают четыре признака. При этом значимость признаков для оценки предприятия  полагается одинаковой, что, конечно, спорно. Можно  усложнить методику, приписав признакам, на основе экспертной оценки, разные веса, и вычислить взвешенные многомерные средние.

Таблица 3 - Характеристики сельскохозяйственных предприятий Магаданской области 2009г.

Предприятия	Значение признаков				Многомерная средняя в %
	X1	X2	X3	X4
«Солнечный»	13590	8693	59	80	119
«Урожай»	16251	5965	39	30	84
«Талон»	13264	7654	28	26	76
«Усть-Нера»	13987	8413	28	74	97
«Снежный»	16325	8697	29	159	133
«Ола»	14326	7895	32	26	81
«Палатка»	16259	7965	56	96	125
«Армань»	13298	5613	34	62	86
Итого	117300	60895	305	553	-
Средние величины	14663	7612	38	69	100

 

Средняя величина ( )вычисляется по формуле: =∑x/n ; где: x – значение признаков, n – число единиц совокупности или объём совокупности. =117300/8=14663

Многомерная средняя  в % ( ) = (((13590/14663)+(8693/7612)+(59/38)+(80/69))/4)*100%=119

Судя по полученным оценкам, предприятия делятся на группы с многомерными средними ниже 100% («Урожай», «Талон», «Усть-Нера», «Армань», «Ола»), несколько выше 100% («Солнечный», «Снежный», «Палатка»). С помощью многомерной средней можно анализировать многие показатели, для выявления наиболее успешного предприятия, организации, района и т.д..

Для комплексного анализа отрасли сельского хозяйства Магаданской области, следует отразить таблицу динамических рядов. С помощью которой можно будет выделить наиболее успешный год для сельхозугодий.

 

Таблица 4 - Экономическая характеристика отрасли сельского хозяйства Магаданской области (2008-2011 гг.)

Год	среднемесячная  оплата труда работника, руб	валовой доход на 1 га сельхозугодий тыс. руб./га	среднегодовая стоимость основных производственных фондов на 1 га сельхозугодий, млн. руб./га	отношение дебиторской  задолженности к кредиторской задолженности, %	многомерная средняя
2008	14590	8120	37	78	102
2009	14663	7612	38	69	98
2010	15121	6582	41	80	101
2011	15329	5985	40	81	99
средняя	14926	7075	39	77	100

 

Средняя величина ( )вычисляется по формуле: =∑x/n ; где: x – значение признаков, n – число единиц совокупности или объём совокупности. = (14590+14663+15121+15329)/4=14926

Многомерная средняя в % за 2008 год (2009, 2010, 2011 по аналогии) ( )=(14590/14926)+(8120/7075)+(37/39)+(78/77)/4=102

Исходя из данной выше приведенной таблицы, можно сделать вывод, что самый успешный год для сельхозугодий Магаданской области выпал на 2008 год (многомерная средняя составляет 102%), в то время как экономические характеристики сельхозугодий в 2009 году достигли минимума (многомерная средняя составляет 98%).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении подведем итоги. Средние величины — это  обобщающие показатели, в которых  находят выражения действие общих  условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).  Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Многомерной средней  называется средняя величина нескольких признаков для одной единицы  совокупности. Поскольку нельзя рассчитать среднюю величину абсолютных значений разных признаков выраженных в разных единицах измерения, то многомерная средняя вычисляется из относительных величин, как правило, – из отношений значений признаков для единицы совокупности к средним значениям этих признаков.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования  конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.  Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1    Гусаров, В. М.  Обшая теория статистики: Учеб. пособие для студентов вузов обучающихся по экономическим специальностям/ В.М. Гусаров, С.М. Проява.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 207с

2    Ильишев А.М. Общая теория статистики: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / А.М. Ильишев, - М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2008. – 535с

3 Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006- 480с

4 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учеб. / Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004.

5 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учеб./Под ред. И.И. Елисеевой – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. -480с.

6 Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с.

7        Статистический ежегодник по  Магаданской области. Магадан 2009 г -189 с.