Модели индивидуального риска

Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования «Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации» 

Кафедра «Математическое моделирование экономических процессов» 
 
 
 

Модели  индивидуального риска.

Курсовая работа. 
 
 
 

Выполнил:

 студент  группы МЭК 3-1

Ткаченко  П.В.

      Научный руководитель:                                                                                                                                      к.э.н., доцент Гринева Н.В. 
 
 
 

Москва 2011г.

Содержание.

Введение…………………………………………………………………...3стр.

1. модель индивидуального  риска. ……………………………………..……6стр.

        Пример ……………………………………………………………......8стр.

2. Методы  определения суммы исков. ...………………………………...9стр.

3. Расчет  страховых тарифов по методике Росстрахнадзора. ………..11стр.

               Пример.. ……………………………………………………..….15 стр.

Заключение …………………………………………………….................18стр.

Список литературы ……………………………………............................20стр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      ВВЕДЕНИЕ.

      Для управления работой страховой компании важную роль играют математические модели, ставящие своей целью описание разных видов деятельности страховой компании. Изучение таких моделей и проведение на их основе расчетов важных характеристик работы страховой компании (таких как расчет тарифной ставки, вероятности разорения, величины страхового резерва в выбранные моменты времени и др.), позволяет предлагать примеры управленческих решений, из которых управляющие компанией могут делать свой выбор.

      Классические  работы по моделям рисков дают следующую классификацию моделей риска:

      А) модель индивидуального риска, если рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированных в один момент времени ( практически за очень короткий срок, значительно меньший срока действия договора). Срок действия этих договоров один и тот же. В течение этого срока могут происходить страховые события, приводящие к необходимости делать выплаты по поступающим искам.

      В) Модель коллективного риска, (динамическая модель),в рамках которой рассматривается возможность заключения страховых договоров в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый договор имеет свою длительность действия ,и в течении периода действия договора могут наступать страховые случаи, по которым страховая компания должна делать выплаты по искам.

      Имеется много работ в которых рассматриваются  результаты деятельности страховой  компании на конечном интервале времени, а также работы, в которых бесконечен интервал времени функционирования страховой компании . В таких моделях предполагается наличие начального резерва (капитала) ,роль которого состоит в смягчении последствий необходимости делать выплаты больших страховых выплат (либо из-за большого числа происшедших страховых событий или из-за больших ущербов по поступившим искам. ).

      Типичными решаемыми задачами в рамках этих моделей являются:

      1) вычисление распределения суммарного  иска, т.е. суммы всех выплат (убытков)  страховой компании по всем  страховым договорам, образующих  портфель (в ситуации индивидуальной модели) или по итогам деятельности в течении некоторого интервала времени ( в рамках коллективной модели).

      2) Вычисление или оценка страховых  премий, достаточных для (так называемого  технического) не разорения при  котором у компании хватает средств для погашения всех поступивших исков. Как правило, обычно требуют выполнения не разорения с вероятностью, близкой к 1.

      При вычислении вероятности разорения в условиях модели индивидуального риска, решении задачи сводится к вычислению вероятности превышения уровня суммой всех выплат по всем искам страхового портфеля.

      При вычислении вероятности разорения  в условиях коллективной модели возникают  дополнительные проблемы учета того, чтобы суммарные выплаты по поступающим искам не превосходили в каждый момент времени имеющихся на этот момент резервов.

      Применяемые при этом методы решения задачи основаны на глубоких результатах и методах теории случайных процессов.

      Для анализа задач страхования важным вопросом является анализ и выделение различных видов (классов) так называемых страховых рисков. Суть таких рисков – наличие возможности разного уровня финансовых потерь при наступлении (редких ) неприятных событий для (физических и юридических ) лиц потенциальных клиентов страховых компаний.

      При анализе рисков, при построении математических моделей рисков важными

      проблемами  представляются

      - установление причинных и следственных  взаимосвязей разных рисков,

      - установление и построение модели  вероятностных распределений и  вероятностных характеристик рисков,

      - установление тяжести материальных потерь при наступлении страхового случая, что представляет существенный интерес для страховых компаний с точки зрения оценки необходимости привлечение к страхованию данного риска дополнительно других страховщиков (для использования процедуры перестрахования – при которой несколько страховых компаний берут на себя обязательства по возмещению разных частей ущерба , который может быть следствием наступления страхового случая, примером которого является ущерб в несколько млрд. долларов вследствие происшедшего в 1994 г в Калифорнии землетрясении и 1992 г урагана во Флориде). 

1. модель индивидуального риска.

      Данная  модель используется для определения  страховых тарифов, резервов страхования  и перестрахования. Пусть S- случайные финансовые потери страховой компании в течение некоторого фиксированного интервала времени исполнения страховых контрактов. Тогда S - это СВ, распределение которой необходимо знать для определения рационального ведения дел страховых компаний.

      Модель  индивидуального риска принимается:

где - потери, приходящиеся на i-ый страховой контракт, n-число исполняемых страховых контрактов.

      Потери  , называются суммами индивидуальных исков, S наз. совокупным иском. Положим, что - независимые СВ. Кроме того, рассматриваемая модель не учитывает изменения стоимости денег во времени.

      Пусть n - известно и фиксировано к началу рассматриваемого периода времени, n – число застрахованных.

      В качестве примера рассмотрим модель страхования жизни. При страховании  жизни на один год, страховая компания соглашается заплатить сумму  кратную b рублей, если застраховавшийся умирает в течение срока исполнения контракта, и ничего не платит, если застраховавшийся проживет этот год.

      Пусть q - вероятность выплаты в течение года. СВ иска X может быть описана с помощью своего распределения, которое определяется распределением вероятности или функцией распределения.

      Распределение вероятности имеет вид:

и соответственно функция распределения имеет  вид:

      Сумма индивидуального иска X может быть  представлена в виде:

      где b – сумма, выплачиваемая в результате смерти,

            I – индикатор события,

      Вероятно, что

      Найдем  характеристики этой СВ:

      тогда

      Построим  более общую модель, в которой  сумма выплаты по контракту является также СВ и в течение контрактного срока может произойти несколько  выплат по одному контракту. Речь идет о контрактах, связанных со страхование  здоровья, автомобиля и др. собственности. Общую формулу (*) тогда можно переписать в виде:

      где X – СВ выплат за рассматриваемый период,

             B – полная сумма выплат по контракту в течении этого срока,

             I – индикатор события, что хотя бы одна выплата произойдет.

     Распределения I и B находятся в зависимости от рассматриваемой ситуации.

     Пример.

     Рассмотрим  пример: рассмотрим одногодичный срок страховой жизни, оплачивающего  увеличенное пособие в случае непредвиденной смерти. Если смерть непредвиденная, то пособие равно 50 000, во всех остальных случаях смерти пособие равно 25 000. пусть для конкретной личности, учитывая ее возраст, профессию и здоровье, вероятность непредвиденной смерти рана 0,0005, а вероятность смерти в других случаях равна 0,002. исходя из этого:

тогда

пользуясь формулами  для условных вероятностей:

2. Методы определения суммы исков.

     Модели  индивидуального риска, иски страховых  организаций представляются как  сумма исков множества отдельных  страхователей. Естественной задачей  является определение распределения  суммы исков.

     Существует  два метода определения этой суммы, основанные на распределении суммы независимой СВ.

     Первый  метод носит название «МЕТОД СВЕРТОК»:

     Операция, описанная данными формулами, называется сверткой пары функций распределения  .

     Операция  свертки может быть очень громоздкой при вычислении.

Второй  метод вычисления распределения  суммы независимой СВ основан  на единственности производящей функции  моментов:

Единственность  распределения (**) позволяет вычислить распределение S. 
 
 
 

3. Расчет страховых тарифов по методике Росстрахнадзора.

     Практическим  примером применения модели индивидуального  риска служат Методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования, рекомендованные Росстрахнадзором. Методики Росстрахнадзора употребляются при лицензировании страховых продуктов. Здесь будет рассмотрена так называемая Методика (I), основанная на модели индивидуального риска.

     Методика (I) применима в случае так называемого  пропорционального страхования. Суть его заключается в следующем. Предположим, что некто имеет автомобиль стоимостью 6000 долл. и желает его застраховать, например от ущерба (повреждения в случае аварии). Тогда максимальный ущерб составляет 6000 долл. (при полном разрушении автомобиля). При пропорциональном страховании страхователь может выбирать страховую сумму, т.е. сумму, на которую страхуется автомобиль. Например, если он решит застраховать его на 50% стоимости, т.е. на 3000 долл., то покрытие ущерба составит 50% от полной суммы. Например, в случае аварии, ущерб от которой составил бы 800 долл., страховщик возместит страхователю 50% суммы ущерба, т.е. 400 долл. При этом премия за такое страхование тоже составит 50% от премии в случае страхования на полную стоимость.

     Страховой тариф взимается при этом с 1 руб. страховой суммы. Различают нетто-тариф и брутто-тариф. Второй отличается от первого тем, что включает в себя нагрузку на расходы страховщика. Методика (I) Росстрахнадзора содержит формулы для вычисления ставки негго-та- рифа . Если страховую сумму по риску обозначить через С, то нетто- премия составит * С. Остановимся на простейшем случае, когда n рисков в группе однородны, т.е. распределение ущерба страхователей одно и то же. Однако суммы (i = 1,...,n), на которые эти риски застрахованы, могут быть разными. Будем считать случайные величины независимыми и одинаково распределенными. Будем предполагать, что все риски независимы между собой и по каждому риску возможно не более одного страхового случая. Пусть — страховое возмещение, выплачиваемое по i-му риску при условии, что был страховой случай; J — случайная величина, равная единице, если по i-му риску был страховой случай (с вероятностью q), и нулю, если нет. Тогда возмещение, выплачиваемое по i-му риску, равно .

     Условие достаточности собранных негго-премий для покрытия суммарного убытка, запишем так:

     P (

     Если  положить Z = - , получается модель, аналогичная рассмотренной в предыдущем разделе. Случайные величины Z -независимы и одинаково распределены, поэтому распределение их суммы приближенно нормально. Вычислим математические ожидания и дисперсии Обозначим = Е ; S= Е . Имеем

      ( - ,)

     По  формуле полного математического  ожидания

      ( ) = (

     поэтому

     E =q - S.

     Аналогично  второй момент

     E = Е( X2 J2 - XJC + ) = = qE - 2 , где и — средние квадратические отклонения страхового убытка на один полис X и страховой суммы С соответственно (индексы опущены для краткости).

     Для вычисления Е(ХС) потребуется одно предположение. Рассмотрим величину V = Х/С — относительное страховое возмещение по риску. Логично предположить, что величины и , независимы. Действительно, первая из них описывает ущерб, причиненный застрахованному объекту. Например, если V = 0,25, то это означает, что объект поврежден на 25% его полной стоимости. С другой стороны, величина С описывает сумму, на которую застрахован объект. Если V определяется свойствами объекта (риска), то С — свойствами страхователя (его предпочтениями, финансовыми возможностями и т.д.). Хотя V и С независимы, X и С являются зависимыми величинами.

     В силу сделанного предположения о  независимости

     Е(ХС)=

     Кроме того,

     Все эти формулы дают возможность  выразить математическое ожидание и дисперсию Z, и , через математические ожидания и дисперсии X и С. Применяя прием стандартизации и нормальной аппроксимации, имеем:

     Откуда:

     Выпишем решение — выражение для ставки тарифа:

     где = / — коэффициент вариации убытков по одному полису , — коэффициент вариации страховых сумм . Первое слагаемое представляет чистую рисковую (или "основную", как в Методике) часть тарифной ставки , а второе — рисковую надбавку .

     При r=0 , можем упростить до вида:

     Такое упрощение, по-видимому, допустимо во многих практических случаях. Когда q мало, а n велико, "добавочные" члены и , на которые соответственно числитель и знаменатель дроби под корнем отличаются от предыдущей формулы, малы по сравнению с другими членами. Однако в практике могут встретиться случаи, когда разница будет достаточно ощутимой.

     Величины  математических ожиданий и дисперсий, необходимые для расчета входящих в формулы коэффициентов вариации должны оцениваться по статистическим данным. Это делается с помощью стандартных статистических оценок.

     Пример: Предположим, что страховая компания намерена застраховать от повреждения (ущерба) 100 однотипных автомобилей, полная стоимость каждого из которых оценивается в 6000 долл. Имеются статистические данные о страховании 74546 автомобилей такого типа; всего произошло 6111 страховое событие.

     Данные  об относительных страховых выплатах и страховых суммах представлены в таблице.

     Рис.1.

      Гистограмма распределения величины страхового убытка по одному полису при условии страхового события приведена на рисунке (для сравнения дана кривая гамма-плотности). Математическое ожидание этой величины равно 1439,7; среднее квадратическое отклонение равно 1230,8. Это модельный пример; он построен так, что предположение о независимости относительного возмещения и страховой суммы выполнено. Для данных таблицы проверка на независимость тестом хи-квадрат дает р-значение 0,91, т.е. гипотезу о независимости нет оснований отвергать. Требуется найти нетто-тариф , соответствующий 0,95. Для распределения страховой суммы, согласно таблице, среднее равно:

     1500 ( 1141 / 6111 ) + 3000 ( 1647 / 6111 ) + 4500 ( 1081 / 6111 ) + +6000(2242/6111) = 4085,9

     среднее квадратическое отклонение:

     (1500 - 4085,911)^2 *(1441/6111)+ (3000 - 4085,911)^2*(1647/6111) +

     +(4500 - 4085,911)^2*(1081/6111) + (6000 - 4085,911)^2*(2242/6111) = =1715.

     Подставляя  в формулу :

эти значения вместе со средним и средним квадратическим отклонением X, а также оценку

     q = 6111/74546=0,082

     и =1,645, получаем =0,0502, основная часть =0,0289, рисковая надбавка =0,0213.

     Рис.2. Распределение величины страхового убытка по одному полису (для сравнения дана кривая гамма-плотности)

     Интересно сравнить значения, полученные по точной формуле и по упрощенной формуле  из Методики. Рисковая надбавка, рассчитанная по формуле 1-ой формуле и равна 0,02127, а рассчитанная по 2-ой формуле равна 0,02131. Таким образом, при страховой сумме 6000 долл. разница в премиях составит около 3 долл. Нетго-премия же, как нетрудно подсчитать, составит чуть больше 300 долл. Малое различие (около 1%) определяется параметрами этого примера (малое q, сравнительно небольшое r и большое n).

     Несколько более существенным источником ошибки оказывается неточность нормальной аппроксимации. В этом примере nq = 8,2. На рис.3 приведены результаты численного моделирования суммарного страхового возмещения для 100 независимых рисков с такими распределениями убытка, как у величины X. Распределение имеет положительную асимметрию и плохо приближается нормальным, что и видно визуально, и подтверждается статистическими критериями. Квантиль уровня 0,95 этого распределения превышает квантиль нормального распределения с теми же средним и дисперсией на 3,6%, а для квантиля уровня 0,975 превышение составляет уже 7,4%. Следовательно, реально нужный страховой резерв будет на 7,4% больше рассчитанного по Методике. Заметим, что в этом примере распределение X является "не слишком плохим": оно имеет не слишком большую асимметрию и не обладает тяжелым хвостом. Для "плохих" распределений убытка по полису ошибка могла бы оказаться значительно больше.

     Однако  Методика (I) не содержит каких-либо ограничений  по своему применению и, тем самым, обязательна для расчета в любом случае.

     Рис.3. Распределение величины суммарного страхового убытка по 100 полисам (результаты моделирования методом Монте-Карло: выборка из 1000 значений) в сравнении с кривой нормальной плотности 
 

Заключение.

                Модели рисков позволяют оценить  размер возможных требований, которые  могут быть предъявлены страховой  организации. В любой модели суммарный иск к страховой организации определяет возможность ее разорения. Если этот иск больше резервов компании, то компания не сможет выполнить свои обязательства и разориться. В упрощенном случае процесс страхования можно представить следующим образом: страховая организация с начальным капиталом представляет собой резервуар с определенным уровнем, приходящие страховые взносы – входящий поток, производимые выплаты – исходящий поток. Разорение наступает тогда, когда в резервуаре ничего не остается для обеспечения выходящего потока. Для того, чтобы избежать разорения, компания должна правильно установить “цену” страхования (назначить страховую премию), так как слишком низкая цена приведет к убыткам, а слишком высокая – к неконкурентоспособности.

             Модель индивидуального риска базируется на следующих предположениях:

     Анализируется короткий промежуток времени, обычно 1 год, в течение которого можно  пренебречь инфляцией и не учитывать  доход от инвестирования;